CLASE NUM 7

CLASE NUM 7
Modulación.
Recordemos brevemente las ideas básicas.
La modulación es la alteración sistemática de los parámetros de
una onda llamada portadora (en ingles se dice "carrier") en función del
voltaje instantáneo de otra onda llamada mensaje o moduladora.
La portadora es generalmente una onda senoidal teóricamente
pura:
c(t )  Ec cos (c t   )
El mensaje o señal moduladora es la información que queremos
transmitir y nunca tiene una ecuación que la defina. Para fines de
análisis matemático y para pruebas de equipos se usa una onda senoidal:
m(t )  Em cos ( m t )
En la ecuación de la portadora vemos que hay tres parámetros: La
amplitud Ec, la frecuencia o velocidad angular c y la fase . El mensaje
puede influir en uno de ellos o en dos o en los tres al mismo tiempo. Así
mismo, cada uno de los tres parámetros puede ser modificado
simultáneamente por un mensaje diferente. Todo esto depende de las
intenciones del diseñador del equipo.
Otro aspecto importante es que el mensaje hace variar los
parámetros de la portadora en forma proporcional. Las variaciones no
proporcionales no están prohibidas, pero no se utilizan.
El mensaje puede ser analógico o digital. En el caso de mensaje
analógico, el parámetro alterado (amplitud, frecuencia o fase de la
portadora) puede tener un número infinito de posibles valores. En el
caso de mensaje digital, el parámetro alterado podrá tener tantos
valores como niveles de voltaje tenga el mensaje. En la siguiente figura,
podemos ver las tres modulaciones analógicas comparadas con las tres
modulaciones digitales. Si el mensaje digital tuviese cuatro niveles
(cuaternario), los parámetros tendrían cuatro posibles valores y así
sucesivamente.
Veamos ahora la nomenclatura. En modulación analógica hay tres
variantes, que son amplitud modulada, frecuencia modulada y fase
modulada. En modulación digital hay las mismas tres variantes básicas,
que se llaman variación de amplitud por interrupción, variación de
frecuencia por interrupción y variación de fase por interrupción. En
este caso, por costumbre, se conocen por sus nombres en ingles:
amplitude shift key (A S K ), frequency shift key ( F S K ) y phase shift
key ( P S K ).
Variación de la amplitud por interrupción.(ASK)
Para obtener una onda modulada en ASK, es necesario multiplicar
la senoide portadora por un mensaje binario unipolar. Pongamos por caso
que al uno lógico le corresponden +5 volts y que al cero lógico le
corresponden +2 volts; así mismo, consideremos una portadora c(t) = 10
cos 100t. Con estos valores, el resultado de la modulación ASK será una
onda senoidal de w = 100 rad/seg y una amplitud de 50 volts de pico
para el uno y 20 volts de pico para el cero, tal como se ve en la figura
anterior.
Pensemos ahora en la misma portadora c(t) = 10 cos 100t, pero
ahora el mensaje tiene +5 volts para el uno lógico y 0 volts para el cero
lógico; al hacer el producto se va a obtener una senoide de 50 volts de
pico para el uno lógico y ausencia total de señal para el cero lógico. Esta
es una variante de ASK, que se conoce como modulación de encendidoapagado o en inglés on-off key (OOK), como se ve en la siguiente figura.
Enseguida se puede ver el diagrama de bloques de un modulador
ASK, con su generador de portadora conectado al multiplicador. La otra
entrada del multiplicador es la señal binaria, que previamente se ha
hecho pasar por el filtro de caída senoidal para limitar su ancho de
banda.
El problema ahora es determinar el espectro de la señal ASK a la
salida del modulador: esto lo haremos recordando que si las señales se
multiplican en el dominio del tiempo, entonces sus espectros se
convolucionan. En la siguiente figura se ven los espectros de la
portadora, del mensaje binario sin filtrar y de la señal ASK.
Como se puede ver, al producirse la modulación, el espectro de la
señal binaria, originalmente centrado en f=0, se desplaza hasta fc, de
donde resulta que el ancho de banda de la señal modulada es el doble del
ancho de banda de la señal binaria. Para reducir el ancho de banda se
usa el filtro de caída senoidal; este puede usarse para filtrar la señal
binaria o la señal modulada; de esta forma, si se filtra la señal binaria:
BWFIL 
1
(1  r )
2
Entonces, según lo dicho anteriormente:
BWASK  2 BW fil  2
1
1
(1  r )  1  r 
2

Si la señal binaria es NRZ, entonces  = 1/V.T. y por tanto:
BWASK  V .T .(1  r )
Si la señal binaria es RZ o Bifásica, el ancho de la cresta de los
bits es =1/(2V.T.); por lo tanto:
BWASK  2VT (1  r )
Problema. –Una señal binaria NRZ unipolar de 1200 bits/seg se
pasa por un filtro de caída senoidal con r =0.5 y modula en ASK a una
portadora de 50 KHz. Determinar las frecuencias máxima y mínima del
espectro de la señal modulada.
Solución: Sustituyendo los datos en la fórmula del filtro, tenemos:
1200
1  0.5  900Hz
BW fil 
2
Con el resultado anterior, se puede decir que las frecuencias máxima y
mínima de la señal modulada son 50,900 Hz y 49,100 Hz, lo que produce
un ancho de banda de 1,800 Hz. Esto se puede corroborar con la
fórmula antes obtenida:
BWASK  1200(1  .5)  1800Hz
Problema. – Una señal RZ unipolar de 1600 bits/seg es pasada por
un filtro de caída senoidal con r=0.2 y luego a un modulador OOK con
portadora de 30 KHz. Determínese el espectro y el ancho de banda de
la señal modulada.
Solución. –Como la señal binaria es RZ, se tiene que:
  T / 2  1 / 2V .T .
1
(1  r )  V .T .(1  r )
2
2V .T .
 2 BW fil  2V .T .(1  r )
BW fil 
BWASK
1
(1  r ) 
2
Sustituyendo valores:
BWASK  2 1,6001  0.2  3,840 Hz
El espectro se ve en la siguiente figura. La parte sombreada es la
que se conserva y el resto se elimina con el filtro.
La demodulación de la señal ASK se puede hacer por dos
procedimientos: Síncrono y asíncrono.
La demodulación síncrona consiste en multiplicar la señal ASK por
una senoide idéntica a la portadora original y luego filtrar:
mensaje binario  m(t )
portadora  c(t )  Ec cos  c t
ASK  m(t ) Ec cos  c t
señal de mod ulada  m(t ) Ec2 cos 2  c t
m(t ) Ec2
1  cos 2 ct 

2
De este resultado, un filtro puede separar el primer sumando, ya
que el segundo es de mayor frecuencia, de modo que:
Ec2
salida del filtro  K
m(t )
2
Los términos que acompañan a m(t) son constantes y se consideran
como un factor de ganancia.
La demodulación asíncrona, como se puede ver en la siguiente
figura. Este proceso requiere un detector de envolvente que rectifica la
señal ASK y la integra con el capacitor.
En ambas técnicas de demodulación se hace necesario incluir un
regenerador para eliminar el ruido y reconstruir la forma de los pulsos.
Con esto se completa el proceso de demodulación.
Variación de la frecuencia por interrupción (FSK)
En la siguiente figura se presenta el modulador FSK, que requiere
dos generadores de señal senoidal y un interruptor de doble tiro, de
forma que un uno lógico lo levanta y un cero lógico lo baja.
Entonces, se puede escribir:
FSK 

Ec cos 1t
Ec cos  2t
si
si
m(t )  1
m(t )  0
Desde este punto de vista, el modulador FSK se puede ver como
dos moduladores ASK en paralelo y de esto nos vamos a aprovechar para
obtener el espectro de la señal modulada.
Si la señal binaria tiene V.T. bits/seg, cada uno de los generadores
de la figura anterior producirá una señal ASK con la misma V.T. que al
combinarse producirán la salida FSK. Entonces, el espectro resultante
es la superposición de dos espectros ASK, como se ve en la siguiente
figura. Nótese que no se ha filtrado la señal binaria; el filtrado se
realiza después de la modulación.
Como se aprecia en el diagrama espectral, las frecuencias
correspondientes al cero y al uno son muy notorias. Existe también la
"frecuencia nominal" que es el promedio aritmético de las dos
anteriores, simbolizada con la literal fc. De acuerdo con esto, se puede
definir un incremento de frecuencias:
f c  f c  f 0  f c  f1
Finalmente, se puede definir un ancho de banda recortado,
utilizando lo que se conoce como "fórmula de Carlson":
BWFSK
1


 2f c  BW fil  2 f c  1  r 
2


Si usamos una señal binaria NRZ:

1
V .T .
y entonces:
V .T .

1  r 
BWFSK  2 f c 
2


Problema. –Una señal NRZ de 4,000 bits/seg se alimenta a un
modulador FSK con frecuencias de 35,000 y 50,000 Hz para el uno y el
cero respectivamente. Se usa filtro de caída senoidal con r=0.5.
Determínese el ancho de banda de la señal modulada.
solución: Con las dos frecuencias mencionadas calculamos fc :
fc = (50,000-35,000)/2 =7500 Hz. Con este resultado calculamos
4000

1  0.5  21,000Hz
BWFSK  2 7500 
2


Para demodular una señal FSK se requiere un circuito muy especial
conocido como "lazo de fase cerrada", que en ingles se dice phase
locked loop, representado en la siguiente figura.
Variación de la fase por interrupción.(PSK)
Para obtener una señal modulada en fase, lo primero es tener
presente cuántas fases va a tener la portadora. Para un mensaje binario,
la portadora debe tener dos fases y la onda modulada se llamará 2PSK,
para un mensaje cuaternario, la portadora tendrá cuatro fases y la señal
modulada se llamará 4PSK y así sucesivamente. Ahora solo manejaremos
el caso binario, por lo que la portadora solo tendrá dos fases: cero
grados para el uno binario y 180 grados para el cero binario. De este
modo:
2 PSK  Ec cos  c t
 Ec cos c t      Ec cos  c t
si
si
m(t )  1
m(t )  0
Para el uno, la portadora se multiplica por uno y para el cero, la
portadora se multiplica por –1. De este modo, el modulador de fase
requiere solamente un multiplicador que por un lado recibe la portadora
senoidal y por el otro la señal binaria polar. Esto se ve en la siguiente
figura.
Para determinar el ancho de banda de la señal 2PSK, basta con
darnos cuenta que el modulador 2PSK y el modulador ASK son
idénticos; la única diferencia es que para ASK el mensaje es unipolar y
para 2PSK el mensaje es polar. Por estas consideraciones podemos
establecer:
BW2 PSK  BWASK  V .T .(1  r ) Válida para mensaje NRZ.
Para recuperar el mensaje de una señal 2PSK se requiere un
demodulador síncrono como el de la siguiente figura. Los bloques que ya
conocemos son el multiplicador y el regenerador; el bloque nuevo es el
recuperador de portadora, que eleva al cuadrado la señal 2PSK y
enseguida divide la frecuencia entre 2. Esto nos garantiza una
portadora que no cambia de fase a la entrada del demodulador.
TAREA NUM 7
Problema 1. –Se desea enviar un mensaje de 15,000 bits/seg por un
canal que acepta frecuencias entre 120 KHz y 140 KHz. Determínense
los tipos de modulación adecuados y la r del filtro de caída senoidal
requerido.
Problema 2. –Un mensaje de 5,000 bits/seg se pasa por un filtro de
caída senoidal y modula a una portadora, dando una banda de
frecuencias entre 60 KHz y 80 KHz. Determínese el tipo de señal
binaria, la r del filtro usado y el tipo de modulación. (muchas soluciones)
Problema 3. –Una señal binaria NRZ unipolar de 5,000 bits/seg modula
en FSK a una portadora, dando un ancho de banda que va de los 50 KHz
a los 70 KHz. Se usa un filtro de caída senoidal con r=0.4. Determinar
las frecuencias del cero y del uno, la frecuencia nominal de la portadora
y el máximo valor de r utilizable sin rebasar el ancho de banda dado.
Problema 4. –Se tiene un canal de comunicación que acepta frecuencias
entre 15,000 Hz y 19,360 HZ; La modulación requiere un incremento de
frecuencia de 2,000 Hz y filtro con r=0.2. Determinar la velocidad de
transmisión de la señal NRZ.