Probabilidad de error - Luca Martino Home Page

Probabilidad de error Luca Mar/no y Francisco Rodríguez Ruiz Apuntes no revisados Cuidado! Función Q(x) •  la definición es 1 Q(x) = 2π ∫ +∞ x exp{−t /2}dt 2 2 σ =1 € x µ=0 € t Q(x) Es el integral de una N(0,1) entre x y más infinito. € € € € Función Q(x) •  Unas propiedades: 1. Q(0) 2. € 3. 2 σ =1 1 = = 0.5 2 µ=0 € Q(−∞) = 1 Q(0) = 0.5 Q(x) = 1 − Q(−x) Q(−x) = 1 − Q(x) € € € € € x 0 Q(x) 0 −x Q(−x) Integral de una N( µ , σ ) 2 •  Vamos ahora a considerar el integral 1 2πσ 2 +∞ 2 2 exp −(t − µ ) /(2 σ )}dt ∫ µ +x { € •  Para expresarlo en función de Q(x) vamos a considerar la transformación de variable τ = (t − µ) /σ dτ = dt /σ ⇒ dt = σdτ € 1 1 ⇒ ∫ x /σ exp{−τ /2}⋅σ ⋅ dτ ⇒ 2π 2 2πσ +∞ € 2 ⎛ x ⎞ ∫ x /σ exp{−τ /2}dτ = Q⎜⎝ σ ⎟⎠ +∞ 2 Integral de una N( µ , σ ) 2 •  Hemos hallado ⎛ x ⎞ 1 Q⎜ ⎟ = 2 ⎝ σ ⎠ 2πσ Con x posi/vo x ≥0 ∫ +∞ µ +x exp{−(t − µ) /(2σ )}dt 2 € σ2 € µ € € € µ+ x t Q(x /σ) 2 Integral de una N( µ , σ ) 2 •  También es fácil hallar/entender que (por la simetría de la Gaussiana) ⎛ x ⎞ 1 Q⎜ ⎟ = 2 ⎝ σ ⎠ 2πσ Con x posi/vo ∫ µ −x −∞ € exp{−(t − µ) /(2σ )}dt 2 x ≥0 σ2 € € Q(x /σ) µ€ −x µ t 2 Integral de una N( µ , σ ) 2 •  Valen también esta relación ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ 1 Q⎜ − ⎟ = 1 − Q⎜ ⎟ = ⎝ σ ⎠ ⎝ σ ⎠ 2πσ 2 Con x posi/vo x ≥0 +∞ 2 2 exp −(t − µ ) /(2 σ )}dt ∫ µ −x { € σ µ 2 t µ−x € 1 − Q(x /σ) € € € € Integral de una N( µ , σ ) 2 •  Valen también esta relación ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ 1 Q⎜ − ⎟ = 1 − Q⎜ ⎟ = ⎝ σ ⎠ ⎝ σ ⎠ 2πσ 2 Con x posi/vo x ≥0 ∫ µ +x −∞ exp{−(t − µ) 2 /(2σ 2 )}dt € σ2 µ € µ+ x € 1 − Q(x /σ) € € t Integral de una N( µ , σ ) 2 •  Valen también esta relación ⎛ x1 ⎞ ⎛ x 2 ⎞ 1 1 − Q⎜ ⎟ − Q⎜ ⎟ = ⎝ σ ⎠ ⎝ σ ⎠ 2πσ 2 € x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 µ −x 2 exp{−(t − µ) 2 /(2σ 2 )}dt € σ2 µ − x2 € € ∫ µ +x1 µ µ + x1 1 − Q(x1 /σ) − Q(x 2 /σ) € € t Probabilidad de error (dim. 1) •  Vamos a considerar una constelación de 3 símbolos equiprobables d2 d1 s1 s2 s3 € •  Siendo e€ quiprobables, los umbrales serán los puntos medios € € d1 2 €u1 s1 Decido s1 € €€ € €€ d1 d 2 2 2 s2 Decido s2 d2 2 u2 s3 Decido s3 Probabilidad de error (dim. 1) •  ¿ Cuál es la probabilidad de error habiendo transmi/do s 2 ? 2 p(q | s2 ) σ = N 0 /2 µ = s2 € d1 d 2 2 2 € s1 u1 s2 u2 s3 ⎛ d€ ⎞ ⎛ d1 /2 ⎞ ⎛ d1 ⎞ 1 ⎟⎟ Q⎜ ⎟ = Q⎜ ⎟ = Q⎜⎜ ⎝ σ ⎠ ⎝ 2σ€ ⎠ € ⎝ 2 N 0 /2 ⎠ € € € ⎛ d ⎞ ⎛ d2 /2 ⎞ ⎛ d2 ⎞ 2 ⎟⎟ Q⎜ ⎟ = Q⎜ ⎟ = Q⎜⎜ ⎝ σ ⎠ ⎝ 2σ ⎠ ⎝ 2 N 0 /2 ⎠ € € ⎛€ d ⎞ ⎛ d ⎞ 1 2 ⎟⎟ + Q⎜⎜ ⎟⎟ Pe|s2 = Q⎜⎜ N 0 /2 ⎠ ⎝ 2 € ⎝ 2 N 0 /2 ⎠ Probabilidad de error (dim. 1) •  ¿ Cuál es la probabilidad de error habiendo transmi/do s 1 ? 2 σ = N 0 /2 µ = s1 € p(q | s1 ) d1 2 € s1 € € € s2 s3 ⎛ d ⎞ ⎛ d1 /2 ⎞ €⎛ d1 ⎞ 1 ⎟⎟ Q⎜ ⎟ = Q⎜ ⎟ = Q⎜⎜ ⎝ σ ⎠ ⎝ 2σ ⎠ ⎝ 2 N 0 /2 ⎠ € Pe|s1 ⎛ d ⎞ 1 ⎟⎟ = Q⎜ ⎟ = Q⎜⎜ ⎝ 2σ ⎠ ⎝ 2 N 0 /2 ⎠ €⎛ d1 ⎞ Probabilidad de error (dim. 1) •  ¿ Cuál es la probabilidad de error habiendo transmi/do s 3 ? p(q | s3 ) 2 d2 2 € s1 s2 s3 ⎛ d ⎞ ⎛ d2 /2 ⎞ ⎛ d2 ⎞ 2 ⎟⎟ Q⎜ ⎟ = Q⎜ ⎟ = Q⎜⎜ € ⎝ σ € ⎠ ⎝ 2σ ⎠ ⎝ 2 N 0 /2 ⎠ € € € Pe|s3 ⎛ d ⎞ 2 ⎟⎟ = Q⎜ ⎟ = Q⎜⎜ ⎝ 2σ ⎠ ⎝ 2 N 0 /2 ⎠ €⎛ d2 ⎞ σ = N 0 /2 € µ = s2 Probabilidad de error (dim. 1) •  Y siendo los símbolos equiprobables 1 1 1 Pe = Pe|s1 + Pe|s2 + Pe|s3 = 3 3 3 ⎛ d ⎞ ⎛ d ⎞ ⎛ d ⎞⎞ 1 ⎛ ⎛ d1 ⎞ 2 1 2 ⎟⎟ + Q⎜⎜ ⎟⎟ + Q⎜⎜ ⎟⎟ + Q⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟ = ⎜⎜Q⎜⎜ 3 ⎝ ⎝ 2 N 0 /2 ⎠ ⎝ 2 N 0 /2 ⎠ ⎝ 2 N 0 /2 ⎠ ⎝ 2 N 0 /2 ⎠⎠ 2 ⎛ d1 ⎞ 2 ⎛ d2 ⎞ ⎟⎟ + Q⎜⎜ ⎟⎟ = Q⎜⎜ 3 ⎝ 2 N 0 /2 ⎠ 3 ⎝ 2 N 0 /2 ⎠ € Ejemplo en 2 dimensiones •  Vamos a considerar símbolos equiprobables en rejilla q2 €  se  € sh €  sd € €  sj  sg € si  sk  sl  sr •  Podemos dis/nguir 3 casos! € € q1 € € 1) 2) 3) Ejemplo en 2 dimensiones •  En este caso es di`cil calcular DIRECTAMENTE la probabilidad de error habiendo trasmi/do un símbolo, P e| s i . q2  q ∉ Ii  q ∉ Ii € € € €  €q ∉ Ii  q ∉ Ii  q ∈ Ii € si €  q ∉ Ii €  q ∉ Ii  q ∉ Ii  q = [q1,q2 ]  q ∉ Ii € q1 € •  Para calcular P e| s directamente, deberíamos integrar la i  q € 8 regiones mostradas en figura ( ∉ I i ). €Gaussiana €en todas las Ejemplo en 2 dimensiones •  Esto es di`cil porque no se puede expresar fácilmente la región fuera del rectángulo  I i en términos de desigualdades de las componente de q , como q 1 ≥ a,q 2 ≤ b..... Además hay que tener cuidado en no integrar 2 veces la misma zona! q2  q ∉ Ii € € €c  q ∉ Ii € € € € € € b  €q ∉ Ii € a  q ∉ Ii  q ∈ Ii  si €  q ∉ Ii €  q ∉ Ii  q ∉ Ii  q ∉ Ii d€ q1  q = [q1,q2 ] Ejemplo en 2 dimensiones •  Si por ejemplo integramos independientemente las variables en esta forma: para q1 ≥ d es decir a la “derecha”, “arriba”, “izquierda” , para q2 ≥ c para q2 ≤ b para q1 ≤ a “abajo”….y LUEGO SUMAR todos las valores hallados. q2 2 veces ! 2 veces ! €  q ∈ Ii  si c € € Integramos las esquinas 2 veces !!! (Luego hay que sumar todo….) b 2 veces ! € 2 veces ! € € a d q1 Ejemplo en 2 dimensiones •  Es más fácil hallar la probabilidad de acierto P a| s i y luego Pe| si = 1 − Pa| si q2 €  Tenemos que q ∈ I i si a ≤ q1 ≤ d b ≤ q2 ≤ c  q ∈ Ii €  si c € Al mismo /empo !! b € € € a d q1 Ejemplo en 2 dimensiones (caso 1) •  Asumimos siempre símbolos equiprobables (en rejilla) q2 d1 2  €€ € d2 2 d3 2 sh € € € € d2 2 € d3 2  sj d1 2 d4 2  si € s l  € q = [q1,q2 ]€ €  si = [si1,si2 ] € € d4 2  sk € Dentro del rectángulo decido i  s EN ESTE CASO CONVIENE CALCULAR LA PROBABILIDAD DE ACIERTO (Pa) Y LUEGO HACER 1-‐Pa q1 Ejemplo en 2 dimensiones (caso 1) •  Como sabemos hay independencia en los ruidos, y podemos trabajar en manera independientes en las dos direcciones p(q | si1 ) d2 2 sh1 € s Decido i1 d2 2 d4 2 si1 d4 2 sk1 € € € € € •  La probabilidad de acierto en este caso es € Pacierto|si1 € ⎛ d2 ⎞€ ⎛ d4 ⎞ ⎟⎟ − Q⎜⎜ ⎟⎟ = 1 − Q⎜⎜ ⎝ 2 N 0 /2 ⎠ ⎝ 2 N€0 /2 ⎠ q1 Ejemplo en 2 dimensiones (caso 1) •  Para la otra componente q2 d1 2 s j2 Decido d1 2 € €€ d3 2 € d3 2 si2 € sl 2 €€ •  La probabilidad de acierto en este caso es € ⎛ d ⎞ ⎛ d ⎞ 1 3 ⎟⎟ − Q⎜⎜ ⎟⎟ Pacierto|si 2 = 1 − Q⎜⎜ € ⎝ 2 N 0 /2 ⎠ ⎝ 2 N 0 /2 ⎠ si2 Probabilidad de acierto (caso 1) •  La probabilidad de acierto total será (por la independencia de las componentes) Pacierto| si = Pacierto|si 1 ⋅ Pacierto|si 2 = ⎛ ⎛ d ⎞ ⎛ d ⎞⎞ ⎛ ⎛ d ⎞ ⎛ d ⎞⎞ 2 4 1 3 ⎟⎟ − Q⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟⋅ ⎜⎜1 − Q⎜⎜ ⎟⎟ − Q⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟ = ⎜⎜1 − Q⎜⎜ ⎝ 2 N 0 /2 ⎠ ⎝ 2 N 0 /2 ⎠⎠ ⎝ ⎝ 2 N 0 /2 ⎠ ⎝ 2 N 0 /2 ⎠⎠ ⎝ € Probabilidad de error (caso 1)  •  La probabilidad de error habiendo transmi/do s i será Pe| s1 = 1 − Pacierto| si = Pe| s1 € ⎛ ⎛ ⎛ d ⎞ ⎛ d ⎞⎞ € ⎛ d ⎞ ⎛ d ⎞⎞ 2 4 1 3 ⎟⎟ − Q⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟⋅ ⎜⎜1 − Q⎜⎜ ⎟⎟ − Q⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟ = 1 − ⎜⎜1 − Q⎜⎜ ⎝ 2 N 0 /2 ⎠ ⎝ 2 N 0 /2 ⎠⎠ ⎝ ⎝ 2 N 0 /2 ⎠ ⎝ 2 N 0 /2 ⎠⎠ ⎝ Ejemplo en 2 dimensiones (caso 2) •  Se considere ahora el caso (en rejilla) q2 d3 2 € € d3 2  si d4 2 € s l  € q = [q1,q2 ]€ €  si = [si1,si2 ] € € d4 2  sk € Dentro del rectángulo decido i  s EN ESTE CASO CONVIENE CALCULAR LA PROBABILIDAD DE ACIERTO (Pa) Y LUEGO HACER 1-‐Pa q1 Ejemplo en 2 dimensiones (caso 2) •  Primera componente p(q | si1 ) s Decido i1 d4 2 d4 2 sk1 € si1 € € € •  La probabilidad de acierto en este caso es € Pacierto|si1 ⎛ €d ⎞ 4 ⎟⎟ = 1 − Q⎜⎜ ⎝ 2 N 0 /2 ⎠ € q1 Ejemplo en 2 dimensiones (caso 2) •  La otra componente q2 Decido € d3 2 d3 2 si2 € sl 2 €€ •  La probabilidad de acierto en este caso es € €P acierto|si 2 ⎛ d ⎞ 3 ⎟⎟ = 1 − Q⎜⎜ ⎝ 2 N 0 /2 ⎠ si2 Probabilidad de acierto (caso 2) •  La probabilidad de acierto total será (por la independencia de las componentes) Pacierto| si = Pacierto|si 1 ⋅ Pacierto|si 2 = ⎛ ⎛ d ⎞⎞ ⎛ ⎛ d ⎞⎞ 4 3 ⎟⎟⎟⎟⋅ ⎜⎜1 − Q⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟ = ⎜⎜1 − Q⎜⎜ ⎝ 2 N 0 /2 ⎠⎠ ⎝ ⎝ 2 N 0 /2 ⎠⎠ ⎝ € Probabilidad de error (caso 2)  •  La probabilidad de error habiendo transmi/do s i será Pe| s1 = 1 − Pacierto| si = Pe| s1 € ⎛ ⎛ ⎛ d ⎞⎞ € ⎛ d ⎞⎞ 4 3 ⎟⎟⎟⎟⋅ ⎜⎜1 − Q⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟ = 1 − ⎜⎜1 − Q⎜⎜ ⎝ 2 N 0 /2 ⎠⎠ ⎝ ⎝ 2 N 0 /2 ⎠⎠ ⎝ Ejemplo en 2 dimensiones (caso 3) •  Otro caso podría ser por, ejemplo q2 € d1 2 d1 2 d4 2 €€ €  sj d3 2 € d3 2  si € s l  € q = [q1,q2 ]€ €  si = [si1,si2 ] € € d4 2  sk € Dentro del rectángulo decido i  s EN ESTE CASO CONVIENE CALCULAR LA PROBABILIDAD DE ACIERTO (Pa) Y LUEGO HACER 1-‐Pa q1 Ejemplo en 2 dimensiones (caso 3) •  En este caso tenemos Pacierto|si1 ⎛ d ⎞ 4 ⎟⎟ = 1 − Q⎜⎜ ⎝ 2 N 0 /2 ⎠ Pacierto|si 2 € ⎛ d ⎞ ⎛ d ⎞ 1 3 ⎟⎟ − Q⎜⎜ ⎟⎟ = 1 − Q⎜⎜ ⎝ 2 N 0 /2 ⎠ ⎝ 2 N 0 /2 ⎠ •  La probabilidad de acierto total será € Pacierto| si = Pacierto|si 1 ⋅ Pacierto|si 2 = ⎛ ⎛ d ⎞⎞ ⎛ ⎛ d ⎞ ⎛ d ⎞⎞ 4 1 3 ⎟⎟⎟⎟⋅ ⎜⎜1 − Q⎜⎜ ⎟⎟ − Q⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟ = ⎜⎜1 − Q⎜⎜ ⎝ 2 N 0 /2 ⎠⎠ ⎝ ⎝ 2 N 0 /2 ⎠ ⎝ 2 N 0 /2 ⎠⎠ ⎝ Probabilidad de error (caso 3)  •  La probabilidad de error habiendo transmi/do s i será Pe| s1 = 1 − Pacierto| si = Pe| s1 € ⎛ ⎛ d ⎞⎞ ⎛ ⎛ € d ⎞ ⎛ d ⎞⎞ 4 1 3 ⎟⎟⎟⎟⋅ ⎜⎜1 − Q⎜⎜ ⎟⎟ − Q⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟ = 1 − ⎜⎜1 − Q⎜⎜ ⎝ 2 N 0 /2 ⎠⎠ ⎝ ⎝ 2 N 0 /2 ⎠ ⎝ 2 N 0 /2 ⎠⎠ ⎝ Cota de la unión •  Consideremos solo dos símbolos en 2 dimensiones. •  Hemos visto (en otros apuntes) que realmente se puede considerar como un caso unidimensional. q2 En estas figuras   p( s2 ) > p( s1 )  s1 € €  s2 € €  s1  s2 € q1 € q2 € q1 € € Cota de la unión •  Así que por ejemplo Pe| s1 ⎛ d1 ⎞ = Q⎜ ⎟ = Pe| s1 cons2 ⎝ σ ⎠ Pe| s2 q2 En esta figura  p( s2 ) > p(€s1 ) € €  s1   d1 + d2 = d( s1, s2 ) d1 d2 € ⎛ d2 ⎞ = Q⎜ ⎟ = Pe| s2 cons1 ⎝ σ ⎠  s2 € € € q1 € € € Cota de la unión •  Si tengo otro símbolo, podemos razonar por parejas hallando Pe| s1 cons2 ⎛ d1 ⎞ = Q⎜ ⎟ ⎝ σ ⎠ P ⎛ d3 ⎞ = Q⎜ ⎟ ⎝ σ ⎠ €   e| s1 cons3 € Pe| s2 cons1 ⎛ d2 ⎞ = Q⎜ ⎟ ⎝ σ ⎠ Pe| s3 cons1 ⎛ d4 ⎞ = Q⎜ ⎟ ⎝ σ ⎠ P ⎛ d6 ⎞ = Q⎜ ⎟ ⎝ σ ⎠ € P ⎛ d5 ⎞ = Q⎜ ⎟ ⎝ σ ⎠   e| s2 cons3 q2 € €  €s3 d3  €s1 € d5 € € €  s2 d6 € € € d1 d2 d4   e| s3 cons2 € € q1 Cota de la unión •  Hay que recordar que estamos integrando Gaussianas en semiplanos, y que en ciertos casos estamos integrando 2 VECES la misma región (teniendo en cuenta todos los símbolos en parejas). •  Por esto, sumar todas las Pe calculadas antes nos da una cota superior. q2 Pe| s1 cons2 € ⎛ d1 ⎞ = Q⎜ ⎟ €⎝ σ ⎠  s1  s2 € q1 € Cota de la unión •  Además podemos seguramente escribir Pe| s1 ≤ Pe| s1 cons2 + Pe| s1 cons3 Pe| s2 ≤ Pe| s2 cons1 + Pe| s2 cons3 Pe| s3 ≤ Pe| s3 cons1 + Pe| s3 cons2 ⎛ d1 ⎞ ⎛ d3 ⎞ = Q⎜ ⎟ + Q⎜ ⎟ ⎝ σ ⎠ ⎝ σ ⎠ ⎛ d2 ⎞ ⎛ d6 ⎞ = Q⎜ ⎟ + Q⎜ ⎟ ⎝ σ ⎠ ⎝ σ ⎠ ⎛ d4 ⎞ ⎛ d5 ⎞ = Q⎜ ⎟ + Q⎜ ⎟ ⎝ σ ⎠ ⎝ σ ⎠ q2  €s3 d3 d4 € d5 € € € € d1 d2  s2 d6 € € €  s1 q1 € € € Cota de la unión •  y finalmente llegamos a la cota de la unión    Pe = p( s1 )Pe| s1 + p( s2 )Pe| s2 + p( s3 )Pe| s3 ⎛ d3 ⎞⎤ ⎛ d6 ⎞ ⎤ ⎛ d5 ⎞⎤  ⎡ ⎛ d1 ⎞  ⎡ ⎛ d2 ⎞  ⎡ ⎛ d4 ⎞ Pe ≤ p( s1 ) ⎢Q⎜ ⎟ + Q⎜ ⎟⎥ + p( s2 ) ⎢Q⎜ ⎟ + Q⎜ ⎟ ⎥ + p( s3 ) ⎢Q⎜ ⎟ + Q⎜ ⎟⎥ ⎝ σ ⎠⎦ ⎝ σ ⎠ ⎦ ⎝ σ ⎠⎦ ⎣ ⎝ σ ⎠ ⎣ ⎝ σ ⎠ ⎣ ⎝ σ ⎠ q2 €  €s3 d3  s1 d2 d4 € d5 € € €  s2 d6 € € € d1 q1 € € €

Probabilidad de error - Luca Martino Home Page

Documentos relacionados

Productos

Apoyo

Probabilidad de error - Luca Martino Home Page

Documentos relacionados

Añadir este documento a la recogida (s)

Añadir a este documento guardado

Sugiéranos cómo mejorar StudyLib