Algunas ideas sobre la Teoría de Interpolación de Operadores

Algunas ideas sobre Teorı́a de Interpolación
Fernando Cobos
Universidad Complutense de Madrid
Abril, 2008
B W.J. Davis, T. Figiel, W.B. Johnson and A. Pelczyński, J. Funct. Anal. 17 (1974) 311-327.
B W.J. Davis, T. Figiel, W.B. Johnson and A. Pelczyński, J. Funct. Anal. 17 (1974) 311-327.
TEOREMA. Sean E, F espacios de Banach y sea T ∈ L(E, F ) un operador debilmente
compacto. Entonces existe un espacio de Banach reflexivo W y operadores lineales y acotados
R ∈ L(E, W ) y S ∈ L(W, F ) tales que T se factoriza a través de W mediante los operadores
RyS
T
-
E
@
F
@
R@
S
@
R
@
W
B W.J. Davis, T. Figiel, W.B. Johnson and A. Pelczyński, J. Funct. Anal. 17 (1974) 311-327.
TEOREMA. Sean E, F espacios de Banach y sea T ∈ L(E, F ) un operador debilmente
compacto. Entonces existe un espacio de Banach reflexivo W y operadores lineales y acotados
R ∈ L(E, W ) y S ∈ L(W, F ) tales que T se factoriza a través de W mediante los operadores
RyS
T
-
E
@
F
@
R@
S
@
R
@
W
Demostración .- Consideremos el Ker(T ) y el espacio de Banach cociente X = E/Ker(T ).
Los operadores
Q : E → X = E/Ker(T ) , j : X → F
son lineales y acotados. Aquı́ j([x]) = T x. Además j es una inyección.
Pongamos
A0 = j(Q(E)) = {T x : x ∈ E}
con
kT xkA0 = k[x]kX = inf{kykE : T x = T y}
y sea A1 = F .
Pongamos
A0 = j(Q(E)) = {T x : x ∈ E}
con
kT xkA0 = k[x]kX = inf{kykE : T x = T y}
y sea A1 = F .
Se tiene
T
E
- F
6
jQ
I A1
?
A0
- A1
I A0
Pongamos
A0 = j(Q(E)) = {T x : x ∈ E}
con
kT xkA0 = k[x]kX = inf{kykE : T x = T y}
y sea A1 = F .
Se tiene
T
E
- F
6
jQ
I A1
?
A0
- A1
I A0
Con A0 ,→ A1 siendo debilmente compacta.
Pongamos
A0 = j(Q(E)) = {T x : x ∈ E}
con
kT xkA0 = k[x]kX = inf{kykE : T x = T y}
y sea A1 = F .
Se tiene
T
E
- F
6
jQ
I A1
?
A0
- A1
I A0
Con A0 ,→ A1 siendo debilmente compacta.
Solo necesitamos encontrar W reflexivo tal que
A0 ,→ W ,→ A1
Par compatible de espacios de Banach .- (B0 , B1 ), Bj espacios de Banach, Bj ,→ A,
j = 0, 1.
Par compatible de espacios de Banach .- (B0 , B1 ), Bj espacios de Banach, Bj ,→ A,
j = 0, 1.
B0 + B1 = {x ∈ A : x = x0 + x1 , xj ∈ Bj } , B0 ∩ B1 = {x ∈ A : x ∈ B0 , x ∈ B1 }
kxkB0 +B1 = inf{kx0 kB0 + kx1 kB1 : x = x0 + x1 , xj ∈ Bj }
kxkB0 ∩B1 = max{kxkB0 , kxkB1 }
Par compatible de espacios de Banach .- (B0 , B1 ), Bj espacios de Banach, Bj ,→ A,
j = 0, 1.
B0 + B1 = {x ∈ A : x = x0 + x1 , xj ∈ Bj } , B0 ∩ B1 = {x ∈ A : x ∈ B0 , x ∈ B1 }
kxkB0 +B1 = inf{kx0 kB0 + kx1 kB1 : x = x0 + x1 , xj ∈ Bj }
kxkB0 ∩B1 = max{kxkB0 , kxkB1 }
Un método de interpolación F asocia a cada par compatible (B0 , B1 ) un espacio
intermedio
B0 ∩ B1 ,→ F(B0 , B1 ) ,→ B0 + B1
Par compatible de espacios de Banach .- (B0 , B1 ), Bj espacios de Banach, Bj ,→ A,
j = 0, 1.
B0 + B1 = {x ∈ A : x = x0 + x1 , xj ∈ Bj } , B0 ∩ B1 = {x ∈ A : x ∈ B0 , x ∈ B1 }
kxkB0 +B1 = inf{kx0 kB0 + kx1 kB1 : x = x0 + x1 , xj ∈ Bj }
kxkB0 ∩B1 = max{kxkB0 , kxkB1 }
Un método de interpolación F asocia a cada par compatible (B0 , B1 ) un espacio
intermedio
B0 ∩ B1 ,→ F(B0 , B1 ) ,→ B0 + B1
En el caso DFJP, como A0 ,→ A1 , es A0 + A1 = A1 y A0 ∩ A1 = A0 luego
A0 ,→ F(A0 , A1 ) ,→ A1
METODO COMPLEJO
B A.P. Calderón, Studia Math. 24 (1964) 113-190.
METODO COMPLEJO
B A.P. Calderón, Studia Math. 24 (1964) 113-190.
Para cada 0 < θ < 1 se define Bθ = [B0 , B1 ]θ como el espacio de los f (θ) donde
f : D = {z ∈ C : 0 ≤ Re(z) ≤ 1} → B0 + B1
tales que
METODO COMPLEJO
B A.P. Calderón, Studia Math. 24 (1964) 113-190.
Para cada 0 < θ < 1 se define Bθ = [B0 , B1 ]θ como el espacio de los f (θ) donde
f : D = {z ∈ C : 0 ≤ Re(z) ≤ 1} → B0 + B1
tales que
• f es acotada y continua en D y analı́tica en el interior de D,
• las funciones t → f (j + it) (j = 0, 1) son continuas de R en Bj y tienden a 0 cuando
|t| → ∞.
METODO COMPLEJO
B A.P. Calderón, Studia Math. 24 (1964) 113-190.
Para cada 0 < θ < 1 se define Bθ = [B0 , B1 ]θ como el espacio de los f (θ) donde
f : D = {z ∈ C : 0 ≤ Re(z) ≤ 1} → B0 + B1
tales que
• f es acotada y continua en D y analı́tica en el interior de D,
• las funciones t → f (j + it) (j = 0, 1) son continuas de R en Bj y tienden a 0 cuando
|t| → ∞.
La norma en Bθ es
kxkθ = inf{kf k : f (θ) = x}
donde
kf k = max {sup kf (j + it)kBj }.
j=0,1 t∈R
Teorema. Sean (B0 , B1 ), (G0 , G1 ) pares compatibles de espacios de Banach y sea
T : B0 + B1 −→ G0 + G1 un operador lineal tal que T : Bj −→ Gj es acotado con
norma Mj para j = 0, 1. Entonces, para cada 0 < θ < 1, T define un operador lineal
acotado de Bθ = [B0 , B1 ]θ en Gθ = [G0 , G1 ]θ con norma M ≤ M01−θ M1θ .
Teorema. Sean (B0 , B1 ), (G0 , G1 ) pares compatibles de espacios de Banach y sea
T : B0 + B1 −→ G0 + G1 un operador lineal tal que T : Bj −→ Gj es acotado con
norma Mj para j = 0, 1. Entonces, para cada 0 < θ < 1, T define un operador lineal
acotado de Bθ = [B0 , B1 ]θ en Gθ = [G0 , G1 ]θ con norma M ≤ M01−θ M1θ .
• [Bθ0 , Bθ1 ]η = Bθ para θ = (1 − η)θ0 + ηθ1 .
Teorema. Sean (B0 , B1 ), (G0 , G1 ) pares compatibles de espacios de Banach y sea
T : B0 + B1 −→ G0 + G1 un operador lineal tal que T : Bj −→ Gj es acotado con
norma Mj para j = 0, 1. Entonces, para cada 0 < θ < 1, T define un operador lineal
acotado de Bθ = [B0 , B1 ]θ en Gθ = [G0 , G1 ]θ con norma M ≤ M01−θ M1θ .
• [Bθ0 , Bθ1 ]η = Bθ para θ = (1 − η)θ0 + ηθ1 .
• Si (Ω, µ) es un espacio de medida σ-finito
[L1 , L∞ ]θ = Lp para 1/p = 1 − θ.
Teorema. Sean (B0 , B1 ), (G0 , G1 ) pares compatibles de espacios de Banach y sea
T : B0 + B1 −→ G0 + G1 un operador lineal tal que T : Bj −→ Gj es acotado con
norma Mj para j = 0, 1. Entonces, para cada 0 < θ < 1, T define un operador lineal
acotado de Bθ = [B0 , B1 ]θ en Gθ = [G0 , G1 ]θ con norma M ≤ M01−θ M1θ .
• [Bθ0 , Bθ1 ]η = Bθ para θ = (1 − η)θ0 + ηθ1 .
• Si (Ω, µ) es un espacio de medida σ-finito
[L1 , L∞ ]θ = Lp para 1/p = 1 − θ.
Teorema de Riesz-Thorin. Sean 1 ≤ p0 , p1 , q0 , q1 ≤ ∞ y sea T un operador lineal tal
que T : Lpj (Ω) −→ Lqj (Γ) con norma Mj para j = 0, 1. Entonces, para 0 < θ < 1, si
ponemos 1/p = (1 − θ)/p0 + θ/p1 , 1/q = (1 − θ)/q0 + θ/q1 se tiene que
T : Lp (Ω) −→ Lq (Γ) es acotado con norma M ≤ M01−θ M1θ .
Teorema de Hausdorff-Young. Sea 2 ≤ p ≤ ∞, 1/p + 1/p0 = 1 y sea f ∈ Lp0 ([0, 2π]).
Entonces los coeficientes de Fourier (fˆ(m))m∈Z de f pertenecen a `p con
Z 2π
X
0
0
1
|fˆ(m)|p )1/p ≤ (
(
|f (x)|p dx)1/p .
2π
0
m∈Z
Teorema de Hausdorff-Young. Sea 2 ≤ p ≤ ∞, 1/p + 1/p0 = 1 y sea f ∈ Lp0 ([0, 2π]).
Entonces los coeficientes de Fourier (fˆ(m))m∈Z de f pertenecen a `p con
Z 2π
X
0
0
1
|fˆ(m)|p )1/p ≤ (
(
|f (x)|p dx)1/p .
2π
0
m∈Z
Demostración .- Sea T (f ) = (fˆ(m))m∈Z donde
Z 2π
1
fˆ(m) =
f (x)e−imx dx.
2π 0
Teorema de Hausdorff-Young. Sea 2 ≤ p ≤ ∞, 1/p + 1/p0 = 1 y sea f ∈ Lp0 ([0, 2π]).
Entonces los coeficientes de Fourier (fˆ(m))m∈Z de f pertenecen a `p con
Z 2π
X
0
0
1
|fˆ(m)|p )1/p ≤ (
(
|f (x)|p dx)1/p .
2π
0
m∈Z
Demostración .- Sea T (f ) = (fˆ(m))m∈Z donde
Z 2π
1
fˆ(m) =
f (x)e−imx dx.
2π 0
• T : L1 ([0, 2π]) −→ `∞ con norma M0 ≤
1
.
2π
Teorema de Hausdorff-Young. Sea 2 ≤ p ≤ ∞, 1/p + 1/p0 = 1 y sea f ∈ Lp0 ([0, 2π]).
Entonces los coeficientes de Fourier (fˆ(m))m∈Z de f pertenecen a `p con
Z 2π
X
0
0
1
|fˆ(m)|p )1/p ≤ (
(
|f (x)|p dx)1/p .
2π
0
m∈Z
Demostración .- Sea T (f ) = (fˆ(m))m∈Z donde
Z 2π
1
fˆ(m) =
f (x)e−imx dx.
2π 0
• T : L1 ([0, 2π]) −→ `∞ con norma M0 ≤
• T : L2 ([0, 2π]) −→ `2 con norma M1 =
1
.
2π
√1 .
2π
Teorema de Hausdorff-Young. Sea 2 ≤ p ≤ ∞, 1/p + 1/p0 = 1 y sea f ∈ Lp0 ([0, 2π]).
Entonces los coeficientes de Fourier (fˆ(m))m∈Z de f pertenecen a `p con
Z 2π
X
0
0
1
|fˆ(m)|p )1/p ≤ (
(
|f (x)|p dx)1/p .
2π
0
m∈Z
Demostración .- Sea T (f ) = (fˆ(m))m∈Z donde
Z 2π
1
fˆ(m) =
f (x)e−imx dx.
2π 0
• T : L1 ([0, 2π]) −→ `∞ con norma M0 ≤
• T : L2 ([0, 2π]) −→ `2 con norma M1 =
1
.
2π
√1 .
2π
Sea 0 < θ < 1 tal que 1/p0 = (1 − θ) + θ/2. Asi 1/p = θ/2 y el teorema de
Riesz-Thorin da que
Teorema de Hausdorff-Young. Sea 2 ≤ p ≤ ∞, 1/p + 1/p0 = 1 y sea f ∈ Lp0 ([0, 2π]).
Entonces los coeficientes de Fourier (fˆ(m))m∈Z de f pertenecen a `p con
Z 2π
X
0
0
1
|fˆ(m)|p )1/p ≤ (
(
|f (x)|p dx)1/p .
2π
0
m∈Z
Demostración .- Sea T (f ) = (fˆ(m))m∈Z donde
Z 2π
1
fˆ(m) =
f (x)e−imx dx.
2π 0
• T : L1 ([0, 2π]) −→ `∞ con norma M0 ≤
• T : L2 ([0, 2π]) −→ `2 con norma M1 =
1
.
2π
√1 .
2π
Sea 0 < θ < 1 tal que 1/p0 = (1 − θ) + θ/2. Asi 1/p = θ/2 y el teorema de
Riesz-Thorin da que
0
1 1−θ √1
1 1/p
T : Lp0 ([0, 2π]) −→ `p con norma M ≤ ( 2π
) ( 2π )θ = ( 2π
)
.
• Puede ocurrir que [A0 , A1 ]θ no sea reflexivo aunque A0 ,→ A1 sea debilmente
compacta.
• Puede ocurrir que [A0 , A1 ]θ no sea reflexivo aunque A0 ,→ A1 sea debilmente
compacta.
Trabajando sobre (Ω, µ), se definen los espacios de funciones de Lorentz Lp,q para
1 < p < ∞ y 1 ≤ q ≤ ∞ como
n
“Z ∞
o
dt ”1/q
Lp,q = f : kf kp,q =
<∞ .
(t1/p f ∗∗ (t))q
t
0
• Puede ocurrir que [A0 , A1 ]θ no sea reflexivo aunque A0 ,→ A1 sea debilmente
compacta.
Trabajando sobre (Ω, µ), se definen los espacios de funciones de Lorentz Lp,q para
1 < p < ∞ y 1 ≤ q ≤ ∞ como
n
“Z ∞
o
dt ”1/q
Lp,q = f : kf kp,q =
<∞ .
(t1/p f ∗∗ (t))q
t
0
Aqui
f ∗∗ (t) =
1
t
t
Z
f ∗ (s)ds
0
y f ∗ es la reordenada decreciente de la f
f ∗ (s) = inf{t > 0 : µ{x : |f (x)| > t} ≤ s}.
• Puede ocurrir que [A0 , A1 ]θ no sea reflexivo aunque A0 ,→ A1 sea debilmente
compacta.
Trabajando sobre (Ω, µ), se definen los espacios de funciones de Lorentz Lp,q para
1 < p < ∞ y 1 ≤ q ≤ ∞ como
n
“Z ∞
o
dt ”1/q
Lp,q = f : kf kp,q =
<∞ .
(t1/p f ∗∗ (t))q
t
0
Aqui
f ∗∗ (t) =
1
t
t
Z
f ∗ (s)ds
0
y f ∗ es la reordenada decreciente de la f
f ∗ (s) = inf{t > 0 : µ{x : |f (x)| > t} ≤ s}.
Se tiene Lp,1 ,→ Lp,p = Lp ,→ Lp,∞
• Puede ocurrir que [A0 , A1 ]θ no sea reflexivo aunque A0 ,→ A1 sea debilmente
compacta.
Trabajando sobre (Ω, µ), se definen los espacios de funciones de Lorentz Lp,q para
1 < p < ∞ y 1 ≤ q ≤ ∞ como
n
“Z ∞
o
dt ”1/q
Lp,q = f : kf kp,q =
<∞ .
(t1/p f ∗∗ (t))q
t
0
Aqui
f ∗∗ (t) =
1
t
t
Z
f ∗ (s)ds
0
y f ∗ es la reordenada decreciente de la f
f ∗ (s) = inf{t > 0 : µ{x : |f (x)| > t} ≤ s}.
Se tiene Lp,1 ,→ Lp,p = Lp ,→ Lp,∞
B L. Maligranda, Acta Appl. Math. 27 (1992) 79-89.
• Ω = [0, 1] y para 1 < r < ∞ pongamos L0r,∞ para denotar el cierre L∞ en Lr,∞ .
(L0r,∞ )∗∗ = Lr,∞
• Ω = [0, 1] y para 1 < r < ∞ pongamos L0r,∞ para denotar el cierre L∞ en Lr,∞ .
(L0r,∞ )∗∗ = Lr,∞
Tomemos 1 < p < r < q < ∞ y sea 0 < θ < 1 tal que 1/r = (1 − θ)/q + θ/p. Se tiene
L0q,∞ ,→ Lr ,→ L0p,∞
• Ω = [0, 1] y para 1 < r < ∞ pongamos L0r,∞ para denotar el cierre L∞ en Lr,∞ .
(L0r,∞ )∗∗ = Lr,∞
Tomemos 1 < p < r < q < ∞ y sea 0 < θ < 1 tal que 1/r = (1 − θ)/q + θ/p. Se tiene
L0q,∞ ,→ Lr ,→ L0p,∞
Pero
(L0q,∞ , L0p,∞ )[θ] = L0r,∞
que no es un espacio reflexivo.
METODO REAL
B J.L. Lions and J. Peetre, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 19 (1964) 5-68.
METODO REAL
B J.L. Lions and J. Peetre, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 19 (1964) 5-68.
Sea (B0 , B1 ) un par compatible de espacios de Banach. Para x ∈ B0 + B1 y t > 0 el
K-funcional se define por
K(t, x) = inf{kx0 kB0 + tkx1 kB1 : x = x0 + x1 , xj ∈ Bj },
t > 0.
METODO REAL
B J.L. Lions and J. Peetre, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 19 (1964) 5-68.
Sea (B0 , B1 ) un par compatible de espacios de Banach. Para x ∈ B0 + B1 y t > 0 el
K-funcional se define por
K(t, x) = inf{kx0 kB0 + tkx1 kB1 : x = x0 + x1 , xj ∈ Bj },
t > 0.
Para 0 < θ < 1 y 1 ≤ q ≤ ∞
11
Z∞ “
o
”q dt q
A <∞
=@
t−θ K(t, x)
t
0
n
(B0 , B1 )θ,q = x ∈ B0 + B1 : kxkθ,q
0
METODO REAL
B J.L. Lions and J. Peetre, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 19 (1964) 5-68.
Sea (B0 , B1 ) un par compatible de espacios de Banach. Para x ∈ B0 + B1 y t > 0 el
K-funcional se define por
K(t, x) = inf{kx0 kB0 + tkx1 kB1 : x = x0 + x1 , xj ∈ Bj },
t > 0.
Para 0 < θ < 1 y 1 ≤ q ≤ ∞
11
Z∞ “
o
”q dt q
A <∞
=@
t−θ K(t, x)
t
0
n
(B0 , B1 )θ,q = x ∈ B0 + B1 : kxkθ,q
0
Teorema. Sean (B0 , B1 ), (G0 , G1 ) pares compatibles de espacios de Banach y sea
T : B0 + B1 −→ G0 + G1 un operador lineal tal que T : Bj −→ Gj es acotado con
norma Mj para j = 0, 1. Entonces, para cada 0 < θ < 1 y 1 ≤ q ≤ ∞, T define un
operador lineal acotado de Bθ,q = (B0 , B1 )θ,q en Gθ,q = (G0 , G1 )θ,q con norma
M ≤ M01−θ M1θ .
METODO REAL
B J.L. Lions and J. Peetre, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 19 (1964) 5-68.
Sea (B0 , B1 ) un par compatible de espacios de Banach. Para x ∈ B0 + B1 y t > 0 el
K-funcional se define por
K(t, x) = inf{kx0 kB0 + tkx1 kB1 : x = x0 + x1 , xj ∈ Bj },
t > 0.
Para 0 < θ < 1 y 1 ≤ q ≤ ∞
11
Z∞ “
o
”q dt q
A <∞
=@
t−θ K(t, x)
t
0
n
(B0 , B1 )θ,q = x ∈ B0 + B1 : kxkθ,q
0
Teorema. Sean (B0 , B1 ), (G0 , G1 ) pares compatibles de espacios de Banach y sea
T : B0 + B1 −→ G0 + G1 un operador lineal tal que T : Bj −→ Gj es acotado con
norma Mj para j = 0, 1. Entonces, para cada 0 < θ < 1 y 1 ≤ q ≤ ∞, T define un
operador lineal acotado de Bθ,q = (B0 , B1 )θ,q en Gθ,q = (G0 , G1 )θ,q con norma
M ≤ M01−θ M1θ .
• (Bθ0 ,q0 , Bθ1 ,q1 )η,q = Bθ,q para θ = (1 − η)θ0 + ηθ1 .
• Trabajando sobre (Ω, µ) se tiene
(L1 , L∞ )θ,q = Lp,q ,
1
= 1 − θ , 1 ≤ q ≤ ∞.
p
De hecho el K- funcional para el par (L1 , L∞ ) es
Z t
K(t, f ) =
f ∗ (s)ds.
0
• Trabajando sobre (Ω, µ) se tiene
(L1 , L∞ )θ,q = Lp,q ,
1
= 1 − θ , 1 ≤ q ≤ ∞.
p
De hecho el K- funcional para el par (L1 , L∞ ) es
Z t
K(t, f ) =
f ∗ (s)ds.
0
La fórmula de reiteracion da para 1 ≤ p0 6= p1 ≤ ∞, 1 ≤ q0 , q1 , q ≤ ∞, 0 < θ < 1 y
1/p = (1 − θ)/p0 + θ/p1 que
(Lp0 ,q0 , Lp1 ,q1 )θ,q = Lp,q
• Trabajando sobre (Ω, µ) se tiene
(L1 , L∞ )θ,q = Lp,q ,
1
= 1 − θ , 1 ≤ q ≤ ∞.
p
De hecho el K- funcional para el par (L1 , L∞ ) es
Z t
K(t, f ) =
f ∗ (s)ds.
0
La fórmula de reiteracion da para 1 ≤ p0 6= p1 ≤ ∞, 1 ≤ q0 , q1 , q ≤ ∞, 0 < θ < 1 y
1/p = (1 − θ)/p0 + θ/p1 que
(Lp0 ,q0 , Lp1 ,q1 )θ,q = Lp,q
(`p0 ,q0 , `p1 ,q1 )θ,q = `p,q
n
∞
”1/q
o
n
“X
1 −1 X
|ξj∗ |)q n−1
<∞
`p,q = (ξm ) ∈ c0 : k(ξm )kp,q =
(n p
n=1
j=1
• Trabajando sobre (Ω, µ) se tiene
(L1 , L∞ )θ,q = Lp,q ,
1
= 1 − θ , 1 ≤ q ≤ ∞.
p
De hecho el K- funcional para el par (L1 , L∞ ) es
Z t
K(t, f ) =
f ∗ (s)ds.
0
La fórmula de reiteracion da para 1 ≤ p0 6= p1 ≤ ∞, 1 ≤ q0 , q1 , q ≤ ∞, 0 < θ < 1 y
1/p = (1 − θ)/p0 + θ/p1 que
(Lp0 ,q0 , Lp1 ,q1 )θ,q = Lp,q
(`p0 ,q0 , `p1 ,q1 )θ,q = `p,q
n
∞
”1/q
o
n
“X
1 −1 X
|ξj∗ |)q n−1
<∞
`p,q = (ξm ) ∈ c0 : k(ξm )kp,q =
(n p
n=1
j=1
|ξ1∗ | ≥ |ξ2∗ | ≥ · · · , `p,p = `p .
Si p < r se tiene `p,q $ `r,s y si q < s se tiene `p,q $ `p,s .
Si p < r se tiene `p,q $ `r,s y si q < s se tiene `p,q $ `p,s .
Si 2 < p < ∞ tenemos `p,p0 $ `p,p = `p .
Si p < r se tiene `p,q $ `r,s y si q < s se tiene `p,q $ `p,s .
Si 2 < p < ∞ tenemos `p,p0 $ `p,p = `p .
Teorema de Paley. Sea 2 ≤ p < ∞, 1/p + 1/p0 = 1 y sea f ∈ Lp0 ([0, 2π]). Entonces
los coeficientes de Fourier (fˆ(m))m∈Z de f pertenecen a `p,p0 con
k(fˆ(m))kp,p0 ≤ cp kf kp0 donde la constante cp sólo depende de p.
Si p < r se tiene `p,q $ `r,s y si q < s se tiene `p,q $ `p,s .
Si 2 < p < ∞ tenemos `p,p0 $ `p,p = `p .
Teorema de Paley. Sea 2 ≤ p < ∞, 1/p + 1/p0 = 1 y sea f ∈ Lp0 ([0, 2π]). Entonces
los coeficientes de Fourier (fˆ(m))m∈Z de f pertenecen a `p,p0 con
k(fˆ(m))kp,p0 ≤ cp kf kp0 donde la constante cp sólo depende de p.
Demostración .- Sabemos que T (f ) = (fˆ(m))m∈Z satisface
• T : L1 ([0, 2π]) −→ `∞
• T : L2 ([0, 2π]) −→ `2
Si p < r se tiene `p,q $ `r,s y si q < s se tiene `p,q $ `p,s .
Si 2 < p < ∞ tenemos `p,p0 $ `p,p = `p .
Teorema de Paley. Sea 2 ≤ p < ∞, 1/p + 1/p0 = 1 y sea f ∈ Lp0 ([0, 2π]). Entonces
los coeficientes de Fourier (fˆ(m))m∈Z de f pertenecen a `p,p0 con
k(fˆ(m))kp,p0 ≤ cp kf kp0 donde la constante cp sólo depende de p.
Demostración .- Sabemos que T (f ) = (fˆ(m))m∈Z satisface
• T : L1 ([0, 2π]) −→ `∞
• T : L2 ([0, 2π]) −→ `2
Sea 0 < θ < 1 tal que 1/p0 = (1 − θ) + θ/2. Interpolando por el método real tenemos
Si p < r se tiene `p,q $ `r,s y si q < s se tiene `p,q $ `p,s .
Si 2 < p < ∞ tenemos `p,p0 $ `p,p = `p .
Teorema de Paley. Sea 2 ≤ p < ∞, 1/p + 1/p0 = 1 y sea f ∈ Lp0 ([0, 2π]). Entonces
los coeficientes de Fourier (fˆ(m))m∈Z de f pertenecen a `p,p0 con
k(fˆ(m))kp,p0 ≤ cp kf kp0 donde la constante cp sólo depende de p.
Demostración .- Sabemos que T (f ) = (fˆ(m))m∈Z satisface
• T : L1 ([0, 2π]) −→ `∞
• T : L2 ([0, 2π]) −→ `2
Sea 0 < θ < 1 tal que 1/p0 = (1 − θ) + θ/2. Interpolando por el método real tenemos
T : (L1 , L2 )θ,p0 = Lp0 −→ (`∞ , `2 )θ,p0 = `p,p0
Si p < r se tiene `p,q $ `r,s y si q < s se tiene `p,q $ `p,s .
Si 2 < p < ∞ tenemos `p,p0 $ `p,p = `p .
Teorema de Paley. Sea 2 ≤ p < ∞, 1/p + 1/p0 = 1 y sea f ∈ Lp0 ([0, 2π]). Entonces
los coeficientes de Fourier (fˆ(m))m∈Z de f pertenecen a `p,p0 con
k(fˆ(m))kp,p0 ≤ cp kf kp0 donde la constante cp sólo depende de p.
Demostración .- Sabemos que T (f ) = (fˆ(m))m∈Z satisface
• T : L1 ([0, 2π]) −→ `∞
• T : L2 ([0, 2π]) −→ `2
Sea 0 < θ < 1 tal que 1/p0 = (1 − θ) + θ/2. Interpolando por el método real tenemos
T : (L1 , L2 )θ,p0 = Lp0 −→ (`∞ , `2 )θ,p0 = `p,p0
Teorema de Marcinkiewicz. Sean 1 ≤ p0 , p1 , q0 , q1 ≤ ∞ con q0 6= q1 y sea T un
operador lineal tal que T : Lpj (Ω) −→ Lqj ,∞ (Γ) con norma Mj para j = 0, 1. Sea
0 < θ < 1 y pongamos 1/p = (1 − θ)/p0 + θ/p1 , 1/q = (1 − θ)/q0 + θ/q1 . Si p ≤ q se
tiene que T : Lp (Ω) −→ Lq (Γ) es acotado con norma M ≤ cM01−θ M1θ .
B B. Beauzamy, Lect. Notes in Math. 666, 1978.
B B. Beauzamy, Lect. Notes in Math. 666, 1978.
Si 1 < q < ∞ y la inclusión B0 ∩ B1 ,→ B0 + B1 es debilmente compacta, entonces
(B0 , B1 )θ,q es reflexivo.
B B. Beauzamy, Lect. Notes in Math. 666, 1978.
Si 1 < q < ∞ y la inclusión B0 ∩ B1 ,→ B0 + B1 es debilmente compacta, entonces
(B0 , B1 )θ,q es reflexivo.
W = (A0 , A1 )θ,2
B B. Beauzamy, Lect. Notes in Math. 666, 1978.
Si 1 < q < ∞ y la inclusión B0 ∩ B1 ,→ B0 + B1 es debilmente compacta, entonces
(B0 , B1 )θ,q es reflexivo.
W = (A0 , A1 )θ,2
B S. Heinrich, J. Funct. Anal. 35 (1980) 397-411.
Propiedades de interpolación de ideales de operadores
Propiedades de interpolación de ideales de operadores
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and J spaces, Acta Math. Sinica (English Series) 23 (2007) 1357-1374.
Interpolación de operadores compactos y de la medida de no compacidad
Interpolación de operadores compactos y de la medida de no compacidad
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non-compactness by the real method, Studia Math. 135 (1999) 25-38.
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Interpolación de álgebras de Banach
Interpolación de álgebras de Banach
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Banach algebras and interpolation of bilinear operators , Canad. Math. Bull. (to
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interpolation of Banach algebras and multilinear interpolation , Banach Center Publ.
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Banach algebras and interpolation of bilinear operators , Canad. Math. Bull. (to
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B F. Cobos,L.M. Fernández-Cabrera, Factoring weakly compact homomorphisms,
interpolation of Banach algebras and multilinear interpolation , Banach Center Publ.
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Interpolación y espacios de funciones
Interpolación de álgebras de Banach
B F. Cobos,L.M. Fernández-Cabrera, A. Martı́nez, On interpolation of Banach algebras
and factorization of weakly compact operators , Bull. Sci. math. 130 (2006) 637-645.
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Interpolación y espacios de funciones
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Espacios de formas multilineales sobre espacios de Hilbert
Espacios de formas multilineales sobre espacios de Hilbert
B F. Cobos, T. Kühn, J. Peetre, Schatten-von Neumann classes of multilinear forms,
Duke Math. J. 65 (1992) 121-156.
Espacios de formas multilineales sobre espacios de Hilbert
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distinguished forms, Integr. Equ. Oper. Theory 56 (2006) 57-70.
Comportamiento asintótico de los números de entropı́a
Comportamiento asintótico de los números de entropı́a
Para T ∈ L(E, F ) se define el el k-ésimo número de entropı́a (diádico) ek (T ) de T
como el ı́nfimo de todos los ε > 0 tales que existen y1 , . . . , yq ∈ Y con q ≤ 2k−1 tales
que
q
[
T (UE ) j
(yj + εUF )
j=1
donde UE , UF son las bolas unidad cerradas de E y F , respectivamente.
Comportamiento asintótico de los números de entropı́a
Para T ∈ L(E, F ) se define el el k-ésimo número de entropı́a (diádico) ek (T ) de T
como el ı́nfimo de todos los ε > 0 tales que existen y1 , . . . , yq ∈ Y con q ≤ 2k−1 tales
que
q
[
T (UE ) j
(yj + εUF )
j=1
donde UE , UF son las bolas unidad cerradas de E y F , respectivamente.
• T es compacto si y solo si limk→∞ ek (T ) = 0.
Comportamiento asintótico de los números de entropı́a
Para T ∈ L(E, F ) se define el el k-ésimo número de entropı́a (diádico) ek (T ) de T
como el ı́nfimo de todos los ε > 0 tales que existen y1 , . . . , yq ∈ Y con q ≤ 2k−1 tales
que
q
[
T (UE ) j
(yj + εUF )
j=1
donde UE , UF son las bolas unidad cerradas de E y F , respectivamente.
• T es compacto si y solo si limk→∞ ek (T ) = 0.
Si E es un espacio cuasi-Banach complejo y T ∈ L(E, E) es un operador compacto, se
denota por (λk (T )) la sucesión de los autovalores de T , repetidos de acuerdo a su
multiplicidad y ordenados de forma decreciente de acuerdo a sus módulos.
Comportamiento asintótico de los números de entropı́a
Para T ∈ L(E, F ) se define el el k-ésimo número de entropı́a (diádico) ek (T ) de T
como el ı́nfimo de todos los ε > 0 tales que existen y1 , . . . , yq ∈ Y con q ≤ 2k−1 tales
que
q
[
T (UE ) j
(yj + εUF )
j=1
donde UE , UF son las bolas unidad cerradas de E y F , respectivamente.
• T es compacto si y solo si limk→∞ ek (T ) = 0.
Si E es un espacio cuasi-Banach complejo y T ∈ L(E, E) es un operador compacto, se
denota por (λk (T )) la sucesión de los autovalores de T , repetidos de acuerdo a su
multiplicidad y ordenados de forma decreciente de acuerdo a sus módulos.
• |λk (T )| ≤
√
2ek (T ), para cada k ∈ N
Comportamiento asintótico de los números de entropı́a
Para T ∈ L(E, F ) se define el el k-ésimo número de entropı́a (diádico) ek (T ) de T
como el ı́nfimo de todos los ε > 0 tales que existen y1 , . . . , yq ∈ Y con q ≤ 2k−1 tales
que
q
[
T (UE ) j
(yj + εUF )
j=1
donde UE , UF son las bolas unidad cerradas de E y F , respectivamente.
• T es compacto si y solo si limk→∞ ek (T ) = 0.
Si E es un espacio cuasi-Banach complejo y T ∈ L(E, E) es un operador compacto, se
denota por (λk (T )) la sucesión de los autovalores de T , repetidos de acuerdo a su
multiplicidad y ordenados de forma decreciente de acuerdo a sus módulos.
• |λk (T )| ≤
√
2ek (T ), para cada k ∈ N
Decaimiento de los números de entropı́a de inclusiones entre espacios de funciones.
B F. Cobos, T. Kühn, Entropy numbers of embeddings of Besov spaces in generalized
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