9-Extremos de funciones

Extremos de funciones reales de variable entera
EXTREMOS DE FUNCIONES REALES
DE VARIABLE ENTERA
José Mª Eguzkitza Arrizabalaga (*)
Una de las aplicaciones más comunes del Cálculo Infinitesimal es la búsqueda de máximos y
mínimos. Este problema es ampliamente tratado en los manuales de Enseñanza Secundaria en
el ámbito de las funciones reales de una variable real. En ese contexto, si la función es derivable, basta igualar a cero la primera derivada para obtener los puntos críticos, que son los candidatos a máximo o mínimo relativo. Después, mediante el criterio de la segunda derivada o el
de variación de la primera derivada se puede determinar si el punto crítico es extremo o no.
Pero no todas las funciones que se presentan en las aplicaciones prácticas tienen por dominio
de definición un intervalo de R, y así se echa en falta en los programas de matemáticas de
bachillerato una alusión, aunque sea somera, a aquellos casos en los que la función, por estar
definida en un conjunto como N o Z, no puede derivarse. Con objeto de presentar al alumno
un panorama más amplio sobre el problema de la obtención de extremos, parece conveniente
exponer algunos casos en los que la función que se maneja está definida en un conjunto discreto.
Más adelante se presentan tres ejemplos.
Un máximo o un mínimo relativo es un punto en el que la función alcanza un valor mayor o
menor, respectivamente, que el que toma en los puntos de alguna vecindad. En el caso de funciones cuyo dominio es N la vecindad de un punto n está constituida por los puntos n -1 y n +1,
por lo que se puede establecer la siguiente definición:
Sea f(n) una función f: N→R. Se dice que esta función tiene un máximo relativo (en sentido
amplio) en n0 e N, n0>1si se verifican simultáneamente las desigualdades:
f(n0 ) ≥ f(n0 -1) y f(n0 ) ≥ f(n0+1)
De modo análogo, f(n) presenta en n0 un mínimo relativo si se cumplen:
f(n0 ) ≤ f(n0 -1) y f(n0 ) ≤ f(n0+1)
Ejemplo 1: Un libro de 500 páginas contiene 1475 erratas repartidas al azar. Calcular el
número de erratas por página que tiene mayor probabilidad de aparición.
Se puede considerar que el número de erratas por página X sigue una distribución de Poisson
(ley de los sucesos raros) debido a los hechos siguientes:
• El número de erratas en una línea es independiente del número de erratas en otra línea
diferente.
• La probabilidad de que haya una errata en una línea es aproximadamente proporcional a su longitud y no depende del número de erratas que haya fuera de ella.
• La probabilidad de que haya dos o más erratas en una línea (intervalo de espacio corto)
es prácticamente despreciable.
(*) Profesor del Departamento de Matemática Aplicada de la EHU/UPV.
Noviembre 2003 • 2003ko Azaroa
137
José Mª Eguzkitza Arrizabalaga
El número medio de erratas por página es:
l=
1475
= 2,95
500
La distribución de probabilidad de la variable aleatoria X viene dada por la siguiente función
de masa:
lne – l ,
P (X = n) =
n = 0,1,2,...
n!
El parámetro que se busca es la moda de la distribución; es decir el valor n0 que hace máxima
la probabilidad anterior. Por tanto, se ha de verificar:
P (X = n0 ) ≥ P (X = n0 -1) y P (X = n0 ) ≥ P (X = n0+1)
Es decir,
n0
n0
n0
2,95 e – 2,95 ≥ 2,95 – 1e – 2,95 y 2,95 e – 2,95 ≥
n0!
(n0 –1)!
n0!
n0
2,95 + 1e – 2,95
(n0 +1)!
2,95
2,95
≥1 y 1≥
n0
n0+1
n0 ≤ 2,95
y
n0 + 1 ≥ 2,95
El único entero que cumple estas dos desigualdades es 2.
El método anterior se basa en la manipulación de dos desigualdades de modo simultáneo, lo
que puede resultar tedioso en muchos casos. Esta dificultad es fácilmente salvable en algunas
ocasiones, cuando es posible encontrar una función real definida en un intervalo real cuya restricción a N sea la función dada, cosa que no ocurre en el ejemplo expuesto. En tales casos,
el extremo de la función de variable real (si existe) definirá el correspondiente extremo de la
función restringida a N, como se muestra en la siguiente proposición.
Proposición: Sea una función f: R→R estrictamente convexa (estrictamente cóncava) en R+
alcanzando un único mínimo relativo (máximo relativo) en el punto x0 e R+. Entonces, la restricción de f(x) a N, f(n), tiene un mínimo relativo (máximo relativo) en p, en q, o en ambos
puntos a la vez siendo
p = Parte entera {x0}; q = Parte entera {x0} +1
Demostración: Sea
p = máx {xi e N|xi ≤ x0} = Parte entera {x0 } y q = mín {xi e N|xi >x0 } = Parte entera {x0 } +1.
• Sea f(p) < f(q). Al ser f(x) estrictamente convexa y con mínimo en x0, será decreciente a la
izquierda de ese punto y se cumplirá
f(xi ) > f(p), xi e N, xi < p
Así mismo, f(x) será creciente a la derecha de x0 por lo que
f(xi ) > f(q), xi e N, xi > q
Por tanto, f(p) < f(xi ) para todo xi entero, lo que significa que f(n), n e N, alcanza un mínimo
relativo en el punto p.
• Sea f(p) > f(q). Razonando de igual manera se deduce que la función f(n), n e N, tiene un
mínimo relativo en q.
• Si f(p) = f(q) el mínimo relativo de f(n) se alcanza en p y en q.
138
SIGMA Nº 23 • zk. 23 SIGMA
Extremos de funciones reales de variable entera
Análogamente se procedería si se trata de un máximo.
Ejemplo 2: Calcular dos números enteros positivos que sumen 125 y cuyo producto sea
máximo.
La función a optimizar es
f(n) = n(125-n)
Sea f(x) la función de R→R tal que su restricción a N es f(n):
f(x) = x (125 - x) = 125x - x2
f’(x) = 125 - 2x = 0 ⇒ x = 125/2 = 62,5
f´´(x) = -2 < 0 ⇒ Máximo
El máximo de f(n) se alcanza para los valores 62 y 63. En efecto:
f ( 62) = 3906; f ( 63) = 3906
Los números pedidos son, pues, 62 y 63.
Ejemplo 3: Una industria necesita disponer de una cierta componente al día para su proceso de
producción, por lo que cada n días debe realizar un pedido de tamaño n, que es recibido al
instante. Calcular el valor de n que minimiza el costo total por unidad de tiempo, sabiendo que
cada vez que se hace un pedido se incurre en un gasto fijo de 6700 euros y en uno variable de
300 euros por unidad. El costo de almacenamiento es de 120 euros por unidad y por día.
Un período es el lapso de tiempo entre dos sucesivos pedidos cuya longitud es, en este caso, n.
El costo de adquisición por pedido es
6700 + 300n
El costo de almacenamiento a lo largo de un período es
120n + 120(n-1) +...+ 120·1 = 120·1/2·(n+1)·n = 60n2 + 60n
El costo total por período resulta, por tanto,
6700 + 300n + 60n2 + 60n
Para obtener el costo total por unidad de tiempo, que será la función a optimizar, habrá que
dividir el valor anterior por la longitud de un período (n días):
C(n) = (6700 + 300n + 60n 2 + 60n) / n = 60n +360 + 6700/n
Sea f(x) la función de R→R tal que su restricción a N es C(n):
C(x) = 60x + 360 + 6700/x
C´(x) = 60 – 6700/x 2 = 0 ⇒ x 2 = 6700/60 = 111,67
x=
= 111,67 = 10,57
C ’’(x) = 13400
; C ’’(10,57) > 0 ⇒ Mínimo
x3
Por tanto, el valor que hace mínima la función C(n) será, de acuerdo a la proposición anterior, n = 10 ó n = 11:
C(10) = 60·10 + 360 + 6700/10 = 1630
C(11) = 60·11 + 360 + 6700/11 = 1629,09
El tamaño de pedido óptimo es, en consecuencia, 11 unidades.
Noviembre 2003 • 2003ko Azaroa
139
ERI:
CAVALI
ría”
“Geomet 1635)
Bolonia
(Edición