Práctica 3 - Universidad Nebrija

Práctica II
Reducción de la hipérbola equilátera
Definición.- se dice que una hipérbola es equilátera si sus ası́ntotas son perpendiculares.
La tercera práctica del curso sobre hipérbolas equiláteras se realizará en grupos
de 3 ó 4 personas. El 20 de mayo será la fecha de entrega de la práctica. Posteriormente cada grupo expondrá dicha práctica el dı́a que lo indique el profesor
correspondiente. En la exposición todos los miembros del grupo tendrán que
participar, en caso contrario la práctica se considerará suspensa.
Cada grupo expondrá las siguientes demostraciones
Afirmación 1.- Si una hipérbola tiene por ejes los ejes cartesianos, demostrar
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que es equilátera si y sólo si su ecuación es de la forma: xa2 − ay2 = p; con a > 0
y p = 1 ó 1.
Afirmación 2.- Demostrar que depués de un giro de centro (0, 0) y ángulo
− π4 la ecuación de la hipérbola equilátera se escribe en las nuevas coordenadas
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como una ecuación del tipo xy = k; donde k = a2 ó − a2 .
¿Qué ecuaciones tienen sus ası́ntotas? Esta forma de escribir la ecuación de la
hipérbola equilátera tiene un sentido fı́sico interesante. La ecuación de estado de
un gas perfecto es pv = RT , donde p representa la presión del gas, v su volumen,
r una constante y T su temperatura absoluta. Si dejamos fija la temperatura, el
segundo miembro de la ecuación anterior es constante y entonces la curva que
representa la relación entre las variables p y v es una hipérbola; pv = constante,
que expresa ahora la Ley de Boyle-Mariotte. A todo valor de T corresponde
una una hipérbola con las mismas ası́ntotas. El conjunto de curvas que pueden
obtenerse dando a T todos los valores positivos, constituye lo que se llama haz
de isotermas.
A continuación presentamos algunas propiedades geométricas de las ası́ntotas.
Cada grupo elegirá una de ellas para desarrollar.
Dada una hipérbola equilátera con a = 1 se pide:
Ejercicio 1.- Demostrar que al intersecar con una recta la hipérbola los dos
segmentos interceptados entre la hipérbola y las ası́ntotas son iguales.
Ejercicio 2.- Demostrar que el punto medio del segmento que determinan
sobre una tangente a la hipérbola las ası́ntotas es el punto de contacto de dicha
tangente.
Ejercicio 3.- Demostrar que el área del triángulo determinado por las ası́ntotas
de una hipérbola equilátera y una cualquiera de sus tangentes es constante e
igual a 1.
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Práctica II
Se pueden conseguir más puntuación si se entrega también lo siguiente:
Estos ejercicios son válidos para una hipérbola no equilátera. La Pregunta 3
para una hipérbola en general nos dice que el área del triángulo es ab. ¿Se te
ocurre cómo demostrarlas?
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