EPET N° 20

E. P. E. T. N° 20
MATEMÁTICA
2° AÑO
E. P. E. T. N° 20
MATEMÁTICA 2°
PROFESORES: María Angélica Netto
Carlos Pavesio
Roberto Cáceres
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MATEMÁTICA
2° AÑO
Contenidos Conceptuales - Matemática - 2° año - Año 2016
Unidad Nº 1: Razones y proporciones.
Razones y proporciones: definición, propiedad fundamental. Cálculo de los medios y los
extremos. Magnitudes directa e inversamente proporcionales: problemas de aplicación.
Función de proporcionalidad directa e inversa: representación gráfica.
Teorema de Thales. Aplicaciones referidas al cálculo de perímetros, áreas y volúmenes.
SIMELA. Semejanza de triángulos. Ejercicios y problemas de aplicación.
Unidad Nº 2: Trigonometría.
Razones entre los lados de un triángulo rectángulos. Funciones trigonométricas. Uso de la
calculadora. Teorema de Pitágoras. Características de los irracionales: representación
gráfica. Resolución de triángulos rectángulos. Problemas de aplicación.
Unidad Nº 3: Sistema de ecuaciones lineales
Función lineal: pendiente y ordenada al origen, representación y análisis. Rectas paralelas
y perpendiculares.
Planteo y resolución de problemas mediante ecuaciones. Planteo y resolución de
problemas que requieren de dos incógnitas. Método de resolución gráfico de sistemas:
clasificación.
Métodos de resolución analíticos: sustitución, igualación y determinantes. Análisis del
conjunto solución obtenido. Ejercicios y problemas de aplicación.
Unidad Nº 4: Polinomios.
Definición de polinomio. Polinomio en una indeterminada. Grado de un polinomio.
Polinomio nulo. Polinomio completo e incompleto. Polinomio ordenado. Valor numérico de
un polinomio. Operación con polinomios: sumas, restas, multiplicación y división de
polinomios. Regla de Ruffini. Divisibilidad de los polinomios.
Unidad N° 5: Factoreo
Factorización de los polinomios: Factor común, Factor común en grupos, Trinomio
cuadrado perfecto, Cuatrinomio cubo perfecto, Diferencia de cuadrados, Suma o
diferencia de potencias de igual grado. Ejercicios y problemas de aplicación.
Unidad N° 6: Expresiones algebraicas racionales
Simplificación de fracciones algebraicas. Multiplicación y división. Adición y sustracción.
Ecuaciones racionales.
Unidad N° 7; Vectores
Definición. Componentes de un vector. Representación gráfica. Operaciones con
vectores. Aplicaciones.
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UNIDAD N° I - PROPORCIONALIDAD
ACTIVIDAD INICIAL
DEFINICIÓN
Hallar el valor de x aplicando la propiedad fundamental:
a)
b)
2+
1
2
1
2
𝑥
1+
1
2
=
c)
5 7
−
2 6
2 5
−
3 4
d)
21
3
e)
8𝑥+0,5
4
=
0,5+0,5
𝑥
=
1
2
3
( )2
2
4+
=1
𝑥
+
4
2
( + 2)−1
9
g)
=
1
2
( 3− )−3
𝑥
0,5 (1−0,1)
𝑥
6𝑥+3
6
√1−
9
25
3
4
1
10
=
√1−
𝑥+1,5
1
3
30+𝑥
𝑥
=
1
𝑥
4
f)
( )−3
𝑥
h)1,2−1 = (9 .0,3̂)−2
i)
18−1
1
+1
32
0,25+
j)
𝑥
=
1
2
𝑥
3
√−216
= 22
𝑥
+
25
1
5
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MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
Las siguientes tablas corresponden a distintas relaciones entre dos cantidades de
magnitudes diferentes:
X: tela Y: precio
4
43
2
86
6
10,75
12
53,75
X: volumen en cm3 Y: peso en g
240
400
120
100
30
90
450
1. Completa las tablas.
2. Si las cantidades de la 1° columna aumentan ¿Qué ocurre con las
correspondientes a la 2° columna?
3. Efectúa los cocientes correspondientes de la 2° columna y sus correspondientes
de la 1° columna.
4. ¿Qué puedes decir de los resultados obtenidos?
5. ¿Qué representa ese valor?
6. Analiza que tipo de relación existe entre el conjunto de cantidades de la 1°
magnitud y el conjunto de las cantidades de la 2° magnitud.
7. Para cada una de las tablas realiza el grafico en un mismo sistema de ejes
cartesiano.
8. ¿Qué gráfico obtienes?
9. ¿Qué sucede si x es cero?
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Imagina que quieres cortar rectángulos de superficie igual a 36𝑐𝑚2 . Siendo las medidas
de la base y de la altura, números naturales
1. Completa la tabla.
X: base
Y: altura
2. Si las cantidades de la 1° columna aumenta,
¿Qué ocurre con las cantidades correspondientes a la
2° columna?
3. Efectúa los productos entre cada cantidad de la
2° columna y su correspondiente de la 1°
4. Analiza que tipo de relación existe entre el
conjunto de las cantidades de la magnitud y el conjunto de cantidades de la 2°
magnitud.
5. Realiza el gráfico en un sistema de ejes cartesianos.
6. ¿Qué gráfico obtienes?
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EJERCITACIÓN:
1) En cuáles de los siguientes cuadros las magnitudes relacionadas corresponden a
magnitudes directamente proporcionales
x
y
x
y
x
y
4
10
1/2
1/3
2
0,6
2
5
3/4
1/2
1,2
0,36
6
15
3
2
0,5
0,15
4/3
10/3
1
3/2
7
2,1
x
12
4
2)
La tabla corresponde
proporcional.
faltan
y
6,3
12,6
a
una
función
directamente
Completa con los números que
3
3,675
5
3)
Peso en Precio
kg x
en $ y
1
2
1,5
4
3
a)
b)
c)
d)
Completar la tabla
Graficar
Hallar la constante de proporcionalidad
Hallar en el gráfico
el precio
correspondiente a 3,5 kg
e) Hallar en el gráfico el peso correspondiente
a $5
8
4,5
4)
Completa la tabla:
10
X: velocidad
Y: tiempo
(km/h)
(hs)
80
3
120
a) ¿Qué
representan?
b) Halla
proporcionalidad
clase
la
de
magnitudes
constante
de
100
6
1,5
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5) Completen cada una de las siguientes tablas que relacionan magnitudes directamente
proporcionales, escriban la constante de proporcionalidad y grafiquen.
a)
x
b)
y
x
2
3
5
c)
y
y
1
3
2
4
10
x
7
12
1
21
9
10
4
6) Completen las siguientes tablas que relacionan magnitudes
proporcionales, hallen la constante de proporcionalidad y grafiquen:
a)
x
y
b)
x
4
2
c)
x
24
y
1
1
2
0,5
y
6
4
10
30
15
2
5
inversamente
4
5
10
Plantear y resolver los siguientes problemas:
a) En un taller 8 obreros producen 48piezas diarias. Trabajando al mismo ritmo,
¿cuántos obreros deberán agregar para triplicar la producción?
b) Para alfombrar un piso se utilizaron 15 rollos de 0,90m de ancho. ¿Cuántos rollos
se necesitarán, para alfombrar la misma superficie, con rollos de 0,75m de ancho?
c) 7 máquinas envasadoras tardan 12 horas para llenar un stock de botellas.
¿Cuánto se tardará, para efectuar el mismo trabajo, si solo funcionan 4 máquinas?
d) Una rueda de 18cm de diámetro tarda 45segundos en recorrer cierta distancia.
¿Cuánto tardará una rueda de 24cm de diámetro?
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e) El equipo de handball de mi escuela ganó el 75% de los 48 partidos jugados.
¿Cuántos partidos perdieron?
f) El precio de un producto es de $ 125. ¿Cuánto se pagará por el mismo luego de
aplicarle el 21% del IVA?
g) Se hizo una fotocopia reducida en un 75% de una página de 20cm de ancho por
28cm de largo. ¿Cuáles son las dimensiones de la página obtenida?
h) El precio de un producto en enero fue de $76,50 y en marzo es de $83,60. ¿Qué
porcentaje de aumento sufrió?
i)
Sobre un paredón se quiere dibujar un mapa celeste
que incluya el sistema solar y la estrella más cercana a él, llamada Alfa del Centauro que se encuentra
a 4,3 años luz del sol. Si se desea que la distancia
sol-tierra en el mapa sea de 5 cm. A que distancia
del sol deben dibujarse los planetas y que longitud
tendría que tener el paredón para poder dibujar la
estrella, suponiendo que ésta se encuentra ubicada
aprox. en el plano de la eclíptica?
En el cuadro se indican las distancias del sol a los
planetas, expresadas en millones de km
1 año luz = distancia que recorre la luz en un año
viajando a 300.000 km/seg
Mercurio
58.5
Venus
108
Tierra
150
Marte
228
Júpiter
780
Saturno
1431
Urano
2880
Neptuno
4515
j)
De las 90 páginas de una revista, 27 son anuncios. ¿Qué porcentaje de la revista
ocupa la publicidad?
k) Si el precio de un artículo aumenta de $ 62 a $ 68, ¿cuál es el porcentaje de
subida del precio inicial?
PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA
TEOREMA DE THALES
T
A
a
B
b
C
c
L
“Si tres o más paralelas son cortadas por dos
transversales, la razón de las longitudes de los
segmentos determinados en una de ellas , es
igual a la razón de los segmentos
correspondientes determinados en la otra
transversal”
m
p
q
ab mp

bc pq
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EJERCICIOS
___
1. Hallar el valor de
ab
___
y
bc
en cada una de las siguientes figuras:
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2. Para medir el ancho de un río, un topógrafo fijó puntos
___
sobre el terreno como indica la figura, en la misma
___
y
cd
___
son paralelas;
___
también cd y
ancho del río.
ab
ab
___
y
bc
son perpendiculares y
___
bc
son
perpendiculares. Calculen el
3. Un alumno está parado junto al mástil izando la
bandera. Si la sombra que proyecta el mástil es de 1,2
m y la del alumno 50 cm. ¿Cuál es la altura del mástil
si el alumno mide 1,60 m?
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7) Resuelve los siguientes problemas aplicando el Teorema de Thales.
a) ¿Cuál es la altura de un edificio que a determinada hora del día proyecta una sombra de 7,5 m, si
un poste muy cercano de 1,5 m produce en el mismo momento 98 cm de sombra?
b) Una sierra tiene una altura de 400 m sobre el nivel del mar y su ladera, desde el pie hasta la
cumbre, 560m. ¿A qué altura, sobre el nivel del mar, se encuentra un andinista que ya recorrió 350 m
por la ladera?
c) Una torre proyecta una sombra de 32 m en el mimo momento que un bastón de 1,30 m de altura
proyecta una sombra de 1,50 m. ¿Cuál es la altura de la torre?
d) Las longitudes de los lados de un triángulo son 9, 12 y 15 cm. Se traza una paralela a uno de sus
lados y se obtiene un triángulo cuyo perímetro es de 12 cm. Calculen las longitudes de los lados del
segundo triángulo.
UNIDAD N° II – TRIGONOMETRÍA
TEOREMA DE PITÁGORAS
𝒉𝟐 = 𝒄𝟐 + 𝒄𝟐 “En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la
suma de los cuadrados de los catetos”.
EJERCICIOS
1) Comprobar que los números 8, 15 y 17 forman una terna pitagórica.
2) Si los lados de un triángulo miden 3cm, 9cm y 11cm respectivamente; ¿será un triángulo rectángulo?
Justificar
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3) ¿Cuál es la longitud de cada una de las diagonales de un rectángulo de 8cm por 6cm? ¿Y si el
rectángulo fuese de 10cm por 3cm?
4) Van a cambiar el cable que va desde la punta de la torre hasta el piso. ¿Cuántos metros de cable se
tendrán que utilizar?
5) Calcular la altura de un triángulo isósceles, con respecto a la base, sabiendo que la
misma mide 12cm y los lados iguales miden 10cm cada uno.
6) Un rectángulo tiene una altura de 0,7 dm y una base que es el doble de la altura.
¿Cuánto mide su diagonal? Redondea a cm.
7) Si un cuadrado tiene 7cm de lado, calcula: a) La longitud de la diagonal. b) El perímetro de la figura.
c) La superficie.
8) Dadas las siguientes figuras, averigua el dato que falta en cada caso.
a)
7cm
b)
c)
20cm
10 cm
x cm
1 9 cm
26cm
15cm
x
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Aquí abordaremos el estudio de algunas razones que se forman con la medida de los lados de un
triángulo rectángulo. Para ello recordemos dos propiedades que ya conocemos y hemos usado
acerca de los triángulos rectángulos:
*Sus ángulos agudos son complementarios
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*Teorema de Pitágoras
Recordemos también que en todo triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto lo llamamos
hipotenusa y a los otros dos catetos. Además para cada uno de los ángulos agudos uno de los
catetos es el adyacente y el otro es el opuesto.
Estas “Razones Trigonométricas” están determinadas por los ángulos agudos que forman los
lados del triángulo rectángulo. En total hay 6 razones; pero alcanza con estudiar 3 de ellas para
resolver los ejercicios que plantearemos:
Seno de un ángulo
sen  
cateto opuesto
hipotenusa
Coseno de un ángulo
cos  
cateto adyacente
hipotenusa
Resolución de
Tangente de un ángulo
tg  
cateto opuesto
cateto adyacente
triángulos rectángulos
Si me dan: un ángulo agudo y uno de sus Si me dan: dos de sus lados…….
lados….
EJERCICIOS
1. Calcula la altura de una torre sabiendo que su sombra mide 13m cuando los rayos del sol forman un
ángulo de 50° con el suelo.
2. En un triángulo isósceles el lado desigual mide 10cm y cada uno de los ángulos iguales 70°. Calcula
su área y perímetro.
3. Si la sombra de un poste es la mitad de su altura, ¿Qué ángulo forma, en ese momento, los rayos
del sol con el horizonte?
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4. En cada triángulo hallar el valor de x:
5. Una escalera de 4m está apoyada contra la pared ¿Cuál será su inclinación si su base
está a 2m de la pared?
6. Desde un helicóptero que vuela sobre el mar a 500m de altura se divisa una boya. La amplitud
del ángulo que forman la visual y la vertical es de 47°. Calcula a qué distancia de la boya se
encuentra el helicóptero.
7. Alfonso sostiene en sus manos un barrilete a una altura de 1,20m desde el suelo. Ya ha soltado
100m de cuerda y observa que el ángulo que forma la cuerda con la horizontal es de 60° ¿A qué
altura, desde el suelo, se encuentra el barrilete en ese momento?
8. El dibujo muestra una torre de radar próxima a la costa y la posición de una boya B. Con los datos
que muestra la figura calcular:
a- La distancia de la boya a la pantalla del radar
b- La distancia de la boya al punto A.
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9. Un hombre maneja su automóvil a lo largo de un camino cuya inclinación es de 25º
con respecto a la horizontal. ¿A qué altura se encuentra respecto al punto de partida
después de recorrer 700m?
10. Un árbol quebrado por el viento forma un ángulo recto con el suelo. Si la parte
quebrada forma un ángulo de 40º con el piso y la copa del árbol se eleva hasta una
altura de 3m desde la base. ¿Qué altura tenía el árbol?
12. Par11. Para poder volcar el contenido de la carga, es necesario
inclinar el volquete. Indicar Calcular bc , sabiendo que:
13. la figura.
̅̅̅ = 3,5𝑚
𝑎𝑏
12. Para calcular la altura de un edificio, una persona se encuentra a 18metros de la entrada del
mismo, y observa la azotea con un ángulo de 65°. Indicar la altura del edificio.
13. Desde la terraza de una confitería, a 12metros de altura se observa una calesita bajo un ángulo
de depresión de 20°. ¿A qué distancia nos encontramos de la misma?
14. Se quiere calcular la altura que deberá darse a un techo a dos aguas, sabiendo que la
base del mismo mide 6,75metros y que cada ala forma con ella un ángulo de 58°.
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UNIDAD N° III – SISTEMAS DE ECUACIONES
Función Lineal
Ejercitación:
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Para cada una de las siguientes rectas indica: pendiente, ordenada al origen y
escribe su ecuación:
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Sistema de ecuaciones
Dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema, cuando lo que pretendemos de ellas es
encontrar una solución común a ambas.
𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = 𝑐2
Donde 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑐1 𝑦 𝑐2 son números constantes por ejemplo: 3; -6; -1; 2; 6; etc. y las
letras 𝑥 e 𝑦 representan a números incógnitas los cuales se desconoce el valor, llamadas variables
La solución de un sistema es un par de números x1 e y1 tales que reemplazando x por x1 e y por y1,
satisfacen ambas ecuaciones
3𝑥 − 4𝑦 = −6
2𝑥 + 4𝑦 = 16
Solución: x=2 e y=3
3.2 − 4.3 = −6 →
6 − 12 = −6
→
−6 = −6
2.2 + 4.3 = 16
4 + 12 = 16
→
16 = 16
→
Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones
Hay diferentes métodos para resolver un sistema de ecuaciones, nosotros solo veremos dos de
ellos:
Sustitución:
Éste método consiste en despejar una de las variables de una ecuación:
3𝑥 − 4𝑦 = −6
2𝑥 + 4𝑦 = 16  2𝑥 = 16 − 4𝑦  𝑥 =
16−4𝑦
2
 𝑥=
16
2
−
4𝑦
2
 𝑥 = 8 − 2𝑦
Luego se sustituye el resultado de la variable despejada en los lugares en que aparece dicha
variable en la otra ecuación y se despeja la otra variable
3. (8 − 2𝑦) − 4𝑦 = −6
30 = 10𝑦

30
10
=𝑦
 24 − 6𝑦 − 4𝑦 = −6
 24 + 6 = 6𝑦 + 4𝑦
 3=𝑦
Una vez que se encontró el valor de la segunda variable resta encontrar el valor de la primer
variable. Esto se logra reemplazando el valor hallado en la ecuación que despejamos al principio
𝑥 = 8 − 2.3  𝑥 = 8 − 6  𝑥 = 2
De esta forma obtenemos que la solución del problema es: x=2, y=3
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Igualación
Este método es similar al anterior, consiste en despejar la misma variable en ambas ecuaciones:
3𝑥 − 4𝑦 = −6  3𝑥 = −6 + 4𝑦  𝑥 =
−6+4𝑦
3
 𝑥 = −3 +
𝑥 + 4𝑦 = 16
16−4𝑦
2
 𝑥=
 2𝑥 = 16 − 4𝑦  𝑥 =
6
16
2
−
4𝑦
3
4𝑦
2
4
 𝑥 = −2 + 3 𝑦
 𝑥 = 8 − 2𝑦
Luego se igualan ambas ecuaciones siguiendo el concepto que al representar x el mismo número
en ambas ecuaciones se obtiene que:
𝑥=𝑥
𝑦 = 10 ∶
4
−2 + 3 𝑦 = 8 − 2𝑦
4
𝑦
3
+ 2𝑦 = 8 + 2
10
𝑦
3
10
3
30
𝑦 = 10
𝑦=3
= 10
Una vez que se encontró el valor de la segunda variable resta encontrar el valor de la primer
variable. Esto se logra reemplazando el valor hallado en la ecuación que despejamos al principio
𝑥 = 8 − 2.3  𝑥 = 8 − 6  𝑥 = 2
De esta forma obtenemos que la solución del problema es: x=2, y=3
Ejercicios.
a) 𝑥 − 𝑦 = 2
𝑥+𝑦 =8
b) 2𝑥 + 4𝑦 = 8
𝑦 − 𝑥 = −1
c) 3𝑦 − 2𝑥 = −2
𝑥 + 2𝑦 = 6
d) 2(𝑥 + 𝑦) = 10
𝑥−𝑦 =1
e) 2. (𝑥 − 1) = 5 − 𝑦
3𝑦 + 𝑥 = 9 − 𝑥
f)
2𝑦 + 𝑥 = 1
2𝑥 − 3𝑦 = 9
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Problemas de aplicación
a) ¿Cuál es el área de un rectángulo sabiendo que su base mide 3 veces su altura y su
perímetro mide 16cm?
b) Alfredo va a la librería a comprar útiles con 20 pesos, al saber los precios de los lápices y
las lapicera entiende que tiene 2 opciones, la primera es comprar 3 lapiceras y 2 lápices
sobrándole 2 pesos, la otra opción es comprar dos lapiceras y 4 lápices sin que le sobre
plata ¿Cuánto cuesta cada lapicera y cada lápiz?
c) En una bolsa hay 80 caramelos entre verdes y rojos, se sabe que por cada caramelo rojo
hay 3 verdes ¿Cuántos caramelos de cada color hay?
d) Sabiendo que el 25% de los alumnos de un curso son mujeres ¿Cuántos alumnos varones y
cuantas alumnas mujeres hay en un curso de 36 alumnos?
e) Se dispone de botellas de 2 litros y de 3 litros, sabiendo que hay 3 botellas de 2 litros cada
4 botellas de 3 litros, y entre todas suman 72 litros ¿Cuántas botellas de cada tipo hay?
f) El día del estreno de una película se vendieron 600 entradas y se recaudaron $ 9625. Si los
adultos pagaban $ 40 y los niños $ 15 ¿cuál es el número de adultos y de niños que
acudieron?
g) Al ingresar a primer año se les toma una evaluación a los estudiantes con 30 ejercicios de
matemática. Por cada respuesta correcta se le dan 5 puntos y por cada respuesta
incorrecta o no contestada se le quitan 2 puntos. Un alumno obtuvo un total de 94
puntos: ¿cuántas respuestas correctas realizó?
h) En una caja hay tornillos pequeños que pesan 5 g y tornillos grandes que pesan 10 g. En
total hay 340 tornillos y pesan 2,5 hg ¿cuántos tornillos de cada tipo hay?
i) La madre de Tomás le preguntó a su hijo cuánto tiempo había estado en la casa de sus
amigos. Tomás quiso hacer pensar a su mamá y respondió: “el tiempo que estuve en la
casa de Pablo más el doble de lo que estuve con Mariano son 4 horas, y el doble del
tiempo que estuve con Pablo más el cuádruple del tiempo que estuve con Mariano son 5
horas”. La mamá le contestó: ¡¡¡ no puede ser!!! ¿Por qué la madre de Tomás llegó a esa
conclusión?
Método gráfico
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Clasificación de Sistemas
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UNIDAD N° IV - EXPRESIONES ALGEBRAICAS ENTERAS
Expresiones algebraicas:
Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras relacionados por los signos de
las operaciones aritméticas.
- Monomio: es cualquier expresión algebraica cuyos elementos no están separados por los
signos +, -, es decir no hay separación en términos.
- Monomios semejantes: Son expresiones monómicas que tienen las mismas letras y los
mismos exponentes.
- Monomios iguales: Son monomios semejantes con coeficientes iguales.
- Monomios opuestos: Son monomios semejantes con coeficientes opuestos
POLINOMIOS
Los polinomios son el resultado de sumar monomios no semejantes. Cada monomio, cada
sumando, es un término del polinomio.
P(x) = 4.x² - 3.x³ + 5.x + 2
Grado de un polinomio:
- Es el grado del término de mayor grado (donde se encuentre la variable con la mayor
potencia).
- El término de primer grado se llama término lineal.
- El término de grado cero se denomina término independiente.
Por ejemplo, para el polinomio anterior:
- Grado: 3
- Término de primer grado: 5.x
- Término de grado cero: 2
Valor numérico de un polinomio:
Para hallar el valor numérico de un polinomio se sustituyen las indeterminadas por sus valores
y se efectúan las operaciones indicadas.
Con el polinomio de ejemplo hallamos el valor numérico para x = 2:
P(x) = 4.x² - 3.x³ + 5.x + 2
Reemplazamos las "x" por el valor 2:
P(2) = 4.2² - 3.2³ + 5.2 + 2
P(2) = 4.4 - 3.8 + 5.2 + 2
P(2) = 16 - 24 + 10 + 2
P(2) = 4
Para x = 2, el valor numérico del polinomio es 4.
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E. P. E. T. N° 20
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2° AÑO
Adición de polinomios:
Para sumar dos polinomios se escriben uno a continuación de otro, intercalando entre ambos
el signo de la adición, y se reducen términos semejantes.
Ejemplo, sumar los siguientes polinomios:
P(x) = 4.x² - x + 2
Q(x) = x³ + x - 1
Primero completamos los términos que faltan ordenados por grado:
P(x) = 0.x³ + 4.x² - x + 2
Q(x) = x³ + 0.x² + x - 1
Luego se suman los términos de igual grado (en un polinomio se suman los coeficientes):
P(x) =
0.x³ + 4.x²
- 1.x
+2
Q(x) =
x³
+ 0.x²
+ 1.x - 1
P(x) + Q(x) =
x³
+ 4.x²
+ 0.x + 1
P(x) + Q(x) = x³ + 4.x² + 1
Sustracción de polinomios:
La sustracción de dos polinomios se realiza sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.
Ejemplo, restar los polinomios del ejemplo anterior:
P(x) = 4.x² - x + 2
Q(x) = x³ + x - 1
Primero completamos los términos que faltan ordenados por grado:
P(x) = 0.x³ + 4.x² - x + 2
Q(x) = x³ + 0.x² + x - 1
Para restar hallamos el opuesto a Q(x) que es -Q(x):
-Q(x) = -1.(x³ + 0.x² + x - 1)
-Q(x) = - x³ - 0.x² - x + 1)
Luego se sumamos los términos de igual grado (en un polinomio se suman los coeficientes):
P(x) =
0.x³ + 4.x²
- 1.x + 2
-Q(x) =
- x³
- 0.x²
- 1.x + 1
P(x) - Q(x) =
- x³
+ 4.x²
- 2.x + 3
P(x) - Q(x) = - x³ + 4.x² - 2.x + 3
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2° AÑO
Más ejercicios
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Multiplicación de monomios:
Se procede de la siguiente manera:



Se aplica regla de los signos para determinar el signo del producto
Se multiplican los coeficientes
Para determinar la parte literal se aplica la propiedad “producto de potencias de igual
base”
Ejemplo: (−3𝑥 2 ) ∙ (4𝑥 3 ) = −12𝑥 6
Multiplicación de polinomios:
 Se aplica la “propiedad distributiva”: cada términos del segundo polinomio se
multiplica con cada término del primer polinomio (se trata de multiplicar monomios)
 Se reducen términos semejantes, es decir se suman o restan los monomios
semejantes.
Aclaraciones: - al aplicar distributiva se puede invertir el orden, la multiplicación es
conmutativa. – se puede utilizar la disposición práctica (igual que hacemos con los números)
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Ejemplo: 𝑃(𝑥) = 𝑥 2 + 3𝑥 − 2
𝑄(𝑥) = 𝑥 2 − 3𝑥
2° AÑO
𝑷(𝒙) ∙ 𝑸(𝒙):
𝑥 2 + 3𝑥 − 2
𝑥2 − 3
−3𝑥 2 − 9𝑥 + 6
𝑥 4 + 3𝑥 3 −2𝑥 2
𝑥 4 + 3𝑥 3 − 5𝑥 2 − 9𝑥 + 6
Ejercicios:
Dados los polinomios:
a) P(x) = 4.x² - x + 2
Q(x) = x³ + x - 1
R(x) = 2.x – 1
b) P(x) = −3𝑥 3 + 2𝑥 − 2
Q(x) = 𝑥 2 + 𝑥 + 4
R(x) = 𝑥 2 + 2𝑥
Hallar para cada grupo de polinomios:
a) Q(x).R(x)
b) P(x).Q(x)
c) (P(x) + Q(x)). R(x)
Casos Particulares
Trinomio cuadrado perfecto:
Un trinomio cuadrado perfecto es el resultado de elevar un binomio al cuadrado:
(𝒂 ± 𝒃)² = (𝒂 ± 𝒃). (𝒂 ± 𝒃) = 𝒂² ± 𝟐. 𝒂. 𝒃 + 𝒃²
Se caracteriza por:
- Se compone de 3 términos.
- Dos de sus términos son cuadrados perfectos.
- El otro término, con signo más o menos, es el doble del producto de las bases de los
cuadrados anteriores.
Cuatrinomio cubo perfecto
Un cuatrinomio cubo perfecto es el resultado de elevar un binomio al cubo.
(𝒂 ± 𝒃)³ = (𝒂 ± 𝒃). (𝒂 ± 𝒃). (𝒂 ± 𝒃) = 𝒂³ ± 𝟑. 𝒂². 𝒃 + 𝟑. 𝒂. 𝒃² ± 𝒃³
Se caracteriza por:
- Se compone de 4 términos.
- Dos de sus términos son cubos perfectos.
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- Los otros dos términos, con el signo que corresponda, cada uno es el triple del producto de
una de las bases elevada al cuadrado por la otra base elevada a la primera potencia.
Binomio diferencia de cuadrados:
Es el resultado de la multiplicación de dos factores, uno de ellos es suma y el otro es la
diferencia de las bases. Es un binomio formado por la sustracción de los cuadrados perfectos
de las bases
(𝒂 + 𝒃). (𝒂 − 𝒃) = 𝒂² − 𝒃²
Resolver aplicando la fórmula correspondiente:
a)
b)
c)
d)
(𝑥 + 10)2 =
(𝑎 − 4)3 =
(7 + 𝑥𝑦) ∙ (7 − 𝑥𝑦) =
(𝑎3 − 5)2 =
4
4
e) (3 𝑥 − 𝑦 2 ) ∙ (3 𝑥 + 𝑦 2 ) =
f)
(2𝑥 + 3)3 =
División:
Hallar C(x) y R dividiendo P(x) y Q(x) por Ruffini.
a) P(x) = x4/2 + x² - 1
b) P(x) = - x5 + x³
c) P(x) = - x + 3 - x³ - x5
d) P(x) = 2.x³ + 3.x - 1
y
y
y
y
Q(x) = x - 2
Q(x) = x + 1/2
Q(x) = x + 2
Q(x) = x – 1
e) P(x) = 𝑥 3 + 27
y
Q(x) = x + 3
f) P(x) = 𝑥 5 − 32
y
Q(x) = x – 2
Valor numérico de un polinomio:
Calcular el valor numérico de 𝑃(𝑎) = 𝑎5 − 2𝑎4 + 𝑎2 − 5, para:
a) 𝑎 = 2
b) 𝑎 = −1
c) 𝑎 =
1
2
Teorema del resto
Calcular directamente el resto en las divisiones del ejercicio de Regla de Ruffini
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UNIDAD Nº V: FACTOREO
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Ejercitación:
1) Factorizar las siguientes expresiones aplicando factor común:
1
3
1
a) 5𝑥 2 − 15𝑥𝑦 + 25𝑥 3 =
f) 𝑥 3 𝑎 + 𝑥 2 𝑏 − 𝑥𝑐
2
2
2
b) 13𝑎𝑏 + 7𝑎𝑐 − 9𝑎2 − 𝑎3 =
2
4
8
c) 4𝑥 3 − 6𝑥 4 + 2𝑥 2 =
g) 3 𝑥 5 + 15 𝑥 3 + 9 𝑥 2
d) 8𝑥 3 𝑦 3 − 5𝑥 2 𝑦 4
e) 9𝑦 3 + 6𝑦 2 − 12𝑦 4 − 3𝑦
2) Factorizar las siguientes expresiones por grupos:
a) 2.a.x + 2.b.x + 5.a - a.y - b.y + 5.b
c) x3 – 2x2 + 10x – 20 =
b) a².y + a.b² - a.x.y - b².x
d) x3 – x2 – 64x + 64 =
3) Factorizar las siguientes expresiones aplicando trinomio cuadrado perfecto:
a) x4 + 4x2 + 1 =
b) x8 – 12x4 + 36 = c) 4𝑥 2 − 24𝑥 + 36=
d) 81 – 18x + x2 =
e) 9𝑎2 + 6𝑎𝑏 + 𝑏 2 =
f) 𝑥 2 − 𝑥 +
1
4
= g) 𝑥 6 −
2 3
𝑥
3
+
1
9
= h) 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 4𝑦 2 =
4) Factorear las siguientes expresiones aplicando cuatrinomio cubo perfecto:
a) 𝑥 3 − 12𝑥2 + 48𝑥 − 64 =
b) 64.m6 + 96.m².n + 48.m².n² + 8.n³ =
c) 𝑎3 +
3 2
𝑎
2
+
3
𝑎
4
+
1
8
=
d) 27 − 27𝑥 + 9𝑥2 − 𝑥 3 =
5) Factorear las siguientes expresiones aplicando diferencia de cuadrados:
a) x4 – 25 =
b) 64x6 – 9 =
c) 169 – x10 =
d) –225 + x8 =
e) 𝑥 2 −
9 2
𝑦
16
=
1
f) 4 𝑥 2 − 1 =
g) 25𝑎2 −
1
36
=
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2° AÑO
6) Factorear las siguientes expresiones aplicando suma o diferencia de potencias de
igual grado:
a) a³ + 8
b) 27 + y³
c) x5 + 1/32
d) x³ - 1/8
7) Aplicar los distintos casos:
a) 𝑎3 − 1000 =
b)
1 2
𝑥
4
− 0,01 =
c) 3𝑎𝑥 + 6𝑎𝑦 2 + 5𝑥 + 10𝑦 2 =
d) 9 − 30𝑎3 + 25𝑎6 =
e)
f)
1 3
𝑥
27
1
3
5
2
5𝑥𝑦 + 3 𝑥 3 𝑦 2
+ 𝑥2 + 𝑥 + 1 =
+ 10𝑥2 𝑦 =
g) 3𝑎𝑏 − 2𝑏 + 21𝑎𝑥 − 14𝑥 =
h) 𝑥 5 − 1 =
i)
𝑥4 −
j)
1 2
𝑥
4
1 2
𝑦
9
=
− 3𝑥𝑦 + 9𝑦 2 =
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