Problemario General - prof.usb.ve.

UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
DEPARTAMENTO DE PROCESOS Y SISTEMAS
ASIGNATURA: PS-1111 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
PROBLEMARIO
Ejercicios de Formulación
1.
La compañía XYZ produce dos juguetes: los osos Bobby y Teddy. Cada uno de estos productos debe ser procesado
en dos máquinas diferentes. Una máquina tiene 12 horas de capacidad disponibles y la otra 8. Cada Teddy
producido requiere 3 horas de tiempo en la primera máquina y 1 hora en la segunda máquina. Cada Bobby
producido requiere 2 horas en ambas máquinas. La ganancia incremental es de $6 por Bobby y $7 por Teddy
vendidos y la firma puede vender tantas unidades de cada producto como fabrique.
2.
Suponga una flota que transporta mercancía desde 2 fábricas A y B hasta 2 almacenes C y D. Se conoce el costo
de transportar una tonelada de mercancía desde cada una de las fábricas hasta cada uno de los almacenes.
También se conoce la producción diaria de cada fábrica y la demanda diaria de mercancía de cada almacén, de
acuerdo a la siguiente tabla:
Almacén C
Almacén D
Producción diaria
Fábrica A
5
6
8
Fábrica B
3
7
4
Demanda diaria
6
6
Qué cantidad de mercancía debemos enviar desde cada fábrica hasta cada almacén a fin de minimizar los costos?
3.
La Compañía "Viaje Feliz" opera un avión que combina pasajeros y carga entre el aeropuerto de Maiquetía y el
aeropuerto de Miami. Debido a los altos costos de operación el avión no sale hasta que todas sus bodegas hayan
sido cargadas. El avión tiene tres bodegas: inferior, intermedia y superior. Debido a las limitaciones en el espacio de
las bodegas el avión no puede llevar mas de 100 toneladas de carga en cada viaje. Además no deben llevarse mas
de 40 toneladas en la bodega inferior. Con fines de equilibrio, la bodega intermedia debe llevar un tercio de la carga
de la bodega inferior y la bodega superior debe llevar dos quintas partes de la carga de la bodega inferior. Sin
embargo, no deben llevarse mas de 60 toneladas de carga en las bodegas intermedia y superior. Las utilidades del
flete de la carga son de $8 por tonelada de carga en la bodega inferior, $10 por tonelada de carga en la bodega
intermedia y $12 por tonelada de carga en la bodega superior, después de deducir todos los gastos
correspondientes. Plantee un problema de programación lineal para determinar la forma de cargar el avión que
proporcione las mayores utilidades.
4.
La Compañía Vehículo Seguro fabrica vehículos en tres tamaños: económico (E), intermedio (M) y grande (G). La
Compañía tiene plantas ensambladoras en Valencia y Barquisimeto. La planta de Valencia puede fabricar 120
vehículos económicos, 100 vehículos intermedios y 50 vehículos grandes en un mes, mientras que la planta en
Barquisimeto puede fabricar 140 vehículos económicos, 90 vehículos intermedios y 60 vehículos grandes en un mes.
La demanda mínima anual de vehículos es: 3000 vehículos económicos, 2500 vehículos intermedios y 1500
vehículos grandes. El costo mensual de operar la planta de Valencia es de $470000, en tanto que el costo mensual
de operar la planta de Barquisimeto es de $390000. La Compañía Vehículo Seguro desea saber cuántos meses
deben trabajarse en cada planta para satisfacer los requerimientos anuales de vehículos y minimizar los costos de
producción.
5.
La empresa PROYECTOS GLOBALES C.A. está tratando de organizarse para elaboración de un proyecto para la
construcción de una planta industrial que le han contratado. Para ello podrá contar con asistencia proveniente de
tres fuentes: un número ilimitado de horas de estudiantes de ingeniería a un costo de $ 4 por hora, hasta 500 horas
de técnicos superiores en ingeniería a un costo de $ 10 la hora y un número ilimitado de horas de ingenieros
proyectistas graduados a un costo de $ 25 la hora. Para la realización del proyecto, la gerencia de la empresa ha
determinado el requerimiento de al menos 1000 horas de trabajo profesional. Ahora bien, la hora de un estudiante
de ingeniería se considera con un nivel de productividad del 20% y la de un técnico superior con una productividad
del 30% en relación a la hora de un profesional de la ingeniería ya graduado.La empresa ha designado a uno de sus
socios para que dirija la elaboración del proyecto y supervise y controle el trabajo del equipo de ingenieros, técnicos
y estudiantes. Para esta tarea, el socio dispone de sólo 164 horas de su tiempo, y él sabe por experiencia que los
estudiantes requieren de mayor supervisión, que los técnicos y éstos a su vez, más que los ingenieros graduados.
Específicamente, el socio tendrá que dedicar 0.2 horas de su tiempo en la supervisión de una hora de trabajo de un
estudiante, 0.1 horas en la supervisión de una hora de un técnico superior y 0.05 horas por cada hora de trabajo de
un ingeniero graduado.
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PROBLEMARIO
6.
Suponga que acaba de heredar 6.000 dólares y que desea invertirlos. Al oír esta noticia dos amigos distintos le
ofrecen la oportunidad de participar como socio en dos negocios, cada uno planteado por cada amigo. En ambos
casos, la inversión significa dedicar un poco de tiempo durante el siguiente período de vacaciones, al igual que
invertir efectivo. Con el primer amigo al convertirse en socio completo tendría que invertir 5.000 dólares y 400 horas,
y su ganancia estimada sería de 4.500 dólares. Las cifras correspondientes a la proposición del segundo amigo son
de 4.000 dólares y 500 horas, con una ganancia estimada de 4.500 dólares. Sin embargo, ambos amigos son
flexibles y le permitirían entrar en el negocio con cualquier fracción de la sociedad; la participación en las utilidades
sería proporcional a esa fracción. De igual forma, la participación en las horas de trabajo sería proporcional a la
fracción invertida. Como de todas maneras usted está buscando un trabajo interesante para las próximas
vacaciones (600 horas a lo sumo), ha decidido participar en una o en ambas propuestas, con la combinación que
maximice la ganancia total estimada. Formule un modelo de programación lineal para este problema (defina las
variables de decisión e indique todas las unidades involucradas).
7.
La compañía J. Electrónica comenzará la producción de dos (2) nuevos modelos de calculadoras electrónicas en los
próximos 3 meses, para lo cual se requiere una expansión de la actual capacidad productiva. La ganancia de este
período inicial no estará disponible hasta después del final del período, por tanto, la compañía debe hacer arreglos
financieros para los gastos de operación antes que la producción pueda empezar.
J.Electrónica ha dispuesto de $ 3.000 de sus fondos internos par cubrir los gastos de esta operación. Cualquier
fondo adicional requerido deberá ser obtenido externamente. Un banco local le ha ofrecido un financiamiento de
hasta $ 10.000 a una tasa de interés anual del 12%. Por otro lado, el efectivo remanente (sobrante de la inversión)
más las cuentas por cobrar generadas por esta línea de productos deberá ser al menos 2 veces mayor que el
préstamo más el interés del período de producción (3 meses). Adicionalmente a las restricciones financieras de esta
operación, deberán considerarse restricciones en relación a la capacidad laboral de la empresa, pues sólo se puede
disponer de 2.500 horas de ensamblaje y de 150 horas de empacado y envío para la nueva línea de productos
durante los tres (3) meses de producción.
El gerente general de la empresa ha decidido que al menos 50 unidades del producto “Y” y al menos 25 unidades del
producto “Z” deben ser producidas en el primer período de producción, a fin de garantizar la respuesta del mercado
para estos productos. En este problema se debe tomar una decisión financiera con respecto a cuánta producción se
debe financiar con fondos prestados.
8.
Modelo
Costo
Unitario ($)
Precio de
Venta ($)
Y
Z
50
100
58
120
Margen de
Ganancia
($)
8
20
Horas de
Ensamblaje
12
25
Horas de
Empaque y
Envío
1
2
Semicond es una ensambladora que ensambla computadores de tipo 4 y tipo 8. Los precios de venta, mano de
obra y materia prima están dados en la tabla 1. El 1 de diciembre de 2004 Semicond tendrá materia prima para
ensamblar 100 computadores de tipo 4 y 100 computadores de tipo 8, para la misma fecha el balance de la
empresa es mostrado en la tabla 2 y la tasa ACTIVO/PASIVO es 20000/10000=2.Semicond. desea determinar
cuantos computadores de cada tipo deben ensamblarse en diciembre sabiendo que la demanda es suficiente como
para asegurar que todo lo que es producido puede ser vendido. Todas las ventas se hacen a crédito, así todo lo
producido en diciembre no será recibido hasta el 1 de febrero 2005.En diciembre cobrará $2000 en cuentas por
cobrar y debe pagar $100 por concepto de créditos y $1000 por arrendamiento mensual. El 1 de enero de 2005
Semicond recibitrá materia prima por un valor de $2000 que será pagada el 1 de febrero. El gerente de Semicond.
Ha decidido que el balance de la empresa el 1 de enero debe ser al menos $400, por otro lado el banco requiere
que la tasa ACTIVO/PASIVO al comienzo de enero de 2005 debe ser al menos 2. Se pregunta cuanto se debe
producir en diciembre 2004 a fin de maximizar las ganancias.
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PROBLEMARIO
TABLA1
Precio de venta
Costo de mano de obra
Costo de materia prima
Tipo 4
$ 100
$ 50
$ 30
Tipo 8
$ 90
$ 35
$ 40
TABLA2
Efectivo
Cuentas por cobrar
Inventario***
Préstamo del banco
Activo
$ 10000
$ 3000
$ 7000
Pasivo
$ 10000
Cuentas por cobrar=deudas de clientes.
***La materia prima que se dispone al 1/12/2004=100tipo4*30costo de materia prima+100 tipo8*costo de materia
prima
ACTIVO=efectivo+cuentas por cobrar+inventario
BALANCE=efectivo disponible a la fecha.
9. Un granjero puede criar vacas, corderos y cabras. Desde el punto de vista de espacio disponible, él puede ubicar o 40
corderos o 60 vacas o 30 cabras. No necesariamente debe criar un solo tipo de animal. El beneficio esperado es de
Bs. 1000 por cada cordero, Bs. 800 por cada cabra y Bs. 2000 por cada vaca. El debe por ley criar al menos tantas
cabras como vacas y corderos combinados. FORMULE
10. Giapetto fabrica 2 tipos de juguetes: soldados y trenes. Se vende un soldado a Bs. 2700 y se usan Bs. 1000 en
materia prima. Cada soldado que se produce aumenta los costos variables de mano de obra y los costos generales
en Bs. 1400. Se vende un tren en Bs. 2100 y se usan Bs. 900 de materia prima. Cada tren producido produce
aumenta los costos variables de mano de obra y los costos generales en Bs. 1000. La producción de trenes y
soldados necesita 2 tipos de trabajo especializado: carpintería y acabado. Un soldado requiere de 2 horas de
acabado y 1 hora de carpintería. Un tren requiere de 1 hora de acabado y 1 hora de carpintería. Cada semana
Giapetto puede conseguir toda la materia prima que necesita, pero solamente dispone de 100 horas de acabado y 80
horas de carpintería. Las demandas de los trenes no tiene límite, pero se venden a los mas 40 soldados
semanalmente. Giapetto quiere maximizar su ganancia semanal, formule como un problema de programación lineal.
11. La compañía Eufrates SRL , usa dromedarios y camellos para llevar mercancía desde Bagdad a la Meca. Un camello
puede cargar 1.000 Kgrs. y un dromedario 500 Kgrs. Diariamente un viaje de dromedario consume 2 unidades de
heno y 30 galones de agua. Un camello consume 3 unidades de heno y 50 galones de agua. Las facilidades de
suministro de agua y heno en el oasis son de un máximo de 900 galones de agua y 35 unidades de heno. Los
dromedarios son rentados a 8 monedas y los camellos a 5. La compañía desea transportar al lo mas 10.000Kgr. de
higo al menor costo. Formule .
12. Una compañía automotriz produce automóviles y camiones. Cada vehículo tiene que pasar por un taller de pintura y
un talles de carrocería. Si el taller de pintura pintara solamente camiones se podrían pintar 40 camiones al día. Si el
taller de pintura pintara solamente automóviles se podrían pintar 60 automóviles diariamente. Si el taller de
carrocería produjera solamente automóviles podría fabricar 50 automóviles al día. Si el taller de carrocería produjera
solamente camiones se podrían producir 50 camiones al día. Cada camion aporta una utilidad de Bs. 30.000 y cada
automóvil de Bs. 20.000. Formule este problema para determinar la producción diaria que maximizará las ganancias
de la compañía.
13. Radioco manufactura 2 tipos diferentes de radio. Lo único necesario para la producción de radios es la mano de obra.
En la actualidad la empresa tiene 2 trabajadores. El trabajador 1 está contratado hasta 40 horas semanales y se le
paga Bs. 5000 la hora. El trabajador 2 está contratado por hasta 50 horas a la semana y se le paga Bs. 6.000 la
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hora. En la tabla se presenta el precio de venta, el costo y las horas requeridas para cada tipo de radio. Formule un
PL que permita a Radioco maximizar sus ganancias.
Recurso Requerido
Trabajador 1
Trabajador 2
Materia Prima
Precio
Radio 1
1 hora
2 horas
Bs. 5.000
Bs. 25.000
Radio 2
2 horas
1 hora
Bs. 4.000
Bs. 22.000
14. Suponga que se desea organizar una fiesta debido al inicio de clases y se dispone de las siguientes bebidas:
Cantidad de licor
48
72
64
64
24
18
Licor
Bourbon
Vodka
Vermouth Seco
Vermouth Dulce
Brandy
Kahlua
Se pretende preparar cocteles a continuación se da la receta:
Ruso negro: ¾ de Vodka y ¼ de Kahlua. Volcán: ¼ Brandy, ½ de Vermouth seco y ¼ de Vermouth dulce.Martín
dulce: 1/3 de Vermouth seco y 2/3 de Vodka y Bourbon en las rocas
Cada coctel contiene 1/8 de litro, el objetivo es mezclar los ingredientes de tal manera que se obtenga el mayor
número de cocteles.
15. CSL es una cadena de servicios para computadora. El número de horas de reparación especializada que requiere
CSL para los próximos 5 meses se da a continuación: enero = 6.000 horas, febrero = 7.000 horas, marzo = 8.000
horas, abril =9.500 horas, mayo = 11.000 horas. Al principio de enero 50 técnicos especializados trabajan para
CSL, cada técnico especializado puede trabajar 160 horas al mes. Para satisfacer futuras demandas hay que
capacitar nuevos técnicos. La capacitación de un nuevo técnico dura 1 mes. Un técnico experimentado tiene que
supervisar a un aprendiz durante 50 horas del mes de entrenamiento. A cada técnico experimentado se la paga
mensualmente $ 2.000 (aunque no trabaje las 160 horas). Durante el mes de entrenamiento se le paga a un
aprendiz $ 1.000 al mes. Al final de cada mes, el 50% de los técnicos experimentados de CSL cambian de trabajo.
Formule el problema a fin de minimizar los costos de CSL.
16. John y Sam pertenecen a un grupo de boys scouts que va a realizar una excursión. Se les ha asignado la tarea de
trasladar por lo menos 9 implementos de tipo I, 12 de tipo II y 6 de tipo III. John es alto y delgado, y es bueno para
cargar bultos, sin embargo, el peso le cansa mucho. Sam es pequeño y fuerte pero tiene problemas con la longitud
de los brazos. Las características de cada tipo de implemento y las capacidades de Sam y de John se dan en las
siguientes tablas:
Implemento
I
II
III
Volumen (m3)
2
3
1
Peso(Kg.)
4
2
5
El guía le da a los scouts un incentivo ofreciéndoles la siguiente suma por cada implemento trasladado, Bs. 150(I),
Bs.100(II)y Bs.200(III).
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John
Sam
Volumen(m3)
4
2
Peso (Kg)
30
45
Formule para determiner la distribución que deberán hacer John y Sam a fin de obtener el máximo beneficio.
17. Un empresario produce tres modelos (I,II,III) de cierto producto. Para ello usa dos tipos de materiales (A;B) de los
cuales hay disponibles 2000 y 3000 unidades respectivamente. Los requerimientos de material para la fabricación de
una unidad de cada uno de los 3 modelos viene dados en la tabla que se muestra a continuación.
Material A
Material B
Modelo I
1
2
Modelo II
3
2
Modelo III
5
7
La labor requerida por unidad de modelo I es 2 veces la del modelo II y 3 veces la del modelo III. El número máximo
de unidades de modelo I que pueden producirse en las horas laborables disponibles es de 700.Estudios de mercado
han demostrado que los requerimientos mínimos de los tres modelos son de 200, 200 y 250 unidades
respectivamente. Sin embargo la relación del número de unidades producidas debe ser igual a 3:2:5. sabiendo que el
beneficio obtenido por la producción de cada a modelo es de Bs. 30 , 20 y 50 respectivamente(I,II,III) formule un
modelo que maximice las ganancias.
18. Un granjero posee tres granjas cuyo tamaño y disponibilidad de agua para riego se muestra en la siguiente tabla:
Granja
Area(Ha.)
Agua(Lts)
I
400
1500
II
600
2000
III
300
1000
El granjero puede sembrar 3 tipos de cultivos, los cuales difieren en cuanto a la ganancia obtenida y al consumo de
aguas ambos por Ha. Sembrada y en cuanto a la cantidad máxima de tierra que puede asignarse a cada uno de
ellos, como se indica en la próxima tabla.
Cultivo
A
B
C
Cantidad máxima de
tierra que puede
asignarse Ha.
700
800
300
Consumo de agua por Ha.
(Lts/Ha)
Ganancia por Ha. (Bs/Ha.)
5
4
3
400
300
100
Formule para obtener un modelo que permita la asignación de tierras a cultivos que maximiza ganancias.
19. Una compañía de plásticos manufactura tres productos básicos: un multicuchillo, un paquete y una caja. El
multicuchillo es una combinación de cuchillo, tenedor y cuchara. El paquete cosiste de un multicuchillo, un
pitillo y una servilleta, todos envueltos en celofán. La caja contiene 100 paquetes y 10 multicuchoillos de
repuesto. La producción de 1.000 multicuchillos requiere de 0,8 horas de moldeo, 0,2 horas de supervisión y
2,5$ de costos directos. La producción de 1000 paquetes requiere la inclusión de un multicuchillo, una
servilleta y un pitillo por cada paquete; 1,5 horas de empaque y 0,5 horas de supervisión y 4$ de costos
directos. Hay existencia ilimitada de pitillos y servilletas. La producción de 1000 cajas requiere de 2,5 horas
de empacado, 0,5 horas de supervisión y 8$ de costos directos,10 multicuchillos y 100 paquetes por cada
caja. Toda la producción de cada producto puede ser vendida sin restricciones a los precios de $5, $15 y
$300 por cada 1000 unidades de los productos respectivamente.
Dado que hay disponibles 200 horas de producción en todos los departamentos en un mes determinadose
desea programar la producción para maximizar las ganancias.
20.
Grand Strand Oil, produce gasolina regular y gasolina premium, las cuales son vendidas a distintas estaciones
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PROBLEMARIO
de servicio al sur-este. La refinería produce cada una de las gasolinas por mezclar 3 componentes de petróleo. Las
gasolinas son vendidas a distintos precios y tienen distintos costos. La compañía quiere determinar cómo mezclar los 3
componentes para cada una de las gasolinas, de forma de maximizar las ganancias.
La siguiente tabla muestra las cantidades de cada uno de los componentes de las gasolinas y el costo por galón que
puede conseguir Grand Strand en el período de planificación de producción actual.
Costo/galón $
0.25
0.30
0.42
Componente 1
Componente 2
Componente3
Disponibilidad máxima galones
5000
10000
10000
Los precios de venta y las especificaciones de cada una de las gasolionas se dan a continuación:
Gasolina Regular
Precio de venta(galones)
0.5
Gasolina Premium
0.54
Especificaciones
A lo sumo 30% del componente 1
A lo menos 40% del componente 2
A lo sumo 20% del componente 3
Al menos 25% del componente 1
A lo sumo 40% del componente 2
Al menos 30% del componente 3
Las exigencias del mercado requieren que la COMPAÑÍA PRODUZCA AL MENOS 10000 GALONES DE
GASOLINA REGULAR.
21.
Alrededor del año 435 A.C., Esparta decidió reclutar tropas de reserva para completar su ejército. Los nuevos
guerreros podían alistarse por 1, 2 y 3 años. La Tabla 12 muestra el número mínimo de guerreros que se requerían
en las tropas de reserva en aquel entonces y el costo de manutención para cada año. Como general espartano,
usted podría hallar la política de abastecimiento óptima para los próximos años, mediante la resolución de un
problema de PL.
Tabla 12
Años
435
434
433
432
Mínimo de guerreros
1.000
1.200
1.200
1.400
Costo de manutención ($/g)
10
12
13
14
22.
Una oficina de correos necesita un número diferente de empleados de tiempo completo para diferentes días de
la semana. El número de empleados de tiempo completo para cada día se muestra en la Tabla 13. La condiciones
de trabajo impuestas por el sindicato señalan que cada empleado de tiempo completo tiene que trabajar durante
cinco días consecutivos y, después, descansar dos días. Por ejemplo, un empleado que trabaje de lunes a viernes,
tiene que descansar el sábado y el domingo. La oficina de correos quiere cumplir con sus requerimientos diarios y
utilizar solamente empleados de tiempo completo. Formule un problema de PL que pueda utilizar la oficina de
correos para minimizar el número de empleados de tiempo completo que hay que contratar.
Día de la semana
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
Sábado
Domingo
Tabla 13
Número de empleados de tiempo
completo requeridos
17
13
15
19
14
16
11
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PROBLEMARIO
23.
La Corporación McRico tiene que determinar una estrategia de inversión para los próximos tres años.
Actualmente (tiempo 0) la empresa dispone de $100.000 para ser invertidos en las inversiones A,B,C,D y E. En la
Tabla 14 se indican los flujos de efectivo, asociados con la inversión de $1 en cada tipo de inversión. Por ejemplo, la
inversión de $1 en la inversión B, requiere de un desembolso de caja de $1 en el tiempo 1, y rinde $0,50 en el tiempo
2 y $1 en el tiempo 3. Para asegurar una cartera diversificada para la compañía, la empresa requiere que se invierta
a lo más $75.000 en una sola inversión. Además de las inversiones A-E, la empresa McRico puede obtener intereses
de 8% anuales al colocar el dinero sin invertir en los fondos del mercado de valores. Se pueden volver a invertir
inmediatamente los intereses obtenidos de las inversiones. Por ejemplo, se pueden volver a invertir inmediatamente
en la inversión B, el flujo de efectivo positivo recibido de la inversión C en el tiempo 1. La Corporación McRico no
puede pedir prestado fondos, por lo tanto, el dinero disponible para la inversión en cualquier momento se limita al
efectivo de caja. Formule un problema de PL que maximice el efectivo de caja en el tiempo 3.
Inversión A
Inversión B
Inversión C
Inversión D
Inversión E
0
-1
0
-1
-1
0
Tabla 14
Flujo de efectivo en el tiempo
1
2
+0,5
+1
-1
+0,5
+1,2
0
0
0
0
-1
3
0
+1
0
+1,9
+1,5
24.
Considere una pequeña refinería ubicada en el estado de Texas. Esta refinería destila crudo proveniente tanto
de Arabia Saudita como de Venezuela, y lo convierte en tres principales: gasolina, fluido de aviones y lubricantes.
Los dos crudos difieren en su composición química y por tanto producen una composición distinta de productos.
Cada barril de crudo saudita produce 0,3 barriles de gasolina, 0,4 barriles de fluido de aviones y 0,2 barriles de
lubricantes. Cada barril de crudo venezolano produce 0,4 barriles de gasolina, 0,2 barriles de fluido de aviones y 0,3
barriles de lubricantes. El remanente 10% se pierde en el proceso de refinación.
Ambos crudos también difieren en costo y en disponibilidad. La empresa petrolera saudita puede venderle a la
refinería hasta 9.000 barriles diarios de crudo a $ 20 por barril, mientras que la empresa petrolera venezolana puede
venderle el crudo a $ 15 por barril por su cercanía a los Estados Unidos, sin embargo, no tiene sino una capacidad
de entrega de hasta 6.000 barriles diarios.
La refinería tiene contratos de entrega de los productos refinados con distribuidores independientes que requieren al
menos una cantidad de 2.000 barriles diarios de gasolina, 1.500 barriles diarios de fluido de aviones y 500 barriles
diarios de lubricantes. ¿Cómo pueden ser satisfechos estos requerimientos de la forma más eficiente?
25.
Una compañía que fabrica productos químicos produce dos tipos de fertilizantes denominados 5-5-10 y 5-10-5.
En cada caso el primer valor se refiere al porcentaje que el producto final tiene de nitrato químico, el segundo valor
se refiere al porcentaje de fosfato y el tercer valor da el porcentaje de potasio. Cada tipo de fertilizante se estabiliza
con un material de relleno que podría ser barro. Por ejemplo, el fertilizante tipo 5-5-10 está elaborado con 5% de
nitrato, 5% de fosfato y 10% de potasio y el 80% restante es barro. La compañía vende sus productos a través de
un mayorista que está dispuesto a comprar cualquier cantidad de fertilizantes que la compañía produzca. El
mayorista está dispuesto a pagar $71.50 por tonelada del tipo 5-5-10 y $69 por tonelada del tipo 5-10-5.
Mensualmente las disponibilidades y costos de las materias primas son de 1100 toneladas de nitrato, a un costo de
$200 por tonelada; 1800 toneladas de fosfato, a un costo de $80 por tonelada; y 2000 toneladas de potasio, a un
costo de $160 por tonelada. El material de relleno está disponible en cantidades ilimitadas al precio de $10 por
tonelada. No existen restricciones en el uso de la mano de obra ni en la maquinaria utilizada, pero el costo de
mezclado de los componentes es de $15 por tonelada. Formule el problema de PL para que la compañía pueda
conocer cuánta cantidad de fertilizante de cada tipo debe producir para obtener las mayores utilidades.
26.
La Compañía "Cola Segura" acaba de adquirir una licencia existente para operar el servicio de transporte entre
el aeropuerto de Maiquetía y la ciudad de Caracas. Anteriormente, el servicio de transporte operaba una flota de 30
camionetas; sin embargo, el volumen del negocio hace que sea fácil justificar la adición de otros vehículos. Además
la mayoría de los vehículos son muy viejos y requieren un mantenimiento muy costoso. Debido a los bajos costos de
adquisición de la licencia, la compañía está en la posición de reemplazar todos los vehículos existentes y puede
gastar hasta $500000. Se están considerando tres tipos de vehículos: camionetas, microbuses y autobuses. La
compañía ha recopilado información de ellos y ésta se muestra en la Tabla 1. La junta directiva de la compañía ha
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proyectado que puede utilizar en forma adecuada cuantos vehículos pueda financiar; sin embargo, las instalaciones
de servicio y mantenimiento son limitadas. En este momento, el departamento de mantenimiento puede manejar 30
camionetas. En la actualidad la compañía no desea ampliar las instalaciones de mantenimiento. Puesto que la nueva
flota puede incluir microbuses y autobuses, el departamento de mantenimiento debe estar en posibilidades de
trabajar con ellos. Un microbús equivale a 1 1/2 camionetas y cada autobús equivale a 3 camionetas. Plantee un
problema de programación lineal que le permita a la compañía determinar el número óptimo de cada uno de los tipos
de vehículos que debe adquirir con el objeto de maximizar las utilidades anuales esperadas.
Tabla 1. Costo unitario y utilidad annual
27.
Tipo de vehículo
Precio
Utilidad Anual
Camioneta
Microbús
Autobús
$15000
$25000
$50000
$4000
$5600
$13000
Una compañía comercializa gasolina de dos grados: extra y normal. Cada tipo de gasolina debe satisfacer
ciertas especificaciones, tales como la presión máxima de vapor aceptable y el octanaje mínimo. Los requerimientos
de manufactura para las gasolinas se muestran en la Tabla 2.
Tabla 2
Tipo de gasolina
Octanaje Mínimo
Presión Máx. Vapor
Precio venta/barril
Normal
80
9
$21
Extra
100
6
$24
Se utilizan tres tipos de gasolina base para fabricar las gasolinas normal y extra. Las características de las gasolinas
base se muestran en la Tabla 3.
Tabla 3
Presión vapor
Disponib. Máx.
(barriles)
Costo/barril
108
4
32000
$22
90
10
20000
$20
73
5
38000
$19
Gasolina base
Octanaje
Tipo 1
Tipo 2
Tipo 3
La compañía se ha comprometido con un comprador a proporcionarle 30000 barriles de gasolina normal por
semana. No se tienen compromisos con respecto a la gasolina extra. A la compañía le gustaría determinar el plan de
manufactura para los dos tipos de gasolinas que maximice las utilidades.
28.
Una empresa fabricante de lámparas produce tres tipos de lámparas (piso, mesa y escritorio) mediante dos
procesos de manufactura. Las lámparas de piso generan una utilidad de $25 por unidad, las de mesa $11 por unidad
y las de escritorio $6 por unidad, independientemente del proceso utilizado. Para la fabricación de las lámparas se
usan tres máquinas, la Tabla 4 indica los tiempos de máquina (en hr) requeridos para la fabricación de las lámparas
en cada proceso y la disponibilidad semanal de las máquinas (hr/sem). Las lámparas se fabrican usando tres tipos
de materiales. La Tabla 5 muestra los requerimientos de material para cada tipo de lámpara (unidades de peso) en
cada proceso y la disponibilidad semanal del materia (unidades de peso/sem). Un estudio de mercado indica que la
empresa puede vender hasta 25 lámparas de piso, 50 de mesa y 100 de escritorio por semana. Formule el problema
de PL que permita maximizar la utilidad de la empresa.
Tabla 4
Proceso I
Máq. 1
Proceso II
Disponib.
L. piso
L. mesa
L. escrit.
L. piso
L. mesa
L. escrit.
Hr/semana
0.1
0.1
0.1
-
-
-
40
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PROBLEMARIO
Máq. 2
-
-
-
0.2
0.15
0.1
40
Máq. 3
0.5
0.2
0.15
0.3
0.25
0.2
55
Tabla 5
Proceso I
29.
Disponib.
Proceso II
L. piso
L. mesa
L. escrit.
L. piso
L. mesa
L. escrit.
Peso/sem
Mat. 1
4
2
0.9
4
2
0.9
185
Mat. 2
5
1
-
5
1
-
200
Mat. 3
0.5
0.5
0.2
0.5
0.5
0.2
90
El distrito escolar del Condado de Clark tiene dos escuelas de nivel medio superior que atienden las
necesidades del condado. La Escuela No. 1 tiene una capacidad de 6500 estudiantes y la escuela No. 2 tiene una
capacidad para 4500. El distrito escolar está subdividido en 6 zonas. Cada una de ellas tiene una población
estudiantil diferente y una combinación distinta de alumnos de minorías. La Tabla 7 describe cada una de las zonas.
Tabla 7. Características de la Población Estudiantil
No. Total de estudiantes minorías
Zona
No. total estudiantes
A
1900
200
B
2475
1600
C
1000
490
D
2150
450
E
1800
870
F
1400
590
Un plan en contra de la discriminación, ordenado por un tribunal, ha llegado al distrito y dicho plan especifica que
cada escuela debe tener inscritos al menos 32% de alumnos de minorías. Ninguna escuela puede tener inscritos
mas del 45% de alumnos de minorías. Para tratar de cumplir con el dictamen del tribunal, el distrito desea minimizar
el número de millas que deben viajar en autobús los estudiantes. La Tabla 8 muestra los datos que indican lasa
distancias (en millas) entre las diversas zonas y las escuelas correspondientes. Si es posible, al distrito le gustaría
evitar que los estudiantes viajaran mas de 2.8 millas. Plantee un modelo de Programación lineal que le permita al
distrito cumplir con el plan de no discriminación y la restricción del transporte.
Tabla 8. Distancias entre zonas y escuelas
Zona
Escuela No. 1
Escuela No. 2
30.
A
1.5
2.5
B
1.8
1.9
C
2.2
2.6
D
2.5
2.3
E
2.9
1.8
F
2.8
1.1
La Ciudad A produce diariamente 500 toneladas de basura y la Ciudad B 400 toneladas. Antes de depositar la
basura en un relleno sanitario es necesario incinerarla en cualquiera de dos plantas quemadoras (Quemador 1 y
Quemador 2). Este proceso reduce cada tonelada de basura a 0.20 toneladas de desecho. Cada quemador puede
incinerar hasta un máximo de 500 toneladas de basura por día. El costo por incinerar basura en el Quemador 1 es
de $40/ton y en el Quemador 2 es de $30/ton. Una vez quemada la basura es necesario depositar el desecho en
cualquiera de dos rellenos sanitarios (Relleno 1 y Relleno 2). Cada relleno puede recibir hasta un máximo de 200
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PROBLEMARIO
toneladas de desechos por día. El costo de transporte por tonelada de basura o desecho es de $3/km. La Tabla 6
muestra las distancias (en kilómetros) entre las distintas localidades. Formule el problema de Programación Lineal
que permita minimizar los costos totales para deshacerse de la basura diaria de ambas ciudades.
Tabla 6
Distancias entre Localidades (en km)
CIUDAD A
CIUDAD B
QUEMADOR 1
QUEMADOR 2
31.
QUEMADOR 1
30
36
QUEMADOR 2
5
42
RELLENO 1
5
9
RELLENO 2
8
6
Birdeyes Real State Co. es propietaria de 800 acres de terreno no urbanizado a orillas de un lago panorámico
en el corazón de las montañas Ozark. En el pasado se aplicaban muy pocas regulaciones o ninguna, a las nuevas
urbanizaciones alrededor del lago. En la actualidad, las playas del lago están salpicadas de casas para
vacacionistas. Debido a la carencia de servicios de aguas negras se usan intensamente pozos sépticos, que se
instalan en forma por demás inapropiada. A lo largo de los años, las filtraciones de los pozos sépticos han dado por
resultado un grave problema de contaminación del agua.
Para frenar una mayor degradación en la calidad del agua, los funcionarios del condado aprobaron reglamentos muy
estrictos, aplicables a todas las futuras urbanizaciones. Las condiciones impuestas son:
•
Sólo se pueden construir viviendas familiares individuales, dobles y triples y las viviendas de una sola familia
deben ser por lo menos 50% del total de viviendas a construir.
•
Para limitar el número de pozos sépticos, se requieren lotes con una superficie mínima de 2, 3 y 4 acres
para las viviendas individuales, dobles y triples, respectivamente.
•
Se deben establecer áreas recreativas de un acre cada una, en proporción de un área por cada 200 familias.
•
Para preservar la ecología del lago, las aguas freáticas no pueden bombearse para uso doméstico o
jardinería.
El presidente de Birdeyes Real State Co. está estudiando la posibilidad de urbanizar los 800 acres de la compañía.
La nueva urbanización incluirá viviendas familiares individuales, dobles y triples. Se calcula que un 15% de la
superficie se consumirá en calles y en instalaciones para servicios públicos. Birdeyes calcula las utilidades de las
diferentes unidades habitacionales como se indica en la Tabla 9.
El costo de conectar el servicio de agua al área es proporcional al número de unidades construidas. Sin
embargo, el condado estipula que se debe cobrar un mínimo de 100.000 dólares para que el proyecto sea
económicamente factible. Además, la expansión del sistema de suministro de agua, más allá de su
capacidad actual, está limitado a 200000 galones por día durante los períodos pico. La Tabla 10 presenta
los datos de consumo de agua y del costo de consumo por unidad de vivienda para una familia promedio.
Formule el problema de PL que permita determinar la forma óptima de desarrollar el nuevo urbanismo.
Utilidad neta por unidad $
Costo servicio de agua por unidad ($)
Consumo de agua por unidad (gal/día)
Tabla No. 9
Tipo de Vivienda
Individual
Doble
10.000
12.000
Tabla No. 10
Individual
1.000
400
Doble
1.200
600
Triple
15.000
Triple
1.400
840
Recreativa
800
450
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PROBLEMARIO
32.
El Director de personal de la aerolínea One Tripp debe decidir cuántas aeromozas contratar y entrenar en los
próximos seis meses. Los requerimientos, expresados en número de horas de vuelo de aeromozas, son: 8.000 en
Enero, 9.000 en Febrero, 7000 en Marzo, 10.000 en Abril, 9.000 en Mayo y 11.000 en Junio. Se requiere de un mes
para entrenar a una aeromoza antes de que pueda servir en un vuelo, por lo que cualquier persona debe ser
contratada un mes antes de cuando se requiera. Cada aeromoza en entrenamiento requiere de 100 hora de
supervisión por una aeromoza experimentada durante el mes de entrenamiento y por lo tanto no se disponen de
esas horas de aeromoza para los vuelos.
Cada aeromoza experimentada trabaja 150 horas por mes y la compañía dispone de 60 aeromozas al comienzo de
Enero. Si el máximo número de horas disponibles de aeromozas experimentadas excede los requisitos del mes, las
aeromozas trabajan menos de 150 horas y no se despide a ninguna. Al final de cada mes el 10% de las aeromozas
experimentadas renuncian por distintas razones. Cada aeromoza experimentada le cuesta a la empresa $850 por
mes y cada aeromoza novata $450. Formule el problema de PL que permita optimizar el manejo del personal en los
próximos 6 meses.
33.
Una planta de productos químicos fabrica dos tipos de producto; el producto 1 le reporta a la empresa una
utilidad de $150 por cada 1000 galones mientras que el producto 2 le genera $120 por cada 1000 galones. El
proceso de manufactura de ambos productos genera elementos contaminantes (dos tipos de gases: A y B, y
partículas sólidas). La Tabla 11 indica las cantidades de elementos contaminantes generadas por 1000 galones de
cada tipo de producto. El gobierno regional desea controlar la contaminación ambiental de la planta y ha establecido
límites de producción diaria de contaminantes: gas A, 5000 gr/día; gas B, 5000 gr/día; y partículas, 12000 gr/día. El
gerente de la planta tiene la opción de usar dos dispositivos para reducir la contaminación, el dispositivo 1 reduce en
un 75% la cantidad de gas A, en un 50% el gas B y en un 90% las partículas sólidas, independientemente del
producto que se fabrique; el dispositivo 2 reduce en un 50 % la cantidad de gas A, en nada el gas B y en un 80% las
partículas sólidas, independientemente del producto que se fabrique. El uso del dispositivo 1 reduce la utilidad por
cada 1000 galones de cada producto en 50% y el dispositivo 2 la reduce en un 33%. La empresa tiene compromisos
de producción diarios de 100000 galones de producto 1 y 200000 galones de producto 2. Formule el problema de
Programación Lineal que permita maximizar las ganancias de la empresa.
Tabla 11
Cantidad de contaminantes por producto (gr/1000 galones)
CONTAMINANTE
PRODUCTO 1
PRODUCTO 2
Gas A
24
36
Gas B
8
12
Partículas sólidas
100
50
34.
La Compañía AB está estudiando la posibilidad de expandir su capacidad de planta instalada para los próximos
4 períodos. El objetivo de la compañía es disponer de una capacidad de producción máxima instalada al final de los
4 períodos. La compañía produce solamente un producto, la materia prima y las demás variables de producción
tienen un costo de Bs. 120 por unidad producida. Todos los costos y requerimientos de producción se efectúan
dentro de un período, mientras que las ventas del producto se realizan en el período siguiente. Cada unidad de
producto se vende en Bs. 175 y requiere de 1,2 unidades de producción. Existen en cada período dos políticas de
expansión a ser utilizadas. La política 1 implica que a cada unidad de producción agregada se le debe cargar un
costo de Bs. 2.400 al comienzo del período en cuestión, esta nueva unidad de producción estará disponible al
comienzo del siguiente período. Igualmente la política 2 implica que a cada unidad de producción agregada se le
debe cargar un costo de Bs. 1.800, pero esta capacidad agregada no estará disponible sino dos períodos después.
La compañía tiene Bs. 3.200.000 disponibles al comienzo del período 1 para financiar la producción y la expansión
de la planta. El financiamiento de la producción y de la expansión en períodos posteriores deberá hacerse con
fondos generados en el propio sistema. Al comienzo del período 1 se dispone de 960 unidades de producción de
planta. Al final del período 4 toda la capacidad deberá estar operativa. Formule un modelo de PL de esta situación.
35.
La compañía Boralis fabrica morrales para excursionistas. La demanda de este producto ocurre durante los
meses de marzo a junio de cada año. La compañía Boralis estima que la demanda para los 4 meses es de 100, 200,
180 y 300 unidades, respectivamente. La compañía utiliza horas extra de mano de obra para fabricar los morrales y,
debido a eso, su capacidad de producción varía mensualmente. Se calcula que Boralis puede producir 50, 180, 280 y
270 unidades de marzo a junio, respectivamente. Debido a que la capacidad de producción y la demanda para los
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diferentes meses no es igual, la demanda del mes actual se satisface en una de tres formas:
• Con la producción del mes en curso
• Con producción excedente del mes anterior
• Con producción excedente del mes siguiente
En el primer caso, el costo de producción por morral es de $40. El segundo caso incurre en un costo de
almacenamiento de $0,50 por morral, por mes. En el tercer caso se incurre en un costo adicional de $2 de penalidad
por cada mes de demora en satisfacer el pedido. Formule el problema de PL que permite programar la producción
óptima para los 4 meses.
36.
La compañía Odessa fabrica un producto que tiene una demanda que aumenta y disminuye. Por ejemplo, la
demanda que se ha pronosticado para los próximos cuatro meses es de 1.800, 2.200, 3.400 y 2.800,
respectivamente. Debido a las variaciones en la demanda, los administradores de Odessa han encontrado que en
algunos meses existe producción en exceso, lo cual ocasiona grandes costos de manejo y almacenamiento; en tanto
que en otros meses la compañía no está en posibilidades de cubrir la demanda. La compañía puede fabricar 2.400
artículos por mes en sus turnos normales de producción. Utilizando tiempo extra, es posible fabricar 800 artículos
mensuales adicionales. Debido a los mayores costos de mano de obra en tiempo extra, se produce un aumento de
$7 por cualquier artículo que no se fabrique durante el turno normal. Los administradores estiman el costo de
almacenamiento en $3 por cualquier artículo que se fabrique en un mes determinado y que no se venda durante el
mismo. A la compañía Odessa le gustaría determinar un programa óptimo de producción que minimice los costos
totales de producción y almacenamiento a la vez que se satisfaga la demanda de ventas.
37.
La Corporación La Lagunita está construyendo un desarrollo habitacional con lago privado. El mercado principal
para los terrenos y casas a la orilla del lago que esperan vender incluye todas las familias de ingresos medio y alto
dentro de aproximadamente 100 millas a la redonda del proyecto. Corporación La Lagunita ha contratado a la
agencia de publicidad BP&J para diseñar la campaña publicitaria.
Después de considerar posibles medios y el mercado a cubrir, BP&J ha recomendado que la publicidad del primer
mes se limite a cinco medios. Al final del primer mes, BP&J evaluará su estrategia con base en los resultados del
mes. BP&J ha reunido datos sobre la cantidad de clientes potenciales, el costo por anuncio, el número máximo de
veces que cada uno de ellos está disponible y la evaluación de la calidad de la exposición de cada uno de los cinco
medios, los cuales se muestran en la siguiente tabla:
TV diurna
(1 minuto)
TV nocturna
(30 segundos)
Prensa
Revista
Inmobiliaria
Radio (noticiero)
1500
Tiempo máximo
disponible
por
mes
15
Unidades de
calidad de
exposición
65
2000
3000
10
90
1500
2500
400
1000
25
4
40
60
300
100
30
20
Clientes
potenciales
alcanzados
1000
Costo
anuncio ($)
por
La Corporación La Lagunita autorizó a BP&J un presupuesto de publicidad de $ 30.000 para la campaña del primer
mes, y además le impuso las siguientes restricciones: debe utilizar por lo menos 10 comerciales de televisión, se
deben alcanzar por lo menos 50.000 clientes potenciales y no pueden gastarse más de $ 18.000 en anuncios en
televisión. ¿Qué plan de selección de medios deberá recomendarse a fin de maximizar las unidades de calidad de
exposición?
38.
La compañía de fondos Welte Mutual Funds de Nueva York acaba de obtener $ 100.000 convirtiendo bonos
industriales en efectivo, y está buscando otras oportunidades de inversión para estos fondos. Con base en las
inversiones actuales de la compañía, el analista financiero recomienda que todas las nuevas inversiones se efectúen
en la industria petrolera, en la industria del acero o en bonos del gobierno. Específicamente ha identificado cuatro
oportunidades de inversión y ha proyectado sus tasas de rendimiento anuales, las cuales se muestran a
continuación:
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PROBLEMARIO
Inversión
Atlantic Oil
Pacific Oil
Midwest Steel
Huber Steel
Bonos del tesoro
Tasa de rendimiento proyectado (%)
7,3
10,3
6,4
7,5
4,5
Adicionalmente la administración de la compañía ha impuesto lo siguiente:
-ninguna de las industrias (petróleo o acero) debe recibir más de $ 50.000,
-los bonos del gobierno deben ser por lo menos 25% de las inversiones en la industria del acero,
-por ser la inversión en Pacific Oil de alto rendimiento pero además de alto riesgo, no deberá ser mayor de 60% de la
inversión total en la industria petrolera.
¿Qué recomendaciones de cartera deberá dar?
39.
El grupo de empresas POLAR ha establecido un programa para planes de retiro anticipado para su cuerpo
gerencial como parte de su reestructuración corporativa. Al cierre de período de aplicación voluntaria, 68 gerentes
habían elegido un retiro anticipado. Como resultado de estos planes de retiro anticipado, la empresa ha incurrido en
las siguientes obligaciones (en miles de dólares) para los siguientes 8 años, como se muestra en el siguiente cuadro:
Año
Obligaciones
1
430
2
210
3
222
4
231
5
240
6
195
7
225
8
255
El tesorero corporativo debe determinar cuánto dinero debe apartar hoy para cumplir con las obligaciones
financieras a 8 años conforme venzan. El plan financiero del programa de retiro incluye inversiones en bonos del
gobierno, así como en ahorro.
Las inversiones en bonos del gobierno se limitan a 3 alternativas:
Bonos
Precio ($)
Tasa de Rendimiento
Años
hasta
el
del Tesoro
(valor facial $ 1000)
(% sobre valor facial)
vencimiento
1
1150
8,875
5
2
1000
5,500
6
3
1350
11,750
7
Cualquier fondo no invertido en bonos del tesoro se colocará en una cuenta money market generando una tasa anual
del 4%.
40.
La empresa McCormick fabrica dos productos con contribuciones a la utilidad por unidad de 10$ y de 9$
respectivamente. En la siguiente tabla se muestran las necesidades de mano de obra por unidad producida y las
horas de mano de obra disponible por personal asignado a cada uno de los cuatro departamentos.
Producto 1
Producto 2
Total
horas
Horas
de
(horas/unidad)
(horas/unidad)
disponibles
Mano de Obra
Departamento
1
0,65
0,95
6500
2
0,45
0,85
6000
3
1,00
0,70
7000
4
0,15
0,30
1400
Ahora bien, McCormick tiene un programa de capacitación cruzada en las tareas de distintos departamentos que
permite que algunos empleados puedan ser transferidos para realizar los trabajos en departamentos alternos.
Aprovechando estas habilidades de capacitación cruzada, un número limitado de empleados y de horas de mano de
obra pueden transferirse de un departamento a otro.
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PROBLEMARIO
En el siguiente cuadro se muestran las transferencias permitidas por capacitación cruzada entre departametos:
Transferencias
al dpto.
Transferencias
Del dpto.
Dpto.1
Dpto.2
Dpto.3
Dpto.4
Dpto.
1
Dpto.
2
Dpto.
3
Dpto.
4
Si
Si
Si
Si
Si
-
Si
Si
-
Horas
Máximas
Transferible
s
400
800
100
200
Determine cuál es la mezcla óptima del producto y cuál es la asignación óptima de la fuerza de trabajo.
41.
Western Family Steakhouse ofrece una diversidad de comidas de bajo costo y de servicio rápido. Aparte de la
gerencia, el restaurante opera con dos empleados de tiempo completo que trabajan 8 horas al día. Los demás
empleados son de tiempo parcial, que se programan en turnos de 4 horas durante las horas pico de comida. El
restaurante abre de 11:00 am a las 10 pm. La administración desea desarrollar un programa para los empleados de
tiempo parcial que minimice el costo de mano de obra,. El costo salarial promedio de los empleados a tiempo parcial
es de 4,60 $ la hora. El total de empleados de tiempo completo y de tiempo parcial necesario varía con la hora del
día de acuerdo a lo siguiente:
HORARIO
Número total de empleados necesarios
11:00 am – 12:00 m
9
12:00 m – 1:00 pm
9
1:00 pm – 2:00 pm
9
2:00 pm – 3:00 pm
3
3:00 pm – 4:00 pm
3
4:00 pm – 5:00 pm
3
5:00 pm – 6:00 pm
6
6:00 pm – 7:00 pm
12
7:00 pm – 8:00 pm
12
8:00 pm – 9:00 pm
7
9:00 pm – 10:00 pm
7
Un empleado de tiempo completo entra a trabajar a las 11:00 am, trabaja 4 horas, descansa una hora y vuelve para
otras 4 horas. El otro empleado de tiempo completo llega a trabajar a la 1:00 pm y trabaja siguiendo el mismo patrón
de 4 horas de trabajo, una hora de descanso y 4 horas de trabajo.
Desarrolle un modelo de costo mínimo para los empleados de tiempo parcial.
Cómo ajustaría el modelo si a los empleados de tiempo parcial se les pueda asignar turnos de 4 o de 3 horas?
42.
Desarrolle un modelo de planificación de 3 meses de la producción e inventarios para Allen Manufacturing
Company considerando el precio de ventas, los costos de producción en horario normal, los costos de producción en
sobretiempo, los costos de almacenamiento de inventario y los costos por ventas no realizadas.
Utilice la siguiente información relevante:
Período
Precio de
Venta Unitario
1
2
3
5.00
5.00
5.50
Costo de
Producción
Unitario
2.80
2.90
3.00
Demanda
500
300
400
Costo de
Almacenamient
o Unitario
0.50
0.50
0.55
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PROBLEMARIO
Capacidad de Producción (Unidades)
Período
1
2
3
Normal
250
300
300
Sobre Tiempo
100
100
125
El costo de producción en sobretiempo en cada período es 20% superior al costo de producción unitario mostrado.
El costo por ventas no realizadas de 4 dólares por unidad en cualquier período toma en consideración la pérdida de
imagen ante el cliente. El inventario inicial del período 1 es de 100 unidades. Además la empresa desea tener por lo
menos 50 unidades en inventario final para el período 3 al fin de prepararse para el período 4.
Desarrolle un modelo de programación lineal que pueda ser utilizado para determinar el programa óptimo de
producción e inventario para Allen Manufacturing. Determine las ventas, la producción en horario normal, la
producción en sobretiempo, el inventario final y las ventas no realizadas para los tres períodos de tal manera de
optimizar la utilidad neta obtenida.
Tenga en cuenta:
Ventas no realizadas (t) = demanda (t) – ventas (t)
Inventario final (t) = Inventario inicial (t) + producción (t) – ventas (t)
43.
Morton Financial Institution debe decidir sobre la proporción a invertir en cada una de las alternativas de
inversión ofrecidas, esto es, inversión A e inversión B. En el siguiente cuadro se muestra el flujo de caja de cada
una de estas alternativas de inversión, sobre la base del 100% de inversión requerido, siendo posible la participación
parcial (un porcentaje) en cada una de ellas.
En el mismo cuadro también se muestran los recursos disponibles para nuevas inversiones en cada uno de los
períodos.
En cada período Morton Financial puede tomar fondos en préstamos a una tasa por período del 18%, los cuales
deberá retornar en el período siguiente. También puede colocar recursos en cuentas de ahorro al 10% por período.
Desarrolle un modelo de programación lineal que permita decidir a Morton Financial sobre el porcentaje de
participación en cada una de las inversiones A y B.
Período
1
2
3
4
Final 4
Fondos Disponibles
para Nuevas
Inversiones
1500
400
500
100
Flujo de Caja
Inversión A
Flujo de Caja
Inversión B
-1000
-800
-200
200
3200
-800
-500
-300
300
3500
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PROBLEMARIO
Ejercicios de Solución Gráfica
1.
Una empresa distribuidora de vehículos puede comercializar dos tipos de vehículos, automóviles y camionetas.
La utilidad que le puede proporcionar cada vehículo es de $300 por auto y $400 por camioneta. La fabrica de
ambos tipos de vehículos puede proporcionar un máximo de 300 autos y 200 camionetas. Sin embargo para
que los vehículos puedan ser vendidos es preciso procesarlos. El taller de procesamiento tiene una capacidad
de 900 horas para procesar vehículos. Un automóvil requiere 2 horas de procesamiento, mientras que una
camioneta requiere 3 horas. Determine el número de vehículos a ser distribuido para maximizar utilidades.
Resuelva el problema gráficamente.
2.
La compañía TROFEOS C.A. fabrica trofeos para los campeonatos de las ligas escolares de fútbol y béisbol, y
requiere definir su producción para el próximo cierre de temporada a realizarse en el mes de junio. Cada trofeo
de fútbol tiene una base de madera, una placa metálica y una pelota de fútbol elaborada en plata encima, y su
venta genera una utilidad a la compañía de 12$. Cada trofeo de béisbol es similar en su elaboración con la
diferencia de que tiene encima una pelota de béisbol y la utilidad que genera por cada venta es de 9$.
Dado que las pelotas de fútbol son más grandes, su base requiere 4 listones de madera para su elaboración,
mientras que las de béisbol, requieren sólo 2 listones. Actualmente la fábrica dispone de un inventario de 1000
pelotas de plata de fútbol y de 1500 pelotas de béisbol, 1750 placas y 4800 listones de madera.
Cómo
deberá distribuirse la producción de trofeos a fin de maximizar al utilidad total de la empresa, bajo el supuesto
de que todos los trofeos se venderán?
3.
La compañía Reddy Mikks produce pinturas tanto para interiores como para exteriores, a partir de dos materias
primas M1 y M2. La siguiente tabla proporciona los datos básicos del problema:
Pintura para
Pintura para
Disponibilidad
Toneladas de
exteriores
interiores
Máxima diaria
materia prima por
(ton.)
tonelada de
Materia Prima M1
6
4
24
Materia Prima M2
1
2
6
Utilidad por
5
4
Tonelada (1000 $)
Una encuesta de mercado restringe la demanda máxima diaria de pintura para interiores a 2 toneladas.
Además, la demanda diaria de pintura para interiores no puede exceder a la de pintura para exteriores por más
de 1 tonelada. Reddy Mikks quiere determinar la mezcla de producto óptima (mejor) de pinturas para interiores
y para exteriores que maximice la utilidad total diaria.
4.
Ozark Farms utiliza diariamente por lo menos 800 libras de alimento especial. El alimento especial es una
mezcla de maíz y semilla de soya, con las siguientes composiciones:
Libra por libra de
Costo
alimento para ganado
($/libra)
Fibra
Proteínas
Alimento para ganado
Maíz
0,09
0,02
0,30
Semilla de Soya
0,60
0,06
0,90
Los requerimientos dietéticos diarios del alimento especial estipulan por lo menos un 30% de proteínas y cuando
mucho un 5% de fibra. Ozark Farms desea determinar el costo mínimo diario de la mezcla de alimento.
5.
Radioco manufactura 2 tipos diferentes de radios. Lo único necesario para la producción de los radios es la
mano de obra. En la actualidad la empresa tiene dos trabajadores. El trabajador 1 está contratado hasta 40
horas a la semana y se le paga a Bs. 5.000 la hora. El trabajador 2 está contratado por 50 horas a la semana y
se le paga Bs. 6.000 la hora. En la Tabla 1 se presentan el precio de venta, el costo y las horas requeridas por
cada tipo de radio. Formule un modelo de PL que le permita a Radioco maximizar sus ganancias.
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PROBLEMARIO
Recurso requerido
Trabajador 1
Trabajador 2
Materia prima
Precio venta
Radio 2
2 horas
1 hora
Bs. 4.000
Bs. 22.000
6.
Una lata de alimentos para perros clase A contiene 12 mg de proteína y 4 mg de grasa, mientras que una lata
de alimento clase B contiene 3 mg de proteína y 8 mg de grasa. Del Matthews administra una pequeña perrera.
Para la alimentación de sus huéspedes el día de mañana, ha decidido prepara una mezcla comestible para
perros que contenga por lo menos 30 mg de proteína y 24 mg de grasa. Si una lata de alimentos clase A cuesta
$0,80 y una de clase B $0,60. Formule un modelo de PL que permita minimizar el costo de preparación de la
comida y resuélvalo gráficamente.
7.
Dorian Auto fabrica automóviles de lujo y camiones. La compañía opina que sus clientes más probables son
mujeres y hombres de ingresos altos. Para llegar hasta estos grupos, Dorian Auto lanzó una campaña
ambiciosa de publicidad por televisión y decidió comprar comerciales de 1 minuto en dos tipos de programas:
series cómicas y juegos de fútbol. 7 millones de mujeres de ingresos altos y 2 millones de hombres de ingresos
altos ven cada comercial en series cómicas. 2 millones de mujeres de ingresos altos y 12 millones de hombres
de ingresos altos ven cada comercial en juegos de fútbol. Un comercial de 1 minuto en una serie cómica cuesta
50.000 dólares, y un comercial de 1 minuto en un juego de fútbol cuesta 100.000 dólares. Dorian Auto quisiera
que por lo menos 28 millones de mujeres de ingresos altos y 24 millones de hombres de ingresos altos vieran
los comerciales. Formule un modelo de PL para determinar cómo Dorian Auto puede alcanzar sus
requerimientos publicitarios a un costo mínimo.
8.
Giapetto fabrica dos tipos de juguetes de madera: soldados y trenes. Cada soldado se vende a Bs. 2.700 y
requiere de Bs. 1.000 de materia prima, sin embargo, cada soldado que se elabora incrementa los costos
variables de mano de obra y costos generales en Bs. 1.400. Por otro lado, cada tren se vende a Bs. 2.100 y
requiere de Bs. 900 de materia prima, además de incrementar los costos de mano de obra y costos generales
en Bs. 1.000. La producción de soldados y trenes de madera necesita dos tipos de trabajo especializado,
siendo éstos: carpintería y acabado. Un soldado requiere de 2 horas de acabado y 1 hora de carpintería. Un
tren requiere de 1 hora de acabado y 1 hora de carpintería. Cada semana, Giapetto puede conseguir toda la
materia prima que necesita, pero sólo dispone de 100 horas de acabado y 80 horas de carpintería. La demanda
de los trenes no tiene límite, pero se venden a lo sumo 40 soldados semanalmente. Giapetto quiere maximizar
su ganancia semanal.
a.
b.
c.
d.
9.
Tabla 1
Radio 1
1 hora
2 horas
Bs. 5.000
Bs. 25.000
Formule el problema y resuélvalo gráficamente.
Suponga que el proveedor que le suministra la pintura para los juguetes a Giapetto ha encontrado
dificultades para la reposición de la pintura necesaria y sólo podrá disponer de 18 galones de pintura
semanales para suplir a Giapetto de sus requerimientos de pintura para los juguetes. Giapetto estima
que en cada soldado utiliza 0,3 galones de pintura y en cada tren 0,2 galones de pintura. Determine la
nueva solución óptima bajo esta circunstancia.
En virtud de que Giapetto ha sido buen pagador durante los últimos meses, el proveedor de madera para
los soldados ha obsequiado a Giapetto con un descuento de Bs. 100 por la madera adquirida para cada
soldado. Determine la nueva solución óptima.
A Giapetto le han ofrecido un contrato bajo el cual tendrá que suplir una demanda mínima de 60 soldados y
90 trenes semanales. Determine la nueva solución óptima.
PROTAC Inc. Produce dos líneas de maquinaria pesada. Una de sus líneas de productos, llamada equipo de
excavación, se utiliza principalmente en aplicaciones de construcción. La otra línea, denominada equipo para
aserrar, está destinada a la industria maderera. Tanto la maquinaria más grande de la línea de equipo de
excavación (E-9), como la mayor de toda la línea de equipo para aserrar (F-9) son fabricadas en los mismos
departamentos y con el mismo equipo. Empleando las proyecciones económicas correspondientes al siguiente
mes, el gerente de mercadotecnia de PROTAC ha considerado que durante ese período será posible vender
todas las E-9 y las F-9 que la compañía sea capaz de producir. La gerencia tiene que recomendar ahora una
meta de producción para el mes próximo si la dirección de PROTAC desea maximizar las ganancias de la
empresa. Los datos para formular este problema son:
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PROBLEMARIO
a) Cada E-9 vendida produce una utilidad de $5.000 y cada F-9 de $ 4.000.
b) Cada producto pasa por las operaciones de maquinado, tanto en el departamento A como en el B.
c) Para el mes próximo, estos dos departamentos tienen disponibles 150 y 160 horas, respectivamente. La
d)
e)
f)
fabricación de cada E-9 requiere 10 horas de maquinado en el departamento A y 20 horas en el
departamento B, mientras que cada F-9 requiere de 15 horas en el departamento A y 10 en el B.
Para que la gerencia cumpla una acuerdo concertado con el sindicato, las horas totales de trabajo
invertidas en la prueba de productos terminados del siguiente mes no debe ser más allá del 10% inferior de
una meta convenida de 150 horas. Estas pruebas se llevan a cabo en un tercer departamento y no tienen
nada que ver con las actividades de los departamentos A y B. Cada E-9 es sometida a pruebas durante 30
horas y cada F-9 durante 10.
Con el fin de mantener su posición actual en el mercado, la alta gerencia ha decretado como política
operativa que deberá construirse cuando menos una F-9 por cada 3 E-9 que sean fabricadas.
Uno de los principales distribuidores ha ordenado un total de cuando menos cinco E-9 y F-9 (en cualquier
combinación) para el próximo mes, por lo cual tendrá que producirse al menos esa cantidad.
10. Dado el siguiente problema de programación lineal:
Maximizar
Sujeto a:
Z = 4X1 + 5X2
2X1 + 3X2 ≤ 120
2X1 + 1.5X2 ≤ 80
X1 , X2 ≥ 0
Encuentre la solución óptima para el problema utilizando el método gráfico
11. Dado el siguiente problema de programación lineal:
Maximizar
Sujeto a:
Z = 3X1 + 2X2
X1
≤ 10
X2 ≤ 10
X1 + X2 ≤ 16
X1 , X2 ≥ 0
a.
b.
Muestre gráficamente la región factible para el problema
Si se cambiara la función objetivo a 2X1 + 3X2 ¿Cuál sería la solución óptima?
12. Dado el siguiente problema de programación lineal:
Maximizar
Sujeto a:
Z = 3X1 + X2
6X1 + 4X2 ≤ 48
3X1 + 6X2 ≤ 42
X1 , X2 ≥ 0
Resuelva gráficamente el problema.
13. Considere el siguiente problema de programación lineal
Maximizar
Sujeto a:
Z = X1 + X2
2X1 + 4X2 ≤ 12
3X1 + 2X2 ≤ 12
X1 , X2 ≥ 0
a.
b.
Encuentre la solución óptima utilizando el procedimiento gráfico
Si se cambiara la función objetivo a X1 + 3X2 ¿Cuál sería la solución óptima?
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PROBLEMARIO
14. Grafique las siguientes restricciones y señale el área de las soluciones factibles:
3X1 + 3X2 ≤ 300
6X1 + 3X2 ≤ 480
3X1 + 3X2 ≤ 480
X1 , X2 ≥ 0
15. Encuentre gráficamente la solución a los siguientes problemas:
a.
min
z = -3 x1 + 5 x2
s.a.
x1
≤ 4
x2 ≤ 6
3 x1 + 2 x2 ≥ 18
x1, x2 ≥ 0
b.
max
z = 4 x1 + 4 x2
s.a.
-2 x1 + 2 x2 ≤ 2
- x1 + 2 x2 ≤ 4
x1, x2 ≥ 0
c.
max
z = 2 x1 + 2 x2
s.a.
x1 + x2 ≤ 2
x1 + x2 ≥ 4
x1, x2 ≥ 0
16. Considere el siguiente problema de programación lineal. Resuélvalo en forma gráfica.
Maximizar
Sujeto a:
Z = 20X1 + 22X2
8X1 + 6X2 ≤ 48
6X1 + 8X2 ≤ 48
7X1 + 7X2 = 42
X1 , X2 ≥ 0
17. Considere el siguiente problema de programación lineal. Resuélvalo en forma gráfica.
Minimizar
Sujeto a:
Z = 1.5X1 + 2X2
2X1 + 2X2 ≤ 8
2X1 + 6X2 ≥ 12
X1 , X2 ≥ 0
18. Resuelva gráficamente el siguiente problema de programación lineal:
Maximizar
Sujeto a:
Z = 3X1 + 2X2
3X1 + 5X2 ≤ 45
6X1 + 4X2 ≤ 48
X1 , X2 ≥ 0
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PROBLEMARIO
19. Utilice el método gráfico para resolver el siguiente problema:
Maximizar
Sujeto a:
Z = 2X1 + X2
X2
≤ 10
2X1 + 5X2 ≤ 60
X1 + X2 ≤ 18
3X1 + X2 ≤ 44
X1 , X2 ≥ 0
a.
b.
Encierre en un círculo todos los puntos extremos
Indique cuál es la solución óptima
20. Dado el siguiente problema:
Maximizar
Sujeto a:
Z = X1 + X2
X1 + 2X2 ≤ 6
6X1 + 4X2 ≤ 24
3X1 + 3X2 ≤ 21
X1 , X2 ≥ 0
a.
b.
Identifique la región factible del problema
¿Tiene el problema una restricción innecesaria? Si es así, ¿Cuál es?¿Cambiaría la solución óptima para el
problema si se eliminara esa restricción?
21. Considere el siguiente problema de programación lineal:
Max z(x) = c1 x1 + c2 x2
Sujeto a -4 x1 + 3 x2 ≤ 12
2 x1 + x2 ≥ 2
-3 x1 - 2 x2 ≤ -6
2 x1 + 5 x2 ≥ 10
2 x2 ≤ 12
x1 , x2 ≥ 0
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
Grafique la región factible
Identifique una restricción abundante y explique por qué lo es.
Qué rango de valores deben tener c1 y c2 para que la solución óptima no sea acotada?
Qué relación debe existir entre c1 y c2 para que existan soluciones óptimas alternativas en el segmento de recta
que une los puntos (x1 = 3/2, x2= 6) (x1=0, x2=4)?
Qué sucede con la región factible si se añade la restricción 6 x1 + 3 x2 = 18?
Qué sucede con la solución óptima si c1 = 0 y c2 > 0?
Cuál es la relación entre c1 y c2 para que (x1 = 3/2, x2= 6) sea la solución óptima?
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PROBLEMARIO
Ejercicios de Método SIMPLEX y Dualidad
1.
La Federación de Deportes Universitarios está elaborando planes para distribuir los tickets de entrada para los
próximos campeonatos de las ligas de béisbol universitario. Los 10.000 puestos disponibles deberán ser
distribuidos entre los medios de comunicación, las universidades e institutos competidores y el público en general.
Los medios de comunicación deberán ser admitidos gratis, sin embargo, la Federación de Deportes Universitarios
recibirá 45$ por cada entrada de las universidades y 100$ por cada entrada del público en general.
Al menos 500 entradas reservarse para los medios de comunicación, y al menos deberán destinarse para las
universidades la mitad de las entradas destinadas para el público en general.
2.
a.
Formule el problema como un PPL en el cual las variables de decisión x1 represente las entradas asignadas a
los medios de comunicación, x2 las entradas asignadas a las universidades y x3 las entradas asignadas al
público en general. Explique el significado de cada ecuación y función utilizada, recursos, actividades.
b.
Obtenga la salida del programa LINDO y/o WinQSB de PL, al utilizar las variables especificadas, conteste las
preguntas más abajo formuladas.
c.
Interprete los resultados de la salida de LINDO, identifique los recursos, variables, actividades, decisiones,
objetivo.
d.
Formule el problema dual e interprete el significado del objetivo, cada variable de decisión y cada restricción
dual.
e.
f.
Verifique a través de los valores óptimos de las soluciones dual y primal que la solución mostrada es la óptima.
Verifique el cumplimiento del teorema de holgura complementaria.
g.
Cuál es el costo marginal de cada asiento destinado a los medios de comunicación?
h.
Suponga que mediante un arreglo alternativo del estadium universitario donde se realizarán los juegos, se
podrán disponer de 15.000 asientos. Cuánto ingreso adicional recibirá la Federación de Deportes Universitarios
por estos asientos adicionales? Qué sucedería si se incrementa la disponibilidad a 20.000 asientos?
i.
Como los ingresos de los eventos de la Federación de Deportes provienen fundamentalmente de los ingresos
por publicidad vendida a la televisión, se tiene otra propuesta de reducir los precios del público general a 50$.
En cuánto se reduciría el ingreso de la Federación? Si el precio se redujera a 30$?
j.
El entrenador de uno de los equipos quiere restringir los asientos destinados a los medios de comunicación a
20% de aquellos destinados a las universidades. Cambiaría esta política la solución óptima? Si la restricción
fuera del 10%?
k.
Para satisfacer la gran demanda de asientos por parte de los patrocinantes de los equipos de las universidades
participantes, la Federación está considerando incluir otro tipo de entrada para ellos, teniendo en cuenta que
esta entrada sería considerada como ocupando 80% de una entrada regular para fines de la ocupación de
asientos en el estadium, pero contaría full contra la regla “asientos universitarios ≥ la mitad asientos público
general”. Una solución óptima consideraría utilizar este tipo de asiento si se vendiera a 35$? Si se vendiera a
25$?
La empresa PROYECTOS GLOBALES C.A. está tratando de organizarse para elaboración de un proyecto para la
construcción de una planta industrial que le han contratado. Para ello podrá contar con asistencia proveniente de
tres fuentes: un número ilimitado de horas de estudiantes de ingeniería a un costo de $ 4 por hora, hasta 500 horas
de técnicos superiores en ingeniería a un costo de $ 10 la hora y un número ilimitado de horas de ingenieros
proyectistas graduados a un costo de $ 25 la hora. Para la realización del proyecto, la gerencia de la empresa ha
determinado el requerimiento de al menos 1000 horas de trabajo profesional. Ahora bien, la hora de un estudiante
de ingeniería se considera con un nivel de productividad del 20% y la de un técnico superior con una productividad
del 30% en relación a la hora de un profesional de la ingeniería ya graduado.
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PROBLEMARIO
La empresa ha designado a uno de sus socios para que dirija la elaboración del proyecto y supervise y controle el
trabajo del equipo de ingenieros, técnicos y estudiantes. Para esta tarea, el socio dispone de sólo 164 horas de
su tiempo, y él sabe por experiencia que los estudiantes requieren de mayor supervisión, que los técnicos y éstos a
su vez, más que los ingenieros graduados. Específicamente, el socio tendrá que dedicar 0.2 horas de su tiempo en
la supervisión de una hora de trabajo de un estudiante, 0.1 horas en la supervisión de una hora de un técnico
superior y 0.05 horas por cada hora de trabajo de un ingeniero graduado.
3.
a.
Cuánto se incrementaría el costo del proyecto si se requieren 1050 horas de trabajo profesional?
b.
La disponibilidad de horas del socio influye en la solución óptima?
c.
Cuánto cambia el costo del proyecto si el socio sólo puede dedicar 150 horas a la dirección y supervisión del
proyecto?
d.
Cuánto debería cambiar la tarifa horaria de los técnicos superiores para que sea atractiva su utilización dentro
del proyecto?
e.
Cuánto aumentaría el costo del proyecto si la tarifa de los ingenieros profesionales aumenta a $ 30 por hora?
f.
Suponga que el socio decide que al menos la mitad de todas las horas de proyecto se contraten a estudiantes y
técnicos superiores. Este requerimiento alteraría la solución óptima?
g.
Suponga que se dispone de un número ilimitado de horas de técnicos superiores. Está flexibilización de las
condiciones, alteraría la solución óptima?
h.
Considere que un ingeniero recién graduado de la firma ha expresado su interés en participar en el proyecto. A
qué tarifa horaria estaría el socio interesado en permitir la participación de este ingeniero, si es 80% tan eficiente
como un ingeniero graduado con experiencia y requiere 0.10 horas de supervisión del socio por cada hora de
trabajo?
Los laboratorios PHARMA pueden manufacturar su más reciente producto bajo cualquiera de tres procesos distintos:
-El proceso 1 cuesta $14.000 por activación y requiere 3 toneladas de la materia prima A y 1 tonelada de la
materia prima B, y produce 2 toneladas del producto.
-El segundo proceso cuesta $ 30.000 por activación y requiere 2 toneladas de la materia prima A y 7 toneladas de la
materia prima B y produce 5 toneladas del producto.
-El tercer proceso cuesta $ 11.000 por activación, y requiere 9 toneladas de la materia prima A y 2 toneladas de
la materia prima B y produce 1 tonelada del producto.
Laboratorios PHARMA quiere encontrar la vía menos costosa par producir al menos 50 toneladas del nuevo producto,
dado que dispone de 75 toneladas de la materia prima A y 60 toneladas de la materia prima B.
a)
Formule el problema como un problema de PL y resuélvalo mediante LINDO y/o WinQSB. Explique brevemente en
este problema:
a. Los recursos asociados con la función objetivo y cada restricción principal.
b. Las actividades asociadas con cada variable de decisión.
c. Interpretación de los coeficientes del lado izquierdo de cada variable de decisión.
b)
Defina el problema dual asociado a a) e interprete su significado y unidad de medida, esto incluye:
a. Variables duales
b. Restricciones duales
c. Objetivo dual
c)
Verifique el cumplimiento de las relaciones duales primales, incluyendo:
a. Valor de los objetivo
b. Valor de las variables vrs. holguras
d)
Conteste las siguientes preguntas:
a. Cuánto costará producir 70 toneladas del nuevo producto?
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PROBLEMARIO
b.
c.
d.
e.
f.
g.
4.
Cuánto estará dispuesto PHARMA a pagar para obtener 20 toneladas más de la materia prima 1?
Cuánto mas económico o menos costoso tendrá que hacerse el proceso 3 para que sea conveniente su
activación o puesta en marcha?
Cuánto aumentaría el costo de producción de las 50 toneladas de producto si el costo de activar el proceso 2
aumenta a $ 32.000?
Cuánto disminuiría el costo de producción si el costo de activar el proceso 1 disminuye a $ 13.000?
Suponga que el departamento de ingeniería está programando un nuevo proceso que produce 6 toneladas
del producto utilizando 3 toneladas de cada una de las materias primas. Cuál debería ser el costo de este
nuevo proceso para que sea atractiva su utilización o activación?
Suponga que los tres procesos actualmente utilizan 1, 3 y 2 toneladas por lote de una tercera materia prima,
pero no se sabe cuánta materia prima se tiene disponible. Determine el monto mínimo requerido de esta
materia prima para que la solución óptima obtenida en la tabla no cambie.
La empresa PETROLEO MUNDIAL C.A. puede comprar dos tipos de petróleo crudo: crudo ligero a un costo de $25
por barril, y petróleo pesado a $ 22 por barril. Cada barril de petróleo crudo ya refinado, produce tres productos:
gasolina, turbosina y querosene. La siguiente tabla indica las cantidades en barriles de gasolina, turbosina y
querosene producidos por barril de cada tipo de petróleo crudo:
GASOLINA
TURBOSINA
QUEROSENE
Crudo Ligero
0.45
0.18
0.3
Crudo Pesado
0.35
0.36
0.2
La refinería se ha comprometido a entregar 1 260 000 barriles de gasolina, 900 000 barriles de turbosina y 300 000 barriles de
querosene. Como gerente de producción, formule un modelo para determinar la cantidad de cada tipo de petróleo crudo por
comprar para minimizar el costo total al tiempo que se satisfaga la demanda apropiada.
a.
Formule el problema como un modelo de programación lineal.
b.
Resuelva el problema gráficamente y responda cuál es el plan óptimo de compra y el costo total del petróleo crudo
comprado.
c.
Cuántos barriles de cada producto se deberán producir?
d.
La gerencia espera un incremento en el precio del petróleo crudo pesado de hasta $ 7 por barril. Qué impacto tendrá
esto en el plan de compra actual y el costo total? Explique.
e.
Contrariamente a la expectativa de la parte anterior, el costo del petróleo crudo pesado no ha cambiado, pero el del
petróleo crudo ligero se ha incrementado en $ 4 por barril. Qué impacto tiene esto en el plan de compra actual y el
costo total? Explique.
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PROBLEMARIO
Ejercicios de Sensibilidad
1.
Una empresa metalúrgica produce dos tipos de acero (tipos 1 y 2) en tres acerías diferentes. Durante un mes
dado, cada acería dispone de 200 horas de alto horno. El tiempo y el costo de producir una tonelada de acero,
varía de una planta a otra, debido a las diferencias entre los hornos de cada planta. La Tabla 1 muestra el
tiempo y el costo de producción para cada fábrica. Cada mes, la empresa tiene que producir por lo menos 500
ton de acero tipo 1 y 600 ton de acero tipo 2. Resuelva el problema de programación lineal que permita
minimizar los costos de producción.
Tabla 1
Acería 1
Acería 2
Acería 3
ACERO TIPO 1
COSTO ($)
TIEMPO (min.)
10
20
12
24
14
28
ACERO TIPO 2
COSTO ($)
TIEMPO (min.)
11
22
9
18
10
30
Se desea realizar un análisis de sensibilidad de la solución óptima. Utilice los resultados del análisis de
sensibilidad del programa computarizado para contestar las siguientes preguntas:
a.
b.
c.
d.
2.
¿Qué pasaría con la solución óptima del problema si el costo por tonelada para fabricar acero tipo 1 en la
Acería 3 es de $7/ton?
¿Convendría aumentar las horas de horno en alguna de las acerías?¿En cuál lo haría usted?
¿Qué pasaría si se incrementa el compromiso de fabricar acero tipo 2 a 900 toneladas por mes?
Si se le pide producir 50 toneladas más de acero, ¿cuál de los dos tipos fabricaría usted y por qué?
Un fabricante hace tres componentes para venderlos a compañías de refrigeración. Los componentes se
procesan en dos máquinas: conformadora y ensambladora. Los tiempos (en minutos) requeridos por cada
componente en cada máquina se indican en la Tabla 2:
Tabla 2
Componente
1
2
3
Máquina
Conformadora
Ensambladora
6
4
3
5
4
2
La conformadora está disponible por 120 horas y la ensambladora está disponible por 110 horas. No se pueden
vender más de 200 unidades del componente 3, pero se pueden vender hasta 1000 unidades de los otros dos
componentes. De hecho la fábrica tiene órdenes de venta por cumplir del componente 1 de 600 unidades. Las
utilidades por la venta de cada componente 1, 2 y 3 son respectivamente $8, $6 y $9.
a.
b.
c.
d.
e.
3.
¿Cuánto debe ser la utilidad del componente 2 para que se fabrique?.
¿Qué sucede si la ensambladora sólo está disponible por 90 horas?
Si se pudieran conseguir más horas de la máquina ensambladora, ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar?
¿Qué sucede si se incrementa el compromiso de vender unidades del componente 1 a 800 unidades? ¿y si
se incrementa a 1200 unidades?
Si se pudieran vender más unidades del componente 3 reduciendo su precio en $4, ¿Valdría la pena
hacerlo?
La Compañía Gepbab Production utiliza mano de obra y materia prima para producir tres productos. En la Tabla
3 se muestran los requerimientos de recursos y las utilidades por cada unidad de producto. Actualmente se
disponen de 60 unidades de materia prima y se pueden comprar hasta 90 horas de mano de obra, a $ 1 la hora.
Resuelva el PL que le permita maximizar las ganancias de la empresa.
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PROBLEMARIO
Tabla 3
Mano de obra por unidad
Materia prima por unidad
Utilidad por unidad ($)
PRODUCTO 1
3h
2 unid.
6
PRODUCTO 2
4h
2 unid.
8
PRODUCTO 3
6h
5 unid.
13
Conteste las siguientes preguntas al resolver el problema:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
4.
¿Cuál es la máxima cantidad que estaría dispuesta a pagar la compañía por otra unidad de materia prima?
¿Cuál es la máxima cantidad que estaría dispuesta a pagar la compañía por otra hora de trabajo?
Si se pueden comprar 100 horas de mano de obra. ¿Cuál sería la utilidad de la compañía?
Encuentre una nueva solución óptima si el producto 3 se vende a $15 por unidad
¿Cuál tendría que ser el precio de venta del producto 1 para que la compañía lo fabricara?
¿Qué sucede si sólo se pueden comprar 70 horas de mano de obra?
¿Cuál sería la utilidad de la compañía, si sus clientes le exigen la fabricación de por lo menos 10 unidades
del producto 2?
Si la compañía decide fabricar una producción combinada de al menos 15 unidades de los productos 2 y 3,
¿Cuál sería la nueva utilidad de la empresa?
La empresa le delega a usted la responsabilidad de decidir entre aumentar el número de horas o el número
de unidades de materia prima, ¿Cuál de las dos opciones proporcionará mayor utilidad a la empresa?
Radioco fabrica dos tipos de radios. El único recurso escaso que se necesita para producir los radios es la mano de
obra. Actualmente, la compañía tiene dos trabajadores. El trabajador 1 está dispuesto a trabajar hasta 40 horas a la
semana y se le paga 5 dólares la hora. El trabajador 2 está dispuesto a trabajar hasta 50 horas a la semana y se le
paga 6 dólares la hora. La Tabla 4 muestra los costos de la materia prima, los recursos de mano obra que requiere
cada radio y sus respectivos precios de venta. La empresa desea determinar como organizar la producción de radios
para maximizar sus ganancias. Formule y resuelva el problema de PL y conteste la siguientes preguntas del análisis
de sensibilidad.
Tabla 4
Precio ($)
Costo materia prima ($)
Horas trabajador 1
Horas trabajador 2
a.
b.
c.
d.
e.
f.
5.
RADIO 1
25
5
1
2
RADIO 2
22
4
2
1
¿Para qué valores del precio del radio 1 la base actual permanece óptima?
¿ Para qué valores del precio del radio 2 la base actual permanece óptima?
Si el trabajador 1 estuviera dispuesto a trabajar solamente 30 horas a la semana. ¿Qué pasaría con la
solución del problema?
Si el trabajador 2 estuviera dispuesto a trabajar hasta 60 horas a la semana. ¿Qué pasaría con la solución
del problema?
Si el trabajador 1 estuviera dispuesto a trabajar horas adicionales. ¿Cuál sería la máxima cantidad que
estaría dispuesto a pagar la empresa?
Si el trabajador 2 estuviera dispuesto a trabajar solamente 48 horas. ¿Cuáles serían las utilidades de
Radioco?
La empresa TOYCO ensambla tres tipos de juguetes: trenes, camiones y automóviles, utilizando tres operaciones.
Los límites diarios sobre los tiempos disponibles para las tres operaciones son de 430, 460 y 420 minutos,
respectivamente, y las utilidades por cada tren, camión y automóvil son 3, 2 y 5 dólares, respectivamente. Los
tiempos de ensamble por tren en las tres operaciones son de 1, 3 y 1 minutos, respectivamente. Los tiempos
correspondientes por camión y por automóvil son (2, 0, 4) y (1, 2, 0) minutos. El tiempo 0 indica que la operación no
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PROBLEMARIO
se utiliza.
Variable de Decisión: Xi el número diario de unidades ensambladas de trenes, camiones y automóviles (i=1, 2,
3).
TABLA OPTIMA:
SBF
z
X2
X3
S3
6.
X1
4
-1/4
3/2
2
X2
0
1
0
0
X3
0
0
1
0
S1
1
1/2
0
-2
S2
2
-1/4
1/2
1
S3
0
0
0
1
Solución
1350
100
230
20
a.
TOYCO desea ampliar sus líneas de ensamblaje incrementando en 40% la capacidad diaria de cada
línea a 602, 644 y 588 minutos respectivamente.
b.
En virtud de que la ampliación anterior llevará tiempo, se hizo otra propuesta para cambiar la capacidad
de holgura de la operación 3 en 20 minutos a la capacidad de operación 1.
c.
La capacidad de holgura de la operación 3 se le asigna a la operación 2 en lugar de a la operación 1.
d.
Determinar el rango de la disponibilidad de recursos para el cual la solución sigue siendo óptima.
e.
TOYCO está cambiando el diseño de sus juguetes y este cambio requiere la adición de una cuarta
operación en las líneas de producción. La capacidad diaria de la nueva operación es de 500 minutos y
los tiempos por unidad para los tres productos en esta operación son de 3, 1 y 1 minuto,
respectivamente.
f.
Suponga que los tiempos por unidad en la cuarta operación son de 3, 3 y 1 minuto respectivamente.
g.
Suponga que la compañía tiene una nueva política de determinación de precios para satisfacer o
igualar a la competencia. Las utilidades por unidad bajo la nueva política son de 4, 3 y 4 dólares para
los trenes, camiones y automóviles de juguete.
h.
Suponga ahora que las utilidades son de 6, 3 y 4 dólares, respectivamente.
i.
TOYCO reconoce que los trenes de juguete no se producen en la actualidad debido a que no dejan
utilidad suficiente. La compañía desea reemplazar los trenes de juguete con un producto nuevo, un
camión de bomberos, que ensamblará en las instalaciones existentes. TOYCO calcula que la utilidad
por cada camión de bomberos es de 4 dólares y que los tiempos de ensamble por unidad son de 1
minuto en cada una de las operaciones 1 y 2, y de 2 minutos para la operación 3.
HiDec produce dos modelos de artefactos electrónicos que utilizan resistores, capacitores y chips. La siguiente tabla
resume los datos de la situación:
Recurso
Resistor
Capacitor
Chips
Utilidad por
unidad ($)
Requerimientos de recursos por unidad
Modelo 1 (unidades)
Modelo 2 (unidades)
2
3
2
1
0
4
3
4
Disponibilidad
Máxima (unidades)
1200
1000
800
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PROBLEMARIO
Sean x1 y x2 las cantidades producidas del modelo 1 y 2, respectivamente. A continuación proporcionamos el
modelo de PL y su tabla simples óptima asociada.
Maximizar z = 3 x1 + 4 x2
Sujeto a
2 x1 + 3 x2 ≤ 1200
2 x1 + x2 ≤ 1000
4 x2 ≤ 800
x1, x2 ≥0
Solución
Básica
Factible
z
x1
S3
x2
x1
x2
S1
S2
S3
Solución
0
1
0
0
0
0
0
1
5/4
-1/4
-2
1/2
1/4
3/4
2
-1/2
0
0
1
0
1750
450
400
100
a.
b.
c.
d.
Determine el estado de cada recurso.
En términos de la utilidad óptima, determine el valor de un resistor, de un capacitor y de un chip.
Determine el rango de aplicabilidad de los precios duales para cada recurso.
Si el número disponible de resistores se incrementa a 1300 unidades, encuentre la nueva solución
óptima.
e. Si el número disponible de chips se reduce a 350 unidades, podrá Ud. determinar la nueva solución
óptima directamente de la información proporcionada?
f. Si la disponibilidad de capacitores está limitada por el rango de aplicabilidad calculado en c), determine
el rango correspondiente de la utilidad óptima y los rangos correspondientes para el número de
unidades que se van a producir de los modelos 1 y 2.
g. Un nuevo contratista ofrece venderle a HiDec resistores adicionales a 40 centavos de dólar cada uno,
pero sólo si HiDec compra por lo menos 500 unidades. Debe HiDec aceptar la oferta?
h. Encuentre el rango de utilidad por unidad para el modelo 1 que mantendrá la optimalidad de la solución
actual.
i. Encuentre el rango de utilidad por unidad para el modelo 2 que mantendrá la optimalidad de la solución
actual.
j. Si la utilidad por unidad del modelo 1 se incrementa a 6 dólares, determine la nueva solución.
k. Si la utilidad por unidad del modelo 2 se cambia a 1 dólar, determine la nueva solución.
l. Determine la condición que mantendrá óptima la solución actual si las utilidades por unidad de los
modelos 1 y 2 se cambian simultáneamente.
m. Supongamos que la función objetivo se cambia a z = 5 x1 + 2 x2, determine la solución óptima
asociada.
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PROBLEMARIO
Ejercicios de Transporte y Transbordo
1. Una cervecería tiene dos plantas principales ubicadas en las ciudades de Maracaibo y Puerto La Cruz con una
capacidad de producción diaria de 550 y 650 cajas de cerveza respectivamente y desea suministrarle cerveza a
cuatro mayoristas localizados en Barquisimeto, Valencia, Caracas y Puerto Ordaz con demandas diarias de 200,
250, 400 y 350 cajas respectivamente. La Tabla 1 muestra los costos de transporte entre las plantas y los
mayoristas.
Tabla 1
Planta
Mayorista en:
Valencia
Caracas
$15
$18
$14
$16
Barquisimeto
$9
$23
Maracaibo
Puerto La Cruz
Puerto Ordaz
$21
$10
Se pide determinar la cantidad de cajas de cerveza que se enviarán de cada planta a cada mayorista para satisfacer
sus requerimientos y minimizar los costos de transporte.
2. Una empresa desea programar los envíos diarios de mercancías de dos fabricas (A y B) a tres ciudades (C, D y E).
La producción diaria de la fábrica A es de 100 unidades, mientras que la producción diaria de la fábrica B es de 200
unidades. Las tres ciudades tienen igual demanda diaria de 100 unidades cada una. La Tabla 2 muestra los costos
unitarios de transporte entre las distintas localidades (suponga que los costos son iguales tanto de ida como de
vuelta). Se pide:
Tabla 2
A
B
C
D
E
30
40
10
20
D
20
50
40
C
10
20
B
80
a)
Formular el problema de transporte, es decir, sin permitir ningún tipo de transbordo en alguna localidad.
Resuélvalo mediante STORM y dibuje la red de representación de los envíos.
b)
Resolver de nuevo el problema con STORM si ahora se presenta un problema con la ruta entre la fábrica A y la
ciudad D que impide enviar más de 75 unidades por ella. Dibuje la red de representación de los envíos.
3. Un agricultor posee tres plantaciones de naranjas y desea determinar la forma de enviar los cargamentos a tres
plantas de procesamiento para maximizar sus beneficios. La Tabla 3 muestra las distancias (en millas) entre las
plantaciones y las respectivas plantas, así como los requerimientos de cada planta y las cantidades disponibles de
naranjas en cada plantación.
Tabla 3
Ocala
Distancia (en millas)
Orlando
Leesburg
Oferta (ton.)
1.1 Plantación
21
70
40
250
35
80
200
30
10
525
15
25
225
400
300
1.2 Lynne
Eustis
Clermont
Demanda (ton.)
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PROBLEMARIO
Si el costo de transporte es de $0.10/ton-milla y las utilidades brutas obtenidas por el agricultor en cada fábrica son:
en Ocala $9.50/ton, en Orlando $6.50/ton y en Leesburg $5.00/ton, determine la forma de realizar los envíos que
maximice los beneficios al agricultor.
4. La empresa Boralis fabrica morrales para excursionistas. La demanda de su producto ocurre durante los meses de
marzo a junio de cada año. Boralis calcula que la demanda para los 4 meses es de 100, 200, 180 y 300 unidades,
respectivamente. La compañía utiliza horas extras de mano de obra para fabricar los morrales y, debido a eso, su
capacidad de producción varía mensualmente. Se estima que Boralis puede producir 50, 180, 280 y 270 unidades de
marzo a junio, respectivamente. Debido a que la capacidad de producción y la demanda para los diferentes meses
no es igual, la demanda del mes actual se satisface de tres formas:
•
•
•
Producción del mes actual
Producción excedente de un mes anterior
Producción excedente de un mes posterior
En el primer caso, el costo de producción por morral es de 40 dólares. En el segundo caso se incurre en un costo de
almacenamiento de $0.50 por morral, por mes. Y por último, en el tercer caso, se incurre en un costo adicional de $2
de penalidad por cada mes de demora. Boralis desea determinar el programa de producción óptima para los 4
meses.
5.
El gerente de compras de la línea aérea "Vuelo Seguro" debe decidir sobre la cantidad de combustible de aviación a
comprar de tres posibles proveedores. La línea aérea llena sus aviones regularmente en los cuatro aeropuertos
donde presta sus servicios. Los proveedores de combustible han señalado que para el próximo mes tienen la
siguiente disponibilidad de combustible: la Compañía A, 275.000 litros; la Compañía B, 550.000 litros; y la Compañía
C, 660000 litros. Los requerimientos de combustible en cada aeropuerto son: el Aeropuerto D, 110.000 litros; el
Aeropuerto E, 220.000 litros; el Aeropuerto F, 330.000 litros; y el Aeropuerto G, 440.000 litros.
Cuando se le suma al precio del litro de combustible en cada compañía, los costos de transporte para llevarlo a
cada aeropuerto se obtiene la estructura de precios indicada en la Tabla 4.
Tabla 4
Aeropuerto
D
E
F
G
Compañía A
$10
$10
$9
$11
Compañía B
$7
$11
$12
$13
Compañía C
$8
$14
$4
$9
Se pide determinar la cantidad de combustible que se debe comprar a cada compañía para servir un determinado
aeropuerto y minimizar los costos totales.
6.
La demanda de un pequeño motor especial a lo largo de los siguientes cinco trimestres es de 200, 150, 300, 250 y
400 unidades. El fabricante que suministra el motor tiene diferentes capacidades de producción, calculadas en 180,
230, 430, 300 y 300 para los mismos cinco periodos. Los pedidos pendientes no están permitidos, pero el fabricante
puede utilizar horas extra de producción para satisfacer la demanda, si es necesario. La capacidad de horas extra
para cada periodod es igual a la mitad de la capacidad de la producción regular. Los costos de producción por
unidad para los cinco periodos son de 100, 96, 116, 102 y 106 dólares, respectivamente. El costo de las horas extra
de producción por motor es 50 % más alto que el costo de la producción regular. Si un motor se fabrica ahora para
utilizarlo en periodos posteriores, se incurre en un costo adicional de almacenamiento de 4 $ por motor, por periodo.
Formule el problema como un modelo de transporte.
7.
El mantenimiento preventivo periódico se lleva a cabo en los motores de los aviones donde un componente
importante debe ser reemplazado. El número de aviones programados para ese mantenimiento durante los seis
meses próximos se calcula en 200, 180, 300, 198, 230 y 290 respectivamente. Todo el trabajo de mantenimiento se
hace durante los 2 primeros días del mes y un componente usado puede reemplazarse con un componente nuevo o
uno reparado. La reparación de los componentes usados se hace en una instalación local, en donde estarán listos
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PROBLEMARIO
para utilizarse a principios del siguiente mes o bien se envían a un taller de reparación central, donde se espera una
demora de 3 meses (incluyendo el mes en el cual ocurre el mantenimiento). El costo de la reparación en el taller
local es de 120 dólares por componente. En la instalación central, es costo es de sólo 35 dólares por componente.
Un componente reparado que se utiliza en un mes posterior, incurrirá en un costo mensual de almacenamiento
adicional de 1.50 $/unidad. Los componentes nuevos se pueden comprar a 200 $ cada uno el primer mes, con un
incremento de 5% en el precio cada 2 meses. Formule el problema como un modelo de transporte.
8. Considere el problema del transporte con la siguiente tabla de costos:
$1
$2
$1
$3
$4
$5
$2
$3
$3
Además se sabe que las ofertas de productos en los puntos de origen 1,2 y 3 son 20, 40 y 30 respectivamente. Las
demandas de productos en los puntos de destino 1, 2 y 3 son 30, 20 y 20.
Si un producto de un punto de origen no se envía (a cualquiera de los puntos de destino), se incurre en un costo de
almacenamiento en una proporción de 5, 4 y 3 dólares respectivamente.
Si además, toda la oferta en el punto 2 de origen debe enviarse en su totalidad, para dejar espacio para un nuevo
producto, determine el programa de envío óptimo.
¿Cómo es la solución óptima?
A cuánto tendría que cambiar el costo del punto de origen 2 al punto de destino 3, para que sea atractivo enviar
productos del origen 2 al destino 3?
9.
La demanda de un pequeño motor especial a lo largo de los siguientes cinco trimestres es de 200, 150, 300 250 y
400 unidades. El fabricante que suministra el motor tiene diferentes capacidades de producción, calculadas en 180
230, 430, 300 y 300 para los mismos cinco periodos. Los pedidos pendientes no están permitidos, pero el fabricante
puede utilizar horas extra de producción para satisfacer la demanda, si es necesario. La capacidad de horas extra
para cada periodo es igual a la mitad de la capacidad de la producción regular. Los costos de producción por unidad
para los cinco periodos son de 100, 96, 116, 102 y 106 dólares, respectivamente. El costo de las horas extra de
producción por motor es 50% más alto que el costo de producción regular. Si un motor se fabrica ahora para
utilizarlo en periodos posteriores, se incurre en un costo adicional de almacenamiento de 4 dólares por motor por
periodo. Formule y resuelva el problema como un modelo de transporte.
10. Considere el problema de transporte en el cual dos fábricas surten cierto artículo a tres tiendas. El número de
unidades de oferta disponibles en las fuentes 1 y 2 es de 200 y 300; la demanda en las tiendas 1, 2 y 3 es de 100,
200 y 50, respectivamente. La unidades se pueden transbordar entre las fábricas y las tiendas antes de que lleguen
a su destino final. Se desea encontrar el programa óptimo de envío. Formule el problema como un modelo de
transporte.
Fábricas
Tiendas
$0
$6
$7
$8
$9
$6
$0
$5
$4
$3
$7
$2
$0
$5
$1
$1
$5
$1
$0
$4
$8
$9
$7
$6
$0
11. Suponga que en el problema 1 la empresa decide enviar al producción de las plantas a dos centros de acopio
ubicados en Maracay y Maturín. La Tabla 5 muestra la información adicional acerca de los costos de transporte
desde y hacia los centros de acopio. Formule el problema de PL que permita optimizar el envío de mercancía en
este caso.
Localidad
Maracaibo
Puerto La Cruz
Maracay
Maracay
$16
$13
-
Maturín
$9
$8
$20
Tabla 5
Barquisimeto
Valencia
Caracas
Puerto Ordaz
Ver Tabla 1
$7
$1
$3
$19
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PROBLEMARIO
Maturín
12.
$20
-
$25
$16
$18
$8
Una compañía petrolera tiene tres refinerías que deben suministrar gasolina a centros de distribución en cuatro
ciudades distintas. La Tabla 1 muestra la producción diaria de gasolina (miles de barriles) en las refinerías, la
demanda de gasolina (miles de barriles) en cada ciudad y los costos de transporte por cada 1000 barriles. La
Tabla 2 muestra los costos de almacenamiento en las refinerías o en los centros de distribución de cada ciudad
y las penalidades por no satisfacer la demanda en cada una de las ciudades (los costos vienen expresados en
$/1000 barriles). Se pide formular el problema de transporte que permita minimizar el costo total de distribución
de gasolina.
REF. 1
REF. 2
REF. 3
DEMANDA
Costo almac.
Penalidad
Tabla 1. Costos de Transporte ($/1000 barriles)
CIUDAD 1
CIUDAD 2
CIUDAD 3
CIUDAD 4
10
2
3
15
5
10
15
2
15
5
14
7
100
200
150
250
OFERTA
300
300
300
Tabla 2. Costos de Almacenamiento y Penalidades ($/1000 barriles)
REF. 1
REF. 2
REF. 3
CIUDAD 1
CIUDAD 2
CIUDAD 3
7
4
6
4
5
4
10
12
15
CIUDAD 4
6
9
13. Se tienen 4 puertos A, B, C y D de los cuales A y B tienen 40 y 20 toneladas de carbón respectivamente; y C y D
requieren de 15 y 45 toneladas, respectivamente. Las distancias entre los puertos son las siguientes:
dAD = 1000 km
dCB = 6000 km
dBA = 3000 km
dDA = 2000 km
dBC = 1000 km
dDB = 6000 km
dCA = 3000 km
dDC = 2000 km
Las distancias entre los puertos pueden ser diferentes, ya que el servicio se presta a través de un punto intermedio.
Para el par origen/destino que no tenga distancia, quiere decir que no hay comunicación. Si el costo de transporte,
por tonelada de carbón, es de Bs 1/km, determine la red de transporte que minimiza el costo total.
14. La red de la Figura 1 muestra las rutas posibles para el envío de automóviles de tres plantas (P1,P2 y P3) con
producciones de 450, 700 y 500 automóviles, respectivamente, a través de dos centros de distribución (D4 y D5) a
tres ciudades (C6, C7 y C8) que demandan 550, 500 y 600 automóviles, respectivamente. Los valores de los enlaces
de la red de la Figura 1 representan el costo de envío de cada automóvil en cientos de dólares ($100). Formule la
tabla de transbordo que permita optimizar el costo del envío de los automóviles.
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PROBLEMARIO
Ejercicios de CPM y PERT
1.
La Tabla 1 muestra una lista de actividades de un proyecto, sus relaciones de precedencia y los tiempos
estimados de duración (en semanas). Construya la red de actividades del proyecto, determine las actividades
críticas y la duración del proyecto.
Tabla 1
Actividad
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
2.
Actividades Precedentes
ninguna
ninguna
ninguna
A
C
A
C
B,D,E
A
C
F-G-H
F-G-H
F-G-H
I-K
N-L
I-K
J-M-O
N-L
Duración (semanas)
3
6
7
2
5
5
5
4
5
7
4
3
2
2
6
4
6
2
Un constructor ha definido las actividades mas importantes en la construcción de una casa. La Tabla 2 muestra una
lista de las actividades, sus relaciones de precedencia y los tiempos estimados de duración. Determine las
actividades críticas y cuánto se demorará la construcción de la casa.
Tabla 2
Actividad
a
b
c
d
e
f
g
Descripción
Despejar terreno y hacer fundaciones
Levantar estructura
Instalar plomería y electricidad
Hacer el piso del sótano
Instalar calefacción y ventilación
Hacer las paredes
Hacer los pisos
Act. Precedentes
Ninguna
a
a
a
c
b
d
Duración (días)
6
8
6
4
5
8
3
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PROBLEMARIO
h
i
j
k
l
m
n
3.
Colocar el techo
Frisar las paredes
Completar carpintería
Hacer caminerías y jardines
Lijar y pulir los pisos
Terminar la electricidad
Pintar
b
e,f,g
e,f,g
d
i,h
j
l,m
5
7
6
3
1
1
5
Las actividades en que siguen describen la construcción de una casa nueva. Construya la red del proyecto
asociado. Determine la ruta crítica.
Calcule las holguras e identifique las actividades con bandera roja.
Desarrolle el programa de tiempo suponiendo que todas las actividades comienzan tan pronto como sea posible.
ACTIVIDAD
DESCRIPCION
PREDECESOR
TIEMPO
EJECUCIÓN
(semanas)
A
B
Limpiar, desmalezar y nivelar el terreno
Llevar servicios públicos hasta el lugar
-
1
2
C
Excavar fundaciones
A
1
D
E
Vaciar las fundaciones
Realizar los trabajos de instalaciones sanitarias
exteriores
C
B,C
2
3
F
Construcción de la estructura
D
8
G
H
F
G
2
2
I
Encofrar losa de entrepiso
Colocar tuberías de electricidad y plomería
embutidas en losa
Vaciar losa de entrepiso
H
1
J
Encofrar losa de techo
F
2
K
Colocar tuberías de electricidad y plomería
embutidas en techo
J
1
L
Vaciar losa de techo
K
1
M
Construcción de paredes de bloque internas
I
3
N
O
Construcción de paredes de bloque externas
Colocación de tuberías de electricidad y plomería
embutidas en paredes
Colocar revestimiento en paredes exteriores
Colocar revestimiento en paredes interiores
Colocación de sobrepiso y revestimiento de
pisos
Instalación de piezas sanitarias
Trabajos de carpintería, closets, puertas internas
Instalar ventanas y puertas exteriores
Realizar trabajos de acabados exteriores
Ejecutar labores de jardinería
Colocación de acabado en techo e
i
bili
ió
I,L
M,N
2
2
N,O
M,O
Q
5
4
4
R,E,O,Q
Q
P
P
V
L
2
7
2
4
3
2
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
DE
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PROBLEMARIO
impermeabilización
4.
El banco Mercantil desea mudar su centro de operación de la vicepresidencia de tarjetas de crédito desde su actual
oficina en el edificio principal de las oficinas del banco a una nueva sede ubicada en el este de la ciudad donde
dispondrá de mayor espacio para atender a los tarjetabientes. La junta directiva ha establecido como fecha límite
el 15 de enero, justo cuando los clientes estén llegando de sus vacaciones de navidad, esto es 22 semanas a partir
de la semana entrante.
El traslado de las oficinas es difícil de coordinar pues involucra a muchas divisiones del banco: la división inmobiliaria
deberá seleccionar la oficina en sí a donde se mudarían entre varias opciones posibles, recursos humanos deberá
determinar cuáles empleados se mudarán a la nueva sede y cuántos deberán contratarse y entrenarse, la gerencia
de administración deberá prever los gastos operativos relativos a la mudanza, etc......
Específicamente listamos a continuación las actividades involucradas en el proyecto de mudanza:
ACTIVIDAD
DESCRIPCION
PREDECESOR
TIEMPO DE
EJECUCIÓN
(semanas)
COSTO A
INCURRIR
($)
A
B
Seleccionar oficina
Crear plan organizacional y
financiero
-
3
5
2100
5000
C
Determinar requerimientos
de personal
B
3
1800
D
E
Diseñar la instalación
Remodelar y equipar la
oficina
A, C
D
4
8
4800
32000
F
Seleccionar el personal a
transferir
C
2
1000
G
H
Contratar nuevos empleados
Efectuar la mudanza física,
muebles, personal clave, etc.
F
F
4
2
2800
7000
I
Hacer arreglos financieros
con departamento de
finanzas
B
5
4000
J
Capacitar nuevo personal
H, E, G
3
30000
a.
Elabore el diagrama de red para el proyecto.
b.
Determine para cada actividad el tiempo de inicio más temprano.
c.
Determine para cada actividad el tiempo de terminación más temprano.
d.
Determine para cada actividad el tiempo de inicio más tardío.
e.
Determine para cada actividad el tiempo de terminación más tardío.
f.
Determine la ruta y actividades críticas.
g.
Con este programa, ¿es posible cumplir con las expectativas de la junta directiva? Habiendo
analizado lo anterior, suponga que la capacitación de los nuevos empleados puede hacerse en una
sede alquilada y no necesariamente en la nueva oficina, así no habría que esperar que la sede esté
lista para efectuar la capacitación, sino que ésta pudiera hacerse paralelamente a la remodelación de
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PROBLEMARIO
la oficina. Para ello deberá añadirse una nueva actividad (K) con una duración estimada de 3
semanas y un costo de 1500 $ para “preparar la capacitación”. Como quedaría el programa con esta
nueva consideración?
5.
6.
h.
Determine las holguras libre y total para cada actividad, sobre el programa final.
i.
Elabore el cronograma de programación de actividades final.
j.
Elabore un presupuesto semanal de costos del proyecto final suponiendo que todas las actividades
comenzarán lo más pronto posible.
La Tabla 3 muestra el conjunto de actividades de un proyecto, sus relaciones de precedencia y los tiempos
optimista, problable y pesismista de duración de cada actividad. Determine la probabilidad de que la duración del
proyecto sea menor de un mes.
Tabla 3
Duración (días)
Actividad
Act. Preced.
Opt.
Prob.
Pesim.
A
ninguna
2
5
14
B
ninguna
2
9
10
C
ninguna
3
5
7
D
A
1
4
7
E
C
2
3
4
F
A
1
3
5
G
C
10
11
12
H
F
2
3
10
I
D-B-E
5
6
13
J
D-B-E
5
8
17
K
G-J
4
7
16
L
H-I
6
8
16
M
G-J
1
3
5
N
L-K
4
7
10
O
M
1
3
7
La Tabla 4 muestra un conjunto de actividades de un estudio de transporte. Se indica la prelación entre actividades y
una lista de los tiempos (optimista, mas probable y pesimista) de duración de cada actividad. Usando estos datos,
calcule:
a.
b.
c.
Lista de actividades críticas.
Tiempo esperado de duración del estudio y su varianza.
Probabilidad de acortar la duración del proyecto por debajo de dos años (duración programada
inicialmente).
Tabla 4
Tiempos (semanas)
Actividades
Inmediatamente Preced.
Opt.
Prob.
Pes.
1. Diseño inicial del estudio
Ninguna
8
12
16
2. Encuesta de hogares
1
22
25
40
3. Inventario de usos del suelo
1
14
20
26
4. Inventario de empleos
1
6
8
10
5. Encuestas en la vía
1
10
12
14
6. Inventario de estacionamientos
1
3
4
5
7. Inventario vial
1
8
10
18
8. Encuesta de carga y taxis
1
4
5
6
9. Otras encuestas complementarias
1
3
7
11
10. Diseño modelo crecimiento regional
1
10
12
14
11. Diseño modelo uso del suelo
1
10
15
20
12. Diseño modelo de transporte
1
8
10
12
13. Calibración modelo crecimiento regional
2,4,10
1
3
5
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ASIGNATURA: PS-1111 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
PROBLEMARIO
14. Calibración modelo uso del suelo
15. Calibración modelo de transporte
16. Pronósticos de crecimiento regional
17. Pronósticos de uso del suelo
18. Pronósticos de transporte
19. Evaluación Pronósticos de uso del suelo
20. Evaluación Pronósticos de transporte
21. Plan de desarrollo urbano
22. Plan de transporte
23. Estudio financiero
24. Informe final
2,3,4,7,9,11
2,3,4,5,7,8,9,12
13
6,14,16
15,16,17
18
18
19,20
19,20
21,22
23
1
4
1
1
2
1
1
3
4
1
2
4
5
2
2
3
2
1
7
5
2
4
7
6
3
3
4
3
1
11
6
3
12
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