Ecuaciones de Lazo Método De Lazos (contenido

Método De Lazos (contenido)
Ecuaciones de Lazo
• Teoría y Principios
• Establecimiento general
Fuentes de voltajee y resistencias solamente
Con fuentes de voltaje dependientes
Con fuentes de corriente
• Reducción
Fundamentos Teóricos
• Para un circuito con B elementos y N nodos hay N-1
ecuaciones de corriente, con B corrientes. Por tanto, las
corrientes se pueden escribir en términos de B-N+1
corrientes escogidos, o combinación de ellas.
• Se seleccionan B-N+1 lazos independientes y se asocia a
cada lazo una corriente, llamada corriente de lazo.
• Tomando estas corrientes, las leyes de corriente se
satisfacen automáticamente
• Toda corriente en un elemento se puede escribir en
término de las corrientes de lazo
Variables y ecuaciones
• En el sentido general, las Variables pueden ser
- Corrientes de lazo
- Voltajes de fuentes de corriente y otros elementos, que
no pueden expresarse en términos de corrientes de lazo
• Las Ecuaciones provienen de
- Ecuaciones de voltaje
- Ecuaciones de fuentes de corriente
- Ecuaciones de otros elementos (p. ej.,
transformadores ideales)
Conceptos básico: Notación
Conceptos básicos:
IA
IB
i
IL
IC
i= IB - IA - IC
La corriente de lazo se limita a “dentro del lazo”, y mantiene
su dirección de referencia. Se dice que esta corriente “pasa
por los elementos en el lazo
Conceptos básicos:
IA
En general, por un elemento pueden pasar
uno, dos o más corrientes de lazo. Pasan dos
máximo en el caso de mallas.
Selección de lazos
IB
i
R
+
v
-
IC
(a)
(b)
v=R( IB - IA - IC )
(c)
(d)
Ejemplo 1
R1
i
3
1
ri
R2
E
+
-
Comentarios
R6
2
R4
R3
Caso General (1)
Siguiendo un razonamiento análogo al caso de las ecuaciones
nodales se puede demostrar que
• La forma de las ecuaciones respecto a las resistencias no
depende de la referencia de voltajes.
• Se puede escribir cada ecuación por simple inspección
• Los coeficientes de las corrientes de lazo tienen una parte
debida a las resistencias (que se ve por inspección) y otra
debida a fuentes de voltaje dependientes (que puede
obtenerse en dos pasos, si necesario)
• Cada fuente de corriente, independiente o no, establece una
ecuación adicional e introduce una variable más: el voltaje
a través de la fuente.
R5
I2
I1
R1
I4
I3
R3
R2
+ V8 Ik
+
I6
R4
V9
R5
- V7 +
I5
R1 (Ik − I1) + R2 (Ik − I2 + I3 ) + R3 ( Ik − I2 + I3 ) + v8 +
R1 (Ik − I6 ) + v7 + R5 Ik − V9 = 0
Establecimiento por inspección
1.Rij (parte de resistencias)
Caso General (2)
I2
I1
R1
I4
I3
R3
R2
+ Σ (resistencias en el lazo
+ V8 Ik
+
R4
V9
i=j
Rij =
R5
j)
I6
Σ( resistencias comunes
- V7 +
I5
− R1 I1 − (R2 + R3 )I2 + (R2 + R3 )I3 + 0I4 − 0 I5 − R4 I6
+ (R1 + R2 + R3 + R4 + R5 )Ik = −V7 − V8 + V9
Establecimiento por inspección
1. Vj (Fuentes de voltaje)
al lazo i y
al lazo j)
+
-
Identificación de matrices:
Zm: matriz de resistencias de lazo.
Vj = Σ fuentes de voltaje en el lazo j
- +
+
- +
-
VL: vector de voltajes de lazo.
IL: vector de corrientes de lazo.
i
j
Forma Matricial de las ecs. de
lazo
R11 R12 ... R1n I1
Ejemplo 1
R1
V1
i
R21 R22 ... R2n I2
V2
=
:
:
:
:
:
Rn1 Rn2 ... Rnn I n
Vn
E
Z M IL = VL
+
-
Ejemplo 1
3
E
+
-
1
1 R1 + R2 + R 5 + R6
2
−(R 5 + R 6 )
3
R1
1
ri
R2
R4
R5
2
R5
R6
R3
R4
Ejemplo 1.1
R1
i
ri
R2
R6
R3
−r(I1 + I 3 )
r(I1 + I 3 )
E
2
−(R 5 + R 6 )
R3 + R4 + R5 + R6
R3
3
R1
R3
I1
I2 =
R1 + R 3 I3
Métodos de reducción de ecs. de lazo
con fuentes de corriente
Ejemplo 1.2 (fin)
1
2
1 R1 + R2 + R 5 + R6 + r
−(R 5 + R 6 )
2
−(R 5 + R 6 ) − r
R3 + R 4 + R 5 + R6
3
R1
R3
3
R1 + r
R3 − r
• Transformar fuentes de corriente a fuente de
voltaje (previa traslación si es necesario)
I1
0
I2 = 0
R1 + R 3 I 3
• Atención: Se puede perder información. Si se necesita,
establecer primero fórmula de recuperación.
E
• Trabajar directamente mediante lazos
fundamentales
Manejo directo
• Establecer los lazos de manera que solamente un lazo
pase por cada fuente de corriente. Esto es posible
generalmente usando lazos fundamentales
• Si solamente un lazo pasa por una fuente de corriente,
NO se asigna ecuación a ese lazo
• Si una corriente de lazo es conocida, “pasar” la
columna correspondiente al vector de voltajes de lazo,
con el signo cambiado y multiplicada por la fuente.
• Complementar con las ecuaciones de fuentes necesarias
Ejemplo 2
R1
bi
R2
R3
IA
IB
R4
R5
i
R6
Ejemplo 2
Ejemplo 2: Lazos (1)
R1
R1
R1
bi
R2
R2
R3
IA
IB
R4
R2
R3
IA
R3
R5
R4
R4
i
R5
R5
R6
i
i
Ejemplo 2: Lazos (1)
R1
R1
R2
R2
R3
R3
IA
R4
R5
i
Ejemplo : Lazos (2)
R4
R1
bi
R5
i
R2
R3
R4
i
IB
R5
Ejemplo 2: selección
Ejemplo : Lazos (2)
R1
R1
R1
2
R2
R4
R3
R4
i
R5
R5
i
R6
Ejemplo 2.2 : Ecuaciones
4
R 4 I A + R 5 IB
I4
4 R4 + R5 + R6
2
0
I2
R 4 I A + R 5 IB
I4
=
=
bi
4
R6
Ejemplo 2 (fin)
2
0
IB
R4
i
4 R4 + R5 + R6
R3
1
IA
R5
IB
4
3
R2
R2
R3
bi
bi
−b
1 I2
−bI A