Estática del punto material

EU
AT
2.1.
LIC
AD
AI
Estática del punto material
I-
Capı́tulo 2
Introducción
mecánica
cinemática
dinámica
estática
DP
TO
.
FIS
I
CA
AP
La Mecánica es la parte de la Fı́sica que estudia el movimiento, el equilibrio
y la deformación de los cuerpos. Comprende la Cinemática, que trata de la
descripción del movimiento sin tener en cuenta las causas que lo provocan,
y la Dinámica, que relaciona el movimiento con las causas que lo afectan o
modifican (las fuerzas). La Estática es una parte de la Dinámica. Se ocupa de
estudiar bajo qué condiciones un sistema mecánico (un cuerpo o conjunto de
cuerpos) se encuentra en equilibrio.
Atendiendo al modelo que usa para describir los sistemas mecánicos, la
Mecánica se divide también en mecánica de los cuerpos rı́gidos (cuando usa
los modelos de punto material y sólido rı́gido) y mecánica de los medios deformables (cuando usa los modelos de sólido deformable y de fluido). En la
primera parte de este libro centraremos en la estática del punto material y de
los sistemas de puntos materiales (capı́tulo 2), del sólido rı́gido (capı́tulo 4) y
de los sistemas de sólidos rı́gidos (capı́tulo 5). Más adelante nos ocuparemos de
la estática (capı́tulo 6) y de la dinámica de fluidos (capı́tulo 7).
La mecánica newtoniana o clásica se aplica a los sistemas mecánicos en los
que las velocidades son pequeñas comparadas con la velocidad de la luz en el
vacı́o1. La mecánica relativista es una generalización de la mecánica clásica,
válida también para velocidades del orden de la velocidad de la luz en el vacı́o.
Para explicar el comportamiento de moléculas, átomos y partı́culas elementales
la mecánica clásica debe reemplazarse por la mecánica cuántica.
Conceptos básicos de la Mecánica son el espacio, el tiempo y la masa. En la
mecánica newtoniana, estos tres conceptos se consideran cantidades absolutas.
La definición de estos conceptos no es fácil y su comprensión reposa en buena
medida en nuestra experiencia cotidiana.
El espacio es la región geométrica en la cual tienen lugar los sucesos. En este
libro usaremos la palabra espacio para referirnos a una región tridimensional.
1 La
velocidad de la luz en el vacı́o es c = 299792458 ≈ 3 × 108 m/s.
27
mecánica newtoniana
mecánica relativista
mecánica cuántica
espacio
Estática del punto material
tiempo
EU
LIC
AP
EJEMPLO: La trayectoria de la Tierra en su movimiento de traslación alrededor del Sol se obtiene con suficiente precisión asumiendo que la Tierra es un
punto material.
2.2.
Principios fundamentales de la Dinámica
2.2.1.
Ley de adición de fuerzas
FIS
I
Albert Einstein (Ulm, 1879;
Princeton, 1955): Desarrolló la
mecánica relativista (o relatividad especial) (1905) y la teorı́a
relativista de la gravitación (o
relatividad general) (1915). Entre sus muchas contribuciones
también destacan la explicación
del efecto fotoeléctrico (1905),
la teorı́a del movimiento browniano (1905) y la estadı́stica de
Bose-Einstein (1924). Fue el fı́sico
más influyente del s. XX y es
considerado, junto con Galileo y
Newton, uno de los más grandes
fı́sicos de todos los tiempos.
CA
partı́cula o punto material
AD
AI
masa
La posición en el espacio se determina con relación a un cierto sistema geométrico de referencia, o simplemente sistema de referencia, mediante medidas
longitudinales y angulares. En este libro, por lo general, un sistema de referencia será una terna de ejes cartesianos. Cuando sólo sean relevantes dos de
las tres dimensiones, se utilizará un sistema de referencia formado por dos ejes
cartesianos.
El tiempo es una medida de la sucesión de eventos.
La masa se define de dos maneras diferentes. Por un lado, la masa es la
medida cuantitativa de la inercia de un cuerpo material, esto es, de su “resistencia” a cambiar de estado de movimiento. Por otro lado, la masa es una
propiedad que hace que los cuerpos que la poseen se atraigan mutuamente. La
equivalencia entre ambas masas (masa inerte y masa gravitatoria o pesante) es
una de las “coincidencias” más llamativas de la mecánica newtoniana y está en
la base de la teorı́a de Einstein de la gravitación (o relatividad general).
El primero de los modelos que vamos a usar en este texto para describir un
cuerpo es el de partı́cula o punto material. Un partı́cula es es todo cuerpo en el
que, debido a las circunstancias del problema estudiado, puedan ignorarse sus
dimensiones, estructura y configuración interna y que, a efectos mecánicos, no
requiera la distinción de partes. Un punto material queda caracterizado por su
masa y su posición.
I-
sistema de referencia
AT
28
fuerza
DP
TO
.
Pierre Varignon (Caen, 1654;
Parı́s, 1722): Entre sus contribuciones destacan la teorı́a general de los momentos, el teorema de Varignon y el polı́gono de
Varignon, que es la base de la regla
de la poligonal para sumar vectores.
fuerzas a distancia
fuerzas de contacto
Se dice que una fuerza actúa sobre un cuerpo si un agente de algún tipo
lo empuja o tira de él. Una fuerza puede provocar una modificación del estado
de movimiento del cuerpo, una deformación del cuerpo o ambas cosas a la vez.
Aunque no necesariamente ha de ser ası́, pues la presencia simultánea de otras
fuerzas puede evitar la modificación del estado de movimiento del cuerpo y la
deformación puede no ser apreciable.
Una fuerza es una magnitud con dirección y sentido y que, además, como
descubrió Varignon, verifica la regla de la poligonal (o la del paralelogramo)
cuando se componen varias fuerzas. Por tanto, las fuerzas son magnitudes vectoriales.
Una fuerza sobre un punto material se describe mediante un vector ligado
a la posición de dicho punto material en cada instante.
2.2.2.
Tipos de fuerzas
Tradicionalmente se distinguen dos tipos de fuerzas: fuerzas a distancia,
que son las que se producen entre dos cuerpos sin que medie contacto entre
ellos, y fuerzas de contacto, que son las que se producen mediante el contacto
29
de dos cuerpos. Ejemplos de fuerzas a distancia son la fuerza gravitatoria entre
masas y la fuerza electrostática entre cargas eléctricas. Fuerzas de contacto son
las que ejercemos al apoyarnos sobre una mesa o al estirar un muelle.
Fuerzas gravitacionales. Ley de gravitación universal
ley de gravitación universal
AI
I-
Newton formuló la ley de gravitación universal, que establece que la interacción gravitatoria entre dos cuerpos de masas m1 y m2 separados una distancia
r12 = |r12 | (fig. 2.1 arriba) corresponde a una fuerza atractiva (fig. 2.1 abajo)
proporcional a las masas de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos,
AT
Principios fundamentales de la Dinámica
EU
2.2
m1 m2 r12
F21 = −F12 = G 2
,
r12 |r12 |
AD
(2.1)
donde
g = −G
AP
LIC
donde G es una constante universal cuyo valor en el Sistema Internacional es
G = 6,673 × 10−11 m3 kg−1 s−2 y se llama constante de gravitación universal,
y r12 /|r12 | es un vector unitario con la misma dirección y sentido que el vector
con origen en la masa puntual m1 y extremo en m2 (fig. 2.1 arriba).
Un caso particular de esta ley se obtiene cuando uno de los cuerpos es la
Tierra y el otro está situado próximo a su superficie. La masa de la Tierra
es m1 = mT = 5,975 × 1024 kg y la distancia del centro de la Tierra a su
superficie, el radio medio de la Tierra2 , es rT = 6,37×106 m. Entonces podemos
reescribir (2.1) como
FT 2 = m2g,
(2.2)
mT rT
mT r12
≈ −G 2
.
2 |
r12
r12 |
rT |rT |
(2.3)
CA
Si elegimos un sistema de referencia en el que el eje y coincida con la vertical
sobre la superficie de la Tierra, resulta
g = −9,8 j m/s2 .
(2.4)
FIS
I
La constante g ası́ obtenida se denomina aceleración de la gravedad de la Tierra.
La ec. (2.2) se puede reescribir como
P = mg,
TO
.
(2.6)
donde, teniendo en cuenta que la masa y el radio de la Luna son, respectivamente, mLuna = 7,35 × 1022 kg y rLuna = 1,7374 × 106 m, resulta que la
aceleración de gravedad de la Luna es gLuna = −1,6 j m/s2 ; seis veces menor
que en la superficie de la Tierra.
DP
r12
m1
m2
(2.5)
donde P es el peso de la masa m. El peso no es otra cosa que la fuerza gravitatoria con que la Tierra atrae a esa masa cuando está situada en las proximidades
de su superficie.
El peso en la Luna se obtiene de manera similar,
PLuna = mgLuna ,
Isaac Newton [Woolsthorpe (Lincolnshire), 1643; Kensington (cerca de Londres), 1727]: Es uno
de los genios cientı́ficos más
grandes de todos los tiempos. Entre muchas otras contribuciones,
destaca por haber establecido la
Mecánica como un sistema axiomático cerrado (leyes de Newton, ecuación de Newton del
movimiento), haber enunciado la
ley de la gravitación (1666) y
con ella interpretado cuantitativamente las leyes de Kepler, lo que
constituye la base de la mecánica
celeste. En Óptica, descubrió la
dispersión de la luz e hizo investigaciones fundamentales sobre interferencia (anillos de Newton) y
teorı́a del color (1666), y defendió una teorı́a corpuscular de la
luz. En Matemática, descubrió el
binomio de Newton (1665) y, junto
con Leibniz, fundó el cálculo diferencial e integral (1665–1666).
2 La Tierra no es una esfera sino un esferoide oblato. Su radio ecuatorial es 6,378160×106 m
y su radio polar es 6,356775 × 106 m.
F21
m1
F12
m2
FIGURA 2.1: Dos masas puntuales,
m1 y m2 , separadas una distancia
|r12 | (arriba), y las fuerzas gravitatorias que experimentan. F12 es la
fuerza gravitatoria que ejerce m1 so21 es la que ejerce m2 sobre m2 y F
bre m1 .
peso
Estática del punto material
AT
30
EU
Fuerzas ejercidas por muelles ideales. Ley de Hooke
AI
I-
Si estiramos (comprimimos) un muelle real a lo largo de la dirección del
muelle, el muelle ejerce una fuerza, en la dirección de estiramiento (compresión) y con sentido contrario al de su estiramiento (compresión). Dicha fuerza
es aproximadamente proporcional a la elongación del muelle. Por elongación
entendemos la diferencia entre la longitud del muelle deformado, l, y su longitud natural, esto es, la longitud que tiene el muelle cuando no está sometido a
ninguna fuerza, l0 (fig. 2.2). Esta relación aproximada se conoce como la ley de
Hooke:
F = −k ∆l,
(2.7)
AD
Robert Hooke [Freshwater (Isla
de Wight), 1635; Londres, 1703]:
Fundó la teorı́a de la elasticidad y
estableció en 1678 la ley que lleva
su nombre: “Ut tensio, sic vis” (De
la misma manera que la deformación, ası́ es la fuerza).
2.2.3.
LIC
muelle ideal
donde F es la fuerza que ejerce el muelle, k es una constante caracterı́stica del
muelle (a veces llamada constante elástica del muelle) que tiene dimensiones de
es el vector que describe la elongación que ha sufrido
fuerza entre longitud y ∆l
el muelle. Recibe el nombre de muelle ideal a aquél que verifica exactamente la
ley de Hooke.
La fuerza ejercida por un muelle de longitud natural nula sobre un cuerpo
unido a uno de sus extremos es un ejemplo de una fuerza proporcional a la
distancia: la que hay entre dicho cuerpo y el extremo opuesto del muelle.
Leyes de Newton
CA
AP
Newton fue el primero en enunciar los principios fundamentales que rigen el
movimiento de una partı́cula. Tales principios se describen en el libro Philosophiae naturalis principia mathematica (Principios matemáticos de la filosofı́a natural ), publicado en 1686. Los sistemas de referencia en los que son válidas las
leyes de Newton se denominan inerciales o newtonianos. Adaptando su enunciado original, las leyes de Newton se pueden formular como sigue:
Primera ley de Newton
La primera ley de Newton (o ley de la inercia) dice:
Una partı́cula sobre la que no actúe ninguna fuerza o sobre la que actúe un
conjunto de fuerzas cuya suma sea nula, permanecerá en reposo si estaba
inicialmente en reposo, o en movimiento rectilı́neo y uniforme (i.e., sin
cambiar su velocidad) si no estaba inicialmente en reposo.
TO
.
FIS
I
FIGURA 2.2: El mismo muelle antes
(arriba) y después (abajo) de ser estirado horizontalmente una distancia
hacia la derecha. La longitud
|∆l|
natural del muelle es l0 . En el caso
de abajo, el muelle ejerce una fuerza
y hahorizontal F proporcional a ∆l
cia la izquierda.
ley de la inercia
ley fundamental de la dinámica
Segunda ley de Newton
La segunda ley de Newton (o ley fundamental de la Dinámica) dice:
Una partı́cula sobre la que actúe un conjunto de fuerzas cuya suma sea F
experimentará una variación por unidad de tiempo de su momento lineal
o cantidad de movimiento (
p = mv ) igual a F .
DP
momento lineal
d
p
F =
.
dt
(2.8)
En el caso particular de que la masa de la partı́cula permanezca constante,
la ec. (2.8) se puede escribir
dv
F = m ,
(2.9)
dt
31
donde dv /dt es la aceleración, a, de la partı́cula. Luego la ec. (2.9) también se
puede escribir como
F = ma.
(2.10)
Tercera ley de Newton
La tercera ley de Newton (o ley de acción y reacción) dice:
AT
Principios fundamentales de la Dinámica
EU
2.2
I-
ley de acción y reacción
AI
Si una partı́cula A ejerce una fuerza (acción) sobre otra partı́cula B,
entonces B ejerce a su vez una fuerza sobre A (reacción) igual en módulo
y dirección pero de sentido contrario.
Primera ley:
AD
Observaciones sobre las leyes de Newton
(1) Contiene el principio del equilibrio de las fuerzas y, por tanto, es la
ecuación fundamental de la Estática.
LIC
(2) Es un caso particular de la segunda ley (F = 0 ).
Segunda ley:
AP
(1) La ec. (2.8) es una ecuación vectorial que se puede escribir como dos (si
estamos en el plano) o tres (si estamos en el espacio) ecuaciones escalares
independientes.
CA
(2) Usando la segunda ley de Newton, es fácil demostrar que todos los sistemas de referencia inerciales están en reposo relativo o se mueven entre
sı́ con velocidad constante. Para las aplicaciones arquitectónicas, un sistema de referencia en reposo respecto de la superficie terrestre es, en
buena aproximación, un sistema de referencia inercial.
FIS
I
(3) Proporciona una definición operacional de fuerza. De hecho, esta definición operacional es la que se utiliza para definir la unidad de fuerza en
el Sistema Internacional, el newton, cuyo sı́mbolo es N. Un newton es la
fuerza que aplicada a una masa de 1 kg le imprime una aceleración de
2
1 m/s2 . Por tanto, 1 N = 1 kg m/s (véase la tabla A.1 en el apéndice A).
newton
TO
.
La unidad de fuerza en el sistema técnico es el kilogramo fuerza o kilopondio, kp. Un kilopondio es el peso de una masa de un kilogramo colocada
sobre la superficie terrestre y equivale a 9,8 N (véase la tabla A.4).
DP
(4) Nótese que el concepto de masa ha aparecido en dos contextos diferentes.
Por un lado, ligado a la fuerza gravitatoria y, por otro, ligado a la segunda
ley de Newton. Al aplicar la segunda ley de Newton a la caı́da de una
partı́cula por su peso, resulta
P = mgg = mia,
(2.11)
donde mg y mi son, respectivamente, la masa gravitatoria y la masa inerte
de la partı́cula. Experimentalmente se observa que a = g para todos los
cuerpos (experimento de caı́da libre de Galileo), de donde se deduce que
mg = mi .
masa gravitatoria
masa inerte
Estática del punto material
AT
32
EU
Tercera ley:
(1) Las fuerzas aparecen siempre por parejas iguales y de sentido contrario.
(2) La acción y la reacción se aplican sobre partı́culas distintas.
Condiciones de equilibrio del punto material libre
AI
I-
2.3.1.
Decimos que un sistema de puntos materiales está en equilibrio mecánico
(o simplemente equilibrio) en un sistema de referencia inercial cuando las posiciones de los puntos que lo forman permanecen invariables a lo largo del tiempo.
Un punto material libre es aquél cuyas posibles posiciones en el espacio no
están limitadas por restricciones o impedimentos.
Consideremos un punto material libre sometido a un conjunto de N fuerzas:
F1 , F2 ,. . . , FN . De la primera ley de Newton se deduce que para que dicho punto
esté en equilibrio debe cumplirse que:
LIC
punto material libre
Estática del punto material libre
AD
equilibrio mecánico
2.3.
AP
El punto material esté inicialmente en reposo respecto del sistema de
referencia inercial elegido.
La suma de todas las fuerzas que actúan sobre el punto material sea el
vector nulo:
N
Fi = 0.
(2.12)
CA
i=1
DP
TO
.
FIS
I
condiciones necesarias y suficientes Estas son las condiciones necesarias y suficientes para que un punto material
libre esté en equilibrio. La ec. (2.12) es una ecuación vectorial. Teniendo en
cuenta que cada una de las fuerzas es un vector de tres componentes, Fi =
(Fix , Fiy , Fiz ), la ec. (2.12) da lugar a 3 ecuaciones escalares independientes:
N
Fix = 0,
(2.13)
Fiy = 0,
(2.14)
Fiz = 0.
(2.15)
i=1
N
i=1
N
i=1
2.3.2.
Pasos para resolver problemas de Estática
Los pasos que generalmente hay que seguir para resolver problemas de
Estática son los siguientes:
(a) Elegir el modelo que se va a utilizar para describir los cuerpos materiales
(punto material, sistema de puntos materiales, sólido rı́gido, sistema de
sólidos rı́gidos, etc.).
33
(b) Dibujar el diagrama de fuerzas y, a la vista del diagrama, elegir el sistema
de referencia más conveniente (es decir, aquel en el que la resolución del
problema sea, presumiblemente, más sencilla).
(c) Expresar vectorialmente en ese sistema de referencia todas las fuerzas que
intervienen.
I-
(d) Plantear las ecuaciones de equilibrio.
AT
Estática del punto material libre
EU
2.3
(e) Resolver el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de equilibrio.
AD
El siguiente problema nos servirá para ilustrar estos pasos.
AI
(f) Expresar las soluciones teniendo en cuenta su naturaleza escalar o vectorial (por ejemplo, las fuerzas son magnitudes vectoriales) sin olvidar las
correspondientes unidades.
LIC
PROBLEMA RESUELTO 2.1:
Solución:
FIS
I
CA
Sigamos los seis pasos mencionados antes:
AP
Un bloque de 20 N de peso está en equilibrio mediante una fuerza F1 que se
mantiene formando un ángulo de 30◦ respecto a la vertical, y mediante otra fuerza
horizontal F2 . Determina F1 y F2 .
FIGURA P1a: Esquema del problema (izda.) y el correspondiente diagrama de fuerzas (dcha.).
TO
.
(a) Para describir el bloque usaremos el modelo de punto material. Es decir,
haremos la abstracción de que el bloque se comporta, a todos los efectos
que nos interesan estudiar, como una partı́cula o punto material.
DP
(b) El diagrama de fuerzas y el sistema de referencia elegido se ilustran en la
fig. P1a dcha.
(c) Sobre la partı́cula actúan sólo tres fuerzas: su peso, la fuerza F1 y la fuerza
horizontal F2 . Su expresión vectorial en el sistema de referencia de la fig. P1a dcha.
es:
P = (0, −P )
Estática del punto material
AT
34
EU
= (0, −20) N,
F1 = F1 (−sen 30◦ , cos 30◦ )
√
3 F1
F1
),
= (− ,
2
2
F2 = F2 (1, 0)
I-
= (F2 , 0).
(P1.1)
(P1.2)
(P1.3)
AI
Llegados a este punto es importante que quede claro cuáles son los datos del
problema: P y las direcciones y sentidos de F1 y F2 , representadas respectivamente por los vectores unitarios (−sen 30◦ , cos 30◦ ) y (1, 0); y cuáles son
las incógnitas: los módulos de F1 y F2 , representados respectivamente por
F1 y F2 .
AD
(d) Puesto que se trata de un único punto material libre, la ecuación vectorial
de equilibrio (2.12) se escribe como sigue:
LIC
P + F1 + F2 = 0.
(P1.4)
AP
Como estamos considerando un sistema plano, la ecuación vectorial (P1.4)
es equivalente a dos ecuaciones escalares:
F1
+ F2 = 0,
0−
√2
3 F1
+ 0 = 0.
−20 +
2
(P1.5)
(P1.6)
CA
(e) De (P1.6) se obtiene
40
F1 = √ N.
3
(P1.7)
FIS
I
Sustituyendo este resultado en (P1.5) se obtiene
20
F2 = √ N.
3
(P1.8)
DP
TO
.
(f) Teniendo en cuenta las expresiones (P1.2) y (P1.3), y las soluciones (P1.7)
y (P1.8), obtenemos
20
F1 = (− √ , 20) N,
3
20
F2 = ( √ , 0) N.
3
(P1.9)
(P1.10)
Nótese que si en el paso (a) hubiésemos elegido un sistema de referencia distinto,
la expresión de las soluciones ya no serı́a (P1.9) y (P1.10), sino la correspondiente
en el sistema de referencia elegido.
Principio de liberación. Estática del punto material ligado
35
AT
2.4
I-
A veces resulta más sencillo expresar el peso y las restantes fuerzas en
kilopondios si en el enunciado del problema nos dan la masa en kilogramos
(que son unidades del Sistema Internacional) y las fuerzas en kilopondios
(que no lo son). Sin embargo, no debe olvidarse que las unidades de uso
legal en España son las del Sistema Internacional.
EU
Otros consejos a la hora de resolver problemas:
AI
Conviene no usar la calculadora hasta el final del problema. No hace
falta sustituir las fracciones y raı́ces por sus valores decimales. De esta
manera se evitan errores de redondeo y los resultados finales y los cálculos
intermedios quedan expresados en una forma más elegante.
AD
Conviene comprobar que las soluciones satisfacen los requisitos deseados.
En el ejemplo anterior se puede comprobar que el peso (P1.1) y las fuerzas
obtenidas, (P1.9) y (P1.10), satisfacen la ecuación de equilibrio (P1.4).
Principio de liberación. Estática del punto material ligado
2.4.1.
Principio de liberación
AP
LIC
2.4.
Se llama ligadura, vı́nculo o enlace a cualquier limitación en las posibles
posiciones que puede ocupar un sistema material en el espacio. En este contexto,
un punto material ligado es aquél que está sometido a algún tipo de ligadura.
punto material ligado
CA
EJEMPLO:
ligadura
FIS
I
Un dado apoyado sobre una tabla inclinada. En las condiciones adecuadas, el dado puede modelarse por un punto material obligado a verificar la ecuación de un plano.
Una anilla ensartada en un alambre. Puede modelarse por un punto material obligado a verificar la ecuación de una curva.
Un clavo fijado a una pared. Puede modelarse por un punto material de
coordenadas fijas.
TO
.
Dos bolas unidas mediante un cable en tensión. Puede modelarse por dos
puntos materiales obligados a mantener una distancia constante.
DP
En general, un sistema mecánico (un punto material, un sólido rı́gido, etc.)
ligado está sometido a dos tipos de fuerzas: activas y de reacción vincular.
Las fuerzas activas son aquéllas que pueden alterar el estado de movimiento o
producir deformaciones en el sistema. Las fuerzas de reacción vincular o fuerzas
de ligadura son aquéllas ejercidas por las ligaduras sobre el sistema, y su efecto
mecánico es impedir los movimientos incompatibles con las ligaduras.
El principio de liberación, principio de aislamiento o axioma de las ligaduras, establece que todo sistema mecánico ligado puede transformarse en un
fuerzas activas
fuerzas de reacción vincular
principio de liberación
Estática del punto material
AT
36
EU
sistema virtualmente libre si las ligaduras se sustituyen por sus correspondientes fuerzas de reacción vincular.
Caracterı́sticas de las fuerzas de reacción vincular
AI
2.4.2.
I-
EJEMPLO: Cuando una persona está de pie sobre un suelo horizontal, la
acción del suelo puede sustituirse por una fuerza vertical hacia arriba.
AD
Las fuerzas de reacción vincular deben producir en todo momento el mismo
efecto mecánico que el vı́nculo al que sustituyen, impidiendo los movimientos
incompatibles con el enlace. Para ello, las fuerzas de reacción vincular poseen
las siguientes caracterı́sticas:
Las fuerzas de reacción vincular no producen movimiento.
LIC
El módulo de las fuerzas de reacción vincular es función de las fuerzas
activas, y se anula cuando éstas lo hacen. En general, el módulo de las
fuerzas de reacción vincular es una de las incógnitas que habrá de resolverse en el problema.
AP
En ciertos tipos de vı́nculos, la dirección de la fuerza de reacción vincular
es independiente de las fuerzas activas. Por ejemplo, en los vı́nculos en los
que una partı́cula está obligada a permanecer sin rozamiento sobre una
lı́nea o sobre una superficie, la dirección de la fuerza de reacción vincular
que actúa sobre la partı́cula es normal a la lı́nea o superficie.
CA
incógnitas de reacción vincular
Las incógnitas contenidas en la expresión de la fuerza de reacción vincular correspondiente a un vı́nculo reciben el nombre de incógnitas de reacción
vincular.
FIS
I
EJEMPLO:
DP
TO
.
FIGURA 2.3: Fuerza de reacción
sobre una anilla de peso P
vincular φ
obligada a permanecer sin rozamiento sobre una recta horizontal (izda.)
o inclinada (dcha.). El mismo caso
que a la izda. pero con una fuerza
vertical adicional (centro).
f
P
f
P+F
f
P
Consideremos una anilla puntual de peso P obligada a permanecer sin rozamiento sobre una recta. Si la recta es horizontal y sobre la anilla no se ejerce
es igual y de
ninguna fuerza adicional, entonces la fuerza de reacción vincular φ
sentido contrario a P (fig. 2.3 izda.). Si se ejerce una fuerza vertical adicional
es igual y de sentido contrario
F , entonces la fuerza de reacción vincular φ
a P + F (fig. 2.3 centro). Si se inclina la recta y no se ejerce ninguna fuerza
sigue siendo perpendicular
adicional, entonces la fuerza de reacción vincular φ
cambia cuando lo hacen
a la recta (fig. 2.3 dcha.). En este caso, el módulo de φ
37
las fuerzas activas pero su dirección se mantiene siempre perpendicular a la
recta.
y
f
f
I-
EJEMPLO: Si una anilla está vinculada a una curva plana (fig. 2.4), la dirección de la fuerza de reacción vincular será, en general, diferente en cada punto
de la misma, pero siempre perpendicular a la tangente de la curva en cada
punto.
La dirección normal a una curva plana y = y(x) puede determinarse de la
siguiente forma. Consideremos un elemento de longitud (o de arco) sobre la
curva (fig. 2.5), que parte del punto de coordenadas A(x, y) y termina en el
punto B(x + dx, y + dy). Siendo dx y dy longitudes infinitesimales, el vector
= (dx, dy) será paralelo, en primer orden, a la tangente a la curva en
AB
el punto A. Dividiendo el vector por la longitud dx (escalar) obtenemos otro
vector paralelo más conveniente:
AT
Principio de liberación. Estática del punto material ligado
EU
2.4
AD
AI
x
t = (1, dy/dx) = (1, y (x)),
(2.16)
n = (y (x), −1),
LIC
donde y (x) representa la derivada a la curva en el punto A. Entonces, un vector
perpendicular a la tangente a la curva será
(2.17)
AP
como puede comprobarse a través del producto escalar de t y n (t · n = 0).
La dirección de la fuerza de reacción vincular será paralela a n, por lo que
podrá expresarse como
= λn = λ(y (x), −1),
φ
(2.18)
2.4.3.
FIS
I
CA
donde la incógnita de reacción vincular λ es un escalar, positivo o negativo, cuyo
valor dependerá de las fuerzas activas, y su valor se obtendrá de la resolución
de las ecuaciones de equilibrio de la partı́cula. Nótese que, en general, λ no es
ya que n no tiene porqué ser un vector unitario.
el módulo de φ,
Condiciones de equilibrio del punto material ligado
TO
.
Lo expuesto anteriormente nos va a permitir obtener las condiciones necesarias y suficientes para que un punto material ligado esté en equilibrio.
Un punto material sometido a N fuerzas activas Fi y a un cierto número de
vı́nculos que, por el principio de liberación, se pueden sustituir por M fuerzas
j , está en equilibrio si y sólo si:
de reacción vincular φ
El punto material está inicialmente en reposo respecto del sistema de
referencia inercial elegido.
DP
La suma de todas las fuerzas (activas y de reacción vincular) que actúan
sobre el punto material es el vector nulo:
N
i=1
Fi +
M
j=1
j = 0.
φ
(2.19)
P
P
FIGURA 2.4: Fuerza de reacción vin sobre una anilla de peso P
cular φ
obligada a permanecer sin rozamiento sobre una curva. Se muestran las
fuerzas en dos posiciones diferentes
de la anilla. Obsérvese que, en este
caso, la dirección de la fuerza de reacción vincular cambia con la posición,
pero es siempre normal a la curva.
y
y(x)+dy
y(x)
B
y = y(x)
A
x
x x+dx
FIGURA 2.5: En el lı́mite dx → 0, el
es tangente a la curva de
vector AB
ecuación y = y(x).
Estática del punto material
AT
38
EU
PROBLEMA RESUELTO 2.2:
I-
Un bloque de 10 N de peso está obligado a permanecer sin rozamiento sobre un
plano inclinado 30◦ con respecto a la horizontal. Sobre el bloque actúa una fuerza
horizontal F . Calcula el valor de F para que haya equilibrio y la fuerza de reacción
vincular (la fuerza que el plano ejerce sobre el bloque) en dicha situación.
LIC
F
AD
AI
Solución:
y
f
60º
P
30º
30º
AP
FIGURA P2a: Esquema del problema (izda.) y el correspondiente diagrama de fuerzas (dcha.).
x
F
CA
(a) Suponiendo que el bloque se puede describir mediante un punto material,
el diagrama de fuerzas y el sistema de referencia elegido para resolver el
problema se ilustran en la fig. P2a dcha.
DP
TO
.
FIS
I
(b) La fuerza de reacción vincular asociada al hecho de que el bloque esté obligado a permanecer sobre el plano tiene la dirección perpendicular al plano.
Por tanto, la expresión vectorial, en el sistema de referencia elegido, de todas
las fuerzas que intervienen en el problema es:
P = (0, −10) N,
F = (−F, 0),
√
φ
3φ
◦
◦
).
φ = (φ cos 60 , φ sin 60 ) = ( ,
2
2
(P2.1)
(P2.2)
(P2.3)
(c) La ecuación vectorial de equilibrio es:
= 0.
P + F + φ
(P2.4)
Las ecuaciones escalares correspondientes son:
φ
−F + = 0,
√ 2
3φ
−10 +
= 0.
2
(P2.5)
(P2.6)
Principio de liberación. Estática del punto material ligado
39
AT
2.4
20
φ = √ N,
3
10
F = √ N.
3
(P2.7)
I-
(P2.8)
EU
(d) La solución del sistema formado por las ecs. (P2.5) y (P2.6) es:
(e) La solución al problema es:
10
F = (− √ , 0) N,
3
10
= ( √ , 10) N.
φ
3
AI
(P2.9)
LIC
AD
(P2.10)
PROBLEMA RESUELTO 2.3:
AP
Halla la posición de equilibrio y la fuerza de reacción vincular en esa posición para
una partı́cula de 2 kg de masa obligada a permanecer sobre la curva y = 2x2 +3x+4
(las longitudes están expresadas en metros) y sobre la que actúa una fuerza F =
(2, 4) kp.
CA
Solución:
f
FIS
I
y
F
F
f (x)
f
TO
.
P
x
FIGURA P3a: Esquema del problema (izda.) y el correspondiente diagrama de fuerzas (dcha.).
P
(a) El diagrama de fuerzas que actúan sobre la partı́cula se ilustra en la fig. P3a (dcha).
DP
(b) Expresemos vectorialmente las fuerzas que no están en esa forma:
P = (0, −2) kp,
= λ (y , −1)
φ
= λ (4x + 3, −1).
(P3.1)
(P3.2)
Estática del punto material
AT
40
EU
(c) La condición de equilibrio es:
= 0.
F + P + φ
(P3.3)
Por tanto, las ecuaciones de equilibrio son:
(P3.4)
4 − 2 − λ = 0.
(P3.5)
AI
I-
2 + λ (4x + 3) = 0,
AD
(d) La solución del sistema formado por las ecs. (P3.4) y (P3.5) es:
λ = 2 kp,
x = −1 m.
(P3.6)
(P3.7)
LIC
Haciendo uso de la ecuación de la curva, y = 2x2 + 3x + 4, la coordenada
y de la posición de equilibrio es y = 3 m.
(e) Solución que, en forma vectorial, se escribe
(P3.8)
r = (−1, 3) m,
(P3.9)
AP
= (−2, −2) kp,
φ
CA
que son, respectivamente, la fuerza de reacción vincular en el equilibrio y la
posición de equilibrio.
Estática de los sistemas de puntos materiales
2.5.1.
Condiciones de equilibrio de los sistemas de puntos materiales
TO
.
FIS
I
2.5.
DP
FIGURA 2.6: Sistema de N = 3
partı́culas sometido a M1 + M2 +
M3 = 3 + 3 + 2 fuerzas.
Consideremos un sistema de N partı́culas, cada una de ellas sometida a un
número diferente de fuerzas, que pueden ser tanto activas como de reacción vincular. La partı́cula i del sistema estará sometida a Mi fuerzas, que denotaremos
como Fij , donde j = 1, . . . , Mi (fig. 2.6).
Para que el sistema de partı́culas se encuentre en equilibrio, cada una de las
partı́culas que lo constituyen debe estar a su vez en equilibrio. Por tanto, las
condiciones necesarias y suficientes para que un sistema de puntos materiales
esté en equilibrio son que:
condiciones necesarias y suficientes
Los N puntos materiales estén inicialmente en reposo respecto del sistema
de referencia inercial elegido.
41
AI
I-
La suma de todas las fuerzas (activas y de reacción vincular) que actúan
sobre cada uno de los N puntos materiales sea el vector nulo:
⎫
M
1
⎪
⎪
F1j = 0,
⎪
⎪
⎪
j=1
⎪
⎪
⎪
M
⎪
2 ⎪
⎪
F2j = 0,
⎬
j=1
(2.20)
..
⎪
⎪
⎪
.
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
M
N
⎪
⎪
⎪
FN j = 0.
⎭
AT
Configuración. Grados de libertad
EU
2.6
j=1
Mi
N AD
Evidentemente, la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre
todas las partı́culas también habrá de ser el vector nulo,
Fij = 0,
(2.21)
LIC
i=1 j=1
CA
AP
pero esta única ecuación es sólo una condición necesaria de equilibrio, y que
no sustituye a las N ecuaciones (2.20).
En los sistemas de puntos materiales conviene distinguir entre fuerzas interiores (las ejercidas por las propias partı́culas) y fuerzas exteriores (las ejercidas
desde el exterior del sistema). De acuerdo con la tercera ley de Newton, todas
las fuerzas aparecen en parejas de igual módulo y dirección pero sentidos contrarios. Teniendo esto en cuenta, la condición necesaria (2.21) sólo involucrará a
las fuerzas exteriores que actúen sobre el sistema, pues las parejas de fuerzas
interiores se cancelarán mutuamente. Esto no ocurre con las fuerzas exteriores,
ya que las correspondientes parejas no actúan sobre el sistema de partı́culas.
Configuración. Grados de libertad
TO
.
2.6.
FIS
I
EJEMPLO: Si consideramos el subsistema formado por las partı́culas 1 y 2
de la fig. 2.6, y suponemos que las únicas fuerzas interiores son F12 y F21 , es
fácil ver que para que las partı́culas 1 y 2 estén en equilibrio, no basta que la
suma de las fuerzas exteriores que actúan sobre ellas (F11 , F13 , F22 y F23 ) sea
el vector nulo.
DP
La configuración de un sistema de puntos materiales es la posición que
ocupan en el espacio cada una de las partı́culas que lo constituye. Por tanto,
la configuración de un sistema de puntos materiales queda determinada si se
conoce en cada instante las coordenadas espaciales de todas y cada una de sus
partı́culas.
El número de grados de libertad de un sistema de partı́culas, G, es el número
de magnitudes independientes que determinan la configuración del sistema3 .
3 Hay autores que utilizan el concepto grado de libertad como sinónimo de cada una de
las magnitudes independientes del sistema, y número de grados de libertad para denotar la
cantidad de tal conjunto de magnitudes.
configuración
número de grados de libertad
Estática del punto material
AT
42
I-
EU
Estas magnitudes pueden tener dimensiones de longitud, como es el caso de
las coordenadas cartesianas de las partı́culas. Sin embargo, en otras situaciones
puede ser más conveniente considerar otro tipo de magnitudes. En este texto, la
configuración de los sistemas de partı́culas estará definida mediante longitudes
y, en su caso, ángulos. De ahı́ que, en adelante, hablemos de coordenadas o
parámetros en lugar de hablar de magnitudes en general.
AI
EJEMPLO: Una partı́cula libre posee dos grados de libertad en el plano y
tres en el espacio, pues su configuración queda determinada si se conocen, por
ejemplo, sus coordenadas cartesianas: dos en el caso plano (x e y) y tres en el
caso espacial (x, y y z). Análogamente, el número de grados de libertad de un
sistema de N partı́culas libres será
AD
Glibre =
3N
2N
(en el espacio),
(en el plano).
(2.22)
AP
LIC
La presencia de vı́nculos impone restricciones sobre las posiciones que pueden
ocupar las partı́culas. Dichas restricciones se expresan mediante relaciones
matemáticas que, en el caso más general, pueden depender no sólo de las coordenadas de las partı́culas, sino también de sus velocidades y del tiempo.
Sin embargo, por sencillez, en este texto sólo trataremos aquellos enlaces que
pueden describirse mediante ecuaciones que sólo involucran las coordenadas
espaciales de las partı́culas, esto es
donde ri = (xi , yi , zi ) son las coordenadas de la partı́cula i-ésima del sistema de
N partı́culas. Este tipo de enlaces reciben el nombre de las ligaduras holónomas
esclerónomas, y nos referiremos a cada una de las ecuaciones que las describe
como ecuaciones de ligadura. Cada ecuación de ligadura del tipo (2.23) muestra
que, al menos formalmente, una de las coordenadas de una de la partı́culas
enlazadas podrı́a determinarse a partir de las coordenadas de las restantes. Por
tanto, cada ecuación de ligadura supone la supresión de un grado de libertad
respecto del caso en que las partı́culas fueran libres.
Presentamos seguidamente algunos de los enlaces más sencillos que pueden
encontrarse en un sistema de partı́culas:
FIS
I
ecuaciones de ligadura
(2.23)
CA
ligaduras holónomas esclerónomas
ϕ(r1 , r2 , . . . , rN ) = 0,
O
TO
.
r® = (x,y,z)
DP
FIGURA 2.7: Punto material vinculado a una superficie plana.
Superficie sin rozamiento en el espacio. La ecuación de ligadura de cada
partı́cula ası́ vinculada se corresponde con la ecuación de la superficie,
ϕ(x, y, x) = 0,
(2.24)
por lo que este vı́nculo resta un grado de libertad a la partı́cula. En el caso
de que la superficie sea plana (fig. 2.7), la ecuación de ligadura adopta la
forma,
Ax + By + Cz + D = 0,
(2.25)
donde A, B, C y D son los parámetros que definen el plano. Claramente,
cualquiera de las coordenadas espaciales de la partı́cula queda determinada conocidas las otras dos.
43
ζ(x, y, x) = 0,
(2.26)
ξ(x, y, x) = 0.
(2.27)
x(x,y,z) = 0
EU
Lı́nea sin rozamiento en el espacio. Las partı́culas sometidas a este vı́nculo habrán de satisfacer dos ecuaciones de ligadura, que se corresponderán
con las de dos superficies cuya intersección define la curva en el espacio,
AT
Configuración. Grados de libertad
z(x,y,z) = 0
r® = (x,y,z)
I-
Por tanto, este vı́nculo restará dos grados de libertad a cada partı́cula
ası́ enlazada. En el caso de que la lı́nea sea recta, las ecuaciones de ligadura
podrán escribirse como las de dos planos.
O
AI
Lı́nea sin rozamiento en el plano. La ecuación de ligadura coincidirá con
la ecuación de la curva en el plano,
(2.28)
AD
f (x, y) = 0,
por lo que el vı́nculo restará un grado libertad a cada partı́cula sometida
a este enlace. En el caso de que la lı́nea sea recta, la ecuación de ligadura
podrá escribirse como
y = a + bx,
(2.29)
FIGURA 2.8: Punto material vinculado a una curva en el espacio, intersección de las superficies ζ(x, y, x) = 0
y ξ(x, y, x) = 0.
LIC
donde a es la ordenada en el origen y b la pendiente de la recta. Claramente, el valor de una de las coordenadas de la partı́cula queda determinada por el valor que adquiera la otra.
AP
Distancia fija entre dos partı́culas. En este caso, la ecuación de la ligadura
involucra a dos partı́culas y se expresa matemáticamente como
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 − d2 = 0
en el espacio, y como
FIS
I
Punto fijo. Las ecuaciones de ligadura que habrá de satisfacer una partı́cula obligada a permanecer en un punto fijo en el espacio, de coordenadas
(x0 , y0 , z0 ), son tres. Éstas pueden escribirse como las ecuaciones de tres
planos, paralelos a los planos coordenados, y que contienen al punto,
TO
.
P2
(2.31)
en el plano, donde d es la distancia de separación de los puntos materiales
y xi , yi y, en su caso, zi (i = 1, 2), las coordenadas espaciales de éstos.
Puesto que este enlace se expresa mediante una única ecuación de ligadura, sólo suprime un grado de libertad al conjunto de las dos partı́culas.
x − x0 = 0,
(2.32)
y − y0 = 0,
z − z0 = 0.
(2.33)
(2.34)
Análogamente, en el caso plano, este vı́nculo puede expresarse mediante
dos ecuaciones de ligadura, correspondientes a dos rectas paralelas a los
ejes coordenados y que contienen al punto,
x − x0 = 0,
y − y0 = 0.
z
(2.30)
CA
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 − d2 = 0
DP
2.6
(2.35)
(2.36)
Evidentemente, este enlace suprime todos los grados de libertad de la
partı́cula: 3 en el espacio y 2 en el plano.
x
y
d
P1
FIGURA 2.9: Puntos obligados a permanecer a una distancia fija d.
Estática del punto material
Coacciones. Cálculo de los grados de libertad
EU
2.6.1.
AT
44
A∆x + B∆y
.
C
(2.37)
AI
∆z = −
I-
Los vı́nculos que pueden actuar sobre un sistema de partı́culas imponen no
sólo restricciones sobre las posiciones del espacio que pueden ocupar las partı́culas, sino también sobre los posibles desplazamientos de éstas. Ası́, por ejemplo,
la magnitud del desplazamiento en la dirección del eje z de una partı́cula vinculada a un plano (ec. (2.25)) dependerá de los desplazamientos a lo largo de
los ejes x e y mediante la ecuación,
CA
coacción
AP
LIC
AD
Es decir, mientras que ∆x y ∆y pueden adquirir valores arbitrarios, ∆z no
puede. Este hecho puede ponerse de manifiesto más claramente si efectuamos
una rotación de los ejes coordenados, de forma que la dirección del eje z sea
perpendicular al plano. En tal caso, la ecuación de la ligadura (z = cte) prohibirá cualquier desplazamiento paralelo al eje z (∆z = 0), mientras que no
establecerá ninguna limitación sobre traslaciones paralelas a los ejes x e y.
Además, la partı́cula podrá desplazarse en cualquier dirección contenida en
el plano, ya que dicho desplazamiento podrá siempre expresarse como combinación de traslaciones independientes elementales paralelas a los ejes coordenados.
Ası́ pues, cada una de las ecuaciones de ligadura consideradas anteriormente
puede entenderse, de forma general, como el impedimento de la traslación en
una dirección del espacio. Dicho impedimento elemental recibe el nombre de
coacción y supone, lógicamente, la supresión de un grado de libertad. El número
de grados de libertad de un sistema de N partı́culas puede entonces obtenerse
como
3N − C (en el espacio),
G = Glibre − C =
(2.38)
2N − C (en el plano),
DP
TO
.
FIS
I
donde C representa el número de coacciones ejercidas sobre el sistema de N
partı́culas. Como veremos seguidamente, el número de coacciones que ejerce un
vı́nculo coincide con el de ecuaciones de ligadura que lo definen, y también con
el de incógnitas de reacción vincular asociadas a la fuerza de reacción vincular
correspondiente.
Analicemos brevemente las coacciones ejercidas en los distintos enlaces ya
estudiados:
Superficie sin rozamiento en el espacio. Consideremos un sistema de referencia en el que el eje z sea normal a la superficie en la posición de la
partı́cula. La partı́cula ası́ vinculada tendrá impedida su traslación en la
dirección del eje z (∆z = 0), por lo que éste vı́nculo ejerce una coacción.
La partı́cula podrá trasladarse libremente en las direcciones de los ejes x
e y, o en cualquier otra dirección tangente a la superficie, que podrá expresarse como combinación de traslaciones paralelas a los ejes x e y. Si
la partı́cula no está sometida a ningún otro vı́nculo tendrá dos grados de
libertad. La fuerza de reacción vincular correspondiente a este vı́nculo se
= λn, donde n en un vector normal a la superficie en la
expresará como φ
posición de la partı́cula y el escalar λ es la incógnita de reacción vincular.
Lı́nea sin rozamiento en el espacio. Consideremos en este caso un sistema
de referencia en el que el eje z sea tangente a la curva en la posición de la
partı́cula. Este vı́nculo impedirá las traslaciones en las direcciones de los
45
I-
ejes x e y (∆x = 0, ∆y = 0), por lo que ejercerá dos coacciones sobre la
partı́cula. Por el contrario, la partı́cula podrá trasladarse paralelamente
al eje z. Si la partı́cula no está sometida a ningún otro vı́nculo tendrá un
grado de libertad. La fuerza de reacción vincular correspondiente a este
= λn1 + µn2 , donde n1 y n2 son sendos
vı́nculo se expresará como φ
vectores no paralelos normales a la curva en la posición de la partı́cula y
los escalares λ y µ son las incógnitas de reacción vincular.
AT
Configuración. Grados de libertad
EU
2.6
AD
AI
Lı́nea sin rozamiento en el plano. Adoptemos un sistema de referencia
con el eje y normal a la curva. En este caso, la ligadura impedirá las
traslaciones en paralelas al eje y (∆y = 0) y ejercerá, por tanto, una
coacción. La partı́cula podrá trasladarse en dirección paralela al eje x y,
si no está sometida a ningún otro vı́nculo, tendrá un grado de libertad.
La fuerza de reacción vincular correspondiente a este vı́nculo se expre = λn, donde n en un vector normal a la curva en la posición
sará como φ
de la partı́cula y el escalar λ es la incógnita de reacción vincular.
CA
AP
LIC
Distancia fija entre dos partı́culas. Esta ligadura puede considerarse como un caso particular de dos de las anteriores. En el espacio, la primera
partı́cula estará obligada a permanecer sobre una esfera centrada en torno
a la segunda partı́cula. Por tanto, las traslaciones en la dirección normal
a dicha superficie esférica estarán prohibidas, y la ligadura ejercerá una
coacción. En el plano, la primera partı́cula deberá estar localizada sobre
una circunferencia alrededor de la segunda partı́cula. Cualquier desplazamiento en dirección normal a esta curva plana estará prohibido, por lo
que la ligadura ejercerá, también, una coacción. Si las dos partı́culas no
están sometidas a ningún otro vı́nculo tendrán cinco grados de libertad, si
están en el espacio, o tres grados de libertad, si está en el plano. La fuerza
= λn, donde n en un vector en
de reacción vincular se expresará como φ
la dirección que une ambas partı́culas, y el escalar λ es la incógnita de
reacción vincular.
EJEMPLO:
TO
.
FIS
I
Punto fijo. La partı́cula vinculada a un punto fijo tiene impedido cualquier
desplazamiento, por lo que se tendrá ∆x = 0, ∆y = 0 y, además, si el
vı́nculo está en el espacio, ∆z = 0. Por tanto, este vı́nculo ejerce dos coacciones en el caso plano y tres en el espacio, y la partı́cula no tendrá ningún
grado de libertad. Puesto que la fuerza de reacción vincular debe poder
= (φx , φy ) en el
adoptar cualquier orientación, ésta se expresará como φ
caso plano, y como φ = (φx , φy , φz ) en el espacio, donde φx , φy y, en su
caso, φz , son incógnitas de reacción vincular.
DP
El péndulo plano doble (fig. 2.10), tiene 2 grados de libertad, pues bastan
dos coordenadas angulares, θ1 y θ2 , para conocer la configuración de
las partı́culas. Alternativamente, el cable que une la partı́cula A al techo
ejerce una coacción, pues la obliga a moverse sobre una circunferencia con
centro en C, y el que une la partı́cula A y B entre sı́ ejerce otra coacción,
pues la partı́cula B debe moverse en una circunferencia en torno a A. Por
tanto, el número de coacciones ejercidas sobre las dos partı́culas es 2 y el
q1
q2
FIGURA 2.10: Péndulo plano doble.
Las coordenadas θ1 y θ2 son suficientes para determinar la configuración del sistema.
Estática del punto material
AT
46
número de grados de libertad es
EU
G = 2N − C = 2 × 2 − 2 = 2.
Un sistema formado por 15 moscas “puntuales” en el espacio, dos de ellas
unidas por un cable inextensible (C = 1), tiene 44 grados de libertad, pues
AI
I-
G = 3N − C = 3 × 15 − 1 = 44.
AD
PROBLEMA RESUELTO 2.4:
LIC
Sea una partı́cula material de peso P = 4 kp insertada en un alambre en forma
de semicircunferencia de radio R = 1 m, con rozamiento despreciable. La partı́cula
está sujeta a la acción de un muelle de longitud natural nula, fijado éste a su vez a
un extremo del alambre (como se ilustra en la figura). Si la posición de equilibrio
de la partı́cula se produce a un ángulo α = 53◦ , calcula:
(a) La constante elástica del muelle.
(b) El vector fuerza de reacción vincular que ejerce el alambre sobre la partı́cula.
4
5
y cos 53◦ = 35 .
FIS
I
CA
AP
Datos: sen 53◦ =
y
O
A (1,0)
a=53
o
x
B
DP
Solución:
TO
.
PROBLEMA RESUELTO 2.4
Por tratarse de una partı́cula material ligada en equilibrio y en el plano, han de
cumplirse las ecuaciones siguientes:
φx = 0,
(P4.1)
Fx +
φy = 0.
(P4.2)
Fy +
En ellas se encuentran las incógnitas que nos piden en los apartados (a) y (b): la
constante elástica del muelle, incluida en la fuerza del muelle sobre la partı́cula, y
la fuerza de reacción vincular del alambre sobre la partı́cula.
Configuración. Grados de libertad
47
AT
2.6
EU
y
A (1,0)
O
x
a=53o
←
Fmuelle
I-
←
f
B (cos 53 , −sen 53 )
o
←
AD
P
AI
o
LIC
Para determinar cuáles son las fuerzas es necesario dibujar el diagrama de fuerzas.
Véase la figura. Elegiremos como ejes coordenados los de la figura (en otros casos,
habrá que elegirlos entre aquéllos en los que los vectores fuerza tienen las componentes más simples). De este diagrama inferimos los siguientes vectores fuerza:
Fuerzas activas:
AP
Fmuelle = k BA
= k(1 − cos 53◦ , sen 53◦ ),
P = (0, −4) kp.
Fuerzas de reacción vincular:
CA
= (−φ cos 53◦ , φ sen 53◦ ).
φ
(P4.3)
(P4.4)
(P4.5)
FIS
I
Para escribir la fuerza del muelle hemos tenido en cuenta la ley de Hooke: Fmuelle =
y que el muelle es de lnatural = 0 m con lo
k∆lumuelle = k|lactual − lnatural |BA,
que |lactual | = |BA|.
Para escribir la fuerza de reacción vincular se ha tenido en
cuenta que ésta es perpendicular al alambre en el punto B de apoyo y que, por
ó BO.
tanto, tiene dirección radial, según OB
Sustituyendo en las ecuaciones de equilibrio, obtenemos:
k(1 − cos 53◦ ) − φ cos 53◦ = 0,
◦
◦
(P4.7)
TO
.
k sen 53 − 4 + φ sen 53 = 0.
(P4.6)
DP
Son dos ecuaciones con dos incógnitas, k y φ, justo las que nos interesan para
responder a los apartados (a) y (b). Al resolver el sistema obtenemos k = 3 kp/m
= (− 6 , 8 ) kp.
y φ = 2 kp. El vector fuerza de reacción vincular es entonces φ
5 5
PROBLEMA RESUELTO 2.5:
En la figura se muestran dos pequeñas anillas A y B, de pesos respectivos PA y
PB , ensartadas en un alambre liso en forma de L. Ambas anillas están unidas por
FIGURA P4a: Diagrama de fuerzas.
Estática del punto material
AT
48
EU
un cable ideal tenso (tensión T = 0) de longitud 9 m, que pasa por una pequeña
polea de posición fija. Por último, la anilla B recibe la acción de un muelle ideal
vertical de longitud natural nula y constante elástica k.
(a) Calcula el número de grados de libertad del sistema.
I-
(b) Determina el valor del ángulo α para la configuración de equilibrio.
(c) Dibuja la configuración de equilibrio y halla los valores del ángulo β y de la
elongación δ del muelle.
AI
(d) Calcula la fuerza que el alambre ejerce sobre cada anilla y la tensión del cable.
AD
Datos: l = 4 m, d1 + d2 = 9 m, PA = 3 kp, PB = 1 kp, k =
sen 37◦ = 35 , cos 37◦ = 45 .
d2
LIC
d
d1
b
AP
B
PROBLEMA RESUELTO 2.5
kp/m. Tómese
l
A
l
l
CA
Solución:
a
2
15
(a) El sistema tiene un solo grado de libertad: la posición de la partı́cula A queda
determinada por la posición de la partı́cula B.
d
←
d2
Fmuelle
←
b
B
←
←
PB
d1
FBx +
FBy +
φBx = 0,
(P5.3)
φBy = 0.
(P5.4)
←
TA
fA
a
A
←
PA
l=4m
l=4m
DP
←
fB
TB
TO
.
FIS
I
(b) Por tratarse de un sistema de dos partı́culas materiales, A y B, ligadas en
equilibrio y en el plano, han de cumplirse las ecuaciones siguientes:
φAx = 0,
(P5.1)
FAx +
φAy = 0.
(P5.2)
FAy +
l=4m
FIGURA P5a: Resolución de los
apartados (a) y (c).
Para determinar cuáles son las fuerzas es necesario dibujar los dos diagramas de
fuerzas correspondientes a cada una de las dos partı́culas. Véase la fig. P5a. Los
ejes coordenados que simplifican más las ecuaciones son el horizontal como eje x
y el vertical como eje y.
En un cable ideal (i.e., inextensible y de peso despreciable) sin rozamiento con la
polea, la tensión tiene la dirección del cable en cada punto y su módulo es el mismo
49
en todos los puntos, de modo que, en este caso, las tensiones que actúan sobre
las partı́culas A y B son iguales en módulo TA = TB ≡ T pero no en dirección
TA = TB , como se ve en la fig. P5a.
Comenzamos por la anilla A. De su diagrama de fuerzas, y sustituyendo directamente las componentes de las fuerzas en las ecs. (P5.1) y (P5.2), obtenemos:
(P5.5)
(P5.6)
d
I-
T cos α = 0,
−PA + T sen α + φA = 0.
AT
Configuración. Grados de libertad
EU
2.6
B
AI
Se trata de dos ecuaciones con tres incógnitas: α, T y φA . Sin embargo, de la
primera de ellas ya obtenemos el valor de α, pues al ser T = 0, por estar tenso el
cable, debe ser cos α = 0, de donde α = 90◦ .
AD
(c) La configuración de equilibrio dibujada en la fig. P5b queda determinada por
el valor encontrado para α. En la fig. P5b vemos que cos β = 45 y sen β = 5δ , obteniendo ası́ dos ecuaciones con las dos incógnitas pedidas, β y δ. Resulta entonces
que β = 37◦ y δ = 3 m.
AP
LIC
(d) Para hallar la tensión T y las reacciones φA y φB disponemos de la ec. (P5.6),
más las dos ecuaciones que se obtienen al sustituir en (P5.3) y (P5.4) las componentes de las fuerzas que se infieren del diagrama de fuerzas de la partı́cula B.
Además, hay que tener en cuenta que ya conocemos que α = 90◦ , β = 37◦ y
δ = 3 m. El valor de δ es necesario para saber el de la fuerza elástica del muelle
sobre la partı́cula, dado por la ley de Hooke: Fmuelle = kδ, pues la longitud natural
del muelle es nula.
(P5.7)
(P5.8)
−PB + T sen 37◦ + kδ = 0.
(P5.9)
CA
−PA + T sen 90◦ + φA = 0,
T cos 37◦ − φB = 0,
Sustituyendo los valores conocidos PA = 3 kp, PB = 1 kp, k =
obtenemos las siguientes 3 ecuaciones con 3 incógnitas:
FIS
I
T + φA = 3,
4
T − φB = 0,
5
3 2
T + = 1.
5 5
2
15
kp/m y δ = 3 m
(P5.10)
(P5.11)
(P5.12)
DP
TO
.
De donde obtenemos finalmente que T = 1 kp, φA = 2 kp y φB = 4/5 kp. Si
queremos expresar vectorialmente las fuerzas de reacción del alambre sobre las
A = (0, 2) kp, φ
B =
partı́culas, de los diagramas de fuerzas de la fig. P5a resulta φ
4
(− 5 , 0) kp.
PROBLEMA RESUELTO 2.6:
Halla la posición de equilibrio y el vector fuerza de reacción vincular en esa posición
en los siguientes casos:
d2 = 5 m
d1 = 4 m
l=4m
b
a = 90
l=4m
o
A
l=4m
FIGURA P5b: Resolución del apartado (b).
Estática del punto material
AT
50
EU
(a) Una partı́cula de 5 N de peso, obligada a permanecer (sin rozamiento) sobre
la curva de ecuación y = x2 + 2x − 1, y sobre la que actúa una fuerza
horizontal hacia la izquierda de 10 N.
I-
(b) Una partı́cula de 2 N de peso, obligada a permanecer sobre la recta y = 2x+3,
y que es atraı́da por el origen de coordenadas con una fuerza proporcional a
la distancia entre la posición de la partı́cula y la del origen de coordenadas y
cuya constante de proporcionalidad es k = 1 N/m.
AI
Nota: Las distancias están expresadas en metros.
Solución:
LIC
AD
(a) Si elegimos el sistema de referencia en el que la horizontal es el eje x, con valores
crecientes de izquierda a derecha, y la vertical el eje y, con valores crecientes de
abajo a arriba, entonces la expresión vectorial del peso y de la fuerza que actúa
horizontalmente hacia la izquierda es
P = (0, −5) N,
F = (−10, 0) N.
(P6.1)
(P6.2)
AP
El que la partı́cula esté obligada a permanecer (sin rozamiento) sobre la curva
y = x2 + 2x − 1 implica que la fuerza de reacción vincular es de la forma
= λ (2x + 2, −1),
φ
(P6.3)
CA
donde λ es una de las incógnitas del problema. Las únicas fuerzas que actúan sobre
por tanto la condición necesaria y suficiente para que
la partı́cula son P , F , y φ,
esta partı́cula esté en equilibrio es
= 0.
P + F + φ
(P6.4)
FIS
I
Ecuación vectorial que, en este caso, equivale a 2 ecuaciones escalares, una para
las componentes horizontales y otra para las verticales:
−10 + λ (2x + 2) = 0,
(P6.5)
−5 − λ = 0.
(P6.6)
DP
TO
.
La solución de la segunda ecuación es λ = −5. Introduciendo esta solución en la
primera ecuación obtenemos x = −2. Por tanto, usando la ecuación de la curva, la
posición de equilibrio es req = (−2, −1) m, y el vector fuerza de reacción vincular
eq = (10, 5) N.
es φ
(b) Usando el mismo sistema de referencia que en el apartado anterior, el peso y
la fuerza de reacción vincular sobre la partı́cula son ahora
P = (0, −2) N,
= λ (2, −1),
φ
(P6.7)
(P6.8)
La fuerza con que el origen O(0, 0) atrae a la partı́cula situada en Q(x, y) es
QO
F = k |QO|
|QO|
= k (−x, −y)
= (−x, −2x − 3).
(P6.9)
51
Las únicas fuerzas que actúan sobre la partı́cula son esas tres, por tanto la condición
necesaria y suficiente para que esta partı́cula esté en equilibrio es
+ F = 0.
P + φ
(P6.10)
Ecuación vectorial que equivale a 2 ecuaciones escalares:
2λ − x = 0,
−2 − λ − 2x − 3 = 0.
AT
Configuración. Grados de libertad
EU
2.6
I-
(P6.11)
(P6.12)
DP
TO
.
FIS
I
CA
AP
LIC
AD
AI
Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos λ = −1, x = −2. Por tanto,
usando la ecuación de la recta y = 2x + 3, la posición de equilibrio es req =
eq = (−2, 1) N.
(−2, −1) m y la fuerza de reacción vincular φ
Estática del punto material
AT
52
I-
(c) Supongamos que el cuerpo es sustituido por otro con
el doble de masa. Entonces, para que el punto H continúe
siendo la posición de equilibrio, ¿las constantes deberı́an
tener doble valor?, ¿la fuerza de reacción serı́a doble? Razona las respuestas brevemente.
Calcula entonces:
Y para la situación de equilibrio:
B(l2,0)
x
O
k2
k1
H(0,-h)
LIC
(b) La elongación que experimenta el muelle.
A(-l1,0)
AD
(a) Los grados de libertad que posee la partı́cula material
considerando el problema plano.
y
AI
2.1. En la figura se observa una partı́cula material de peso
despreciable frente al de la carga P1 = 50 N que cuelga de
ella. La partı́cula está obligada a permanecer sin rozamiento
en la guı́a recta inclinada α = 53◦ respecto a la horizontal,
y además está sujeta a la acción de un muelle ideal de longitud natural nula y constante elástica k = 120 N/m y de
un cable ideal del que pende una carga de peso P2 = 100 N.
EU
Problemas propuestos
(c) La fuerza de reacción vincular que ejerce la guı́a sobre
la partı́cula.
4
5
y cos 53◦ = 35 .
AP
Nota: Considera sen 53◦ =
k
a
FIS
I
P1
CA
P2
PROBLEMA 2.2
2.3. Una anilla de peso P = 1 N puede deslizar sin rozamiento por un cable recto que pasa por O y forma un ángulo α con la vertical. La anilla está unida a un punto fijo Q
por un muelle cuya constante elástica es k = 1 N/m y que
tiene longitud natural despreciable. En la configuración de
equilibrio, determina:
(a) La distancia r (indicada en la figura) en función de α.
(b) La fuerza de reacción vincular en función de α.
(c) Los valores de α para los cuales el módulo de la
fuerza de reacción vincular es máxima y mı́nima, respectivamente.
y
PROBLEMA 2.1
DP
TO
.
2.2. Un cuerpo puntual de masa m puede deslizar por una
varilla vertical lisa, estando sometido a la acción de dos
muelles ideales de longitud natural nula. Las constantes de
los resortes valen k1 y k2 , y sus extremos fijos son A(−l1 , 0),
B(l2 , 0) (véase la figura). El cuerpo permanece en equilibrio
en la posición H(0, −h). Determina:
(a) La masa del cuerpo y la fuerza de reacción vincular,
en función de los parámetros del enunciado.
(b) La relación entre las constantes k1 y k2 para que la
fuerza de reacción vincular se anule.
O
x
r
1m
a
S
Q
PROBLEMA 2.3
53
AT
Problemas propuestos
AD
AI
I-
EU
2.4. Un dispositivo mecánico para desplazar cargas peli- (a) El número de grados de libertad del sistema.
grosas puede modelarse como un sistema de dos partı́culas materiales, A y B, de peso despreciable. Las partı́cu- En la situación de equilibrio, calcula:
las A y B están obligadas a permanecer sin rozamiento
en las guı́as horizontales OQ y RS, respectivamente. En- (b) Las fuerzas de reacción vincular φA y φB que las guı́as
tre la partı́cula A y el punto fijo R existe un muelle ideal ejercen sobre los puntos A y B, respectivamente.
de longitud natural nula y constante elástica k = 10 N/m. (c) Las distancias lA y lB .
De la partı́cula A cuelga el peso a desplazar, de módulo
P = 100 N. Entre la partı́cula A y la partı́cula B existe (d) La fuerza FA que el muelle ejerce sobre el punto A.
un cable en tensión de peso despreciable y que en todo
4
momento forma un ángulo de 53◦ con la horizontal.
Datos adicionales: Considera cos 37◦ = sen 53◦ = ,
5
3
◦
◦
(a) Calcula el número de grados de libertad del sistema sen 37 = cos 53 = .
5
formado por las partı́culas A y B.
LIC
(b) Las coordenadas de las partı́culas A y B en el sistema
de referencia de la figura.
(c) Las fuerzas de reacción que ejercen la guı́as OQ y RS
sobre las partı́culas A y B, respectivamente.
3
5,
AP
Datos adicionales: OR = 5 m. Considera cos 53◦ =
sen 53◦ = 45 .
y
y
lB
O
lA
Si sobre B se aplica una fuerza horizontal F = 30 N, tal
y como se ilustra en la figura, calcula, en la situación de
equilibrio,
x
o
o
53
37
B
A
¬
B
F
CA
R (0,5) m
PROBLEMA 2.5
S
O
53
o
FIS
I
A
x
Q
TO
.
P
2.6. Dos cuerpos A y B que pesan 800 N y 200 N respectivamente, se mantienen en equilibrio sobre superficies perpendiculares mediante un cable que los une y que forma
un ángulo θ con la horizontal, según se indica en la figura.
Determina las reacciones de las superficies sobre los cuerpos, la tensión del cable y el ángulo θ. Suponer ausencia de
rozamiento en todas las superficies.
PROBLEMA 2.4
DP
2.5. Considera el sistema de dos puntos materiales A y B
de la figura. El peso de A es 10 N y el peso de B es 12 N.
El punto A está obligado a permanecer sin rozamiento sobre una guı́a que forma 53◦ con la horizontal y el punto B
está obligado a permanecer sin rozamiento sobre una guı́a
que forma 37◦ con la horizontal, tal y como se ilustra en la
figura. A y B están unidos por un muelle ideal de longitud
natural nula y constante elástica k = 5 N/m. Determina:
PB = 200N
q
PA = 800N
60º
30º
PROBLEMA 2.6
Estática del punto material
40 m
O
AP
(5,5) m
Q
(0,y)
x
FIS
I
CA
(0,0)
(-5,-5) m
LIC
y
AD
(a) Calcula el peso Q que cuelga de la polea y el vector
fuerza de reacción vincular que el eje vertical ejerce sobre
la anilla si ésta se encuentra en equilibrio en la posición
(0,0).
(b) Calcula las coordenadas de la posición de equilibrio y
el vector fuerza de reacción vincular del eje sobre la anilla
si se suprime el cable del que cuelga el peso Q.
I-
EU
(c) La longitud total del cable que hay entre O y Q, pasando por P y los valores de x e y correspondientes a la
polea P (véase la figura).
(d) El número de grados de libertad de la polea P . El
número de grados de libertad de la polea P si el punto Q
de la cuerda estuviese fijado a una pared.
AI
2.7. Una anilla de 10 N de peso y que consideraremos puntual, puede moverse sin rozamiento sobre el eje vertical
x = 0. De la anilla tira un muelle de longitud natural nula
y constante elástica k = 2 N/m, cuyo otro extremo está fijo
en el punto de coordenadas (−5, −5) m, tal como se indica
en la figura. También tira de la anilla un cable inextensible que pasa por el punto (5, 5) m mediante una polea sin
rozamiento, de radio despreciable y de cuyo otro extremo
cuelga un peso de módulo Q.
AT
54
PROBLEMA 2.7
(b) El valor de los ángulos α y β que el cable forma con
la horizontal a un lado y otro de P .
P
β
α
B
x
A
2.9. Dos masas puntuales, m1 y m2 , pueden moverse a
lo largo de las rectas AB y BC, respectivamente, como
muestra la figura. Están unidas mediante un resorte de longitud natural nula, que tira de cada una de las partı́culas
con una fuerza proporcional a su longitud, con constante
de proporcionalidad k = 2 kp/m.
Sabiendo que m1 = 15 kg y que la masa m2 está en equilibrio en la posición P2 (−2, 7) m, calcula:
(a) La posición de equilibrio de m1 y la fuerza de reacción
vincular que sufre en dicha posición.
(b) El valor de la masa m2 para que pueda permanecer en
equilibrio en la posición indicada, y la fuerza de reacción
vincular a la que se encuentra sometida.
Nota: las coordenadas en la figura están expresadas en metros.
y
TO
.
DP
(a) La tensión del cable a un lado y otro de la polea P .
y
PROBLEMA 2.8
2.8. En la figura se muestran dos poleas de radio despreciable y sin rozamiento: de la primera de ellas, que denotare√
mos como P , cuelga un cuerpo A de peso WA = 200 3 kp;
P puede moverse a lo largo del cable ideal que la sostiene
por debajo. Dicho cable rodea la garganta de la polea Q,
y de su extremo vertical pende un cuerpo B de peso
WB = 200 kp. El conjunto se encuentra en equilibrio.
Calcula:
4 3m
Q
B (0,8)
P2 (−2,7)
m2
C
m1 P1 (x, y)
O
A (4,0)
PROBLEMA 2.9
x
55
AT
Problemas propuestos
AP
LIC
AD
AI
I-
EU
2.10. Una partı́cula de 11 N de peso puede moverse sin
PROBLEMA 2.11
rozamiento a lo largo de la curva plana descrita por la
ecuación y = −x2 − 1, y es atraı́da por el origen de coordenadas con una fuerza proporcional al vector posición
del punto, F = −kr, siendo k = 2 N/m. Determina las 2.12. Un objeto de peso P = 1100 N, que consideraremos
posiciones de equilibrio y la fuerza de reacción vincular en puntual, se apoya sin rozamiento sobre una curva, de
cada una de dichas posiciones de equilibrio.
ecuación y = − 31 x2 − 1. El objeto permanece en equi2.11. En la figura se muestra el andamio utilizado para pin- librio en el punto A, de coordenadas A(−3, −4) m, sujeto
tar un paramento vertical. Consta de un cable de acero por un único cable ideal en tensión que pasa sin rozamiensobre la que se apoyan dos poleas, A y B, unidas mediante to por una argolla fijada a una pared vertical situada en el
una barra rı́gida de peso despreciable. De las poleas cuel- origen de coordenadas O, y que está amarrado al techo en
gan sendas cuerdas, al final de las cuales se encuentra el el punto B. Calcula:
tablero sobre el que trabajan los pintores. Para mantener el
andamio en la posición mostrada, la polea B está unida a
un cable horizontal del que se tira con una fuerza F . Las (a) El número de grados de libertad del objeto.
cargas dispuestas sobre el tablero producen en la cuerda
(b) La tensión del cable, y la fuerza de reacción vincular
de la izquierda una tensión de 150 N, mientras que en la
que ejerce la curva de apoyo sobre el objeto.
cuerda de la derecha la tensión es de 250 N.
La forma que adopta el cable de acero puede aproximarse (c) Considerando la argolla como puntual, la fuerza que
x
x2
− . ejerce sobre ella la pared a la que está unida.
mediante una curva parabólica de ecuación y =
10
4
Si se modelan las poleas mediante puntos materiales, determina:
B
FIS
I
A
30o
O(0,0) m
®
B
y
3m
y
CA
(a) Las fuerzas ejercidas sobre la polea A por el cable de
acero y por la barra que une ambas poleas.
(b) La fuerza ejercida sobre la polea B por el cable de
acero y la fuerza F necesaria para mantener el andamio
en su posición.
F
x
A(-3,-4) m
TO
.
PROBLEMA 2.12
DP
4m
x
Estática del punto material
AT
56
2.1. Teniendo en cuenta las leyes de Newton, ¿cuál de las
siguientes afirmaciones es verdadera?
EU
Cuestiones
(b) la configuración del sistema viene dada por el valor
de 3N coordenadas libres o independientes.
1
2
LIC
AD
AI
I-
(a) Un punto material sobre el que no actúan fuerzas per- (c) el número de grados de libertad es igual al que tenmanece en reposo respecto a cualquier sistema de refer- drı́a el sistema si todos los puntos fueran libres menos el
número de ecuaciones de ligadura.
encia inercial.
(b) En un sistema de referencia inercial, la variación del (d) si todos los puntos materiales están en equilibrio, el
momento lineal (o cantidad de movimiento) de un punto número de grados de libertad es cero.
material respecto del tiempo es igual a la fuerza resultante
2.5. El número de grados de libertad de un sistema de punaplicada sobre dicho punto material.
tos
materiales
(c) Las dos fuerzas a las cuales se refiere la tercera ley de
Newton siempre actúan sobre el mismo punto material.
(a) depende de las posiciones que ocupen los puntos en
(d) Un punto material sobre el que actúa un sistema de el espacio.
fuerzas estará necesariamente acelerado en todo sistema
(b) es cero si todos los puntos están en reposo.
de referencia inercial.
2.2. En el espacio tridimensional considera un sistema for- (c) es cero si todos los puntos están en reposo y, además,
mado por tres puntos materiales P , P y P tal que P y la fuerza total que actúa sobre cada uno de ellos es cero.
3
1
G = 8.
G = 5.
G = 4.
G = 6.
CA
(a)
(b)
(c)
(d)
AP
P2 están unidos mediante un muelle, y la distancia entre P2
y P3 permanece constante. El número de grados de libertad
de ese sistema es
FIS
I
2.3. En el plano, un punto material está obligado a permanecer sin rozamiento sobre la curva de ecuación y =
−x2 + 7. Al aplicar el principio de liberación, la fuerza de
reacción vincular que sustituye al vı́nculo
TO
.
(a) tiene una dirección constante independiente del punto
de la curva sobre el que se encuentre el punto material.
(b) es proporcional al vector (2, 1) si el punto material
está en el punto de coordenada x = 1.
(c) tiene dirección tangente a la curva en el punto donde
se encuentre el punto material.
(d) Ninguna de las otras respuestas es correcta.
2.4. En un sistema de N puntos materiales ligados, en el
espacio,
DP
(a) el número de coordenadas libres o independientes que
determinan su configuración es igual al número de grados
de libertad menos el número de ecuaciones de ligadura.
(d) Ninguna de las otras respuestas es cierta.
2.6. Sea una partı́cula material ligada a una superficie lisa.
Entonces la partı́cula está en equilibrio
(a) únicamente si la suma de las fuerzas activas que
actúan sobre ella es nula.
(b) si la suma de las componentes tangenciales a la superficie de las fuerzas activas que actúan sobre ella es nula.
(c) si la suma de las componentes normales a la superficie
de las fuerzas activas que actúan sobre ella es nula.
(d) si la fuerza de reacción vincular que actúa sobre ella
es no nula y tangente a la superficie.
2.7. Se cuelga un peso P de una arandela insertada en un
cable rı́gido, no necesariamente sin rozamiento, e inclinado 45◦ respecto a la horizontal. Si la arandela permanece
ası́ en equilibrio, ¿qué puede afirmarse acerca de la fuerza
de reacción vincular del cable sobre la arandela?
(a) Es perpendicular al cable.
(b) Es paralela al cable.
(c) Es vertical.
(d) Tiene dos componentes no nulas, una horizontal y otra
vertical.