Practicas3

DESARROLLO DEL PENSAMIENTO
MATEMÁTICO EN EDUCACIÓN PRIMARIA
CUADERNO DE PRÁCTICAS
AULA
INFORMÁTICA
P2: ARITMÉTICA
Estructuras Aditiva
y Multiplicativa
LABORATORIO
INDIVIDUAL
Nombre:
DEPARTAMENTO DE DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA
UNIVERSIDAD DE GRANADA
Práctica C: Estructuras Aditiva y Multiplicativa
1. Introducción
Gran parte de los problemas matemáticos a los que nos enfrentamos diariamente se centran en
resolver operaciones aritméticas de suma, resta, multiplicación y división. Para cada caso, las
estructuras aditiva y multiplicativa de los números naturales organizan ese tipo de operaciones
y generan un gran número de propiedades que permiten llevar a cabo muchos cálculos de una
manera precisa y con una gran autonomía de tiempo. En esta práctica exploraremos varias de
esas propiedades numéricas y sus relaciones.
2. Objetivos
El objetivo central de esta práctica es profundizar en las estructuras aditiva y multiplicativa
del sistema decimal de numeración, y más concretamente nos centraremos en:




Explorar el significado de las operaciones con números naturales.
Definir y relacionar los conceptos de las diferentes operaciones en diferentes
contextos.
Conocer e identificar distintos tipos de problemas que se pueden plantear con
cada operación.
Representar los problemas empleando diversos modelos para explorar relaciones
numéricas.
3. Bibliografía y Recursos
Alguna bibliografía en la que podrás profundizar en estos temas es:
Castro, E. (Ed.) (2001) . Didáctica de la Matemática en la Educación Primaria. Madrid:
Síntesis.
Godino, J. D. (Dir.). Matemáticas para maestros. Departamento de Didáctica de la
Matemática.
En
Internet:
http://www.ugr.es/local/jgodino/edumatmaestros/welcome.html
Gómez, B. (1988). Numeración y Cálculo. Madrid: Síntesis.
Puig, L. (1988). Problemas Aritméticos escolares. Síntesis, Madrid.
4. Actividades
4.1 Estudio de operaciones aritméticas
4.1.1 En la página siguiente encontrarás un programa que te permite realizar producto de
números enteros, usando rectángulos:
http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_322_g_2_t_1.html
a) Realiza varias multiplicaciones moviendo los cursores a lo largo de los ejes.
¿Cómo distingue el programa el signo del resultado de la multiplicación?
ARITMÉTICA: Estructuras aditiva y multiplicativa (Individual)
2
b) Los ejes coordenados sobre los que se desplazan los cursores delimitan cuatro
regiones que se denominan cuadrantes. ¿Qué relación existe entre el resultado de
un producto y el cuadrante en el que éste resulte?
c) ¿De cuántas formas puedes construir rectángulos que contengan exactamente 12
cuadritos? ¿Y con 21? ¿Qué puedes decir acerca de 12 y 21 en relación con sus
divisores?
ARITMÉTICA: Estructuras aditiva y multiplicativa (Individual)
3
4.1.2 ¿Se te dan bien las operaciones rápidas? Demuéstralo con un compañero usando el
juego que encontrarás en la página
http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=29
Instrucciones: En una tabla verás los números 1 al 81 dispuestos en 6 columnas. Debajo se
sitúa la barra de los factores, una fila con los números 1 al 9. El jugador 1 marca un factor,
el jugador 2 marca otro factor (pudiendo elegir el mismo que el del jugador 1), señalándose
en la tabla el producto de ambos con el color del jugador 2. El jugador 1 marca otro factor, y
en el tablero se señala el producto de ambos factores con su propio color. Si un producto ya
está marcado pasa el turno al siguiente jugador. Gana aquel que primero consiga 4 en línea
en casillas contiguas (horizontal, vertical o en diagonal).
Describe la técnica que empleas para jugar, y qué tipo de operaciones hay que realizar.
4.1.3 Esta actividad tiene que ver con múltiplos y divisores, y se presenta como un juego para
dos personas. A continuación te mostramos las instrucciones.
http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=12
Instrucciones: El jugador A elige un número en el tablero haciendo click con el ratón
sobre ese número para colorearlo. Usando otro color, el jugador B colorea los
divisores de el número seleccionado por A (salvo él mismo). Una vez que haya
marcado todos los divisores, presiona OK.
Después, los jugadores cambian el turno: ahora el jugador B elige un número, y el
jugador A marca los divisores propios correspondientes, y así sucesivamente.
Si un jugador escoge un número que no tiene divisores sin marcar, el jugador pierde
su turno pues no le da opción de juego a su contrincante. El jugador infractor no
suma ningún punto.
ARITMÉTICA: Estructuras aditiva y multiplicativa (Individual)
4
El juego acaba cuando no quedan números con divisores sin colorear. Cada jugador
suma los puntos correspondientes a los números que colorea. El jugador que sume
más puntuación al final de la partida es el vencedor del juego.
a) Juega dos partidas con un compañero, y alterad en cada una la persona que inicia
el juego. Anotad las ideas o estrategias que seguís en cada caso.
b) ¿Es mejor empezar la partida o ser segundo? ¿Por qué?
c) ¿Cuál es la mejor selección para empezar la partida? ¿Y la peor? ¿Por qué?
4.1.4 En la página http://matti.usu.edu/nlvm/nav/frames_asid_156_g_1_t_1.html podrás visualizar
las operaciones aritméticas básicas con animaciones sobre la recta numérica. Explica el modo
en que el programa realiza las divisiones.
ARITMÉTICA: Estructuras aditiva y multiplicativa (Individual)
5
4.2 Operaciones con números figurados y patrones numéricos
4.2.1 Usa la página http://valle.fciencias.unam.mx/~gomal/nf.html para localizar información
sobre lo que son números triangulares y números cuadrados. Descríbelos y pon algunos
ejemplos. ¿Por qué se llaman así?
4.2.2 Si sumamos 3 y 6 como números triangulares consecutivos, obtenemos 9, que es un
número cuadrado. Trata de probar esta propiedad usando las representaciones gráficas de los
números. ¿Esto será cierto para cualesquiera números triangulares consecutivos? Justifica tus
respuestas.
ARITMÉTICA: Estructuras aditiva y multiplicativa (Individual)
6
4.2.3 En la siguiente página encontrarás una calculadora que permite explorar patrones
numéricos en una Tabla-100, marcando los múltiplos de un determinado número:
http://standards.nctm.org/document/eexamples/chap4/4.5/index.htm
Describe el patrón que siguen los múltiplos de 2, de 3, de 5 y de 7. Si eliminas todos los
múltiplos de 2 (salvo el 2), todos los de 3 (salvo el 3), y lo mismo con 5 y 7, ¿de qué tipo son
los números que quedan en la Tabla-100?
ARITMÉTICA: Estructuras aditiva y multiplicativa (Individual)
7
Práctica D. ESTRUCTURAS ADITIVA Y MULTIPLICATIVA: Cálculo
con el Ábaco y con el Material Multibase
1. Presentación
El aprendizaje de las estructuras aditiva y multiplica requiere el desarrollo de la comprensión
del significado de las operaciones suma, resta, multiplicación y división, de las situaciones y
problemas en que éstas se utilizan, de su propiedades y relaciones, y de las diferentes formas
en que puede obtenerse el resultado en cada caso. De entre los diversos métodos de cálculo
disponibles, nos centramos aquí en los algoritmos de cálculo. Un algoritmo consiste en una
serie finita de reglas, a aplicar en cierto orden, a unos datos, para llegar con certeza y en un
número finito de pasos a un resultado (Gómez, 88).
Los algoritmos que se trabajan en las aulas son los llamados algoritmos estándares o usuales.
Estos procedimientos no son los únicos algoritmos que se han utilizado a lo largo de la
historia para realizar los cálculos con las cuatro operaciones aritméticas básicas, pero sí son
los más extendidos e utilizados en la actualidad, siendo su aprendizaje un componente
destacado del trabajo aritmético en la Educación Primaria.
Para el aprendizaje de los algoritmos de las operaciones básicas se recomienda que se inicie
su estudio a partir de objetos físicos que se puedan manipular y tengan la misma estructura
que el sistema de numeración decimal. En este sentido es especialmente útil el material
multibase que ya conoces de la práctica anterior. En esta práctica vamos a utilizar éste
material, junto con el ábaco. Atendiendo a la estructura del sistema de numeración decimal,
ambos materiales nos ayudan a conectar los pasos que constituyen los algoritmos estándares
con su justificación y con las propiedades de las operaciones que están involucradas.
2. Objetivos
a) Comprender el mecanismo de los algoritmos de las operaciones aritméticas básicas
por medio de la manipulación del material multibase y mediante la realización de
operaciones con el ábaco
b) Trasladar la representación manipulativa por medio del ábaco a la representación
escrita usada en los algoritmos de lápiz y papel y viceversa.
c) Conocer y utilizar el material didáctico de los bloques multibase como modelo para
enseñar y aprender los algoritmos de cálculo.
d) Reconocer los significados de la multiplicación y de la división al operar con el ábaco
y el material multibase.
3. Bibliografía y recursos
Dienes, Z. P. (1978). Cómo utilizar los bloques multibase. Barcelona: Teide
Gómez Alfonso, B. (1988). Numeración y cálculo. Madrid: Síntesis
Grupo MATEMA (1986). Las matemáticas en el ábaco. Valencia: NAU Llibres
4. Actividades
Con el ábaco
1. Vamos a realizar varias operaciones con el ábaco horizontal. Para sumar en el ábaco
marcamos un sumando y le añadimos el otro. No es necesario, pues, representar los dos
sumandos por separado. Usa el ábaco horizontal para realizar las sumas:
65 + 28
387 + 575
3572 + 5849
Como en la práctica 1, utiliza un ábaco para las unidades y otro para las centenas cuando
te sea necesario.
Representa en el siguiente recuadro los pasos que has dado para la suma: 387 + 575=
C
C
C
C
U
U
U
U
Sumarle decenas
Representar 1er sumando
Sumarle unidades
Sumarle centenas
1er Paso
2º Paso
3er Paso
4º Paso
2. Representa en los siguientes cuadros las transformaciones que vas realizando para cada
operación de la actividad anterior. Para ello anota los cambios efectuados al primer
sumando hasta obtener el resultado. Realiza las operaciones y anotaciones, empezando por
distinto orden de unidades (ver ejemplo: 264+186).
Primer sumando:
Segundo sumando:
Primer Paso
Segundo Paso
Tercer Paso
Cuarto Paso: Sol
2
1
2
3
6
8
6
6
4
6
4
4
Añado centenas
Añado decenas
Primer sumando:
Segundo sumando:
Primer Paso
Segundo Paso
Tercer Paso
Cuarto Paso
6
2
5
8
Añado unidades
ARITMÉTICA: Estructuras aditiva y multiplicativa (Individual)
9
Primer sumando:
Segundo sumando:
Primer Paso
Segundo Paso
Tercer Paso
Cuarto Paso
Primer sumando:
Segundo sumando:
Primer Paso
Segundo Paso
Tercer Paso
Cuarto Paso
3. Para restar representa en el ábaco el minuendo y le quitas el sustraendo. Usa el ábaco
horizontal para realizar las restas: 85 – 63; 72 – 59; 436 – 287. Representa en el
siguiente recuadro los pasos dado en la resta 72-59.
1er paso
2º paso
3er paso
4º paso
Expresa los pasos que das en cada resta, como en el ejemplo:
85
25
(-60)
22
(-3)
72
436
(
)
(
)
(
)
(
4. Usa el ábaco horizontal para realizar las multiplicaciones: 58;
)
247;
3264.
Indica en el cuadro siguiente cómo haces la multiplicación en el ábaco y en qué consiste la
multiplicación.
ARITMÉTICA: Estructuras aditiva y multiplicativa (Individual)
10
5. Usa el ábaco horizontal para realizar las divisiones: 48:4; 63:5; 367:6. Escribe en el cuadro
siguiente cómo haces la división en el ábaco y en qué consiste la división: ¿Es un reparto o
una resta repetida? ¿Es posible hacerlo de ambos modos?
6. Utiliza los ganchitos para separar dos cuentas en cada varilla y suprime dos varillas. Así
tienes un ábaco con 8 varillas y 8 cuentas en cada varilla, lo que te permitirá trabajar en
base ocho. Realiza, en base ocho, las siguientes operaciones: 65+74; 52–46; 46; 35;
62:5. Representa la operación 52-26 en base ocho.
52 – 26
52
1º Paso
2º Paso
ARITMÉTICA: Estructuras aditiva y multiplicativa (Individual)
11
Con el material multibase
1. Representa con los bloques de base cuatro, cinco o seis los números 231 y 2131.
Manipulando el material, realiza la suma de 231 + 2131. Explica qué ocurre con las
unidades de segundo orden.
A continuación realiza dicha suma utilizando el algoritmo estándar. ¿Qué relación
observas con el proceso seguido al sumar previamente con el material multibase?
2. Representa con los bloques de base cuatro, cinco o seis los números 331 y 130.
Manipulando el material, realiza la diferencia 313 – 130. Explica que ocurre con las
unidades de segundo orden. ¿Hay otra forma de hacerlo?
A continuación realiza dicha resta utilizando el algoritmo estándar. ¿Qué relación
observas con el proceso seguido al restar con el material multibase?
3. Realiza con los bloques de base cuatro, cinco o seis la siguiente multiplicación y
divisiones: 323, 102:3, 231:2. ¿Qué significado de la multiplicación y de la división
estás utilizando?
A continuación realiza dichas operaciones utilizando el algoritmo estándar. ¿Qué relación
observas con el proceso seguido al operar previamente con el material multibase?
ARITMÉTICA: Estructuras aditiva y multiplicativa (Individual)
12