El universo No-Homogéneo

EL UNIVERSO
NO-HOMOGENEO
César Alonso Valenzuela Toledo
[email protected]
Universidad del Valle
Barranquilla -
Teoria de Perturbaciones cosmológicas
HASTA AHORA:
El universo luciría así:
Pero en realidad luce como
esto:
Evolución Newtoniana
Consideremos inicialmente una perturbación que evoluciona en el regimen
Newtoniano:
2
k
¨k + 2H ˙k + v 2
s 2
a
⇢M (x, t)
1
=
⇢M
(2⇡)3
Número de onda
de Jeans
:
Z
d3 k
k (t)e
k
= 4⇡G⇢M
ik·x
{
kJ2 = 4⇡Ga2 ⇢M /vs2
Si consideramos una época
:
domina por la materia
{
y
k
vs2 = @p/@⇢M
k > kJ
Estable -> Oscila
k < kJ
Inestable
H 2 = 8⇡G⇢M /3
a/t
2/3
k
/ t2/3
¿Cómo funciona?
xample of a slow-roll potential. Inflation occurs in the shaded parts of the potential.
Fluctuaciones
tensor of the scalar field is 4
✓
1 ↵
Tµ⌫ = @µ @⌫
gµ⌫
g @↵ @
2
(x, t) ◆
V( )
.
en el campo
(2.3.26)
en elvalue
tiempo
he symmetries of the FRW spacetime requires
background
of
t that theRetraso
pends on time, = (t). From the time-time component T 0 0 = ⇢ , we infer
Parches
1 ˙2
⇢ =
+V( ) .
(2.3.27)
Fluctuación en la 2
Fluctuaciones en la
⇢
T density, 1 ˙Temperatura
2,
densidad
de ⇢energía
al energy
density,
, is simply the sum of the kinetic energy
(RCF)
2
nergy density, V ( ). From the space-space component T i j = P ji , we find
¿Cómo funciona?
Consideramos un perturbación lineal sobre el espacio-tiempo de
FRW (Métrica y Materia)
⇢(x, t) = ⇢¯(t) + ⇢(x, t)
(x, t) = ¯(t) +
(x, t)
gµ⌫ (x, t) = ḡµ⌫ (t) + gµ⌫ (x, t)
Gµ⌫ (x, t) = 8⇡G Tµ⌫
Valores en el “fondo”
Ecuaciones de Einstein
Perturbadas
Campo escalar sin masa
Campo escalar sin masa:
(x, t) =
k
•
=
Z
S=
d3 k
ik·x
e
(2⇡)3/2
k
+ k2
k
=0
d x
✓
+ k
Escalas de super Horizonte:
00
k
4
p
k2
g
✓
1 2
Mpl R
2
1 µ⌫
g @µ @⌫
2
k2
¨k + 3H ˙ k + 2
a
k (t)
00
k
a
Z
2
00
a
a
◆
k
V( )
k
=0
a00 /a
k
e ik⌧
= p
(k
2k
aH)
◆
=0
Campo escalar sin masa
•
k ⌧ a /a
Escalas de super Horizonte:
00
k
a00
a
k
Empatando las
soluciones en :
k = aH
00
2
=0
k
= B(k) a (k ⌧ aH)
1
1
H
|B(k)| a = p =) |B(k)| = p = p
2k
a 2k
2k 3
|
H
k| ' p
2k 3
✓
◆
Solución exacta:
k
e
= p
ik⌧
2k
i
1+
k⌧
k
=
aH
k⌧
Campo escalar con masa
Campo escalar con masa:
00
k
⇥
2
2
+ k + M (⌧ )
00
k

+ k2
1
⌧2
⇤
✓
⌫2
k
=0
1
4
2
2
M (⌧ ) = m
◆
k
=0
2H
2
⌫2 =
1
a (⌧ ) = 2
⌧
2
9
4
m2
H2
!
✓
m
H2
Solución exacta:
k
=
p
h
⌧ c1 (k) H⌫(1) ( k⌧ ) + c2 (k) H⌫(2) ( k⌧ )
Para determinar los coeficientes
utilizamos la siguiente condición :
inicial (vacío de Bounch-Davies)
Escalas de super Horizonte:
|
i
1
lim = p e
⌧! 1
2k
H
k| ' p
2k 3
✓
k
aH
◆ 32
⌫
2
k⌧
2
◆
Funciones de correlación I
Espectro de potencias:
g(x, t) =
Z
d3 k
ik·x
e
gk (t)
3/2
(2⇡)
h0|gk⇤ 1 gk2 |0i ⌘
|0i
Cantidad genérica
2
h0|g (x, t)|0i =
(3)
2⇡ 2
k2 ) 3 Pg (k)
k
(k1
Estado de vacío del sistema
Z
dk
Pg (k)
k
Para el campo escalar con masa:
h0| (
Z
3
d k
2
(x, t)) |0i =
| k|
3
(2⇡)
Z
dk k 3
2
=
|
|
k
2
k 2⇡
Z
dk
=
P (k),
k
2
k3
P (k) ⌘
|
2
2⇡
P (k) =
✓
H
2⇡
◆2 ✓
k|
k
aH
2
◆3
2⌫
Teoria de Perturbaciones cosmológicas
Perturbaciones en el espacio-tiempo:
ds2 =
(1 + 2 )dt2 + 2aBi dxi dt + a2 [(1
2 )
ij
+ Eij ] dxi dxj
Descomposición scalar, vector, tensor
Bi = @ i B
Si ,
@ i Si = 0
i
Eij = 2@ij E + 2@(i Fj) + hij ,
Transformaciones de coordenadas:
!
E!E
⇢! ⇢
⇣⌘
↵,
˙
,
i
@ Fi = 0,
@ hij = 0
i
t ! t + ↵,
B !B+a
!
i
x !x +
1
↵
+ H↵
⇢↵,
˙
p ! p ṗ↵
H
H
+
⇢⇡ +
˙
⇢˙
a˙
ij
0
j
Teoria de Perturbaciones cosmológicas
Variables invariantes de Gauge:
•
Perturbación en la curvatura en hipersuperficies
de densidad de negra uniforme + evolución lenta
⇣⌘
•
H
+
⇢⇡
⇢˙
H
+
˙
Perturbación en la curvatura comóvil + evolución lenta
R⌘
H
q⇡
⇢+p
H
+
˙
Escalas de super Horizonte:
⇣=R
Funciones de correlación II
Funciones de correlación:
Espectro de potencias:
0
3
< Rk Rk0 >= (2⇡) (k + k )PR (k),
ns
d ln 2R
1⌘
,
d ln k
2
R
k3
⌘
P
(k)
R
2⇡ 2
dns
↵s ⌘
d ln k
En particular:
2
R
= As (k⇤ )
✓
k
k⇤
◆ns (k⇤ )
1+ 12 ↵s (k⇤ ) ln(k/k⇤ )+...
Perturbaciones escalares en la acción
Perturbaciones escalares:
S=
Z
4
d x
p
g
✓
R
Expandiendo a segundo orden en :
1
S(2) =
2
Z
4
d xa
3
1 2
Mpl R
2
˙2 h
H2
…
Ṙ
2
1 µ⌫
g @µ @⌫
2
Unas horas después:
2
a
Variables de Mukhanov:
v ⌘ zR,
1
S=
2
Z
z⌘a

V( )
◆
2
(@i R)
˙2
H2
2
i
[ Mpl = 1 ]
2
= 2a "
00
z
3
0 2
2
2
d⌧ d x (v ) + (@i v) + v
z
0
@
=
@⌧
Perturbaciones escalares en la acción
v(⌧, x) =
Introduciendo modos de Fourier:
00
vk
En el espacio de de Sitter:
✓
vk00 + k 2
2
⌧2
◆
✓
+ k
2
00
z
z
◆
Z
d3 x
i~
k·~
x
vk (⌧ )e
3
(2⇡)
vk = 0
z 00
a00
2
=
= 2
z
a
⌧
vk = 0
e ik⌧
vk = p
2k
✓
1
i
k⌧
◆
Perturbaciones escalares en la acción
Eso espectro de potencias de la variable
<
k
k0
k
=a
1
vk
es:
2
2
|v
(⌧
)
|
H
k
3
0
3
0
2 2
>= (2⇡) (k + k )
=
(2⇡)
(k
+
k
)
(1
+
k
⌧ )
2
3
a
2k
Recuperando la variables:
z ⌘ a2
v ⌘ zR,
˙2
H2
Y evaluando justo cuando los modos cruzan el horizonte:
< Rk R
k0
3
>= (2⇡) (k +
2
0 H⇤
k) 3
2k
2
H⇤
˙2
⇤
= 2a2 "
a(t⇤ )H(t⇤ ) = k
2
R (k)
=
2
H⇤
2k 3
Incluyendo evolución lenta:
2
s (k)
1
V 1
⇡
24⇡ 2 MP2 l ✏⇤v
ns
1=
⇤
2⌘v
⇤
6✏v
2
H⇤
˙2
⇤