Red Pasiva de Control de Tono James-Baxandall1 - Inictel-UNI

Excelencia Académica a tu Alcance
Red Pasiva de Control de Tono James-Baxandall
El ajuste independiente de graves y agudos en los amplificadores de audio de alta
fidelidad usualmente se lleva a cabo empleando redes de control de tono especialmente
diseñadas. Existen versiones de estas redes basadas únicamente en elementos pasivos,
siendo la red James con referencia a masa (fig.1) un ejemplo típico. Entre las versiones
que emplean elementos activos merece destacarse aquella propuesta por P.J. Baxandall,
en la que se concibe el control de tono como un amplificador realimentado (ref.1 y 2).
En este artículo se analizará la red James (también conocida como red Baxandall
pasiva), obteniéndose las ecuaciones de diseño para la misma.
Empezaremos estudiando el control de graves, el cual tiene influencia sobre las
frecuencias que se encuentran por debajo de la frecuencia central de diseño de la red
James. Esta porción de la red se muestra en la fig.2.
Elaborado por: Ing. Ramón Vargas Patrón
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R4 proporciona aislamiento entre esta etapa y la del control de agudos (las frecuencias
por encima de la frecuencia central están bajo la influencia de este último control). R5
representa la resistencia de entrada del amplificador conectado a continuación de la red
James y se escogerá de un valor tal que no cargue a la red. Aquí asumimos que C3 y C4
son circuitos abiertos a frecuencias de graves.
Con refuerzo de graves al máximo (cursor de R2 en el extremo superior), el circuito
equivalente del control de tono es como se muestra en la fig.3.
De esta última figura y sabiendo que “s” es la variable de Laplace, obtenemos que:
V0 = V g
R3 + R2 // X C 2
R1 + R3 + R2 // X C 2
donde:
1
sC 2
=
1
R2 +
sC 2
R2 ×
R2 // X C 2
=
R2
sR2 C2 + 1
Por lo tanto:
R2
sR2C 2 + 1
V0 = V g
R2
R1 + R3 +
sR2 C2 + 1
R3 +
Elaborado por: Ing. Ramón Vargas Patrón
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Después de efectuar algunas operaciones algebraicas obtenemos:
R2
V0
R3
R3
=
⋅
R2
V g R1 + R3
sR 2C 2 + 1 +
R1 + R3
sR2C 2 + 1 +
...(1)
La ganancia a frecuencias graves altas es:
A1 =
R3
R1 + R3
La ganancia a frecuencias bajas es:
A2 =
R2 + R3
R1 + R2 + R3
El cero de la expresión (1) está dado por:
R2
R3
s01 = −
R2 C 2
1+
y el polo por:
1+
s p2 = −
R2
R1 + R3
R2 C 2
Con el control de tono ajustado para máxima atenuación de graves (cursor de R2 en el
extremo inferior), el circuito equivalente pasa a ser el de la fig.4. Nuevamente
despreciamos el efecto de carga de R4 y R5 sobre la red.
Elaborado por: Ing. Ramón Vargas Patrón
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Ahora se cumple que:
V0 = V g
= Vg
R3
R1 + R3 + R2 // X C1
R3
R1 + R3 +
R2
sR2 C1 + 1
Una manipulación algebraica muy simple nos lleva a:
sR 2C1 + 1
R2
sR2C1 + 1 +
R1 + R3
V0
R3
=
⋅
V g R1 + R3
...(2)
La ganancia a frecuencias graves altas es:
A3 =
R3
R1 + R3
La ganancia a frecuencias bajas resulta:
A4 =
R3
R1 + R2 + R3
El cero de la expresión (2) está dado por:
s 03 = −
1
R2C 1
y el polo por:
1+
s p4 = −
R2
R1 + R3
R2 C1
La relación de ganancias a frecuencias bajas es:
A2
R
=1+ 2
A4
R3
Para tener un rango de control de 40dB, deberemos hacer:
1+
Elaborado por: Ing. Ramón Vargas Patrón
R2
= 100
R3
...(3)
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Por tanto:
R2 = 99R3 ≈ 100 R3
Por otro lado, la relación de las ganancias a frecuencias bajas y altas es, con el control
de graves al máximo:
R2 + R3
A2
R + R2 + R3
= 1
R3
A1
R1 + R3
=
R1 + R3
R2 + R3
⋅
R3
R1 + R2 + R3
Según la expresión (3):
R2 + R3 = 100R3
Luego:
A2 R1 + R3
100 R3
=
⋅
A1
R3
R1 + 100R3
=
100(R1 + R3 )
R1 + 100R3
Para una acentuación de graves de 20dB:
100( R1 + R3 )
= 10
R1 + 100 R3
Resolviendo para R1 se obtiene la siguiente relación:
R1 = 10R3
Para estas condiciones tendremos que:
A3
R3
R + R2 + R3
=
⋅ 1
A4 R1 + R3
R3
= 10
es decir, la relación de las ganancias a frecuencias altas y bajas con el control de graves
al mínimo es también 20dB.
Elaborado por: Ing. Ramón Vargas Patrón
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Debe cumplirse que s01 = sp4 para una mejor simetría en las curvas de respuesta.
Por tanto:
1+
R2
R3
C2
1+
=
R2
R1 + R3
C1
Reemplazando las relaciones ya obtenidas entre las resistencias resulta:
100
=
C2
=
=
1+
R2
11R3
C1
99
11
C1
1+
10
C1
Luego, C2 = 10C1 .
El diagrama de Bode correspondiente para el control de graves en posiciones extremas
se ilustra a continuación.
Pasaremos a analizar el control de agudos. Hemos dicho que las frecuencias de agudos
son aquellas que se encuentran por encima de la frecuencia central de diseño de la red
Elaborado por: Ing. Ramón Vargas Patrón
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James. Podemos considerar a C1 y C2 como cortocircuitos a estas frecuencias. Por lo
tanto, R1 y R3 conjuntamente con R4 forman parte de la red de control de agudos (fig.6).
Para facilitar los cálculos hallaremos primero el equivalente de Thevenin de Vg, R1 y R3 .
En la fig.7, la tensión equivalente de Thevenin V1 está dada por:
R3
R1 + R3
V1 = Vg
=
Vg
11
...(4)
La resistencia del equivalente de Thevenin, RTH, es:
RTH = R1 // R3
Con el control de agudos ajustado para máximo refuerzo (cursor de R6 en el extremo
superior), y asumiendo que la corriente por R6 es mucho más pequeña que la que
atraviesa a R4 , podemos afirmar lo siguiente:
V1 − V0
= (V0 − V g )sC 3
RTH + R4
Elaborado por: Ing. Ramón Vargas Patrón
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si consideramos que R5 >>R4 .
Reemplazando el valor de V1 dado por la expresión (4):
Vg
− V0
11
= (V0 − V g )sC 3
RTH + R4
Reacomodando esta última expresión:
1

Vg  + sC 3 ( RTH + R4 ) = V0 [1 + sC 3 ( RTH + R4 )]
11

Luego:
1
+ sC 3 (RTH + R4 )
V0 11
=
Vg
1 + sC 3 ( RTH + R4 )
...(5)
A frecuencias de agudos suficientemente bajas se cumple que:
V0
1
=
V g 11
es decir, -20.83dB.
A frecuencias de agudos suficientemente altas:
V0
=1
Vg
o lo que es lo mismo, 0dB.
El cero de la expresión (5) está dado por:
s05 = −
1
11 ⋅ (RTH + R4 )C3
y el polo por:
s p6 = −
( RTH
1
+ R4 )C3
Con el control de agudos ajustado para máxima atenuación (cursor de R6 en el extremo
inferior) se cumple:
V1 − V0
= sC 4V0
RTH + R4
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por lo que:
V0
1
=
V1 1 + s (RTH + R4 )C4
De esta última expresión y teniendo en cuenta (4):
V0
1
=
V g 11 ⋅ [1 + s (RTH + R4 )C4 ]
...(6)
A frecuencias de agudos suficientemente bajas:
V0
1
=
V g 11
o lo que es lo mismo, -20.83dB.
A frecuencias de agudos suficientemente altas:
V0
→0
Vg
El polo de la expresión (6) está dado por:
s p7 = −
(RTH
1
+ R4 )C 4
Para una mejor simetría en las curvas deberemos hacer sp7 = s05 . Por tanto:
( RTH
1
1
=
+ R4 )C 4 11 ⋅ (RTH + R4 )C 3
de donde C4 = 11C3 .
El diagrama de Bode correspondiente para las posiciones extremas del control de
agudos se muestra en la fig.8.
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Nos resta estimar el valor adecuado para R6 . Para poder despreciar la corriente por R6
frente a la que circula por R4 (IR6 <<IR4 ), deberemos averiguar primero las restricciones
que impone la red para ello. IR4 está dada por la siguiente expresión cuando el control de
agudos se encuentra en la posición de máxima atenuación:
Vg
− V0
I R 4 = 11
RTH + R4
mientras que IR6 está dada por:
IR6 =
Vg − V0
R6 +
1
sC 3
Por lo tanto, la condición a cumplirse es que:
Vg
− V0
⟨⟨ 11
RTH + R4
1
R6 +
sC 3
Vg − V0
El peor caso para la desigualdad ocurre cuando s tiende a infinito, es decir, a frecuencias
agudas suficientemente altas. Por lo tanto deberá cumplirse que:
Vg
− V0 R + R
11
4
⟩⟩ TH
Vg − V0
R6
o lo que es lo mismo:
1 V0
−
11 V g RTH + R4
⟩⟩
V0
R6
1−
Vg
A frecuencias suficientemente altas:
V0
→0
Vg
Entonces deberá cumplirse que:
1 RTH + R4
⟩⟩
11
R6
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Por lo tanto:
R6 ⟩⟩11(RTH + R4 )
...(7)
Si realizamos un análisis similar cuando el control de agudos se encuentra en la
posición para máximo refuerzo, hallaríamos que la condición a cumplirse es que
R6 >>1.1R4 . Por lo tanto, la expresión (7) prevalece.
Antes de proceder a realizar un ejemplo de diseño de la red James, pondremos las
expresiones para f01 , fp2 , f03 , fp4 , f05 , fp6 y fp7 de una manera más amigable.
Empezaremos repitiendo por comodidad las relaciones que deben existir entre los
valores de los componentes de la red y que deben tomarse en cuenta al momento de
diseñar esta. Estas son:
R1 = 10R3
R2 = 99R3
C2 = 10C1
C4 = 11C3
f 01 está dada por:
R2
1
R3
=
⋅
2π R2 C2
1+
f 01
=
1 100
⋅
2π R2C 2
=
1
100
⋅
2π 99 R3C2
≈
1
1
⋅
2π R3C 2
...(8)
f p2 está dada por:
f p2 =
=
Elaborado por: Ing. Ramón Vargas Patrón
1
⋅
2π
1+
R2
R1 + R3
R2 C 2
1
10
⋅
2π R2C 2
11
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=
1
10
⋅
2π 99 R3C2
≈
1
1
⋅
2π 10 R3C2
...(9)
f 03 está dada por:
f 03 =
1
1
⋅
2π R2C1
=
1
10
⋅
2π R2C 2
= f p2
f p4 = f 01 , condición exigida por la simetría deseada en las curvas.
f 05 está dada por:
f 05 =
1
1
⋅
2π 11(RTH + R4 )C3
=
1
1
⋅
2π 11(R1 // R3 + R4 )C3
=
1
1
⋅
2π
 10

11 R3 + R4 C3
 11

=
1
1
⋅
2π (10 R3 + 11R4 )C 3
...(10)
f p6 está dada por:
f p6 =
1
1
⋅
2π ( RTH + R4 )C3
= 11f 05
f p7 = f05 , condición exigida por la simetría deseada en las curvas.
La frecuencia central de diseño de la red James se toma como la media geométrica de f 01
y f 05 , es decir:
fc =
Elaborado por: Ing. Ramón Vargas Patrón
f 01 × f 05
...(11)
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y coincide con la frecuencia del mínimo de la curva de respuesta de amplitud de la red
con los controles de graves y agudos al máximo. Coincide también con la frecuencia del
máximo de la curva de respuesta cuando los controles se encuentran al mínimo.
Usualmente se adopta 1kHz para la frecuencia central.
Ejemplo de diseño
Supongamos que deseamos diseñar un control de tono para un equipo transistorizado.
Un valor adecuado para R1 es 10k ohmios. R3 será entonces una resistencia de 1k ohmio
y R2 podrá ser un potenciómetro de 100k ohmios (valor estándar).
Es conveniente que f 01 y f 05 estén separados una década en frecuencia. Por lo tanto, de la
expresión (11) obtenemos que:
f c = 10 f 01
Siendo f c = 1kHz, encontramos que f 01 debe ser 316Hz. El valor de f 05 será de 3.16kHz.
De la expresión (8) obtenemos para C2 un valor de 503.65nF. Entonces, C1 deberá tener
una capacidad igual a 50.36nF. Según (9), f p2 = 31.6Hz.
R5 se toma igual a unas 5 veces R2 para evitar efectos de carga sobre la red de graves.
Luego, R5 = 500 kohmios. R4 debe escogerse de manera que empleando la desigualdad
(7) se obtenga un valor para R6 accesible. Si adoptamos R4 = 5 kohmios, entonces debe
ser R6 >>65 kohmios. Podemos optar por un valor de 500 kohmios para R6 .
De la expresión (10), con el valor hallado para R4 obtenemos que C3 = 774.85pF y C4 =
8.52nF.
Finalmente, la resistencia del generador Vg debe hacerse unas 20 veces menor que R1
para no introducir atenuación adicional en el circuito.
Simulación de la respuesta en frecuencia de la red James
El Tone Stack Calculator 1.3 es un excelente programa de software para simulación de
redes de control de tono. Puede descargarse desde:
http://www.duncanamps.com/tsc/
Empleando este programa se han realizado dos simulaciones. La primera utiliza los
valores calculados arriba para los componentes de la red y la segunda, valores estándar
para los capacitores del circuito. No se observa mayor variación en la respuesta de
frecuencia. A continuación se muestran los resultados de las simulaciones.
Elaborado por: Ing. Ramón Vargas Patrón
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Fig.9 Respuesta en frecuencia de la red James con los controles de graves y agudos en
posiciones extremas.
Fig.10 Respuesta en frecuencia de la red James empleando valores comerciales de
capacitancia para C1 , C2 , C 3 y C4
Elaborado por: Ing. Ramón Vargas Patrón
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Referencias Bibliográficas
1. Baxandall, P.J. “Negative feedback tone control – independent variation of bass and
treble without switches” W.W. 58.10 (Oct. 1952) 402. Correction 58.11 (Nov. 1952)
444.
2. Vargas Patrón, Ramón “Red activa de control de tono”
http://www.inictel.gob.pe/publicaciones/rvargas/red-activa.htm
Ramón Vargas Patrón
[email protected]
Lima-Perú, Sud América
27 de Junio del 2004
Elaborado por: Ing. Ramón Vargas Patrón
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