Las tres categorías de limites

Las tres categorías de limites.
Los límites de funciones se presentan en tres categorías de dificultad, a las cuales también
les corresponde diferentes modos de proceder. En lo que sigue de este curso usaremos
esta idea y emplearemos la siguiente terminología, la cual no es general, sino un recurso
didáctico que hemos adoptado en este curso.
Límites categoría 1
Son aquellos casos que se resuelven aplicando directamente los teoremas sobre
operaciones con límites. Por ejemplo:
lim(cos x 
x 0
2x  3
2x  3
) = lim(cos x)  lim
=1+3=4
x

0
x

0
x 1
x 1
el cual se halla directamente considerando la función como el resultado de la operación
de varias funciones muy simples, cuyos límites se calculan y se realizan las operaciones
correspondientes entre los límites hallados. Aquí los teoremas sobre límites son
aplicables porque todos los límites existen y sus valores no indefinen ninguna de las
operaciones indicadas.
Límites categoría 2
Son aquellos en los cuales los teoremas sobre límites no son directamente aplicables
porque los límites parciales obtenidos indefinen alguna operación indicada en la función
original. Sin embargo, el resultado se puede obtener extendiendo en forma lógica las
reglas aritméticas usuales. Por ejemplo:

1 

lim x 2 
x 2
( x  2) 2 

El primer sumando tiende hacia 4. El segundo sumando es un cociente pero, como el
denominador tiende hacia cero, el teorema del límite de un cociente no es aplicable. Sin
embargo, puede usarse el siguiente “razonamiento” intuitivo: En el segundo sumando, el
numerador permanece fijo mientras que el numerador es siempre positivo y se aproxima
cada vez mas a cero. En este caso, la fracción crecerá sin límite cuando x se acerque a 2
(por la derecha y por la izquierda). Esto significa que el segundo sumando posee límite
infinito. En cuanto a la función completa, su límite será también infinito, ya que el primer
sumando tiende hacia 4, de manera que la suma de ambos crecerá también sin límite.
Como conclusión, se tiene que:

1 

lim x 2 
2 
x 2
(
x

2
)


Límites categoría 3
Son aquellos en los cuales los teoremas sobre límites no son directamente aplicables
porque los límites parciales obtenidos indefinen alguna operación indicada en la función
original. Sin embargo, en estos casos el resultado no se puede obtener extendiendo en
forma lógica las reglas aritméticas usuales. A este tipo de límites se les conoce como
formas indeterminadas. El ejemplo mas clásico son los límites de la forma indeterminada
0/0. Pr ejemplo:
x 2  3x  2
lim 2
x 2 x  5 x  6
En esta, como en las otras 7 formas indeterminadas, al extender de forma intuitiva la
aplicación de diversas reglas aritméticas, se llega a resultados diferentes y
contradictorios. Por ejemplo, si en una fracción el numerador se acerca a cero mientras el
denominador no varia, o varia muy poco, entonces la fracción se acerca a cero; esto
“justificaría” afirmar que un límite de la forma 0/0 sería 0. Por otra parte, según otra regla
obvia, cuando el numerador no cambia, o cambia muy poco, a medida que el
denominador se aproxima a cero, la fracción se hace cada vez mayor y eso “justificaría”
que el límite del tipo 0/0 tiende a infinito. La existencia de esta contradicción se abrevia
llamando a este tipo de límite, “formas indeterminadas”. La mayor parte de los recursos
que se estudian en esta clase se usan para tratar de calcular límites indeterminados.
Aunque veremos muchos recursos, todos tratan de reducir los limites indeterminados
(categoría 3) a limites determinados (categorías 1 o 2). Las formas indeterminadas son 7:
Cociente:
Producto:
Diferencia:
Potencia:
0/0; /
0.
–
1
00
0
Los primeros 4 casos los abordaremos en esta clase. Las tres formas indeterminadas de
potencia las veremos mucho después, cuando podamos aplicar herramientas más fuertes
como el uso de logaritmos y la regla de L´Hôpital.
Autor: Dr. Manuel Álvarez Blanco
UPC. Agosto 2008