La recta y sus propiedades geométricas

 CÁLCULO SIMBÓLICO Y GEOMETRÍA CON MAPLE Recta Ricardo Villafaña Figueroa 2 Contenido Definición de una línea recta a partir de su representación algebraica ................................ 3 Ecuación de la recta dada dos puntos .................................................................................... 6 Intersección entre dos rectas ................................................................................................. 8 Distancia de un punto a una recta ....................................................................................... 10 Distancia entre dos líneas paralelas ..................................................................................... 11 Ecuaciones de líneas paralelas ............................................................................................. 13 Ecuaciones de líneas perpendiculares .................................................................................. 15 Ángulo entre dos rectas ........................................................................................................ 17 Ecuación de la mediatriz de un segmento de recta ............................................................. 18 Aplicaciones .......................................................................................................................... 20 Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 3 Definición de una línea recta a partir de su representación algebraica Ejemplo Dada la ecuación 3 4 12. Calcular su pendiente, sus puntos de corte en el eje de las X y en el eje de las Y. Graficar la ecuación. Solución Cargar la biblioteca de geometría:
Almacenar el valor de la ecuación dada en una variable intermedia (almacenar los valores en variables intermedias nos permite crear una plantilla con la cual basta cambiar la ecuación dada en el problema y recalcular nuevamente los valores pedidos).
Definir la línea a partir de su representación algebraica con la función line: Calcular la pendiente de la línea con la función slope: Calcular el corte en el eje de las X. Despejar Y de la ecuación dada:
Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 4 Igualar el valor obtenido a cero y resolver para X: Corte en el eje de las Y. Despejar X:
Igualar a cero y resolver para Y:
Detalle de la recta encontrada: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 5 Gráfica de la ecuación: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 6 Ecuación de la recta dada dos puntos Ejemplo Encontrar a ecuación la recta que une los puntos A (0, 0) y B (5,5). Solución Cargando la biblioteca de geometría: Definiendo los dos puntos dados con la función point: Definiendo la línea con los puntos dados con la función line: Obteniendo la ecuación pedida con función Equation: Detalles de la ecuación calculada con la función detail: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 7 Dibujar la gráfica con la función draw: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 8 Intersección entre dos rectas Ejemplo Encontrar la intersección de las rectas 5
2
1
0 y 5
0. Solución Cargando la biblioteca de geometría: Definiendo las rectas dadas: Encontrando la intersección entre las dos rectas con la función intersection y guardando el resultado en la variable Int: Con la función coordinates encontramos las coordinadas del punto buscado: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 9 Dibujando las rectas: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 10 Distancia de un punto a una recta Ejemplo Encontrar la distancia del punto P (5,5) a la recta x
y
0. Solución Cargando la biblioteca de geometría: Definiendo el punto dado con la función point: Definiendo la línea de la ecuación dada con la función line: Encontrando la distancia del punto P a la recta con la función distance: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 11 Distancia entre dos líneas paralelas Ejemplo La distancia entre rectas paralelas es la distancia entre un punto arbitrario de una recta a la otra. Calcular el valor de la distancia entre las rectas paralelas 3 6 2
2
4
0 y 0 Solución Cargando la biblioteca de geometría: Almacenando las dos ecuaciones dadas en variables temporales: Para determinar un punto arbitrario damos un valor cualquiera a una de las variables y desarrollando las operaciones necesarias obtenemos el valor de la otra variable. Por ejemplo, ¿si x=0 cuánto vale y? Sustituimos el valor asignado a x en la primera ecuación (eq1) y obtenemos el valor de y: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 12 Para calcular la distancia del punto a la otra recta (eq2), definimos el punto y la línea: Aplicamos la fórmula de distancia de un punto a una línea: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 13 Ecuaciones de líneas paralelas Ejemplo Encontrar la ecuación de la línea que pasa por el punto P (2, 2) y es paralela a la recta 0. Solución Cargando la biblioteca de geometría: Definiendo el punto P con la función point: Definiendo la línea l con la función line: Encontrando la ecuación paralela a la línea l con la función ParalleLine y llamándola lp: El detalle de la línea encontrada es el siguiente: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 14 Comprobando si las dos líneas l y lp son paralelas con la función AreParallel: Dibujando las líneas y el punto: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 15 Ecuaciones de líneas perpendiculares Ejemplo Encontrar la ecuación de la línea que pasa por el punto P (2, 2) y es perpendicular a la recta x y 0. Graficar la recta dada y su línea perpendicular encontrada. Solución Cargando la biblioteca de geometría: Definiendo el punto P con la función point: Definiendo la línea l con la función line: Encontrando la ecuación paralela a la línea l con la función PerpendicularLine y llamándola lp2: El detalle de la línea encontrada es el siguiente: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 16 Comprobando si las dos líneas l y lp2 son paralelas con la función ArePerpendicular: Dibujando las líneas y el punto: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 17 Ángulo entre dos rectas Ejemplo Encontrar el ángulo entre las rectas x
y
0 y x
y
0. Solución Cargando la biblioteca de geometría: Definiendo las dos rectas con la función line: Encontrando el ángulo entre las dos rectas dada con la función FindAngle: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 18 Ecuación de la mediatriz de un segmento de recta Ejemplo Encontrar la ecuación de la mediatriz del segmento cuyos extremos son 2, 3 y 0, 1 . Usar esta ecuación para probar que los puntos (‐4, 1) y (1, ‐4) pertenecen a dicha mediatriz. Solución Cargando la biblioteca de geometría: Definiendo los puntos dados:
Definiendo la línea a partir de los puntos: Encontrando el punto medio y sus coordenadas: Encontrando la línea perpendicular lp, a partir de la línea l en el punto medio:
Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 19 Dibujar los puntos, la línea l, el punto medio y la línea perpendicular lp: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 20 Aplicaciones Ejemplo La pendiente de una recta que pasa por el punto P (3, 2) es igual a 3/4. Situar dos puntos sobre esta recta que disten 5 unidades de P. Comprobarlo con la gráfica. Solución Primera condición: obtener la ecuación de la recta que pasa por el punto P (3, 2) y con una pendiente igual a 3/4). Definir una función general f0 para obtener la ecuación de una recta dada su pendiente y un punto: Sustituyendo el valor de la pendiente y el punto dados en la función definida, y almacenando la ecuación obtenida en la variable temporal eq1: Segunda condición: encontrar una ecuación que defina aquellos puntos que equidistan cinco unidades del punto P (3, 2). Definiendo los puntos:
Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 21 Utilizando la función distance, igualándola a cinco y asignando la expresión resultante a una variable temporal eq2: Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación:
La ecuación obtenida es una circunferencia: el número de puntos que distan cinco unidades del punto P (3, 2) es infinito. En el problema planteado nos interesan únicamente aquellos dos puntos que caen sobre la recta dada. Resolviendo el sistema de ecuaciones (eq1 y eq2) para obtener los puntos pedidos: Haciendo las definiciones necesarias para utilizar la función draw. Definiendo la línea:
Definiendo los puntos: Definiendo la circunferencia: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 22 Dibujando los objetos geométricos: los puntos, la línea y la circunferencia:
Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 23 Ejemplo Desde el punto C (0,7) trazar dos rectas CA y CB, que forman un ángulo de 45 grados con la recta cuya ecuación es 10 4 12. Solución Reiniciar todas las variables: Cargar la biblioteca de geometría: Definir la ecuación, y el punto dados: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 24 Graficar la ecuación y el punto para visualizar el problema en esta etapa. Obtener la pendiente de la ecuación obtenida l1 y almacenarla en la variable m1: Convertir el ángulo dado de 45 grados en radianes para su uso en el cálculo de las pendientes: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 25 Calcular la pendiente m2 a partir de la fórmula para encontrar el ángulo entre dos rectas dadas y almacenar el resultado obtenido en m2: Definir una función general f0 para obtener la ecuación de una recta dada su pendiente y un punto: Sustituimos el valor de la pendiente m2 y el valor del punto C (0, 7) en la fórmula general f0 definida anteriormente y obtenemos la ecuación de la primera recta pedida. La función f2 obtenida la convertimos en un objeto reconocido por el paquete de graficación llamándole CA. Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 26 Graficamos los objetos encontrados hasta el momento: la línea dada l1, el punto C (0, 7) y la nueva recta CA. Seguimos el mismo procedimiento para obtener la ecuación de la segunda recta. Encontramos el ángulo m3 entre las rectas: Obtenemos la ecuación y la representación de la segunda recta: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 27 Encontrar el ángulo entre las tres rectas. Ángulo entre las rectas una y dos: Ángulo entre las rectas una y tres: Ángulo entre las recta dos y tres: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple 28 Calculas las intersecciones entre las tres rectas. Rectas uno y dos: Rectas uno y tres: Rectas dos y tres: Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple