Leccion2.Viscoelasticidad

LECCION 2.- COMPORTAMIENTO REOLOGICO DE LOS POLÍMEROS. VISCOELASTICIDAD.
1.- Introducción.
Al considerar los plásticos como materiales para el diseño de cualquier artículo debe conocerse el
comportamiento de los mismos frente a los diferentes agentes externos (acciones mecánicas, temperatura,
tiempo. etc.). Así, el estudio de las propiedades mecánicas es imprescindible cuando estos materiales se
utilizan como elementos estructurales. Se trata de conocer si un determinado tipo de polímero es lo
suficientemente resistente para un empleo particular o si es lo suficientemente tenaz para aguantar
determinados golpes sin romperse. Por otro lado, es conveniente saber las causas que hacen a un polímero
ser frágil, a otro tenaz, mientras un tercero se comporta como un elastómero, así como la relación existente
entre este comportamiento mecánico y sus estructuras.
En los polímeros, más que en otro tipo de materiales, la temperatura y el tiempo presentan un papel
fundamental que influyen de manera notable en sus propiedades mecánicas. En este capítulo se estudia el
efecto de dichos factores en las propiedades de los polímeros, discutiendo la influencia de la propia
estructura del material en el resultado final.
Los polímeros, como grupo de materiales, resultan muy difíci1es de clasificar desde el punto de vista de su
comportamiento mecánico. Sus propiedades mecánicas difieren mucho de unas familias a otras y además
están enormemente influenciadas por las condiciones de ejecución de los ensayos: velocidad de aplicación
de la carga (velocidad de deformación), temperatura, magnitud de la deformación impuesta, naturaleza
química del medio (presencia de agua, oxígeno, disolventes orgánicos, etc).
Carswell y Nason (Figura 1.1) clasificaron los polímeros en 5 categorías. La clase (a) incluye polímeros
blandos y débiles, entre ellos el poliisobutileno, que se caracterizan por un bajo módulo de elasticidad, un
bajo punto de fluencia y un moderado alargamiento en función del tiempo. El módulo de Poisson, es decir,
la relación entre contracción y alargamiento, para polímeros de clase (a) es de 0.5, que es parecido al de los
líquidos.
Por otro lado, el módulo de Poisson de los polímeros duros y frágiles de la clase (b), como puede ser el
poliestireno, se acerca a 0.3. Los polímeros de clase (b) se caracterizan por un módulo de elasticidad alto, un
punto de fluencia poco definido y una deformación pequeña antes de la rotura.
Los polímeros de clase (c), como el PVC plastificado, tienen un bajo módulo de elasticidad, gran
alargamiento, un módulo de Poisson de alrededor de 0.5-0.6 y un punto de fluencia bien definido. Puesto
que los polímeros de clase (c) se alargan después del punto de fluencia, el área bajo la curva de
esfuerzo-deformación que representa la tenacidad será mayor que para la clase (b).
El PVC rígido es un exponente de los polímeros duros y resistentes de la clase (d). Estos polímeros tienen
un alto módulo de elasticidad y una alta resistencia a la fluencia.
La curva para los polímeros duros y tenaces de clase (e), como por ejemplo los copolímeros ABS,
experimentan un alargamiento moderado antes del punto de fluencia seguido de una deformación
irreversible.
En general, el comportamiento de todas las clases es hookeano antes del punto de fluencia. La deformación
recuperable reversible antes del punto de fluencia, en el intervalo llamado elástico, es fundamentalmente el
resultado de la flexión y alargamiento de los enlaces covalentes de la cadena principal del polímero. Esta
parte útil de la curva de esfuerzos - deformaciones puede también comprender el desenrollamiento
recuperable de algunas cadenas del polímero. Después del punto de fluencia, el mecanismo predominante es
el deslizamiento irreversible de las cadenas de polímero.
Valores elevados del módulo de Young indican que el material es rígido, resistente al alargamiento y
estirado. Muchos polímeros sintéticos tienen su módulo de Young comprendido en el intervalo general
alrededor de 105 psi (689.7 MPa ), el cuarzo fundido tiene un módulo de Young de 106 ( 6896.6 MPa), la
fundición de hierro, el wolframio y el cobre tienen valores del orden de 107 (68965.5 MPa) y el diamante
de alrededor de 108 (689655.2 MPa ).
Dado que estas propiedades dependen del tiempo, los polímeros de clase (a) pueden comportarse como los
de clase (d) si se aplican los esfuerzos rápidamente, y viceversa. Estas propiedades también dependen de la
temperatura; así, las propiedades de los polímeros de clase (c) se parecerán a las de los polímeros de clase
(b) cuando disminuye la temperatura, como se puede apreciar en la figura 1.2, que nos muestra el efecto de
la temperatura sobre las curvas tensión – deformación del PMMA (Polimetacrilato de metilo). Se ve que al
disminuir la temperatura aumenta el módulo de elasticidad y la tensión de fractura y disminuye el
alargamiento ( % EL).
Figura 1.1.- Curvas tensión – deformación típicas de los polímeros.
Figura 1.2.- Curvas tensión – deformación del PMMA. Efecto de la temperatura.
Bingham, que algunos han llamado el padre de la reología moderna, denominó reología a la rama de la
ciencia que se dedica al estudio de la deformación y el flujo de los materiales. El prefijo rheo viene de la
palabra griega rheos, que significa corriente o flujo. El estudio de la reología incluye dos ramas de la
mecánica muy distintas denominadas mecánica de los sólidos y mecánica de los fluidos. El técnico dedicado
a los polímeros trata normalmente con materiales viscoelásticos que se comportan como sólidos y como
fluidos, exhibiendo propiedades características de ambos.
Los materiales pueden ser clasificados reológicamente con respecto a su comportamiento esfuerzo cortante
(τ)-deformación de cizalladura en cizalladura simple (γ). Se han desarrollado diversas expresiones
relacionando el esfuerzo cortante y la deformación por cizalladura, que son características de ciertas clases
de materiales. Tales expresiones representan "modelos" idealizados que definen a dichos materiales, pero
no garantizan la reproducción exacta del comportamiento de los materiales reales. Muchos de ellos, sin
embargo, dan una representación bastante adecuada del comportamiento de flujo o deformación de un gran
número de materiales en muchas aplicaciones prácticas. Una porción del espectro de clasificación total se
muestra en la tabla 1.1. Clases adicionales pueden ser añadidas en las categorías de sólidos y fluidos.
Tabla 1.1.- Clasificación de los materiales con respecto a su comportamiento esfuerzo cortante-deformación
de cizalladura.
Sólido rígido (Euclides), γ = 0
Sólido elástico lineal (Hooke), τ = G γ , (G = Módulo de cizalladura = Cte.)
SOLIDOS
Sólido elástico no lineal, τ = G(γ)γ
•
•
Viscoelástico τ = f (γ, γ , t), ( γ = Velocidad de deformación de cizalladura ).
Fluido viscoso no lineal(no newtoniano) , τ = η(γ)γ (η = Viscosidad)
FLUIDOS
Fluido viscoso lineal (newtoniano), τ = ηγ
(η = Cte.)
Fluido no viscoso (Pascal), τ = 0
Mientras muchos materiales pueden ser clasificados como sólidos o fluidos, hay muchos otros en la región
media del espectro que no son ni sólidos ni líquidos, sino que tienen ciertas propiedades características de
ambos. Son estos materiales los que presentan un gran interés para los reólogos. Además, es dificil formular
una definición adecuada de líquidos y sólidos que diferencien dichos materiales.
En general, un fluido experimenta una deformación continua sin ruptura cuando está sometido a un esfuerzo
anisotrópico constante, mientras que un sólido asumirá una configuración de equilibrio estático bajo tales
condiciones. Sin embargo, este tipo de comportamiento es relativo, y depende del tiempo característico
requerido por el material para responder a un cambio en esfuerzo o deformación en comparación con la
escala de tiempo de observación, así como de la magnitud del esfuerzo o deformación.
Para un fluido viscoso puro, los esfuerzos cortantes internos desarrollados dentro del material son función
•
•
únicamente del material y de la velocidad de deformación de cizalladura instantánea ( γ ), τ = f( γ ). Esto
•
implica que, inmediatamente después del cese de cualquier movimiento relativo ( γ = 0), el esfuerzo
cortante cae instantáneamente a cero. Esto es, la respuesta del esfuerzo cortante a cambios en la velocidad
de cizalladura (y viceversa) es instantánea, si se desprecian los efectos inerciales.
La ocurrencia de propiedades viscoelásticas en un material depende en gran medida de las condiciones
medioambientales, particularmente de la temperatura y del tipo de régimen de carga aplicado al material. En
general, la mayoría de los polímeros exhiben un comportamiento viscoelastico a las temperaturas de
servicio cuando la carga es aplicada durante un cierto período de tiempo. Por consiguiente, es importante
considerar tales propiedades al diseñar con estos materiales.
De lo anterior, se deduce que el comportamiento mecánico de los polímeros no resulta fácil de caracterizar
según un modelo sencillo dado que involucra varios fenómenos diferentes. Éstos son los siguientes:
(A).- Elasticidad. El material se comporta como un vidrio. La deformación reversible inducida por la carga
aplicada se debe a variaciones en la longitud y ángulos de los enlaces entre átomos componentes de las
cadenas.
La componente elástica es la dominante en los sólidos, por tanto, sus propiedades pueden describirse
mediante la ley de Hooke, que afirma que el esfuerzo aplicado (σ) es proporcional a la deformación
dε
), es decir:
resultante (ε), pero es independiente de la velocidad de deformación (
dt
σ=Eε
(1.1)
donde E es el módulo elástico o de Young.
(B).-Anelasticidad. Hasta ahora se ha supuesto que la deformación elástica era independiente del tiempo, o
sea: una tensión aplicada producía una deformación elástica instantánea que permanecía constante durante
el tiempo que se mantenía aplicada la carga. También se ha supuesto que al retirar la carga, la deformación
se recuperaba totalmente, o sea: la deformación volvía a cero de forma instantánea.
En muchos materiales de ingeniería, sin embargo, existe una componente de la deformación elástica que
depende del tiempo; es decir, la deformación elástica continua aumentando después de aplicar la carga, y al
retirarla se requiere que transcurra algún tiempo para que el material se recupere completamente. Este
comportamiento elástico dependiente del tiempo se denomina anelasticidad y es causado por la dependencia
del tiempo de los mecanismos microscópicos que tienen lugar cuando el material se deforma. En los
metales, la componente anelástica es normalmente pequeña y, a menudo, despreciable. Sin embargo, en
algunos materiales poliméricos su magnitud es importante. En este caso se denomina comportamiento
viscoelástico.
La deformación también es reversible pero dependiente del tiempo. La carga aplicada origina el estirado de
las cadenas de polímero apartándolas de sus conformaciones mas estables (enrolladas mayor entropía).
Estos movimientos moleculares necesitan un cierto tiempo para su desarrollo.
(C).-Flujo viscoso. Se debe al deslizamiento dependiente del tiempo de unas cadenas sobre otras. Es una
deformación no reversible o permanente.
La componente viscosa es dominante en los líquidos, y por tanto sus propiedades pueden describirse
mediante la ley de Newton, que establece que el esfuerzo aplicado τ es proporcional a la velocidad de
 dγ 
deformación 
 , pero es independiente del alargamiento γ ó del gradiente de velocidades aplicado, es
 dt 
•
 dγ 
decir :
τ = η
=
η
γ
,
(1.2)

 dt 
donde η es la viscosidad
Ambas leyes, la de Newton y la de Hooke, son válidas cuando hay pequeñas variaciones de la deformación
o de la velocidad de deformación
Un mismo polímero amorfo puede mostrar un comportamiento como un vidrio (totalmente elástico) a bajas
temperaturas o a alta velocidad de aplicación de la carga, con un módulo elástico de 103 - 104 MPa y un
alargamiento a rotura del 5 –10 %. Frente a deformaciones relativamente pequeñas, el comportamiento
mecánico a bajas temperaturas es elástico y cumple la ley de Hooke: τ = G γ.
A temperaturas mayores o a menor velocidad de aplicación de la carga (mayor tiempo disponible para el
movimiento molecular) el mismo polímero puede comportarse como una goma con un módulo elástico de
1-10 MPa. y alargamiento a rotura cercano al 1000 %. Por tanto, a temperaturas bajas el comportamiento es
el de un sólido elástico, mientras que a temperaturas muy elevadas prevalece el comportamiento viscoso o
líquido elástico.
Sin embargo, para las velocidades de carga habituales y a temperatura intermedias (por encima de la
temperatura de transición vítrea), el polímero presenta un comportamiento intermedio (sólido
gomoelástico), que presenta características mecánicas intermedias entre estos dos extremos: esta condición
se denomina viscoelasticidad, que podemos referir como yuxtaposición de los tres fenómenos considerados
anteriormente.
El comportamiento viscoelástico esta caracterizado por:
τ = F(γ, t)
(1.3)
que es la expresión general para un sólido con comportamiento viscoelástico no lineal donde la tensión es
un función general (F) de la deformación y del tiempo. Para pequeñas deformaciones (típicamente <1%)
las respuestas debidas al tiempo y a la deformación pueden separarse, dando lugar a la ecuación general para
un material con comportamiento viscoelástico lineal como sigue:
τ = γG(t)
(1.4)
donde G(t) es el módulo del material dependiente del tiempo y en cualquier punto. Para el mismo instante,
la tensión es proporcional a la deformación.
La figura 1.2 ilustra los resultados de una serie de experimentos con carga constante para el polipropileno a
la temperatura de 20 ºC. El aumento de la deformación con el tiempo es el resultado del comportamiento
viscoelástico del material. Para cargas bajas y cortos períodos de tiempo, las curvas se espacian bastante
uniformemente a lo largo del eje de ordenadas, por tanto, puede considerarse que el material presenta un
comportamiento viscoelástico lineal en dicho rango.
Figura 1.2.- Curvas de fluencia para el polipropileno a 20 ºC. Cada curva representa la variación de la
deformación con el tiempo después de la aplicación de una carga constante.
En los polímeros el comportamiento viscoelástico dependiente del tiempo se muestra de varias maneras, sin
embargo, hay dos manifestaciones que son particularmente importantes en el diseño. Estas son:
1.- Fluencia y recuperación y
2 - La relajación de tensión.
2.- Fluencia y recuperación. Complianza de fluencia .
Muchos materiales poliméricos experimentan una deformación que depende del tiempo como respuesta a la
aplicación de una tensión constante. Esta deformación se denomina fluencia viscoelástica. Este tipo de
deformación puede ser significativa a temperatura ambiente y con esfuerzos inferiores al límite elástico del
material. Por ejemplo, los neumáticos de un automóvil pueden formar partes planas debido al contacto con
el suelo cuando el automóvil está aparcado durante mucho tiempo.
Los ensayos de fluencia son aquellos en los que una serie de probetas idénticas del mismo material se
someten, en condiciones isotermas, a distintas tensiones constantes, midiéndose las deformaciones que se
producen a distintos intervalos de tiempo y en los polímeros se realizan de la misma manera que para los
metales. Normalmente se aplica instantáneamente un esfuerzo de tracción y se mantiene constante mientras
se determina la deformación en función del tiempo.
En un material elástico cuando se aplica una carga instantáneamente, y se mantiene constante, la
deformación elástica es instantánea. Esto significa que la deformación total ocurre en el mismo instante que
se aplica el esfuerzo. Para los materiales elásticos, cuando las tensiones no superan el límite de fluencia, la
deformación resulta independiente del tiempo:
ε = σ0C(σ0)
(2.1)
pero si lo sobrepasan, a la deformación elástica se añade una fluencia plástica («yielding») creciente con el
tiempo, según se representa en el diagrama deformación-tiempo de la figura 2.1.a. Además, al dejar de
aplicar el esfuerzo la deformación se recupera totalmente: la probeta adquiere las dimensiones originales,
siempre que no se haya sobrepasado el límite elástico. Este comportamiento puede verse en la figura 2.2.b
en la que se representa la deformación frente al tiempo correspondiente a la curva carga instantánea tiempo,
mostrada en la figura 2.2.a.
Figura 2.1.-Diagrama deformación – tiempo : (a).- Material elástico , (b).- Material viscoelástico.
Por el contrario, para el comportamiento totalmente viscoso, la deformación no es instantánea. Es decir, la
deformación, como respuesta a un esfuerzo aplicado, depende del tiempo. Además, esta deformación no es
reversible y no se recupera nada después de eliminar el esfuerzo. Este fenómeno se ilustra en la figura 2.2.d.
En un comportamiento viscoelástico intermedio, la aplicación de un esfuerzo (Figura 2.2.a) origina una
deformación instantánea seguida de una deformación viscosa dependiente del tiempo y una deformación
elástica retardada en el tiempo (anelasticidad). Este comportamiento se muestra en la figura 2.2.c. Los
materiales viscoelásticos fluyen ya a tensiones muy reducidas, según se representa en el diagrama
deformación-tiempo de la figura 2.1.b, superponiéndose desde el principio las deformaciones elásticas con
las viscosas («creep»). Puede expresarse, para el caso más general:
ε (t ) = σ 0 J (t ,σ 0 )
(2.2)
definiéndose la función J (t ,σ 0 ) como complianza de fluencia. Cuando ésta es independiente del valor de
la tensión, se dice que el material presenta víscoelasticidad lineal.
Hay una deformación elástica inicial instantánea seguida por una deformación retardada dependiente del
tiempo, es decir, la fluencia del material. Puede haber también algo de flujo permanente del material,
particularmente, a cargas altas. Similarmente, eliminando la carga tiene lugar el proceso inverso, es decir,
existe una cierta recuperación instantánea seguida por una recuperación retardada (recuperación de la
fluencia), que depende del tiempo y que puede llevar o no al material a sus dimensiones originales (Figura
2.3). Si se produce flujo permanente durante la aplicación de la carga existe una deformación residual, aún
cuando la carga haya dejado de actuar, que es significativa en los polímeros amorfos a altas temperaturas y
cargas.
Los fenómenos que con el tiempo originan deformaciones recuperables se denominan viscoelásticos y se
consideran viscoplásticos aquellos que originan deformaciones permanentes.
Un ejemplo de comportamiento viscoelástico es el polímero de silicona, conocido como "masilla tonta"
(silly putty). Cuando a esta masilla se le da forma de bola y se la deja caer sobre una superficie horizontal, la
bola rebota elásticamente (la velocidad de deformación durante el bote es muy rápida). Por otro lado, si la
masilla se estira gradualmente con fuerza creciente, el material se alarga o fluye como un líquido muy
viscoso. Para este y otros materiales viscoelásticos, la velocidad de deformación determina si la deformación es elástica o viscosa.
Figura 2.2.- Fluencia y recuperación de la fluencia.
(a).-Carga frente al tiempo, donde la carga se aplica instantáneamente en el instante ta y se elimina en el tr
Comportamiento del ciclo carga – tiempo.
(b) Respuesta deformación – tiempo totalmente elástica (c).- Respuesta viscoelástica (d).- Respuesta
viscosa.
Los resultados de los ensayos de fluencia se muestran en la figura 2.4 . Si se aplica una tensión constante σ1
a un material viscoelástico, la deformación observada es dependiente del tiempo (Figura 2.4.a). Si se
permite que el material se recupere y a continuación se le aplica una tensión σ2 mayor que σ1, la
deformación resultante será la representada en la figura 2.4.b. Ejemplos de estas curvas las tenemos en la
figura 1.2.
Figura 2.3.- Comportamiento típico de un plástico en fluencia y recuperacuión de fluencia.
Figura 2.4.- Fluencia viscoelástica lineal. (a).- Una tensión constante σ1 aplicada en el instante t = 0 da
lugar a una deformación dependiente del tiempo γ 1 (t ) , (b).- Una tensión mayor σ2 aplicada en el instante t =
0 da lugar a una deformación dependiente del tiempo γ 2 (t ) , (c).- De (a) y (b) las deformaciones γ ( t a ) en el
instante ta y γ ( t b ) en el t b , son una función lineal de la tensión, (d).- Dependencia observada de J(t)
(Euación (2.1)) en función del logaritmo del tiempo para la relajación completa.
complianza de fluencia no relajada y relajada, respectivamente.
JU
y
J R son
la
Por otra parte, si se representan las deformaciones en función de la tensión, para dos valore determinados
del tiempo, ta y tb (tb posterior a ta) despues de la aplicación de la tensión se obtiene una línea recta (Figura
2.4.c). Entonces para un tiempo arbitrario, t , si las deformaciones para las tensiones σ1 y σ2 son γ1(t) y
γ2(t) , respectivamente, se tendrá :
γ 1 (t ) γ 2 (t )
=
σ1
σ2
siendo las deformaciones en los dos experimentos y en el mismo tiempo proporcionales a las tensiones
impuestas. Este hecho conduce a la definición de la complianza (o capacitancia) de fluencia en el instante t :
J(t) =
γ 1 (t ) γ 2 (t )
=
σ1
σ2
y en general : J(t) =
γ (t )
σ
(2.3)
Los polímeros exhiben esta propiedad de fluencia viscoelástica lineal si las tensiones aplicadas son lo
suficientemente bajas, como para que las deformaciones sean menores de 0.005.
Así, la deformación por fluencia, γ(t), en el caso de que sea independiente del valor de la tensión, puede
representarse por la ecuación siguiente:
γ ( t ) = σ0J(t)
(2.4)
donde σ0 es la tensión aplicada (constante). El valor inverso de J(t)se denomina módulo de fluencia, es
decir:
1
Ef(t) =
(2.5)
J (t )
Si se determina el valor de J(t) sobre un número de décadas de tiempo y se representa en función del log(t),
se obtiene una curva del tipo mostrado en la figura 2.4.d., la cual se da con más detalle en la figura 2.5.
La complianza es una función del tiempo que comprende tres partes, J1, +J2 , +J3, correspondiendo a la
deformación elástica inmediata (ε1), a la deformación elástica retardada (ε 2) y al flujo permanente (ε 3),
respectivamente. J3 puede despreciarse para los polímeros rígidos a temperaturas ordinarias y cargas bajas.
Los polímeros amorfos muestran un J3 a temperaturas elevadas , mientras que los polímeros altamente
cristalinos y reticulados no muestran ningún J3, incluso a cargas significantes y temperaturas elevadas.
En períodos de tiempo cortos el valor de J(t) es constante con un valor relativamente bajo ( ≈ 10-9 m2/N), lo
que implica una rigidez alta. Es la denominada complianza no relajada (JU = J1 ) y el material se considera
que está en el estado vítreo. Luego, J(t) aumenta con el tiempo a un valor relajado constante (JR = J1 + J2 ,
tipicamente ≈ 10-5 m2/N) cuando el material alcanza el estado gomoso. Algunos materiales no alcanzan un
estado relajado, sino que continúan fluyendo hasta el fallo del material.
Cuando los tiempos de ensayo son muy cortos o muy largos el material parece comportarse elásticamente
con un valor de la complianza bajo o alto respectivamente, pero que no depende del tiempo. Entre los
estados vítreo y gomoso, es decir durante el tiempo intermedio, J(t) es función del tiempo y el material se
considera viscoelástico.
Figura 2.5.- Variación de la complianza de fluencia con el tiempo.
El intervalo de dependencia con el tiempo de la complianza depende de algún parámetro de tiempo
característico para cada material. En fluencia este tiempo característico se denomina tiempo de retardo, τ, y
varía para los diferentes materiales dependiendo de su estructura molecular.
Si las medidas se realizan en unas pocas decadas de tiempo, la forma sigmoidal (tipo S) de la curva no
aparece, como muestra la figura 2.6. En ella se muestran los valores de J(t) para el polietileno lineal a 9
temperaturas entre 15 y 75 ºC. Las curvas aparentemente estan centradas alrededor de la temperatura de 46
-1
4
ºC, es decir para la escala de tiempo observada (10 a 10 s) la pendiente de logJ(t) frente a log(t) , es
mayor a 46 ºC que a mayores y menores temperaturas.
La representaciones gráficas deformación – tensión se denominan diagramas isócronos. Estos pueden
construirse a partir de las gráficas deformación – tiempo, en los que aparecen familias de curvas para
distintas tensiones, como se indica en la figura 2.7. Para ello, basta unir los puntos representativos del
estado de las distintas probetas, sometidas a diferentes tensiones, al cabo del mismo tiempo.
Figura 2.7.- Representación de los ensayos de fluencia en diagramas isócronos
Es fácil determinar el rango de deformación en el cual el material tiene comportamiento viscoelástico
lineal. Para ello, es suficiente determinar varias curvas isócronas (figura 2.8) y ver cuando se desvian de la
linealidad. El comportamiento no lineal hace que el material tenga una fluencia mayor, que la predicha por
extrapolación de la zona de comportamiento lineal.
El método más simple de determinación de J(t) es aplicar una torsión constante a un tubo de pared delgada.
Sea el tubo de la figura 2.9 de longitud l, radio r y espesor e (e mucho menor que r). El valor del par torsor
aplicado es:
Γ
Γ = (2πre)σr ,
σ=
(2.6)
2π r 2 e
en la que σ es la tensión cortante que actua en la sección.
Si el comportamiento es elástico la relación entre el ángulo de giro, θ , producido por el par aplicado y la
deformación torsional, γ, es :
lγ = r θ
(2.7)
Cuando el comportamiento es viscoelástico lineal, la relación es la misma pero tanto el ángulo de giro, θ ,
como la deformación torsional, γ , dependen del tiempo. Con lo que:
lγ(t)= rθ(t)
(2.8)
γ (t )
y como J(t) =
se tiene :
σ
 2πr 3 e  θ (t )
J(t) = 

 l  Γ
(2.9)
Por tanto, el valor de J(t) se obtiene observando el valor de θ(t) para un valor fijo de Γ.
Reciprocamente, si en problema de diseño es necesario conocer el angulo de giro (rotación) de un tubo
delgado sometido a un par torsor Γ, se tendría de la ecuación (2.9):
 1 
θ(t) = 
ΓJ(t)
(2.10)
3
 2πr e 
siendo necesario conocer el valor de J(t) en el intervalo de tiempo de vida útil del material.
La complianza en tensión, D(t) se define como :
D(t) =
ε (t )
σ
(2.11)
donde σ ahora representa a la tensión de tracción y ε la deformación correspondiente.
Respecto a la influencia de la estructura molecular en las características de la fluencia, por regla general la
susceptibilidad a la fluencia disminuye al aumentar el grado de cristalinidad.
3.- Relajación de tensiones. Módulo de relajación viscoelástico.
Mientras que la fluencia incluye el mantenimiento de una carga constante sobre el material y se observa la
deformación, la relajación de tensión involucra la aplicación de una deformación rápida y leve hasta un
nivel predeterminado, que se mantiene constante, observándose como varía con el tiempo la tensión en el
material necesaria para mantener la deformación a temperatura constante. Bajo esas condiciones la tensión
aumenta instantáneamente y luego se relaja lentamente durante un período de tiempo hasta alcanzar un
estado estacionario, como se muestra en la figura 3.1. La tensión decrece con el tiempo debido al
fenómeno de la relajación molecular que ocurre dentro del polímero.
A bajas deformaciones se observa que la curvas isocronas son lineales (Figura 3.1.c). Entonces para un
tiempo arbitrario, t , si las tensiones en dos experimentos son σ1(t) y σ2(t) , con las deformaciones γ1 y γ2
respectivamente, se tendrá :
σ 1 (t ) σ 2 (t )
=
(3.1)
γ1
γ2
siendo las tensiones en los dos experimentos y en el mismo tiempo proporcionales a las deformaciones
impuestas. Este hecho conduce a la definición del módulo de relajación de tensiones en el instante t :
G(t) =
σ 1 (t ) σ 2 (t )
=
γ1
γ2
y en general :
G(t) =
Los polímeros exhiben esta propiedad
deformaciones sean menores de 0.005.
σ (t )
γ
(3.2)
del comportamiento viscoelástico lineal siempre que las
Si se determina el valor de G(t) sobre un número de decadas de tiempo y se representa en función del log(t),
se obtiene una curva del tipo mostrado en la figura 3.1.d., la cual se da con más detalle en la figura 3.2.
En general, la variación de la tensión con el tiempo, σ(t), puede representarse por la ecuación siguiente:
σ (t) = ε0G(t, ε0)
(3.3)
donde ε0 es la deformación aplicada (constante) y G(t, ε0), en el caso más general, es función de la propia
deformación y del tiempo. Cuando es independiente de la deformación, la tensión a que están sometidas las
distintas probetas, en un momento dado, es proporcional a la deformación de cada una y el material se
considera viscoelástico lineal, y como en el caso de J(t), G(t) es una función dependiente del tiempo (
figura 3.2 ).
Como en el caso de la fluencia, existen las mismas regiones de comportamiento. En el estado vítreo, en
cortos períodos de tiempo, el material tiene un módulo alto ( ≈ 109N/m2) y es rígido. G(t) tiende a un valor
constante GU ( GU−1 = JU) Para períodos de tiempo largos, el módulo es bajo ( ≈ 105N/m2) y el material es
elástico (Gomoso). G(t) tiende a un valor constante GR ( G R−1 = JR) La presencia de flujo viscoso afecta el
valor límite del módulo. Si existe flujo el valor del módulo se reduce con el tiempo a un valor infinitesimal
y la tensión límite disminuye hasta cero.
En el caso de que no haya ningún flujo se alcanza un valor módulo de equilibrio relajado después de un
largo período de tiempo. En los períodos de tiempo intermedios el material se comporta el
viscoelasticamente con un módulo que es función del tiempo, tomando la curva la apariencia sigmoidea. El
intervalo de tiempo en que se produce la relajación depende de nuevo de la estructura molecular del material
y se caracteriza por el tiempo de relajación , τ .
Aunque los procesos moleculares que gobiernan la fluencia son similares a los controlan la relajación, en general el
tiempo de retardo , τ ' , y el tiempo de relajación , τ , tienen valores diferentes.
Figura 3.2.- Variación del módulo de relajación con el tiempo.
Si las medidas se realizan en unas pocas decadas de tiempo, la forma sigmoidal (tipo S) de la curva no
aparece, como muestra la figura 3.3. En ella se muestran los valores de G(t) para el poliisobutileno a 10
temperaturas entre –83 y -40 ºC (Tg = -78 ºC) Las curvas aparentemente estan centradas alrededor de la
temperatura de -66 ºC, es decir para la escala de tiempo observada (10 a 104 s) la pendiente de logG(t)
frente a log(t) , es mayor a -66 ºC que mayores y menores temperaturas.
Es fácil determinar el rango de deformación en el cual el material tiene un comportamiento de relajación
de tensiones lineal. Para ello, es suficiente determinar varias curvas isócronas (figura 3.4) y ver cuando se
desvian de la linealidad.
Como se ha visto, los resultados de los ensayos de relajación también pueden representarse en forma de
curvas isócronas en un diagrama tensión-deformación, como en el caso de los ensayos de fluencia. Ambos
diagramas deberían coincidir si existiera una función de estado, f ( σ, ε, t) = 0 , que relacionara las tres
variables involucradas en los ensayos efectuados a igual temperatura.
Sin embargo, para los materiales poliméricos no ocurre tal cosa. A igualdad de dos de las variables, la
tercera puede tener valores diferentes según el proceso seguido en los ensayos, o, dicho de otra forma,
depende de la historia del material.
La representación gráfica de los resultados de estos ensayos en diagramas semílogarítmicos, como el de la
figura 3.5.a muestra la progresiva caída de la tensión (de ahí el nombre de relajación) a lo largo del ensayo
que se produce en los materiales viscoelásticos, mientras que se mantiene constante en los puramente
elásticos.
Figura 3.5.- Representación de los ensayos de relajación . (a) Deformación – tiempo
(b) diagramas isócronos
El método más simple de determinación de G(t) es aplicar una torsión constante a un tubo de pared
delgada. (Figura 2.9 ) . En el instante t = 0 se gira el tubo un ángulo θ y se determina el par torsor
dependiente del tiempo Γ(t) necesario para mantener su valor.
El valor de la tensión actuando sobre una sección es:
σ=
Γ(t )
2π r 2 e
Si el comportamiento es elástico la deformación torsional, γ , es :
γ=
y como G(t) =
γ (t )
σ
(3.4)
rθ
l
(3.5)
se tiene :
 l  Γ(t )
G(t) = 
3
 2πr e  θ
(3.6)
Por tanto, el valor de G(t) se obtiene observando el valor de Γ(t) para un valor fijo de θ.
Reciprocamente, si en un problema de diseño es necesario conocer el par torsor Γ(t) de un tubo girado un
ángulo θ es necesario conocer el valor de G(t) .
El módulo de relajación de tensiónes en tracción, E(t) se define como :
D(t) =
σ (t )
ε
(3.7)
donde ε ahora representa a la deformación de tracción y σ(t) la deformación correspondiente.
4.- Modelizado del comportamiento viscoelástico.
4.1.- Introducción.
Para un material viscoso puro todos los esfuerzos internos son función de la velocidad de deformación
instantánea. Este material no puede recuperar ni siquiera parte de su forma original cuando se retira el
esfuerzo aplicado. La energía mecánica suministrada al sistema se disipa en forma de calor.
Reciprocamente, un material elástico puro desarrolla esfuerzos que son función sólo de la deformación
instantánea. Este material recupera su forma original al retirar el esfuerzo aplicado.
Para un material viscoelástico (que posee propiedades viscosas y elásticas en diversos grados), los esfuerzos
internos son una función no sólo de la deformación instantánea (deformación, velocidad de deformación,
etc), sino también de la historia de la deformación. En los materiales reales, la historia más reciente es más
importante que la más distante, por lo que pueden definirse como materiales con memoria débil. En el caso,
en que tanto el esfuerzo como la deformación sean infinitesimales y las relaciones entre ambas magnitudes a
lo largo del tiempo se puedan describir mediante ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes
constantes, se estará definiendo un comportamiento viscoelástico lineal, lo cual implica que en un
determinado ensayo la relación entre la deformación y el esfuerzo es únicamente función del tiempo y no
depende de la magnitud del esfuerzo.
Un acercamiento clásico a la descripción de la respuesta de materiales que exhiben propiedades viscosas y
elásticas está basado en la analogía con la respuesta de ciertos elementos mecánicos. Esto implica la
construcción de modelos viscoelásticos por combinación de elementos mecánicos que simulan propiedades
viscosas y elásticas puras, por lo que representan comportamientos viscoelásticos lineales. Puesto que los
materiales reales muestran comportamientos no lineales bajo grandes deformaciones, estos modelos son
apropiados sólo para pequeñas amplitudes de desplazamiento, y no son adecuados para predecir una
deformación continua o comportamiento de flujo de los materiales reales.
Los elementos mecánicos convencionales que representan los comportamientos viscoso y elástico lineales
son el amortiguador hidráulico y el muelle, respectivamente. Se describirán tres modelos simples:
- Modelo de Maxwell , en el que los dos elementos están colocados en serie.
- Modelo de Kelvin (o Voigt), en el que los dos elementos están colocados en paralelo.
- Modelo del sólido lineal estandar.
- Modelo de los cuatro elementos .
Se analizará la respuesta de estos modelos bajo las condiciones de fluencia y relajación de tensiones. Todos
los modelos son lineales, es decir, en todo momento y en cualquier punto la tensión será proporcional a la
deformación.
Aunque los modelos no nos dicen nada sobre procesos moleculares y físicos que tienen lugar, es decir, son
puramente fenomenológicos, ellos son particularmente útiles para predecir la respuesta de un material bajo
condiciones de fluencia y relajación e incluso bajo situaciones de carga más complejas. Además, ellos
pueden dar una visión más clara de la naturaleza general de la respuesta viscoelástica.
4.2.- Modelo del émbolo.
El modelo del émbolo sin rozamiento es el que mejor representa el comportamiento viscoso. Si hacemos
actuar una tensión , σ , entre los instantes to y tl , la deformación , ε, variará linealmente con el tiempo de
aplicación de la tensión:
dε
σ
σ
=
y
ε = t ( η = Viscosidad )
dt
η
η
Al dejar de actuar σ, la deformación ε, permanece (es irreversible) pues el trabajo suministrado por la
fuerza externa no es almacenado por el material sino que se disipa en forma de calor (fricción interna). La
deformación ε es tanto mas rápida cuanto menor sea la viscosidad del material.
El modelo del émbolo sin rozamiento representa fielmente este comportamiento (Figura 4.2.1).
Figura 4.2.1.- Amortiguador hidráulico. Componente viscoso.
4.3.- Sólido elástico. Modelo del resorte.
El sólido elástico sigue la ley de Hooke (σ = Eε). La deformación instantánea que se origina al aplicar la
carga se debe a alteraciones en la longitud y ángulos de sus enlaces atómicos. El sólido almacena así toda la
energía suministrada por las fuerzas externas de modo que al dejar de actuar éstas, la energía almacenada es
capaz de restaurar instantáneamente la forma original (deformación reversible). E = Constante elástica del
muelle (Rigidez del muelle).
El modelo que ahora se ajusta mejor a este comportamiento es un resorte como el de la figura 4.3.1.
Figura 4.3.1.- Muelle lineal. Componente elástico.
4.4.- Modelo de Maxwell.
La mayor parte de los polímeros exhiben comportamientos conjuntamente elásticos y viscosos (sólo los
polímeros vítreos son sólidos perfectamente elásticos y los termoplásticos, a alta temperatura, muestran un
comportamiento únicamente viscoso) que podernos asimilar a la yuxtaposición de los modelos descritos
anteriormente.
El modelo de Maxwell se forma conectando en serie un émbolo y un resorte. Al aplicar la fuerza F el resorte
σ 
σ 
se alarga instantáneamente la magnitud   y el émbolo se moverá a la velocidad   mientras se está
E
η 
aplicando la carga (entre to y t1 ). Al cesar la aplicación de la carga, la componente elástica se recupera de
modo instantáneo, mientras que la componente viscosa de la deformación permanece indefinidamente,
como se refleja en la gráfica de la figura 4.4.1.
La deformación total está, por consiguiente, distribuida entre los dos elementos, los cuales están sometidos
a la tensión total. Así, se puede escribir :
σ =σe = σv
y
ε = εe + εv
(4.4.1)
Figura 4.4.1.- (a).- Modelo de Maxwell. (b).- Diagrama deformación – tiempo.
El muelle es el componente elástico del modelo y se comporta de acuerdo a la ley de Hooke :
1
εe =   σ
E
(4.4.2)
y el émbolo es el componente viscoso del modelo y se comporta de acuerdo a la ley de Newton:
dε v
1
=   σ
dt
η 
(4.4.3)
La variación de la deformación total con el tiempo se obtiene derivando la segunda expresión (4.4.1) :
dε e
dε v
dε
=
+
dt
dt
dt
(4.4.4)
Sustituyendo en (4.4.4) la ecuación (4.4.3) y la (4.4.2) derivada con respecto al tiempo se obtiene :
1
dε
 1  dσ
=  
+  σ
dt
 E  dt
η 
(4.4.5)
que es la ecuación que gobierna el comportamiento del modelo de Maxwell.
A continuación se va analizar la respuesta del modelo ante tres modos de deformación dependientes del
tiempo.
(a).- Fluencia ( tensión constante, σ0 ).
Si se aplica una tensión constante entonces la ecuación (4.4.5), teniendo en cuenta que
dσ
= 0 se
dt
transforma en :
1
dε
=   σo
dt
η 
(4.4.6)
σ 
e integrando: ε =  0  t + Cte
η 
σ 
y como para t = 0 , ε =  0  , resulta finalmente:
 E 
σ  σ 
ε(t) =  0  t +  0 
η   E 
y la complianza de fluencia vendrá dada por :
J(t) =
ε (t )  1   t 
=
+
σ 0  E   η 
(4.4.7)
(4.4.8)
Bajo condiciones de fluencia el modelo de Maxwell muestra un alargamiento instantáneo del muelle
seguido de una variación lineal de la deformación con el tiempo, que se deriva de la extensión retardada del
émbolo (Figura 4.4.2)
Figura 4.4.2.- Respuesta del modelo de Maxwell en fluencia, recuperación de fluencia y relajación de
tensión.
(b).- Recuperación de fluencia.
Cuando se elimina la tensión el modelo muestra una recuperación instantánea de la deformación elástica del
muelle y permanece una deformación permanente que depende de la duración del intervalo de carga. Según
dε
= 0,
la ecuación (4.4.5) después de eliminar la tensión (σ0 = 0) la velocidad de deformación es nula,
dt
con lo que no existe recuperación posterior.
(c).- Relajación de tensión (Deformación constante ε0).
Si mantenemos ahora este modelo sometido a una deformación constante, demostraremos que la
componente debida al flujo viscoso permitirá la relajación de la tensión impuesta.
Como: ε = Cte. se tiene que
dε
= 0 luego la ecuación (4.4.5) se transforma en :
dt
σ 
 1  dσ
+   =0
 
 E  dt
η 
de donde :
dσ
E
= -   dt
σ
η 
que integrada desde el instante inicial de aplicación de la tensión σhasta que transcurre un tiempo t, nos da:
 − Et 
 −t 
 −t 
σ = σ0 exp 
 = σ0 exp   = ε0E exp  
τ 
τ 
 η 
(4.4.9)
La carga que actúa sobre el cuerpo va desapareciendo progresivamente y desaparecería por completo al
cabo de un tiempo infinito. Se denomina tiempo de relajación al preciso para que la tensión se divida por el
número e. Su expresión se deduce inmediatamente y viene dada por:
τ =
η
(4.4.10)
E
Este modelo es excesivamente sencillo para explicar el comportamiento real de los polímeros, dado que
presenta dos importantes limitaciones: velocidad de deformación constante mientras se está aplicando la
carga también constante y relajación total de tensiones (σ = 0 ) en condiciones de deformación constante.
De la figura 4.4.2 se deduce que el modelo de Maxwell tiene un comportamiento aceptable en primera
aproximación con respecto a la relajación de tensiones, pero es inadecuado en fluencia y recuperación de
fluencia.
En los polímeros reales la relajación es más lenta que la exponencial y una buena aproximación viene dada
por la ley de Kohlrausch:
ER ( t )
 t 
= exp  − 
ER ( 0 )
 τ'
β
0.3 < β < 0.7
(4.4.11)
4.5.- Anelasticidad: Modelo de Kelvin Voigt.
En este modelo se realiza la conexión en paralelo de un émbolo y un resorte, como se muestra en la figura
4.5.1. Simula la deformación viscoelástica, pero no las instantáneas ni las viscoplásticas.
Al cargar este modelo parte de la energía suministrada se almacena en el muelle y el resto se disipa
progresivamente al moverse el émbolo, lo que motiva una deformación dependiente del tiempo hasta que se
alcanza la deformación
σ
E
(al cabo de un tiempo infinito, el componente elástico soporta toda la carga) y el
desplazamiento cesa.
η 
, definido igual que el tiempo de relajación por la expresión   , será el tiempo
E
necesario para producir una deformación igual a la máxima menos ésta dividida por el número e.
El tiempo de retardo,
τ'
Al cesar la aplicación de la carga ( t = t1) se recuperará la forma original debido a la energía que quedó
almacenada en el resorte, pero la recuperación, retardada por el émbolo, no será total hasta que no haya
transcurrido un tiempo infinito. Sólo si el tiempo de retardo τ ' es pequeño, la recuperación total, a efectos
prácticos, ocurre en un breve lapso de tiempo. La deformación que experimenta este modelo - deformación
elástica retardada - se denomina anelástica.
Figura 4.5.1.- (a).- Modelo de Kelvin - Voigt (b).- Diagrama deformación – tiempo.
Ahora la tensión aplicada se distribuye entre ambos elementos y la deformación de los dos es idéntica, es
decir :
σ = σ e + σv
y
ε = εe = εv
(4.5.1)
Sustituyendo σe = E ε
dε
en la primera de las ecuaciones (4.5.1) se tiene :
dt
dε
σ=Eε +η
dt
y σv= η
(4.5.2)
que es la ecuación que gobierna el comportamiento del modelo de Kelvin – Voigt. A continuación se va
analizar la respuesta del modelo ante los tres modos de deformación dependientes del tiempo.
(a).- Fluencia ( tensión constante, σ 0 ).
Si se aplica una tensión constante entonces la ecuación (4.5.2) se transforma en :
η
dε
+ E ε = σo
dt
(4.5.3)
e integrando nos da :
ε(t) =
σ0 
 Et  
1 - exp  −  
E 
 η  
(4.5.4)
o bien:
ε(t) =
σ0 
 t  
1 - exp  − '  

E 
 τ  
(4.5.5)
η 
,es el tiempo de retardo definido igual que el tiempo de relajación por la expresión   , y que
E
será el tiempo necesario para producir una deformación igual a la máxima menos ésta dividida por el
número e.
donde ,
τ'
La complianza de fluencia vendrá dada por:
J(t) =
ε (t )
1 
 t  
=
1 - exp  − '  

σ0
E 
 τ  
Bajo condiciones de fluencia el modelo de Kelvin – Voigt
muestra un aumento exponencial de la
deformación hasta un valor límite dado por lim = σo/E, con un tiempo de retardo
τ ' . (figura 4.5.2).
(b).- Recuperación de fluencia.
Cuando se elimina la tensión (σ = 0), la ecuación (4.5.2) que gobierna el comportamiento del modelo se
transforma en :
dε
Eε + η
=0
(4.5.6)
dt
Que integrada con la condición inicial t = 0, ε = ε0 da :
 Et 
 t 
ε = ε0 exp  −  = ε0exp  − ´ 
(4.5.7)
 τ 
 η 
donde t es el tiempo transcurrido desde la eliminación de la tensión y εo es la deformación existente
inmediantamente antes de su eliminación. Se produce una recuperación exponencial de la deformación, lo
contrario a la fluencia, con el mismo tiempo de retardo
τ'
(Figura 4.5.2).
Figura 4.5.2.- Respuesta del modelo de Kelvin - Voigt en fluencia, recuperación de fluencia y relajación de
tensión.
(c).- Relajación de tensión (Deformación constante ε0).
Si mantenemos ahora este modelo sometido a una deformación constante, la ecuación (4.5.2) que gobierna
el comportamiento del modelo se transforma en:
σ = Eε
(4.5.8)
que corresponde a la respuesta de un material elástico, con lo que no hay relajación de la tensión como
muestra la figura 4.5.2.
dε
= 0) .
dt
El material en estas condiciones se comporta igual que el sólido elástico, lo que no se adecua al
comportamiento real de los polímeros. Ademas tampoco se induce deformación permanente alguna.
La limitación del modelo anelástico es la no relajación de tensiones bajo deformación constante (
De la figura (4.5.2) se deduce que el modelo de Kelvin - Voigt tiene un comportamiento aceptable en
primera aproximación con respecto fluencia y recuperación de fluencia, pero es inadecuado para la
relajación de tensiones.
4.6.- Modelo de Zener o del sólido lineal estandar.
Se ha visto que si bien el modelo de Maxwell describe bien el fenómeno de relajación de tensiones y el de
Kelvin-Voigt el comportamiento anelástico (Fluencia y recuperación de fluencia), ninguno de los dos es
adecuado para describir el comportamiento general de los polímeros. Por ello, es necesario, una
combinación más compleja de los elementos.
Con este fin se introduce el modelo de Zener, el cual puede representarse de dos maneras (Figura 4.6.1):
(a).- Agrupación en paralelo del muelle y del modelo de Maxwell.
(b).- Agrupación en serie del muelle y del modelo de Kelvin – Voigt.
Figura 4.6.1.- Modelo de Zener o del sólido lineal estándar.
De una manera similar a los modelos anteriores, y con referencia a la representación (b), el equilibrio de
fuerzas nos conduce a :
σ = σ 1= σ 2 + σ 3
(4.6.1)
y la deformación total :
ε2 = ε 3
ε = ε1 + ε2
(4.6.2)
Las relaciones tensión – deformación son:
σ 1 = E1 ε 1
,
σ2 = E2 ε 2
Expresando las magnitudes con subíndice en términos de σ
ε1 =
σ1
E1
=
ε2= ε – ε1= ε –
σ 3 = η3
,
dε3
dt
(4.6.3)
y ε.
σ
(4.6.4)
E1
σ
(4.6.5)
E1
Entrando con el valor de ε2 anterior en la segunda de las ecuaciones (4.6.3) se tiene :
  σ 
E 
σ2 = E2 ε 2 = E2 ε −    = E2 ε –  2  σ
 E1 
  E1  
(4.6.6)
Despejando σ3 de la ecuación (4.6.1) y teniendo en cuenta la (4.6.6) resulta :

  E 
E  
σ3 = σ – σ2 = σ –  E2ε −  2  σ  = 1 +  2   σ – E2 ε
 E1  

  E1  
(4.6.7)
y de la tercera de las ecuaciones (4.6.3) :
dε3
σ
= 3
dt
η3
  E 2 
1+    σ − ε E2
 E1  
= 
η3
(4.6.8)
Por otra parte, en el subsistema de Kelvin – Voigt se cumple que:
dε3
dε 2
=
dt
dt
y teniendo en cuenta (4.6.5) :
dε3
dε 2
dε
1 dσ
=
=
–
dt
dt
dt
E1 dt
(4.6.9)
Igualando las ecuaciones (4.6.8) y (4.6.9) resulta:
  E 2 
1+    σ − ε E2
dε
1 dσ
  E1  
=
–
η3
dt
E1 dt
(4.6.10)
y reordenando la ecuación anterior:
E 
 E + E2 
dε
1 dσ
+ 2 ε =
+ 1
σ
dt
E1 dt
 η3 
 E1η3 
(4.6.11)
La ecuación (4.6.11) nos relaciona la tensión aplicada con la deformación total y representa el
comportamiento del modelo. Dicha ecuación puede resolverse para condiciones de fluencia y relajación de
tensiones.
(a).- Fluencia ( tensión constante, σ 0 ).
Si se aplica una tensión constante σ = σ 0 en el instante t =
dσ
cuenta que
= 0 , se transforma en :
dt
E 
dε
+ 2 ε =
dt
 η3 
0, entonces la ecuación (4.6.11), teniendo en
 E1 + E2 

 σ0
 E1η3 
(4.6.12)
que es una ecuación diferencial lineal de primer orden no homogénea. Integrándola:
ε (t) =
donde:
τ’ =
η3
E2
σ0
E1
+
σ0 
E2
 t 
1 − exp  − τ '  



(4.6.13)
es el tiempo de retardo
Según la ecuación (4.6.13) la deformación se compone de dos términos: una deformación instantánea
correspondiente al muelle y una respuesta retardada que se deriva de la extensión del émbolo. La respuesta
global puede verse en la figura 4.6.2.
Figura 4.6.2.- Respuesta del modelo de Zener en fluencia, recuperación de fluencia y relajación de tensión.
La ecuación (4.6.13) puede expresarse en términos de la complianza de fluencia :
J(t) =
ε (t )
σ0
dando:
J(t) =
1
1 
 t 
+
1 − exp  − '  

E1
E2 
 τ 
La complianza de fluencia cambia del valor no relajado JU =
JR =
1
1
+
E1
E2
en
(4.6.14)
1
en el instante t = 0 al valor relajado
E1
t= ∞ .
(b).- Recuperación de fluencia.
Cuando la tensión se elimina el muelle se recupera de forma instantánea, mientras que el elemento de
Kelvin-Voigt exhibe una recuperación retardada. La ecuación general que gobierna el comportamiento
haciendo nula la tensión (σ0 = 0) es :
E 
dε
+  2 ε =0
(4.6.15)
dt
 η3 
que es una ecuación de variables separables. Integrándola:
 Et
 t 
ε = εcexp  − 2  = εcexp  − ' 
(4.6.16)
 τ 
 η3 
donde εc es la deformación de fluencia en el elemento de Kelvin-Voigt debida a la carga previa.
(c).- Relajación de tensión (deformación constante ε = εo).
Si se aplica una deformación constante ε = ε0 en el instante t = 0, entonces la ecuación (4.6.11), teniendo en
dε
cuenta que
= 0 , se transforma en :
dt
 E + E2 
 E2 
1 dσ
+ 1
(4.6.17)
 σ =   ε0
E1 dt
 E1η3 
 η3 
que es una ecuación diferencial lineal de primer orden no homogénea. Integrándola se tiene:
 Eε 
σ(t) =  1 0 
 E1 + E2 
donde:
τ' =
η3
E1 + E2

 t 
 E2 + E1 exp  − τ '  



(4.6.18)
es el tiempo de relajación
Según la ecuación (4.6.18) la tensión se relaja de forma exponencial con el tiempo desde el elevado valor
inicial hasta el bajo valor de equilibrio (Ver figura 4.6.2). El tiempo de relajación depende la constante del
muelle E1 y de los parámetros del elemento de Kelvin-Voigt η3 y E2. Lo anterior contrasta con el tiempo
de retardo en el caso de la fluencia que solamente depende de los parámetros del elemento de Kelvin-Voigt.
En general, el tiempo de relajación es menor que el de retardo.
La ecuación (4.6.18) puede expresarse en términos del módulo de relajación : G(t) =
σ (t )
ε0
dando:
 E1 
G(t) = 

 E1 + E2 

 t 
 E2 + E1 exp  − τ '  



(4.6.18)
El módulo de relajación cambia del valor no relajado GU = E1 en el instante t = 0 al valor relajado
 EE 
GR =  1 2 
 E1 + E2 
en t = ∞
.
Observando la figura 4.6.2 se deduce que el modelo de Zener o del sólido lineal estandar proporciona una
descripción cualitativa buena tanto para el comportamiento en fluencia como en relajación de tensión de los
materiales poliméricos.
4.7.- Modelo de los cuatro elementos (Modelo de Burgers).
El modelo de cuatro elementos esta constituido por la agrupación en serie de los modelos de Maxwell y de
Kelvin-Voigt y modeliza materiales que presentan componentes de deformación instantánea, viscoelástica y
viscoplástica. Al ser cargado, la deformación total se compone de una deformación elástica instantánea (εe ),
de una deformación elástica retardada, anelástica (εa), que es la respuesta del modelo de Kelvin - Voigt y
una deformación viscosa permanente (εv). Las dos primeras deformaciones son recuperables en el momento
que se elimina la carga.
Figura 4.7.1.- Modelo de los cuatro elementos.
De una manera similar a los modelos anteriores el equilibrio de fuerzas nos conduce a :
σ = σ1 = σ2 = σ3 + σ4
y la deformación total :
ε3 = ε4
,
ε = ε1 + ε2 + ε3,4 = ε1 + ε2 + εk
(4.7.1)
(4.7.2)
donde εk es la respuesta de deformación del modelo de Kelvin - Voigt
Las relaciones tensión – deformación son:
σ1 = E1ε1
, σ2 = η2 (dε2/dt )
σ3 = E3ε3
,
σ4 = η4 (dε4/dt )
(4.7.3)
Para determinar la ecuación que modeliza el comportamiento del modelo, hay que encontrar una ecuación
que nos relacione la tensión aplicada con la deformación total .
Tal ecuación es :
η 4  d 2σ  η 2 + η 4 1  dσ 1
η d 2 ε dε
 2  + 
+ 
+ σ = 4
+
E1 E 2  dt   η 2 E3
E1  dt η 2
E3 dt 2 dt
(4.7.4)
La ecuación (4.7.4) nos relaciona la tensión aplicada con la deformación total y representa el
comportamiento del modelo. Dicha ecuación puede resolverse para condiciones de fluencia y relajación de
tensiones.
Sin embargo, dado que el modelo de Burgers está constituido por un modelo de Maxwell acoplado en serie
con el Kelvi-Voigt, para obtener la deformación en función del tiempo, ε(t), en el comportamiento en
fluencia se pueden sumar las ecuaciones dadas por las expresiones (4.4.7) y (4.5.5) , obteniéndose :
ε(t) =
σ0
E1
+
 − E3  t

σ 0t σ 0 
η 4  

−
1
e
+


E3 
η2

(4.7.5)
Comparando esta expresión con la igualdad ε(t) = σ0 /G(t), definimos el módulo viscoelástico del material:
σ t σ 0 1 − e

+ 0 +
J(t) =
E3 
E1 η 2
 − E3
σ0

η 4 t



(4.7.6)
Hay que hacer notar que el módulo de relajación de tensiones viscoelástico de un polímero variará con el
tiempo de aplicación de la tensión (la velocidad de carga) y con la temperatura (varían las constantes η2 y
η4).
La velocidad de deformación se puede obtener derivando (4.7.5):
 − E3 
 t
4 
σ
σ  η
ε’(t) = 0 + 0 e 
η 2 E3
(4.7.7)
La respuesta de este modelo en condiciones de fluencia, recuperación de fluencia y relajación de tensiones,
es la suma de los efectos descritos para los modelos de Maxwell y de Kelvin – Voigt y se ilustra en la figura
4.7.1 .
Hay que apuntar también que, aunque la expresión (4.7.5) refleja, aproximadamente, el comportamiento
mecánico general de los polímeros, muchos muestran desviaciones más o menos importantes con respecto al
modelo propuesto (no linealidad de los campos elástico y viscoso) y su comportamiento se refleja mejor con
la ecuación siguiente, en el campo de tensiones normales, σ, y deformaciones longitudinales, ε :
ε(t) =
σ
E
[
+ Kσ α t + Bσ n 1 − e − qt
]
(4.7.8)
donde :
q, n, α, B, K y E, son constantes características del polímero en cuestión. Así mismo, α y n , sin embargo,
expresan la no linealidad de los campos viscoso y elástico.
5.- Modelización de materiales reales. Modelos de elementos múltiples.
El modelo del sólido lineal estandar da un ajuste cualitativo bueno del comportamiento ante fluencia y
relajación de tensiones de los polímeros. El modelo, sin embargo, incorpora un único tiempo de retardo, con
lo que la fluencia tiene lugar en un intervalo de tiempo relativamente corto, es decir, la representación de la
complianza de fluencia en función del tiempo presenta una rápida variación en un corto período de tiempo,
semejante a una función escalón. Cambiando el valor del tiempo de retardo la curva puede desplazarse a lo
largo del eje del tiempo, pero no puede ensancharse el intervalo de tiempo en el que se produce la variación
(Figura 5.1).
Figura 5.1.- Comparación de la fluencia entre el modelo del sólido lineal estandar y el real
Como pone de manifiesto la figura 5.1 los materiales reales tienen la variación de la complianza de fluencia
en un intervalo de tiempo más amplio, que se extiende sobre varios órdenes de magnitud del tiempo. Este
comportamiento puede ser modelado combinando varios elementos en un modelo múltiple, con el fin de
obtener un espectro de tiempos de retardo. Así, la figura 5.2.a muestra una combinación en serie de un
muelle y varios elementos de Kelvin - Voigt. Tal modelo tiene un número finito de componentes cada uno
con sus parámetros: complianza de fluencia Ji , coeficiente del amortiguador ηi y tiempo de retardo τi = ηiJi
=
ηi
.Escogiendo diferentes valores para los parámetros de cada elemento de Kelvin - Voigt puede
Ei
obtenerse una curva para la complianza de fluencia con un intervalo de variación más amplio.
Figura 5.2.- Modelos de elementos múltiples para materiales reales.
(a) Modelos en serie para la fluencia (b).- Modelos en paralelo para la relajación de tensión.
La expresión para la complianza de fluencia de un modelo múltiple viene dada por:
1
J(t) =
+
E0
n
∑
i=1
 t 
1 
1 − exp  − '  
Ei 
 τ i 
(5.1.1)
donde τi es el tiempo de retardo para el elemento i-ésimo de Kelvin - Voigt .
Cuatro o cinco elementos son a menudo suficientes para obtener un buen ajuste a los datos de los materiales
reales. Sin embargo, la idea puede extenderse más allá reemplazando al modelo múltiple discreto por una
expresión integral de la complianza de fluencia:
J(t) =
1
+
E0
∫
∞
0

 t 
'
'
1 − exp  − τ '   j (τ )dτ



(5.1.2)
donde j(τ’) es el denominado espectro de tiempos de retardo y es una función de peso ( de densidad), que
nos define la concentración de elementos de Kelvin – Voigt con tiempos de retardo entre τ’ y τ’ + dτ’. El
espectro de tiempos de retardo puede calcularse directamente a partir de ensayos de fluencia como los dados
por la figura 5.3 y proporciona un modelo matemático cuantitativo que describe el comportamiento
viscoelástico de los materiales reales.
La distribución de los tiempos de retardo se muestra en la figura 5.4. El area sombreada para el valor τ’,
j(τ’)dτ’ , representa el factor de intensidad del retardo para dicho valor de τ’.
Cuando t = ∞ , J( ∞ ) = JR por definición y de ( 5.1.2) se tiene:
1
+
JR =
E0
∫
∞
0
j(τ’)dτ’
(5.1.3)
de donde :
∫
∞
j(τ’)dτ’ = JR -
0
1
=
E0
JR - J U
(5.1.4)
Una descripción similar puede obtenerse para el módulo de relajación de tensiones considerando un
modelo múltiple que contenga un número discreto de elementos de Maxwell en paralelo con un muelle,
como se muestra en la figura 5.2.b. Las ecuaciones que se derivan son:
n
G(t) = GR +
Caso discreto :
∑
i=1
 t 
Gi exp  − 
 τi 
(5.1.5)
donde τi es el tiempo de relajación para el elemento iesimo de Maxwell.
G(t) = GR +
Caso continuo :
∫
∞
0
 t
exp  −
 τ

 g(τ)dτ

(5.1.6)
donde g(τ) es el denominado espectro de tiempos de relajación y es una función de peso ( de densidad), que
nos define la concentración de elementos de Maxwell con tiempos de relajación entre τ y τ + dτ.
La distribución de los tiempos de relajación se muestra en la figura 5.5. El area sombreada para el valor τ ,
g(τ)dτ , representa el factor de intensidad de la relajación para dicho valor de τ .
Cuando t = ∞ , J( ∞ ) = GU por definición y de ( 5.1.2) :
GU = GR +
de donde :
∫
∫
∞
0
g(τ)dτ
(5.1.7)
∞
0
g(τ)dτ= GU - GR
(5.1.8)
Datos de ensayos de relajación de tensiones como los dados en la figura 5.6 se usan para determinar GU, GR
y la forma de la curva g(τ).
La heterogeneidad de los materiales poliméricos es el origen de que los tiempos de retardo y de relajación
tengan lugar según una distribución.
6.- Comportamiento de los polímeros a tensiones variables .
Si dos probetas de un material viscosoelástico se someten a un ensayo de fluencia a idéntica temperatura,
una de ellas a la tensión σ1 y la otra inicialmente a σ2, para después de un cierto tiempo aumentarla
instantáneamente a σ1, la evolución de las deformaciones de ambas con el tiempo será como se representa
en la figura 6.1.
Figura 6.1.- Evolución de la deformación de dos probetas cargadas de distinta forma.
Se comprueba que al cabo de un tiempo t2 > t1, la deformación en la primera probeta es superior a la
segunda. La diferencia tiende a anularse transcurrido un tiempo suficientemente largo.
Esta sencilla experiencia confirma que la historia de la evolución de cualquiera de las variables, σ o ε
influye en el valor de la otra. En términos vulgares se dice que los plásticos tienen «memoria».
Esta «memoria» produce efectos considerables en las técnicas de transformación de todos los polímeros. Así
por ejemplo en la extrusión, el flujo helicoidal a que está sometido el material por el tornillo de la extrusora
produce deformaciones en el producto a la salida de la hilera, si antes no se ha rectificado el flujo en el plato
rompedor y si no se deja distancia suficiente entre uno y otro como para que el material «olvide» su historia
anterior. Como es previsible, a mayor temperatura se reduce la «memoria» de todos los materiales.
7.- Carga intermitente. Principio de superposición de Boltzmann.
En el estudio considerado hasta ahora del comportamiento de los plásticos ante fluencia se ha asumido que
la tensión aplicada era constante. Sin embargo, los materiales en condiciones prácticas de servicio pueden
estar sometidos a modelos de carga más complejos, incluyendo ciclos de carga y descarga constantes o
variables con el tiempo.
En tales casos es útil tener métodos que nos permitan predecir la extensión de la recuperación de la
deformación que tiene lugar durante los períodos de reposo (descarga) y la acumulación de la deformación
después de N ciclos de cambios en la carga.
Hay varios métodos que se pueden usar para abordar tal problema, entre los que están:
1.- Principio de superposición de Boltzmann.
2.- Aproximación empírica.
Solamente analizaremos el primero de ellos.
Principio de superposición de Boltzmannn.
Es el método teórico más simple para predecir la respuesta de deformación de los materiales con
comportamiento viscoelástico lineal a historias de carga complejas.
Cuando un material con comportamiento viscoelástico lineal se somete a una tensión constante σ0 (historia
de carga simple), en el instante t = 0, entonces la deformación de fluencia , ε(t), en cualquier instante
posterior , t, viene dada por :
1
σ0
ε(t) = J(t) σ0 =
E f (t )
donde J(t) es la complianza de fluencia y Ef(t) el módulo de fluencia.
A continuación, consideremos el modelo de carga complejo que se muestra en la figura 7.1, donde además
de la tensión inicial σ0, existen otras tensiones σ1 , σ2 y σ3 que se aplican en los instantes t1 , t2 y t3
respectivamente (historia de carga compleja).
Figura 7.1.- Repuesta de deformación de fluencia ante un carga compleja.
Las respuestas serán :
A ∆σ0
en el instante t = 0
,
Α ∆σ1
en el instante t = t1
,
σ 0 J (t )
ε1(t) = ∆σ1 J(t - t1) = (σ 1 − σ 0 ) J ( t − t1 )
Α ∆σ2
en el instante t = t2
,
ε2(t) = ∆σ2 J(t – t2) =
Α ∆σ3
en el instante t = t3
,
ε0(t) = ∆σ0 J(t) =
(σ 2 − σ 1 ) J ( t − t 2 )
ε1(t) = ∆σ3 J(t – t3) = (σ 3 − σ 2 ) J ( t − t 3 )
dónde J(t - ti) es la complianza de fluencia del material obtenida a partir de un ensayo de fluencia con un
solo escalón de carga . La contribución de cada etapa es el producto del incremento de tensión y de la
función de complianza de fluencia, que sólo depende del intervalo de tiempo que va desde el momento en
que se mide la deformación debida a la fluencia y el momento en que se aplica el incremento de tensión.
El principio de superposición de Boltzmann se basa en las siguientes suposiciones :
(i).- La respuesta de un material es una función de la historia de carga entera.
( ii).- Cada etapa de carga hace una contribución independiente a la deformación final y esta puede
obtenerse por la suma simple de cada contribución.
Las deformaciones producidas por tensiones variables en el tiempo pueden realizarse suponiendo que las
deformaciones originadas por cada una de las tensiones en cada instante son aditivas e independientes.
Entonces la deformación total , en el instante t, al modelo de carga de la figura 7.1, será la suma algebraica
de las respuestas, es decir:
ε(t) = ∆σ0 J(t) + ∆σ1 J(t - t1) + ∆σ2 J(t – t2) + ∆σ3 J(t – t2)
(7.1)
La ecuación (7.1) puede generalizarse para el caso de una serie de N escalones:
n
n
ε(t) =
∑
∆σi J(t – ti) =
i=1
1
∑ E ( t − t ) ∆σ
i =1
(7.2)
i
i
donde ∆σi es el cambio de carga (altura del escalón) que tiene lugar en el instante ti .
Si el cambio de tensión es continuo, en lugar de ser tipo escalón, la ecuación (7.2) puede generalizarse para
tener en cuenta los ciclos de carga continuos, así:
ε(t) =
∫
t
−∞
J( t - λ )dσ(λ)
(7.3)
que usualmente se pone en la forma :
ε(t) =
∫
t
−∞
J( t - λ )
d σ (λ )
dλ
dλ
(7.4)
donde : J( t - λ ) es la complianza de fluencia después del intervalo de tiempo t - λ y σ(λ) es la expresión
que nos da la variación de la tensión que comienza en el instante λ. El tiempo variable λ se integra sobre el
intervalo (- ∞ , t ) , con el objeto de tener en cuenta el historial de carga previo.
De una manera similar se pueden derivar las expresiones para la respuesta de tensión ( o relajación) ante
una historia de deformación compleja. Así, se tendrá:
σ(t) =
∫
t
−∞
G( t - λ )
d ε (λ )
dλ
dλ
(7.5)
donde G( t - λ ) es el módulo de relajación de tensiones después del intervalo de tiempo t - λ
8.- Carga dinámica.
Forma parte de nuestra experiencia que un recipiente de plástico, cuando es golpeado, emite una nota poco
aguda de corta duración, que es bastante diferente de la emitida por una campana o una copa de cristal. Esta
característica de de alta capacidad de amortiguamiento mecánico es otra manifestación de la
viscoelasticidad, que es apreciada, por ejemplo, en absorbentes de choque. En estructuras de plástico
sujetas a oscilaciones forzadas, las vibraciones mecánicas a las frecuencias naturales de la estructura no
aumentan fácilmente, debido a la alta capacidad de amortiguamiento de los plásticos.
Un buen ejemplo de esto es el uso de materiales plásticos en la fabricación de barco, en particular en la
construcción del casco. Las vibraciones del casco, estimulado por los elementos, son amortiguadas
rápidamente. Aún más , el ruido creado por la maquinaria de los barcos es transmitido e irradiado con
menor facilidad al mar, donde e podría causar interferencia con las sondas acústicas de profundidad y
equipos similares.
Cuando los componentes de la maquinaria estan hechos de plásticos por ejemplo, engranajes, ejes,etc., sus
altas características amortiguamiento significan que la vibración generada no es sostenida y transmitida de
modo que esto sea una molestia. Otra ventaja consiste en que el sonido del mar es disminuido debido al
amortiguamiento de las ondas acústicas al pasar a través del casco. En estos ejemplos las frecuencias de
vibración son algo diferentes: ¿cómo varían las características de amortiguamiento del polimero con la
frecuencia?
En este apartado se va a considerar la respuesta de los materiales poliméricos bajo un regimen de carga
dinámica y cíclica. Para un sólido con comportamiento viscoelastico lineal , bajo un régimen carga de tal
tipo y una vez que se alcanza el equilibrio, la deformación estará desfasada con respecta a la respuesta de la
tensión.
Suponiendo una tensión oscilatoria de frecuencia ω generada en una probeta:
ε (t ) = ε 0sen (ωt )
(8.1)
La respuesta de la tensión será también sinusoidal, pero desfasada con la de la deformación:
σ (t ) = σ 0sen (ωt + δ )
(8.2)
La deformación se queda atrás de la tensión en un ángulo de fase δ. Esto se ilustra en la figura 8.1.
Figura 8.1.- Respuesta de material viscoelastico lineal a una carga cíclica.
La expresión de la tensión dada por (8.2) puede ponerse en la forma:
σ (t ) = σ 0 ( senωt cosδ + cos ωtsenδ )
(8.3)
De la expresión anterior es claro que la tensión consiste de dos componentes: uno en fase con la
deformación (σ 0 cos δ ) y otro desfasado en 90 º (σ 0 senδ ) .
La relación entre la tensión y la deformación en el caso dinámico puede definirse poniendo la expresión
(8.3) en la forma:
σ (t ) = ε 0 (G1senωt + G2 cos ωt )
(8.4)
donde:
G1 =
Así, la componente de la tensión
desfasada 90 º.
σo
cos δ
ε0
σ
G2 = o senδ
ε0
(8.5)
(8.6)
G1ε 0 esta en fase con la deformación oscilatoria y la componente G2ε 0
G1 se denomina módulo de almacenaje, y define la energía almacenada debida a la tensión aplicada. G2 es
el módulo de pérdida, y determina la disipación de energía. De las expresiones (8.5) y (8.6), de deduce la
tangente del ángulo de desfase:
t agδ =
G2
G1
(8.7)
La
tag (δ )
se denomina factor de pérdida, y es igual a cero para los materiales que son puramente elásticos. El factor
de pérdida, el módulo de almacenamiento y el módulo de pérdida varían con la frecuencia de la carga, tal y
como se muestra en la figura 8.2. La curva es similar a la curva módulo - tiempo, exhibiendo regiones de
comportamiento vitreo ( frecuencia alta ), gomoso ( frecuencia baja) y viscoelastico (frecuencia
intermedia).
Figura 8.2.- Módulo de almacenamiento, módulo de pérdida y factor de pérdida en función de frecuencia.
Para los sólidos que son elásticos puros tag (δ ) es igual a cero. Un buen de sólido de bajas carácterísticas de
amortiguamiento es el cuarzo. Por otro lado, los polímeros tienen valores de δ del orden de varios grados,
pues en ciertos rangos de temperatura, por ejemplo desde la temperatura de transisción vítrea a la gomosa,
δ
puede alcanzar los 30 º.