Sobre la ecuación básica del MMOBI y una ecuación de incremento

Sobre la ecuación básica del MMOBI y una ecuación de
incremento usadas en los programas de manejo forestal
Introducción
En los programas de manejo forestal es muy frecuente el uso de diversas ecuaciones matemáticas en
la parte relativa a dasometría. Varias de esas ecuaciones son entendidas claramente por los usuarios,
prestadores de servicios técnicos generalmente. Sin embargo algunas, aunque se usan y tienen un
fundamento sólido, éste no es conocido por todos ellos. En esta breve nota nos referiremos a dos de
ellas, empleadas en el denominado Método Mexicano de Ordenación de Bosques Irregulares. El
propósito es difundir el fundamento referido.
ER = V p (1.0 P ) ≡ C f = Ci (1 + i )
cc
t
{1}
Esta expresión {1} proviene de la propuesta de Mendoza Medina y Rodríguez Caballero (1959). No
es otra que la fórmula del interés compuesto. En esta expresión, aunque la simbología suele variar,
ER son las existencias reales encontradas antes de hacer un aprovechamiento, Vp es el volumen
residual después de hacer el aprovechamiento (volumen en pie después de la corta), cc es el ciclo de
corta (el tiempo que transcurre desde el aprovechamiento hasta que el bosque recupera el volumen
de madera removido en el aprovechamiento), y P es el incremento relativo en volumen. Se anota
también algo de la simbología que se emplea en cálculos financieros, en la que las equivalencias son
ER ≡ Cf (capital final), Vp ≡ Ci (capital inicial), P ≡ i (interés) y cc ≡ t (el número de periodos que
dura la inversión, que suelen ser años).
La propuesta original pudo haber tenido la intención de simplificar el uso de la expresión, ya que si
se supone que el incremento relativo anual en el volumen nunca es mayor de un dígito al expresarlo
como por ciento (de 1 a 9 %), en la ecuación simplemente se sustituye la P por ese número. El caso,
posible aunque raro, de que el incremento sea de 10% o mayor ya no queda contemplado en la
primera intención, ya que entonces habría que eliminar el cero. Tampoco se sostiene la propuesta si
el incremento se expresa con una precisión que incluya alguna fracción decimal. Cualquiera que sea
el caso, no representa ninguna dificultad una vez conocida la notación que se emplea.
Sin embargo, no es infrecuente que esa notación provoque problemas, que suelen ser rápidamente
superados. Pero podrían ser evitados si se utiliza la expresión cotidiana del interés compuesto. Por
ello, se propone que la expresión original, ya de una vez sea considerada un arcaísmo y que se
utilice la expresión:
ER = V p (1 + i )
cc
{2}
En la que los símbolos son como se definió antes y la i representa el incremento como proporción de
uno y no por ciento. Esto es, un incremento de 3.5 % será representado como 0.035. De cualquier
manera, la forma {1} siempre tiene que ser llevada a la {2} para cualquier manipulación algebraica.
IP =
1000
10* ER
ICA =
T * D {3} e
T * D {4}
En éstas, IP es el incremento relativo en volumen (tasa de incremento) en por ciento, ICA es el
incremento corriente anual en volumen (m3/ha/año), T es el número de anillos (años, se entendería)
en los 2.5 cm exteriores del diámetro normal, D es el diámetro en centímetros, y el 10 y 1000 suelen
ser referidos como “factores de expansión” como expresión de algo que se ignora.
Primero abordaremos la expresión {3}, la que al eliminar dos ceros en el mil para expresarla como
proporción de uno (ya no en por ciento), es una parte de la {4}, el multiplicador de ER.
Primero es necesario enfatizar que T no es el tiempo de paso, sino una parte de él. El tiempo de paso
se define como el número de años que tarda un árbol en crecer 2.5 cm en radio (5.0 cm en diámetro),
para que así su diámetro se ubique en la categoría diamétrica inmediata superior. Es decir, el tiempo
de paso tiene como unidades “n años / 2.5 cm” en radio o, equivalentemente “n años / 5.0 cm” en
diámetro. Es decir, el tiempo de paso no es simplemente un número de años (anillos), sino un
número de años referido a una dimensión (2.5 ó 5.0 cm, en radio o en diámetro). Es cierto que al
mencionar el tiempo de paso suele obviarse la referencia a la dimensión y sólo considerar el número
de años, dando por sobreentendido a lo que se refiere ese número de años. Sin embargo esta
precisión es importante para comprender esos “factores de expansión”, que como se dice arriba sólo
se trata de uno, el “10”.
Lo que se presenta es tomado de Chapman (1924), el que a su vez dice haber tomado el desarrollo
de Graves (1906). Es referida como la fórmula de Schneider desarrollada en 1853. Las expresiones
originales ahora las presentamos representando el tiempo de paso con la amplitud usual en México
de una categoría diamétrica (5 cm).
Si n (T en {3} y {4}) es el número de anillos en los último 2.5 cm de radio a la altura normal (1.30
m), entonces el incremento periódico anual en radio durante esos n años es 2.5 / n (cm / año), o en
diámetro será 5.0 / n (cm / año). Si el diámetro normal actual es D, entonces el diámetro de hace un
5
5
D−
D+
n y el diámetro al año siguiente será
n.
año era
π D 2 hf
El volumen actual de un árbol (que se podría considerar el “árbol medio” del rodal) es 4 ,
donde h es la altura y f es el factor de forma, los volúmenes de un año antes y un año después son
2
2
5⎞
5⎞
⎛
⎛
π ⎜ D − ⎟ hf π ⎜ D + ⎟ hf
n⎠
n⎠
⎝
⎝
4
4
y
, la diferencia entre estos dos volúmenes es lo que el árbol creció en
dos años, por lo que al dividir esa diferencia entre 2, el cociente se puede tomar como el incremento
anual representativo del árbol actual, suponiendo que el factor de forma (f) y la altura (h) no
cambien (o equivalentemente que esos valores de un año antes o un año después se compensen):
2
2
5
5
π ⎛⎜ D + ⎞⎟ hf π ⎛⎜ D − ⎞⎟ hf
ICAvolumen =
=
⎝
n⎠
4
− ⎝
2
n⎠
4
=
π hf ⎡⎛
5 25 ⎞ ⎛ 2
5 25 ⎞ ⎤
2
⎜ D + 2D + 2 ⎟ − ⎜ D − 2D + 2 ⎟⎥
⎢
8 ⎣⎝
n n ⎠ ⎝
n n ⎠⎦
π hf ⎛
5 25
5 25 ⎞ π hf
2
2
⎜ D + 2D + 2 − D + 2D − 2 ⎟ =
8 ⎝
n n
n n ⎠
8
=
5
5 ⎞ π hf
⎛
⎜ 2D + 2D ⎟ =
n
n⎠
8
⎝
5 ⎞ π hf
⎛
⎜ 4D ⎟ =
n⎠
4
⎝
5⎞
⎛
⎜ 2D ⎟
n⎠
⎝
π hf ⎛ 10 ⎞
⎜D ⎟
4 ⎝ n⎠
Para referir proporcionalmente este incremento en volumen se divide entre el volumen actual:
π hf ⎛ 10 ⎞
⎜D ⎟
IPproporción = 4 ⎝
⎛ 10 ⎞
⎜D ⎟
10
n
n⎠
=⎝ 2 ⎠=
2
π D hf
D
D*n
4
{5}
Al expresar esta ecuación en por ciento (multiplicando por 100), se obtiene la {3}, considerando que
n en la ecuación reciente corresponde a T en la anterior, como se dijo al empezar el desarrollo
presente.
Teniendo el incremento relativo en volumen, basta multiplicarlo por las existencias reales por
hectárea actuales para tener una estimación del ICA en volumen por hectárea, ecuación {4}.
Ahora expondremos una forma alternativa de llegar al mismo resultado, la cual tendría aplicación
directa en caso de contar con ecuaciones de crecimiento en diámetro y una ecuación de volumen.
Por las mismas proposiciones anteriores, una ecuación de volumen puede tener la forma:
V = kD 2 {6}
Donde V es el volumen de un árbol, k es una constante que incluye a π, altura, coeficiente de forma
y el 4 que actúa como denominador en la expresión completa, y D es el diámetro normal. Como
antes, la altura y el coeficiente de forma se suponen constantes en un intervalo de tiempo reducido.
Tanto el volumen como el diámetro se pueden asumir como funciones del tiempo (edad), por lo que
la ecuación {6} se puede derivar con respecto a tiempo:
dD
ΔV dV
=
= k 2D
dt
dt {7}
Δt
La derivada es la tasa relativa de incremento de la función, por eso se empleó esa notación
redundante para destacar el hecho, identificando Δ como incremento, que es usual. Si la ecuación
{7} se divide entre la ecuación {6} se tendrá una tasa relativa de incremento, lo que al principio se
definió como IP, pero no expresado como por ciento sino como proporción de la unidad:
ΔV
dD
ΔD
ΔD
k 2D
k 2D
2
dt =
Δt = Δt
IP = Δt =
V
kD 2
kD 2
D {8}
Ahora conviene identificar a ΔD como en incremento en diámetro, que puede ser de 5 cm para que
ΔD
así Δt corresponda al número de años (anillos) para completar la definición de tiempo de paso,
Δt
entonces es el inverso del tiempo de paso, donde Δt es en número de anillos en los últimos 2.5 cm de
radio a la altura normal. Luego, la ecuación {8} puede tener la forma:
IP =
2ΔD 2 *5 10
=
=
Δt D T D T D {9}
Que es una de las ecuaciones del inicio de esta sección. La otra ecuación, la relativa al ICA en
volumen, resulta inmediatamente al aplicar esta tasa de crecimiento a las existencias por hectárea
identificadas como ER.
Corolario
Lo que se ha expuesto es algo ya conocido, pero no presente para muchos. Esto fue detectado por
los autores y los motivó a hacer esta exposición. La pretensión no es otra que difundir argumentos
que enriquezcan la conceptualización del manejo forestal que se hace en México, lo que habrá de
redundar en un aprovechamiento sustentable en beneficio de los propietarios de los recursos y de la
sociedad en general, dada la intención de conservar nuestros bosques.
Bibliografía
Chapman, H. H. 1924.Forest Mensuration. Wiley. Nueva York. 557 p.
Graves, H. S. 1906. Forest Mensuration. Wiley. Nueva York.
Mendoza Medina, R. y Rodríguez Caballero, R. 1959. Método Mexicano de Ordenación de Montes.
En Proyecto General de Ordenación Forestal. Unidad Industrial de Explotación Forestal Michoacana
de Occidente, S. de R. L. 82 p.