Cap´ıtulo 1 Grupos y Subgrupos

Capı́tulo 1
Grupos y Subgrupos
001.−El concepto de grupo
Sea G un conjunto no vacı́o y sea
G×G→ G
una operación interna en G para la cual denotaremos a la imagen de un par (x, y)
mediante xy. Supongamos que
1) ∀x, y, z ∈ G ⇒ (xy)z = x(yz).
2) ∃e ∈ G / (∀x ∈ G ⇒ xe = ex = x).
3) ∀x ∈ G ⇒ (∃x−1 ∈ G / xx−1 = x−1 x = e).
En estas condiciones se dice que la pareja
(G, G × G → G)
define una estructura de grupo en G para la operación G × G → G. Más abreviadamente, se suele decir que G es un grupo respecto de la operación G×G → G.
Haciendo abuso de lenguaje, hablaremos simplemente del grupo G suponiendo que en
el conjunto G hemos prefijado una cierta operación interna.
La primera propiedad se conoce como asociativa. El elemento e aludido en la segunda
se nombra como elemento neutro. Para cada x ∈ G, el x−1 que aparece en la tercera,
se denomina elemento inverso o simétrico de x.
002.- Grupos abelianos
Un grupo G se llama abeliano (por Niels Abel), o conmutativo cuando
4) ∀x, y ∈ G ⇒ xy = yx. Esta propiedad se llama conmutativa, y la cumplen sólo
algunos grupos.
003.- Notación aditiva
Al definir los grupos hemos usado notación multiplicativa. Podrı́a sustituirse por otra
cualquiera. En particular, también es usual la notación aditiva. En este caso, el elemento
neutro se nombra como elemento nulo o cero, escribiendo 0 en lugar de e; el simétrico
de uno dado x se nombra como opuesto de x, escribiendo −x donde antes ponı́amos
x−1 . La definición de grupo se redactarı́a ası́:
1) ∀x, y, z ∈ G ⇒ (x + y) + z = x + (y + z).
2) ∃0 ∈ G / (∀x ∈ G ⇒ x + 0 = 0 + x = x).
3) ∀x ∈ G ⇒ (∃ − x ∈ G / x + (−x) = (−x) + x = 0),
mientras que la propiedad conmutativa, de cumplirse, se escribirı́a
4) ∀x, y ∈ G ⇒ x + y = y + x.
Precisamente en los grupos con esta propiedad, es decir, los grupos abelianos, es donde
con más frecuencia se emplea la notación aditiva.
004.- Primeras propiedades de los grupos
1) Propiedad asociativa generalizada
La propiedad asociativa se ha enunciado para tres datos, pero puede extenderse a
cuatro o más. Véase, por ejemplo, que con los datos x, y, z, u, aplicando oportunamente
la propiedad asociativa para tres, obtendrı́amos
((xy)z)u = (x(yz))u = x((yz)u) = x(y(zu)) = (xy)(zu),
es decir, todas las formas de agruparlos conducen a un mismo resultado. Una vez establecido esto, se pasarı́a a operaciones con cinco datos y, por recurrencia, a operaciones
con una cantidad finita, pero arbitraria, de datos, obteniendo el mismo resultado para
todas las agrupaciones posibles. Esta es la generalización de la propiedad asociativa,
que una vez comprobada permite prescindir de los paréntesis en que agrupamos el
resultado de operar parte de los datos. Ası́ se justifica el nombre de primera regla de
supresión de paréntesis, usado por algunos tratadistas.
2) El elemento neutro es único:
Si e, f ∈ G son dos posibles neutros, consideremos su producto ef. Por ser e neutro,
sale ef = f, y por serlo f es ef = e. Por tanto, e = f.
3) Para cada x ∈ G, su simétrico es único:
Si y, z ∈ G son dos posibles simétricos de x, se tiene
z = ze = z(xy) = (zx)y = ey = y.
4) El simétrico de un producto es el producto de los simétricos en orden contrario:
∀x, y ∈ G ⇒ (xy)−1 = y −1 x−1.
En efecto,
(xy)(y −1x−1) = x(yy −1)x−1 = xex−1 =
= xx−1 = e = y −1y =
= y −1ey = y −1 (x−1 x)y = (y −1x−1 )(xy) ⇒
p.2/@becedario
Introducción a la Teorı́a de Grupos
⇒ y −1 x−1 = (xy)−1.
Con notación aditiva, tendrı́amos
−(x + y) = (−y) + (−x),
que habitualmente se escribe en la forma
−(x + y) = −y − x,
constituyendo la llamada segunda regla de supresión de paréntesis, usada sobre todo
en grupos conmutativos.
5) El simétrico del simétrico de un elemento es el propio elemento:
∀x ∈ G ⇒ (x−1 )−1 = x.
Cambiando el orden de las igualdades en la definición de simétrico, sale
x−1 x = xx−1 = e ⇒ x = (x−1 )−1 .
6) Es válida la propiedad de simplificación (o cancelativa), tanto por la derecha
(∀x, y, z ∈ G / xz = yz) ⇒ x = y,
como por la izquierda
(∀x, y, z ∈ G / zx = zy) ⇒ x = y.
Basta multiplicar ambos miembros por el inverso del elemento a simplificar, por el
mismo lado en que esté situado. Por ejemplo,
xz = yz ⇒ (xz)z −1 = (yz)z −1 ⇒ x(zz −1) = y(zz −1) ⇒
⇒ xe = ye ⇒ x = y.
7) Se puede efectuar la operación inversa, tanto por la derecha
∀x, y ∈ G ⇒ (∃u ∈ G / x = yu),
como por la izquierda
∀x, y ∈ G ⇒ (∃v ∈ G / x = vy).
Tomando, en efecto, u = y −1x, v = xy −1, se comprueba que
yu = y(y −1 x) = (y −1 y)x =
= ex = x = xe =
= x(y −1y) = (xy −1 )y = vy.
El elemento u = y −1x se conoce como cociente de x por y por la derecha, mientras que
v = xy −1es el cociente de x por y por la izquierda. Si el grupo G fuese conmutativo,
@becedario/p.3
ambos coinciden y se habla sin más de cociente de x por y. Ası́ la operación inversa
es una verdadera operación en G a la que suele denominarse como división, y su resultado suele escribirse como x/y. En notación aditiva, en lugar de cociente se habla
de diferencia a uno u otro lado. En el caso abeliano, la operación inversa se denomina
sustracción y su resultado se escribe como
x − y = x + (−y),
constituyendo la tercera regla de supresión de paréntesis.
005. − El orden de un grupo
Como veremos, con ejemplos concretos que aparecerán en el siguiente capı́tulo, el cardinal del conjunto G sobre el que tengamos una estructura de grupo puede ser tanto
infinito como finito. El Teorı́a de Grupos es frecuente llamar orden de un grupo al
cardinal de G, usando para su valor cualquiera de las dos notaciones
Ord.(G), | G | .
La observación que hemos hecho da lugar a clasificar los grupos en grupos infinitos
o grupos finitos, según que lo sea su orden.
006.- Subgrupos
Sea H 6= ∅ un subconjunto de G. Se dice que H es subgrupo de G si al operar,
mediante la operación de G, solamente con elementos de H (esto es: al restringir la
operación de G a H), H adquiere la estructura de grupo.
Ası́, un subgrupo no sólo es un grupo dentro de otro, sino que ha de serlo con la misma
operación del total.
Proposición 01: Un subconjunto H 6= ∅ es un subgrupo de G si y sólo si
1) ∀x, y ∈ H ⇒ xy ∈ H.
2) e ∈ H.
3) ∀x ∈ H ⇒ x−1 ∈ H.
Demostración:
a) Supongamos que H cumple las tres condiciones del enunciado. La primera indica
que la restricción de la operación de G a H se convierte en una operación interna de
H. El neutro de G, que está en H por la segunda condición, sirve de neutro en la
operación de H. También el simétrico en G de cada x ∈ H, que pertenece a H por la
tercera condición, sirve de simétrico en la operación de H. Finalmente, esta operación
es asociativa, pues, al tener tal propiedad carácter universal en G, la hereda cualquier
parte de G y, en particular, la hereda H. Ası́, llegamos a que H, con la operación
restringida, se ha convertido en otro grupo, o sea, H es un subgrupo de G.
b) Según la definición dada, para que H sea un grupo por sı́ solo lo primero que
tendrá que ocurrir es que la restricción de la operación de G a H sea una operación
interna en H, lo cual significa que:
1) ∀x, y ∈ H ⇒ xy ∈ H. En segundo lugar, H ha de tener neutro. Como el
de G (por su universalidad) sirve para H y como el neutro en cada grupo es único, se
deberá cumplir que:
p.4/@becedario
Introducción a la Teorı́a de Grupos
2) e ∈ H. Finalmente, si H ha de ser grupo, cada elemento suyo ha de tener un
simétrico perteneciente a H. Por la unicidad en G del simétrico, éste no puede ser otro
que el que ya poseı́a como elemento de G. O sea,
3) ∀x ∈ H ⇒ x−1 ∈ H.
Proposición 02: Un subconjunto H 6= ∅ es un subgrupo de G si y sólo si
∀x, y ∈ H ⇒ xy −1 ∈ H.
Demostración:
a) Supongamos que H cumple la condición del enunciado. Entonces, al ser no vacı́o,
existe al menos un elemento x ∈ H. Aplicando la condición a la pareja x, x se deduce
que
xx−1 = e ∈ H.
Si x ∈ H, al aplicar la condición a la pareja e, x sale
ex−1 = x−1 ∈ H.
Por fin, si x, y ∈ H, también x, y −1 ∈ H, luego
x(y −1 )−1 = xy ∈ H.
Ası́, H cumple las tres propiedades de 01 y se trata de un subgrupo.
b) Si H 6= ∅ es un subgrupo, cumple las condiciones de 01. Entonces, dados x, y ∈ H,
por la tercera se cumple que y −1 ∈ H, y por la primera, aplicada a los datos x, y −1 ∈ H
se tiene la implicación
∀x, y ∈ H ⇒ xy −1 ∈ H.
En lo sucesivo, la relación H es subgrupo de G se indicará escribiendo
H ≤ G.
Trivialmente se tiene G ≤ G y {e} ≤ G. Estos subgrupos se llaman impropios. Un
subgrupo propio H será el que cumpla {e} =
6 H 6= G.
007.- Intersección de subgrupos
Proposición 01: La intersección de una cantidad cualquiera de subgrupos de G, es
otro subgrupo.
Demostración: Sea Λ 6= ∅ un conjunto cualquiera y sea {Hλ }λ∈Λ una familia de
subgrupos de G. Entonces,
x, y ∈ ∩λ∈ΛHλ ⇒ x, y ∈ Hλ , ∀λ ∈ Λ ⇒
⇒ xy −1 ∈ Hλ , ∀λ ∈ Λ ⇒ xy −1 ∈ ∩λ∈Λ Hλ .
En particular, dados H, K ≤ G, se tendrá que H ∩ K ≤ G. Sin embargo, en general, el
conjunto H ∪ K no es subgrupo de G. En el siguiente capı́tulo aparecerá algún ejemplo
que corrobore tal afirmación.
@becedario/p.5
008.- Producto de dos subgrupos
Dados dos subconjuntos no vacı́os H y K de un grupo G, el conjunto
HK = {g = xu / x ∈ H, u ∈ K}
de todos los resultados de operar un elemento de H con otro de K, se nombra como el
producto de H por K.
Suponiendo que H y K sean subgrupos, en general HK no va a ser otro subgrupo. Lo
veremos con un ejemplo cuando más adelante establezcamos caracterizaciones, ası́ como
condiciones solamente suficientes, para que HK sea un subgrupo.
De momento, vamos a desarrollar una de las condiciones suficientes y vamos a señalar
una propiedad que posee HK en caso de ser subgrupo.
Proposición 01: Si H y K son subgrupos de un grupo abeliano G, se cumple que
HK es otro subgrupo de G.
Demostración: Sean g = xu, h = yv, donde x, y ∈ H, u, v ∈ K, dos elementos de
HK. Entonces, aplicando las propiedades asociativa y conmutativa, tenemos
gh−1 = (xu)(yv)−1 = (xu)(v −1y −1 ) = (xy −1 )(uv −1) ∈ HK,
porque, al tratarse de subgrupos, sabemos que
x, y ∈ H ⇒ xy −1 ∈ H, uv ∈ K ⇒ uv −1 ∈ K.
A su vez, la relación gh−1 ∈ HK implica que HK es subgrupo.
Proposición 02: Supongamos dos subgrupos H y K de G tales que HK también sea
subgrupo. Sea L un tercer subgrupo. Entonces,
1) H ∪ K ⊆ HK.
2) H ∪ K ⊆ L ⇒ HK ⊆ L.
Demostración:
1) Todo elemento x ∈ H se escribe en la forma x = xe, con e ∈ K, luego x ∈ HK.
Igualmente, si u ∈ K, escribiendo u = eu, con e ∈ H, vemos que u ∈ HK. Ası́, HK
contiene a H y contiene a K, y, por ello,
H ∪ K ⊆ HK.
2) Sea L un subgrupo tal que H ∪K ⊆ L. Dado un elemento g ∈ HK, se tendrá g =
xu, donde x ∈ H y u ∈ K. Como los dos factores pertenecen a H ∪ K, pertenecerán a
L. Siendo L subgrupo, su producto también. Ası́, queda probado que HK ⊆ L.
Este teorema significa que si HK es subgrupo, tiene la propiedad de ser el mı́nimo
subgrupo (para la relación de contenido) que contiene a la unión.
Ejercicios
01.- Razonar que en la definición de grupo hubiese bastado postular la existencia de neutro
y de simétricos solamente por la izquierda.
p.6/@becedario
Introducción a la Teorı́a de Grupos
02.- Para cada operación ∗ definida en el conjunto G, dı́gase cuándo la pareja (G, ∗) es un
grupo. En caso negativo, señalar qué axiomas fallan.
1) G = Z, x ∗ y = xy.
2) G = Z, x ∗ y = x − y.
3) G = Q, x ∗ y = xy.
4) G = R+ , x ∗ y = xy.
5) G = C∗ , x ∗ y = x + y.
6) G = R∗ , x ∗ y = x.
03.- En el conjunto G = {e, a, b, c, d, f }
tabla
∗ e a
e e a
a a e
b b c
c c d
d d f
f
f b
se define una operación interna ∗ mediante la
b
b
c
e
f
a
d
c
c
d
f
e
b
a
d
d
f
a
b
e
c
f
f
b
d
a
c
e
¿ La pareja (G, ∗) es un grupo abeliano? ¿Cuál de los axiomas falla?
04.- Sea la operación * de R definida por la ley
x∗y =
3
q
x3 + y 3 .
Comprobar que (R, ∗) es un grupo abeliano.
05.- En el conjunto G de puntos de la curva de ecuación xy = 1 se fija el punto P = (1, 1).
Dados A, B ∈ G, se considera la recta < A, B > que pasa por ellos (si A = B, esta recta se
sustituye por la tangente en A a la curva) y se traza la paralela a la misma que pasa por P ,
la cual cortará a la curva en otro punto C. Tomando la operación A ∗ B = C, razonar que
(G, ∗) es un grupo abeliano.
06.- En el conjunto G = R − {−1} se define una operación mediante la ley
a ∗ b = a + b + ab.
Comprobar que se trata de una operación interna. Razonar que (G, ∗) es un grupo abeliano.
Resolver en dicho grupo la ecuación 6 ∗ x = 9.
07.- Sea E 6= ∅ un conjunto, sea G = P(E). En G se define la operación
X Y = (X ∩ Y c ) ∪ (X c ∩ Y ),
llamada diferencia simétrica. Razonar que con ella, P(E) se convierte en un grupo abeliano
en el cual cada elemento es simétrico de sı́ mismo. Si E es de cardinal finito n, ¿qué orden
tiene el grupo?
08.- Razonar que si en un grupo G todo elemento coincide con su inverso, el grupo es abeliano.
09.- Dado un grupo (G, ·), se define una operación T en G por la ley
xT y = yx.
@becedario/p.7
Comprobar que (G, T ) también es un grupo. (Se conoce como conmutado de G y se anota
como Gc ). ¿Qué ocurre si G es abeliano?
10.- Sea G un grupo, A y B dos subconjuntos de G, y H un subgrupo tal que A ⊆ H.
Razonar que
AB ∩ H = A(B ∩ H).
(Ley de Dedekind).
p.8/@becedario