FUNCIÓN EXPONENCIAL

1
UNIDAD EDUCATIVA
INSTITUTO “CECILIO ACOSTA”
MATEMÁTICA
1º de Cs.
FUNCIÓN EXPONENCIAL
La función exponencial es una función Real de variable Real definida por: f (
x)
 a x , en donde la
base “a” es un número real positivo (   ) y el exponente “x” un número real (  ), es decir,
f :    / f (
f(
x)
 a x en donde "a"   ( diferentede la unidad)  x 
x)
1.- Representar gráficamente la función exponencial en el Plano Cartesiano:
 2x para " x" - 3 , 3  .
Si x  - 3  2
- 3

1
8
Si x  1  2 1  2
Si x  - 2  2
- 2

1
4
Si x  2  2 2  4
Si x  - 1  2
-1

1
2
Si x  3  2
Si x  0  2
0
3
 8
 1
Y
0
X
2
2.- Representar gráficamente la función exponencial en el Plano Cartesiano:
f(
x)



x
1 
 para " x" - 3 , 3 .
2 

Si x  - 3  

1 

2 

Si x  - 2  

1 

2 

Si x  - 1  

1 

2 

Si x  0  

2 

2 
-3
 8

Si x  1  

1 1
 
2 
- 2
 4

Si x  2  

1 

2 
-1
 2

Si x  3  

1 

2 
 1
Y
0

2
0
X
1
2
3

1
4
1
8
3
PROPIDADES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL CUANDO a > 1
De la primera representación gráfica (cuando la base “a” > 1 ), podemos obtener las siguientes
propiedades:
1.- Si x = 0, la curva de la función exponencial f (
x)
 2 x , es igual a la unidad; por lo tanto pasa
5.- La función exponencial f ( x )  2 x , es inyectiva; ya que para cada par de elementos distintos del
conjunto de partida, le corresponden imágenes diferentes en el conjunto de llegada.
por el punto ( 0 , 1 ), ya que: 2 0  1 .
2.- Si x = 1, la cuerva de la función exponencial f (
x)
 2x , es igual a la base dos ( 2 ), por ende
pasa por el punto ( 1 , 2 ), ya que: 21  2 .
3.- Si los valores del exponente “x” son mayores que la unidad (x > 1), la curva de la función
exponencial f ( x )  2 x , es estrictamente creciente.
4.- Si el exponente “x” toma valores menores que la unidad ( x < 1 ), la curva de dicha función
exponencial es estrictamente decreciente.
5.- La función exponencial f ( x )  2 x , es inyectiva; ya que para cada par de elementos distintos del
conjunto de partida, le corresponden imágenes diferentes en el conjunto de llegad
6.- La función exponencial f (
son iguales.
x)
 2 x , es sobreyectiva, porque el Rango y el conjunto de llegada
f ( x )  2 x , es el conjunto de los números reales (
 ), porque está definida para todo los números reales.
7.- El Dominio de la función exponencial
8.- El Rango de la función f (
x)
 2 x , es el conjunto de los números reales positivos sin el cero
( *  ); ya que la curva se ubica en el semi-plano superior con respecto al eje de las abscisas ( X ).
9.- La función exponencial f ( x )  2 x , es biyectiva; ya que es inyectiva y sobreyectiva a la vez, por
tanto, dicha función posee una función inversa llamada función logarítmica
PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL CUANDO a < 1
De la segunda representación gráfica de la función exponencial, se obtienen las siguientes
propiedades:
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1.- Si x = 0, la curva de la función exponencial f (
x)



x
1 
 , es igual a la unidad; por tanto
2 
0
 1 
pasa por el punto de coordenadas ( 0 , 1 ), ya que: 
  1.
 2 
2.- S x = 1, la curva de la función exponencial f (
x)



1
1
1 
, por tanto
 , es igual a la base
2
2 
1 


dicha curva pasa por el punto de coordenadas  0 ,
; ya que: 
2 


1
1 
1
.
 
2 
2
3.- Cuando el exponente “x” tomas valores mayores que la unidad ( x > 1 ), la curva de la función
exponencial: f (
x)



x
1 
 , la curva de dicha función exponencial es estrictamente decreciente.
2 
4.- Para valores del exponente “x” positivos pero menores que la unidad ( 0 < x < 1 ), la curva de
la función exponencial f (
x)



x
1 
 , la curva es estrictamente creciente.
2 
x
 1 
 , es una función inyectiva; ya que para cada par de
x)  
 2 
elementos diferentes del conjunto de partida poseen imágenes distintas en el conjunto de llegada.
5.- La función exponencial f (
6.- La función exponencial f (
x)



x
1 
 , es una función sobreyectiva; ya que el Rango y el
2 
conjunto de llegada son iguales.
x
 1 
7.- El Dominio de la función exponencial f ( x )  
 , es conjunto de los números reales (
 2 
 )., ya que está definida para cualesquier valor de la variable independiente “x”.
8.- El Rango de la función exponencial f (



x)
x
1 
 , es el conjunto de los números reales
2 
positivos sin el cero ( * ),
x
 1 
9.- La función exponencial f ( x )  
 , es biyectiva, por se inyectiva y también sobreyectiva.
 2 
Por tanto dicha función posee una función inversa que recibe el nombre de función logarítmica.
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PROPIEDADES COMUNES DE SRGÚN AMBAS REPRESENTACIONES
GRÁFICAS DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
ECUACIONES EXPONENCIALES
Las ecuaciones exponenciales son aquellas ecuaciones cuya incógnita es un exponente.
Para resolver una ecuación exponencial se pueden aplicar las LEYES O PROPIEDADES DE
LA POTENCIACIÓN CON LA MISMA BASE.
Resolver una ecuación exponencial consiste en calcular el valor de la incógnita que al sustituirla
en la ecuación dada, la transforma en una igualdad numérica.
Existen tres tipos de ecuaciones exponenciales:
a) Ecuaciones exponenciales binómicas ( dos términos ) los cuales pueden estar ubicados a ambos
lados de la igualdad o en uno sólo de los miembros de la ecuación
Se resuelven mediante la aplicación de las LEYES O PROPIEDADES DE LA
POTENCIACIÓN CON LA MISMA BASE.
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b) Ecuaciones exponenciales binómicos (dos términos) los cuales no pueden ser expresados como
potencias de la misma base. Al igual que las anteriores, sus términos pueden estar a ambos
lados o de un mismo lado de la ecuación.
Estas ecuaciones se resuelven aplicando las PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS LAS
CUALES SE ESTUDIARÁN más tarde.
c) Ecuaciones trinomias ( tres términos ) cuyos términos exponenciales pueden expresarse como
potencias de la misma base.
Estas ecuaciones trinomias se efectúan mediante un cambio de variable para así transformarlas
en una ecuación de segundo grado para luego aplicar LA RESOLVENTE.
EJEMPLOS:
Resolver cada una de las siguientes ecuaciones exponenciales:
1.- 103 x1  100
2.- 4 4 x - 2  256
7
3.- 5 3 x
- 12
4.- 4 x
 1
5.- 3 x
 3
 1
 83x

1
81
- 2
8
6.-
7.-
3
5x
x
8.- 5 x
34
 3

4
625
 3x

3
25 x
- 4
9
9.- 17 . 3 x
 7
 12377
10.- 7 . 2 x
- 3
 224
11.- 3125. 2 x
 4
 5x
 2
. 320
10
12.- 3
x2 - 2 x - 5
13.- 7 x
14.- 5
2
 5x  6
x - 1
2
 27
1
 125  0
11
15.- 5 x  5 x  1  5 x
16.- 2 x
17.- 2 x
 1
 1
 2
x  2
 2x
- 1
 2
 2
 2x
 155
x  3
- 2
 1 792
 2x
- 3
 46
12
18.- 4 x  2 x  272  0
19.- 9 x
 1
20.- 3 x 
 28. 3 x  3  0
9x
3
 36
13
21.- 3 x  3 6
22.- 3 2 x
- 3
- x
 90
 4. 3 x
- 2
 -1
14
2

23.- 
3 2 x

x  y
2 3 x

24.- 
3 4 x

- 3y
 16
 27
 2y
 1024
 y
 59049
15
2 3 x

25.- 
3 4 x

 2 3x

26.- 
 34x

26.-
 2y
 1024
 y
 59049
 2y
 1024

 59049
y
16