Líneas de Transmisión Carta de Smith

Líneas de Transmisión
Carta de Smith
A. Zozaya
30 de noviembre de 2007
Resumen
En este documento se describe brevemente como se construye la Carta de Smith.
Sobre los orígenes de esta carta se recomienda leer la Referencia [1].
1.
Introducción
E
l coeficiente de reflexión ΓL en los terminales de carga de una línea de transmisión es
un número complejo cuyo módulo no supera la unidad para terminaciones pasivas. En
efecto, llamando rN + xN la impedancia de carga normalizada: rN + xN = ZL /ZC ,
donde rN = <{ZL }/ZC y xN = ={ZL /ZC} , se comprueba que
rN + xN − 1 ≤1
(1)
|ΓL | = rN + xN + 1 de esta suerte, el sector circular del plano complejo definido por la variable compleja ΓL =
u + v, tal que |ΓL| ≤ 1, debe contener todo los valores complejos de ΓL correspondientes a
todos los valores posibles de impedancia normalizada rN + xN .
2.
Construcción del Diagrama de Smith
Las impedancia normalizada rN + xN barre todo el plano complejo. Allí, los lugares
geométricos equi-rN y equi-xN son simplemente rectas paralelas a los ejes real e imaginario,
1
respectivamente.
Ese mismo plano complejo es barrido por el coeficiente de reflexión ΓL =
u + v . Sin embargo, como entre ambas
variables complejas existe la relación
ΓL = u + v =
rN + xN − 1
rN + xN + 1
(2)
si los valores de impedancia normalizada (rN , xN ) se expresan en función de
ΓL : rN = rN (u, v) y xN = xN (u, v),
los lugares geométricos rectilíneos equirN y equi-xN , en el dominio (rN , +xN ),
se transforman en circunferencias en el
plano complejo de la varible (u + v)1.
Una ilustración gráfica de esta trasnformación se muestra en la Fig. 1.
La Carta o Diagrama de Smith se Figura 1: Transformación de Mobius (tomada de
obtiene, precisamente, trazando algunos http://na.tm.agilent.com).
de los lugares geometricos de rN y xN
en el plano complejo de la variable u + v, utilizando como base la Ec. 2. Para ello se sugiere
seguir los pasos siguientes [1]. Multiplicar en cruz:
(u + v)(rN + 1 + xN ) = rN + xN − 1
igualar parte real y parte imaginaria
u(rN + 1) − vxN = rN − 1
v(rN + 1) + uxN = xN
ordenar y factorizar los términos rN y xN
(u − 1)rN − vxN = −(1 − u)
vrN + (u − 1)xN = −v
con este par de ecuaciones se procede a eliminar una vez xN y otra vez rN , ordenando los
términos restantes en potencias descendientes de u y v, respectivamente
1 − rN
2rN
u + v2 =
rN + 1
rN + 1
2
v = −1
u2 − 2u + v 2 −
xN
u2 −
1
Ésta se conoce como transformación lineal de Mobius [2]
2
finalmente se procede a completar los cuadrados2 correspondientes en cada ecuación
2
rN
1
u−
+ v2 =
rN + 1
(rN + 1)2
2
2
1
1
2
=
(u − 1) + v −
xN
xN
2.1.
(3)
(4)
Lugar geométrico de la resistencia normalizada rN = rN (u, v)
La Ecuación (3) representa la familia de los lugares geométricos de todos los valores
posibles de rN en el subespacio complejo barrido por las variables u y v. Enparticular,
se
rN
observa que la Ec. (3) representa una familia de circunferencias centradas en rN +1 , 0 y de
radio rN1+1 .
En el Cuadro 1(a) se muestran los valores de las coordenadas del centro y del radio de
algunos miembros de esta familia de círculos.
Cuadro 1: Algunos valores de coordenadas del centro y del radio de algunos miembros de las
familias de círculos equi-rN y equi-xN .
(a) rN
(b) xN
radio
1
7/8
3/4
1/2
1/4
1/8
1/16
rN
uC
vC
0
0
0
1/7 1/8
0
1/3 1/4
0
1
1/2
0
3
3/4
0
7
7/8
0
15 15/16 0
n
2.2.
u−
rN
rN +1
o2
2
+v =
xN
0
1/5
−1/5
±1/2
±1
±2
±5
uC
1
1
1
1
1
1
1
(u − 1) + v −
2
1
(rN +1)2
radio
∞
5
5
2
1
1/2
1/5
vC
∞
5
−5
±2
±1
±1/2
±1/5
1
xN
2
=
1
xN
2
Trazado del lugar geométrico equi-rN
Para trazar el locus de algún valor de rN es conveniente «retocar» la Ec. (3) seleccionando,
a conveniencia, una de las variables u y v como independiente y la restante como dependiente,
y fijando rN como parámetro. Luego, definiendo un intervalo de valores para la variable
2
Dado x2 +bx+c = 0, el cuadrado se completa sumando
b 2
2
− c.
3
b 2
−c
2
a ambos miembros obteniendo x +
b 2
2
=
independiente se procede a trazar las curvas con los valores correspondientes de la variable
dependiente obtenidos para un conjunto de valores prefijados del parámetro rN , cuidando de
que que las curvas no salgan del círculo unitario.
Otra opción consiste en fijar el ángulo ϕL como parámetro y trazar las curvas correspondientes uniendo los puntos sucesivos [u(rN , ϕL ), v(rN , ϕL )] para un conjunto de valores de ϕL entre 0 y 2π, para cada miembro escogido de la familia de valores de rN , donde
u(rN , ϕL ) = uC (rN , ϕL ) + radio(rN ) cos(ϕL ) y v(rN , ϕL ) = vC (rN , ϕL ) + radio(rN ) sin(ϕL).
En MATLABr podría ser:
rN=[0 1/7 1/3 1 3 7 15];
phi=linspace(0,2*pi,360);
axis equal axis([-1 1 -1 1])
axis off
hold on
for n=1:length(rN)
x=rN(n)/(rN(n)+1)+(1/(rN(n)+1)).*cos(phi);
y=(1/(rN(n)+1)).*sin(phi);
plot(x,y,’r’)
end
En la Figura 2(a) se muestran algunas curvas equi-rN .
1
0.5
2
0.2
1/7
1/3
1
3
7
5
0
15
−5
−0.2
−2
−0.5
−1
(a) Algunos locus equi-rN
(b) Algunos locus equi-xN
Figura 2: Lugares geométricos de algunos valores de rN y xN .
Del Cuadro 1(a) y de la Fig. 2(a) se puede concluir:
☞ Todos los lugares geométricos equi-rN pasan por el punto (1, 0).
☞ Los centros de la sub-familia de círculos equi-rN = 2n − 1 , dígase rN = 0, 1, 3, 7, 15,
. . ., conforman una serie donde cada radio sucesivo es la mitad del que le precede.
4
☞ Los círculos correspondientes a los valores rN y
puntos simétricos respecto del centro de la Carta.
2.3.
1
rN
intersectan el eje horizontal en
Lugar geométrico de las reactancia normalizada xN = xN (u, v)
La Ecuación (4) representa la familia de los lugares geométricos de todos los valores
posibles de xN en el subespacio complejo barrido por las variables u y v. En particular,
se
1
observa que la Ec. (4) representa una familia de circunferencias centradas en 1, xN y de
radio x1N . En el Cuadro 1(b) se muestran los valores de las coordenadas del centro y del radio
de algunos miembros de esta familia de círculos.
2.4.
Trazado del lugar geométrico equi-xN
Para el trazado de los lugares geométricos de xN se puede utilizar la Ec. 4 seleccionando,
por ejemplo, la variable v como independiente y u como dependiente, y fijando un conjunto
de valores para el parámetro xN . Luego, definiendo un intervalo de valores para u se procede a
trazar las curvas con los valores de v que se obtienen para cada valor prefijado del parámetro
rN , cuidando de que que las curvas no salgan del círculo unitario.
También se puede proceder, fijando el ángulo ϕL como parámetro, uniendo los puntos
sucesivos [u(xN , ϕL ), v(xN , ϕL )] para un conjunto de valores de ϕL entre 0 y 2π y para un
conjunto de miembros de la familia de valores de xN , donde u(xN , ϕL ) = uC (xN , ϕL ) +
radio(xN ) cos(ϕL ) y v(xN , ϕL ) = vC (xN , ϕL) + radio(xN ) sin(ϕL ).
En MATLABr podría ser:
% Trazado de los lugares geometricos equi-xN inductivos
phi=linspace(3*pi/2,pi/2,180);
for n=(length(xN)+1)/2+1:length(xN)
x=1+abs(1/xN(n)).*cos(phi);
y=1/xN(n)+abs(1/xN(n)).*sin(phi);
plot(x,y,’b’)
end
% Trazado de los lugares geometricos equi-xN reactivos
phi=linspace(pi/2,3*pi/2,180);
for n=1:(length(xN)+1)/2-1
x=1+abs(1/xN(n)).*cos(phi);
y=1/xN(n)+abs(1/xN(n)).*sin(phi);
plot(x,y,’b’)
end
En la Figura 2(b) se muestran algunas curvas equi-xN trazadas usando la rutina anterior.
Del Cuadro 1(b) y de la Fig. 2(b) se puede concluir:
☞ Todos los circulos equi-xN pasan por el punto (1, 0).
5
☞ Los lugares geométricos de xN y de x1N intersectan el círculo unitario |ΓL | = 1 en puntos
simétricos respecto del eje vertical que pasa por el centro de la carta.
3.
Carta de Smith completa
La Carta de Smith se obtiene superponiendo los lugares geométricos equi-rN y equi-xN
dentro del círculo unitario |ΓL| = 1 y añadiendo un conjunto de escalas angulares sobre la perifería del propio círculo unitario y un conjunto de escalas de amplitud, lineales y logarítmicas
fuera de éste en la parte inferior de la hoja.
En la Figura 3 se muestra la versión actualmente más usada de la Carta de Smith
descargada de http://www.eecircle.com/applets/006/JSmith.html.
6
Figura 3: Carta de Smith completa (http://www.eecircle.com/applets/006/JSmith.html).
7
3.1.
Descripción de las escalas
3.1.1.
Escalas varias angulares
3.1.2.
Escalas varias radiales
La Carta de Smith viene provista de varias escalas radiales. En la Figura 4 se muestran
estas escalas.
Figura 4: Escalas radiales de la Carta de Smith .
A la izquierda de arriba hacia abajo se tienen las siguientes escalas
VSWR escala lineal de la ROE: 1 + |ΓL |/1 − |ΓL |.
dBS escala logarítmica de la ROE: 20 log (1 + |ΓL |/1 − |ΓL |).
RTN. LOSS [dB] pérdidas de retorno: −10 log (Pr /Pi) = −10 log (|ΓL |2 ), donde Pi es la
potencia incidente y Pr es la potencia reflejada.
RFL. COEFF. P coefficiente de reflexión de potencia: |ΓL |2 .
RFL. COEFF. E or I módulo del coeficiente de reflexión de voltaje: |ΓL |.
A la derecha de ariba hacia abajo se tienen estas otras escalas radiales:
ATTEN [dB]
S.W. LOSS COEFF.:
RFL LOSS [dB]: pérdida por reflexión: −10 log (Pt /Pi ) = −10 log (1 − |ΓL |2 ), donde Pi es
la potencia incidente y Pt es la potencia transmitida.
S.W. PEAK (CONST. P):
TRANSM. COEFF P: coeficiente de transmisión de potencia: 1 − |ΓL |2 .
TRANSM. COEFF. E or I: coeficiente de transmisión de voltajes: 1 + ΓL .
8
4.
Aplicaciones de la Carta de Smith.
1. Correspondencia zN ↔ ΓL .
2. Lectura de la ROE
ROE =
1 + |ΓL|
1 − |ΓL |
3. Lectura de dVmin /λ
dVmin
1 ϕL 1
=
+
± n
λ
4 4π
2
π ϕL
2π
=
+
± πn
dVmin
λ
2{z
|{z}
|2
}
β
ngulo
| {z }
ngulo
4. Impedancia de entrada de la línea a d metros de la carga.
Z(d) ↔ Γ(d) = ΓL e−2βd
de donde se comprueba que si d ↑ entonces ∠ {Γ(d)} ↓.
5. Lectura de yN
1
1 − ΓL
= yN = ΓL e±π =
zN
ΓL + 1
6. Adaptación con un stub.
Referencias
[1] Robert A. Chipman. Teoría y Problemas de Líneas de Transmisión. McGraw-Hill, 1971.
[2] Aldo Bianchi. Sistemas de Ondas Guiadas. Marcombo Boixareu Editores, 1980.
[3] M. A. Plonus. Electromagnetsimo aplicado. Editorial Reverté, 1982.
[4] Ron Schmitt. Electromagnetics Explained. Newnes, 2002.
9