INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES QUINTO SEMESTRE MATEMÁTICAS V (ACM-0407) Subtema 5.1 FUNCIONES ORTOGONALES 5.1 Funciones ortogonales. INTRODUCCION. Los polinomios de Legendre y las funciones de Bessel están dentro de un grupo de funciones que satisfacen una propiedad que se llama ortogonalidad y que es de una importancia fundamental en las matemáticas de ingeniería. DEFINICION: Ahora definiremos el concepto de ortogonalidad de funciones. Sean (x) y (x) dos funciones reales que están definidas en un intervalo a ≤ x ≤ b, de tal manera que la integral de el producto (x) (x) existe en el intervalo. Denotaremos esta integral por ( , ). Entonces: (1) Se dice que las funciones y son ortogonales en el intervalo a ≤ x ≤ b si Relaciones de Ortogonalidad Existen muchos tipos de series de Fourier. Las mas sencillas son las Series de Fourier Trigonométricas. Un ejemplo es la serie de Fourier del seno Se vera que las series de Fourier tienen interpretaciones físicas importantes en las aplicaciones. Sin embargo, las series de Fourier están basadas en un tipo distinto de teoría a las familiares series de potencias. De manera equivalente, una función diferenciable f(x) es una función tal que en cualquier intervalo finito se puede dividir en un número de partes, cada una de las cuales es continua y tiene derivada continua. Además, las únicas discontinuidades de F8x) y f’(x) son discontinuidades de salto. Ejemplo Funciones Ortogonales Las dos funciones f(x) = x y g(x) = x2 son ortogonales en el intervalo [-1,1] puesto que Sistemas de funciones ortogonales trabajamos con funciones: (a veces: o ) podemos escribir una función funciones siendo como combinación lineal de una colección de tomado de un conjunto de índices finito o infinito p.ej.: series de Fourier Por qué? a lo mejor se puede encontrar para un problema fácilmente soluciones para las funciones y con esas soluciones se puede derivar una solucion para p.ej.: filtro lineales, si se sabe la respuesta del filtro para los , se puede derivar su compartamiento para a lo mejor ciertas características de la función mejor entre los coeficientes se puede observar (y aprovechar de ello) p.ej.: o Qué frecuencias están ``dentro'' de una señal acustica? o Tiene una imagen cierta textura? o Tiene o ... discontinuidades? otras preguntas parecen interesante: Cuáles de las posibles funciones Son los coeficientes únicos? Cómo se calcula los (dados los se puede representar de tal forma? y )? 5.1 FUNCIONES ORTOGONALES • Producto interno • Funciones ortogonales • Conjunto ortogonal • Nora • Norma cuadrada • Conjunto ortonormal • Ortogonalidad con respecto a una función peso • Serie de Fourier generalizada En matemáticas superiores se considera que una función es la generalización de un vector. En esta sección veremos cómo los dos conceptos vectoriales de producto interno (punto) y ortogonalidad se pueden ampliar para abarcar las funciones. Supongamos que u y v son vectores en el espacio tridimensional. El producto interno (u, v) de los vectores, que también se escribe u · v, posee las propiedades siguientes: i) (u, v) = (v, u) ii) (ku, v) = k(u, v), donde k es un escalar iii) (u, u)= 0, si u= 0,y (u,u)>0 si u ≠ 0 iv) (u + v, w) = (u, w) + (v, w). Esperamos que una generalización del concepto de producto interno debe tener las mismas propiedades. Producto interno Supongamos ahora que ƒ 1 y ƒ 2 son funciones definidas en un intervalo [a, b].* Como una integral del producto ƒ1(x) ƒ2(x) definida en el intervalo también posee las propiedades i) a iv), siempre y cuando existan las integrales, podemos enunciar la siguiente definición: DEFINICIÓN 5.1 Producto interno El producto interno de dos funciones ƒ1 y ƒ2 en un intervalo [a, b] es el número Funciones ortogonales Dado que dos vectores u y v son ortogonales cuando su producto interno es cero, definiremos las funciones ortogonales en forma semejante: DEFINICION 5.2 Funciones ortogonales Dos funciones ƒ1 y ƒ2 son ortogonales en un intervalo [a, b] si (1) A diferencia del análisis vectorial, en donde la palabra ortogonal es sinónimo de "perpendicular", en el presente contexto el término ortogonal y la condición (1) no tienen significado geométrico. EJEMPLO 1 Funciones ortogonales Las funciones ƒ1 (x) = x2 y ƒ2 (x) = x3 son ortogonales en el intervalo [-1, 1] porque