conjunto es una colección bien definida de objetos de cualquier clase.

COMPETENCIAS Al terminar esta unidad, el estudiante estará en capacidad de: ­ Comprender y aplicar con suficiencia, las nociones, conceptos, definiciones, axiomas y leyes que fundamentan la teoría de conjuntos, en el estudio y análisis de las fuentes documentales, referenciadas para dinamizar el proceso de aprendizaje y en situaciones específicas, donde es pertinente su aplicabilidad. TEORÍA DE CONJUNTOS. La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas; se considera como padre de la teoría de conjuntos, al matemático George Ferdinand Cantor. La teoría de conjuntos, dentro de la lógica, es fundamental, ya que permite desarrollar la simbolización y representación de las proposiciones y sus respectivas funciones de manera grafica. 1. CONCEPTO Y PROPÓSITO DE LOS CONJUNTOS. Un conjunto es una colección de objetos que tienen algo en común; acada objeto de un conjunto, se le denomina elemento. La teoría de conjuntos, es uno de los fundamentos de la matemática y de los procesos del ser humano. Para este caso, de los términos y principios de la teoría de los conjuntos, se utilizarán para construir proposiciones matemáticas, de manera más clara y precisa. En síntesis, un conjunto es una colección bien definida de objetos de cualquier clase. 1.1. DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO Los conjuntos se pueden determinar de dos formas: 1.1.1 Por Extensión ó Forma Tabular: Un conjunto se determina por extensión, o sea por enumeración, cuando se listan los elementos del conjunto. Ejemplo 1 A = {a, e, i, o, u} B = {0, 2, 4, 6, 8} C = {c, o, n, j, u, t, s} En un conjunto determinado por extensión no se repite un mismo elemento. 1.1.2. Por comprensión o Forma Constructiva Un conjunto se determina por comprensión, cuando se da una propiedad, que la cumplan todos los elementos del conjunto. Ejemplo 2 (Tomado de Curso Lógica matemática http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/ Lic. Alberto Jaramillo Atehortúa) A = {x/x es una vocal} B = {x/x es un número par menor que 10} C = {x/x es una letra de la palabra conjuntos}
Observe el siguiente cuadro comparativo de determinación de conjuntos: Por Extensión A = { a, e, i, o, u } B = { 0, 2, 4, 6, 8 } C = { c, o, n, j, u, t, s } D = { 1, 3, 5, 7, 9 } E = { b, c, d, f, g, h, j, . . . } Por comprensión A = { x/x es una vocal } B = { x/x es un número par menor que 10 } C = { x/x es una letra de la palabra conjuntos } D = { x/x es un número impar menor que 10 } E = { x/x es una consonante } 2. TIPOS DE CONJUNTOS 2.1. CLASES DE CONJUNTOS Conjunto Finito: Es aquel conjunto que tiene un número de elementos distintos y determinado. Cuando no se puede llegar al final en el conteo de los elementos, el conjunto es infinito. Ejemplo 3 (Tomado de Curso Lógica matemática http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/ Lic. Alberto Jaramillo Atehortúa) N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...} Conjunto infinito P = {x / x es una ciudad de Colombia} Conjunto finito V = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ... } Conjunto infinito Conjuntos Iguales: Dos o más conjuntos son iguales, cuando tienen los mismos elementos, tanto en número como en tipo. La igualdad se denota A = B. En la igualdad, el orden de los elementos de cada conjunto no importa. Ejemplo 4 A = {3, 9,17, 22} y B = {22, 9, 3, 17} A = B X = {Consonantes de la palabra MERCURIO} y Y = {M, R, C} X= Y Conjunto Vacío: Conjunto vacío o nulo, es aquel que no tiene?????. Se denota por el símbolo ø o {}. Ejemplo 5 A = { Los caimanes que vuelan } B = { x / x es un mes que tiene 53 días} C = { x / x 3 = 8 y x es impar } D = { x / x es un día de 90 horas } A = { } B = { } C = { } D = { } A = Ø B = Ø C = Ø D = Ø
Conjunto Unitario: Es el conjunto que solo tiene un elemento. Ejemplo 6(Tomado de Curso Lógica matemática http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/ Lic. Alberto Jaramillo Atehortúa) A = {5} B = {números pares entre 16 y 20} = {1 8 } C = {la capital del Perú} = {Lima} Conjunto Universal: Es el conjunto que contiene a todos los elementos del espacio muestral existente. Se denota por la letra U. Ejemplo 7 (Tomado de Curso Lógica matemática http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/ Lic. Alberto Jaramillo Atehortúa) Sean los conjuntos: A = {Aves], P = {Peces}, M = {Mamíferos}, D= [Reptiles]. Existe un conjunto que incluye a los conjuntos A, P, M y D. Y este es el conjunto U = {animales}, o conjunto universal. Gráficamente se representa por un rectángulo tal como se observa a continuación A P M D
U Conjunto Potencia: Todos los subconjuntos de un conjunto M, se llaman conjunto potencia de M, y se denota como 2 M . Ejemplo 8 (Tomado de Curso Lógica matemática http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/ Lic. Alberto Jaramillo Atehortúa) a) M = { 1, 2 } 2 M = { {1}, {2}, {1, 2}, ø} El conjunto M tiene 2 elementos entonces 2 2 = 4 elementos Si un conjunto M es finito con "n" elementos, entonces su conjunto potencia 2 M tendrá 2 n elementos. Conjuntos Disyuntos: Cuando dos o más conjuntos no tienen ningún elemento en común, entonces son disyuntos. Ejemplo 9 (Tomado de Curso Lógica matemática http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/ Lic. Alberto Jaramillo Atehortúa) Conjuntos disyuntos Conjuntos no disyuntos A = { 2, 4, 6 } B = { 1, 3, 5 } A y B son disyuntos. M = { o, p, q, r, s } N = { s, t, v, u } M y N no son disyuntos. 2.2. DIAGRAMAS DE VENN Son la forma diseñada para representar gráficamente las proposiciones; su autor fue el matemático Leonhard Euler, pero quien los utilizo y dio a conocer fue Jhon Venn. Los diagramas de Veen se emplean para representar las proposiciones y sus operaciones en forma de conjuntos; éstos constituyen una poderosa herramienta geométrica. A continuación se analiza la representación grafica de las relaciones entre proposiciones, veamos los siguientes ejemplos que servirán para ilustrar dichas relaciones: P: Estudiantes que aprueban el curso de lógica matemática Q: Estudiantes que aprueban el primer semestre académico U: El conjunto universal que representa a los estudiantes de primer semestre de la Universidad. Las posibles relaciones entre estas proposiciones son de cuatro formas: Forma 1: Ningún estudiante que apruebe el curso de lógica matemática, aprueba el semestre: P Q
U Forma 2: Algunos estudiantes que aprueben el curso de lógica matemática, aprueban el semestre: P Q U Forma 3: Todos los estudiantes que aprueben el curso de lógica matemática, aprueban el semestre: P Q U Forma 4: Todos los estudiantes que aprueben el semestre, aprueban el curso de lógica matemática, siendo esté el reciproco de la forma 3: P
Q U 2.3. REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LOS CONECTIVOS LÓGICOS MEDIANTE DIAGRAMAS DE VENN 1. Negación: P = ¬ P P P U U P ¬ P 2. Disyunción (y): P v Q P P
Q P Q U Q U U Con Exclusión Con Intersección Con Inclusión 3. Conjunción (o): P ^ Q Q P
Q P Q U P U U Con Exclusión Con Intersección Con Inclusión 4. Condicional (Si… entonces): P → Q P
P P Q Q U Con Exclusión Con Intersección 5. Bicondicional (Si y solo si): P ↔ Q Q U U Con Inclusión P P Q P U Q Q U U Con Exclusión Con Intersección Con Inclusión 3. OPERACIONES Y FUNCIONES. 3.1. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS. Unión de Conjuntos: La unión entre conjuntos da como resultado otro conjunto, formado por todos los elementos que pertenecen a cada conjunto que participa en la unión. Se denota A U B. Se define como: A U B = {x / x Î A o x Î B} Y se grafica de la siguiente manera: B A B A B U Sin elementos comunes A U Con elementos comunes U Todos elementos de A Î B Ejemplo 10 Dados los conjuntos: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {0, 2, 4} y C = {5, 6, 8}, efectuar y construir los diagramas respectivos: 1. AUB 2. B U C 3. A U C Resolviendo tendríamos: A C 0 1 2 3
4 5 1. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 5, 6, 8 } A U C = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 } 6 8 U B 2. B = {0, 2, 4} y C = {5, 6, 8} B U C = {0, 2, 4, 5, 6, 8} C 0 2 4
5 6 8 U A 1 3. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} y B = {0, 2, 4} A U B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} 0 2 4 3 B 5 U Intersección de Conjuntos: La intersección entre conjuntos da como resultado otro conjunto de elementos que son comunes a los conjuntos intersectados. Se denota: A ∩ B, se define: A ∩ B = {x / x Î A y x Î B} Y su representación gráfica, mediante diagrama de Venn, es: B A B A U Con elementos comunes B A U Sin elementos comunes U Todos elementos de A Î B Ejemplo 11 Dados los conjuntos: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 5, 7} y C = {2, 4}, efectuar y construir los diagramas respectivos: 1. A ∩ C 2. B ∩ C 1. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} y C = {2, 4} 3. A ∩ B A A ∩ C = {2,4} 0 1 C 2 4 3 5 2. B = {3, 5, 7} y C = {2, 4} B ∩ C = { } B U C
3 2 5 4 7 U 3. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} y B = {3, 5, 7} A∩B = {3,5} A B 0 3 U 7 1 2
5 4 Diferencia de conjuntos: La diferencia entre conjuntos, da como resultado otro, formado por todos los elementos del conjunto A, que no pertenecen al conjunto B. Se denota: A ­ B y se lee: A diferencia B o A menos B. Se define como: A ­ B = {x / x ÎA y x ÏB} La representación gráfica, mediante diagramas de Venn, queda: A B A B U Sin elementos comunes A B U Con elementos comunes U Todos elementos de A Î B Ejemplo 12 Dados los conjuntos: A = {a, b, c, d, e}, B = {a, e} y C = {d, f, g}, efectuar y construir los diagramas respectivos: A 1. A – C 2. B – C C a f 3. A – B b c
d g 1. A = {a, b, c, d, e} y C = {d, f, g} e A ­ C = {a, b, c, e} U B d C a f e g 2. B = {a, e} y C = {d, f, g} B ­ C = {a, e} A 3. A = {a, b, c, d, e} y B = {a, e} U b A ­ B = {b, c, d} c d a B e U
Complemento de un Conjunto: Cuando un conjunto determinado, es subconjunto de otro conjunto, el cual corresponde al conjunto Universal U. El conjunto conformado por todos los elementos que están en el conjunto universal, pero que no están en el conjunto determinado, se denomina complemento. Se denota como A'. Y se define como: A' = {x/x Î U y x Ï A} Ejemplo 13 r m A Dados los conjuntos: 1. U = {m, a, r, t, e} y A = {t, e} t e a A' = {m, a, r} U r e A i a 2. U = {a, r, i, t, m, e, c} y B = {i, a} B' = {r, t, m, e, c} c 3. 2. FUNCIONES DE CONJUNTOS. 3.2.1. Propiedades de las operaciones entre conjuntos 3.2.1.1. Propiedades relacionadas con la Intersección y Unión. 1.1. Leyes de Idempotencia a. A U A = A b. A ∩ A = A 1.2. Leyes Asociativas a. (A U B) U C = A U (B U C) b. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) 1.3. Leyes Conmutativas a. A U B = B U A b. A ∩ B = B ∩ A 1.4. Leyes Distributivas a. A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) b. A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U ( A ∩ C) 2.1.2. Propiedades relacionadas con conjuntos universal y vacío: 2.1. Leyes de identidad a. A U Un = Un A ∩ Un = A b. A U Ф = A A ∩ Ф = Ф 2.1.3. Propiedades relacionas con el complemento 3.1. Leyes del complemento a. A U A´ = Un A ∩ A´ = Ф b. (A´)´= A Un´ = Ф Ф´= Un 3.2 . Leyes de D´Morgan a. ( A U B) ´ = A´ ∩ B´ m t U
b. (A ∩ B) ´ = A´ U B´ 3.2.2. Algebra de Conjuntos El algebra de conjuntos es la forma o el lenguaje, con el que se puede traducir e interpretar la teoría de conjuntos, al lenguaje de la lógica matemática. Para hacer dicha interpretación, se debe tomar de la siguiente manera, la teoría de conjuntos. P: Ser un elemento de un conjunto A Q: Ser un elemento de un conjunto B TABLA DE EQUIVALENCIA DE LAS OPERACIONES DE TEORIA DE CONJUNTOS CON LA LOGICA Conjuntos La Unión A U B La Intersección A ∩ B El complemento de A´ El contenido A B La diferencia A – B Lógica quedaría P v Q quedaría P ^ Q quedaría ¬ P quedaría P → Q quedaría P ^ (¬ Q) Lectura Y se lee: Ser de A o de B Y se lee: Ser de A y de B Y se lee: No ser de A Y se lee: Si es de A entonces es de B Y se lee: Ser de A y no ser de B Teniendo la interpretación de la teoría de conjuntos podemos también hacer la traducción de las leyes. Veamos las leyes de D´Morgan traducidas: Operación Unión Intersección Diferencia Diferencia Simetrica Símbolo U ∩ ­ Å Definición Simbólica A U B = { x/x Î A v x Є B} A ∩ B = { x/x Î A ^ x Ï B} A – B = {x/s Î A ^ x Ï B} A Å B = {x/x Î A Å x Î B} 4. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS. Son relaciones binarias especiales que formalizan el concepto de ordenar. Cuando se tiene el conjunto A y una relación binaria ≤ en A, entonces, la relación binaria ≤ en A es un orden parcial, si cumple con las condiciones de ser reflexiva, antisimétrica, y transitiva. O sea que para todo a, b y c en A, se tiene que: a ≤ a (reflexibidad) si a ≤ b y b ≤ c entonces a ≤ c (transitividad) si a ≤ b y b ≤ a entonces a = b, (antisimetría). Al comprobar esta propiedad, se puede ver que, las conocidos órdenes de los números naturales, enteros, racionales y reales, son todas órdenes parciales.
Ejemplo 14 (Tomado de Curso Lógica matemática http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/ Lic. Alberto Jaramillo Atehortúa) Cuando se habla de matemáticas, el orden es un concepto que parece casi en todo momento, y de esta manera, es que se relaciona con la lógica. Veamos: a. El conjunto de los números naturales son un orden ≤. También, los conjuntos de los números enteros y los reales, son de orden ≤; la razón es que cada elemento de estos conjuntos, puede ser mayor o menor que otro elemento, dentro del conjunto. b. Otro ejemplo popular de un orden, es el orden lexicográfico del conjunto de las palabras en un diccionario. O sea, el orden alfabético. Estos conjuntos, tienen una propiedad especial: cada elemento se puede comparar con cualquier otro elemento; es decir, es o mayor, o menor, o igual; es de anotar que, a veces,é no es requisito deseable. Debido al amplio uso y aplicación de las órdenes, existen varias clases de conjuntos ordenados; veamos algunos ejemplos: 4.1. ELEMENTOS ESPECIALES DENTRO DE UN ORDEN Uno de los elementos especiales de los conjuntos parcialmente ordenados, es el elemento mínimo. Un ejemplo es el 0 en los números naturales y el conjunto vacío en los subconjuntos de un conjunto, y se denota como: 0 ≤ a, para todo elemento a del conjunto ordenado. Otro ejemplo del elemento mínimo es el 1, para el conjunto formado por la divisibilidad de a/b, ya que éste es el elemento que puede dividir a todos los demás. Todos los subconjuntos de un conjunto, parcialmente ordenado, heredan el orden. Hay también elementos de un orden que son especiales, con respecto a cierto subconjunto del orden. Ejemplo 15 (Tomado de Curso Lógica matemática http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/ Lic. Alberto Jaramillo Atehortúa) a. ­5 es un elemento mínimo de los números naturales como subconjunto de los enteros. b. Si se tiene un conjunto de conjuntos, su elemento máximo se da por la Unión de estos conjuntos c. Si se considera la relación de divisibilidad en los números naturales, el elemento mínimo de dos números es el menor número, que es divisible por ambos; o sea, el mínimo común múltiplo; y el elemento máximo es el máximo común divisor.
4.2. RELACIÓN ENTRE LA TEORÍA DE CONJUNTOS Y LA LÓGICA PROPOSICIONAL Como en párrafos anteriores se dijo, existe una relación muy estrecha entre la teoría de conjuntos y la lógica matemática. Pero a su vez, existe diferencia, y esta radica en que, mientras en la teoría de conjuntos las letras, identifican conjuntos en la lógica matemática, las letras identifican proposiciones, las cuales se traducen en las propiedades de los conjuntos. Veamos la siguiente tabla para que identificar las relaciones: Teoría de Conjuntos A B A = B A B A B A' Lógica Proposicional P → Q P ↔ Q P v Q P Q ¬ P Nombre Condicional Bicondicional Disyunción Conjunción Negación El conjunto vacío corresponde a una contradicción; el conjunto universal corresponde a una tautología. Con esta tabla podemos interpretar todos los resultados sobre conjuntos, en términos de lógica matemática y viceversa; veamos los siguientes ejemplos: Ejemplo 16 TEORIA DE CONJUNTOS LOGICA MATEMATICA A U ( B ∩ C ) = ( A U B ) ∩ ( A U C ) A v (B ^ C) ↔ (A v B) ^ (A v C) A U (A ∩ B) = A A v (A ^ B) ↔ A
4.3. LOS CUANTIFICADORES Existen dos clases de cuantificadores. El universal que se representa y el cuantificador existencial representado por (); éstos se utilizan en la lógica para enunciar proposiciones. Si se tiene un conjunto A y una proposición P(x), el cuantificador universal está dado por la expresión x A → P(x), y se lee "Para todo x que pertenece a A se verifica P(x)"; y representa la proposición {x A: P(x)} = A Y el cuantificador existencial está dado por la expresión x A | P(x). Se lee "existe x que pertenece a A tal que P(x)", y representa la proposición {x A : P(x) } Estas dos proporciones, las se pueden negar; para ello, se niega la proposición P(x) y se cambia el cuantificador universal por el cuantificador existencial, o viceversa. Veamos: 1. x A → P(x) es x A | P(x)' 2. x A | P(x)" es x A → P(x)' 4.4. CÍRCULOS DE EULER Anteriormente se vieron los denominados diagramas de Venn; pues éstos son los mismos círculos de Euler. Su utilidad es ilustrar o graficar las relaciones entre proposiciones, mediante círculos o regiones ovaladas; su creador inicial fue Leonhard Euler, posteriormente se les ajusto denominándoseles Diagramas de Venn, gracias a Jhon Venn. Recuerde brevemente, con un ejemplo, su aplicabilidad e importancia, dentro de la lógica matemática: Ejemplo 17 Si se tienen las siguientes proposiciones: P: Alumnos que aprueban lógica matemática Q: Alumnos que aprueban el semestre académico U: Conjunto universal Alumnos de 1er. Semestre Fesad Probabilidad 1. Ningún alumno que aprueba matemática, aprueba el semestre P Q U Probabilidad 2: Algunos alumnos que aprueban lógica, aprueban el semestre U Q P Probabilidad 3: Todos los alumnos que aprueban lógica, aprueban el semestre P Q U
Pr obabilidad 4: Todos los alumnos que aprueban el semestre, aprueban Lógica Q P U 5. ORDENES LINEALES. Para comprender el concepto de orden lineal, es necesario que primero analice el concepto de isomorfismo simple, entre conjuntos o biyección. La biyección en teoría de conjuntos, es una operación que permite hacer corresponder un elemento de un conjunto, con un sólo elemento de otro conjunto. Y se representa a través de un teorema, el concepto en si es que Para cada n finito, hay esencialmente un sólo orden lineal con n elementos, veámosle teorema: “ Teorema: Dos órdenes lineales finitas son isomorfos, si y sólo si, sus conjuntos base tienen el mismo número de elementos. La prueba de necesidad, cuya dirección es se hace por inducción en n, el número de elementos de los conjuntos base” 1 . 1 Definición tomada del Libro Lógica Matemática, Editorial Unad. 2001. Pág. 59. Nubia J. Galindo En resumen, dos conjuntos son isomorfos cuando la correspondencia es biunívoca 2 entre dos estructuras que conserva las operaciones; y esta característic,a es la que da lugar al orden lineal entre conjuntos. 2 A cada elemento de un conjunto le corresponde uno de otro conjunto