REDES CRISTALINAS - Universidad de Buenos Aires

Física del Estado Sólido
REDES
CRISTALINAS
Dr. Andrés Ozols
Facultad de Ingeniería
Universidad de Buenos Aires
2009
Dr. A. Ozols
1
ÁTOMOS EN SÓLIDOS
Dr. A. Ozols
2
ORDEN CRISTALINO y FORMA
René Just Hauy (1743-1822):
la morfología de un mineral es un
reflejo de su orden interno
Niels Stensen (1669): ley de Steno
Los ángulos entre las caras
equivalentes de los cristales de un
mismo mineral son constantes
Bravais: ley de Bravais
la frecuencia con aparece la cara de un
cristal es proporcional al números de
átomos de cristal
Dr. A. Ozols
3
ORDEN ATOMICO
Rangos de ALCANCE
Estructura de corto alcance
(Orden local) estructura amorfa
Estructura de alcance intermedio
Estructura de largo alcance
estructura cristalina
Dr. A. Ozols
4
TIPOS de SOLIDOS: clasificación de acuerdo al orden atómico
AMORFOS:
orden atómico corto alcance
átomos o moléculas distribuidos al
azar o aleatoriamente obtenidos
por enfriamiento rápido del
material fundido (103-107 ºK/s)
Superficie
rápidamente
electrónico
Dr. A. Ozols
metálica
solidificada
bombardeada con haz
5
TIPOS de SOLIDOS: clasificación de acuerdo al orden atómico
MONOCRISTALINOS (de un solo cristal)
orden atómico o molecular alto en todo el material
Átomos o moléculas distribuidos
regularmente en planos atómicos.
Forma macroscópica típica de
un crista provisto de elementos
de simetría notorios
El sólido crece como cristal muy
lento y en condiciones de
equilibrio termodinámico
Dr. A. Ozols
Ej. Crecimiento de monocristales de
Si para las obleas semiconductoras,
6
o superconductores.
TIPOS de SOLIDOS: clasificación de acuerdo al orden atómico
POLICRISTALINOS: formado por granos o monocristales
orden atómico o molecular de largo alcance en cada
grano o monocristal
bordes
bordes observado por microscopio
borde de grano
grano
Ej. La mayor parte de los
materiales de uso cotidiano son
policristalinos
(cerámicos,
metálicos)
Superficie pulida de acero
Dr. A. Ozols
7
CRISTALES PERFECTOS ≡ libres de defectos
Iones enlazados en una superficie metálica
Defectos cristalinos:
•contaminación (átomos extraños)
•maclas (planos atómicos adicionales)
•vacancias (falta aleatoria de átomos)
•dislocaciones (variaciones locales de distancias interplanares)
•fallas de apilamiento (discontinuidades del orden entre planos)
Dr. A. Ozols
8
REDES de BRAVAIS
Dr. A. Ozols
9
RED CRISTALINAS: REDES de BRAVAIS
a) Una red de Bravais es un arreglo infinito de puntos
discretos con un ordenamiento y orientación, que
parece exactamente la misma, desde cualquier punto de
observación.
b) La red 3-D de Bravais consiste de todos los puntos con
vectores posiciones de la forma:
R= n1 a + n2 b + n3 c
a, b, c: vectores primitivos
n1, n2, n3: números enteros
Dr. A. Ozols
10
REDES de BRAVAIS en 2-D
Todos los puntos pueden escribirse como una combinación lineal de los
vectores primitivos.
P = a1+ 2 a2
Q = -a1+ a2
Dr. A. Ozols
11
REDES de BRAVAIS en 2-D
Los vértices del panal de abejas non forman una red de Bravais. Los puntos.
La distribución de puntos tiene aspecto similar observada desde A o B. Sin
embargo, es distinta desde C, que está rotada en 180º.
C
A B
Dr. A. Ozols
12
REDES de BRAVAIS en 2-D: CELDA PRIMITIVA (Ejemplos)
Existen varias elecciones de pares de vectores primitivos.
º
º
º
º
º
º
º
º
Celda Primitiva
º
b
º
P
º
º
º
TP
Primitiva
º
Primitiva
doble
º
º
DP
1 átomo por celda
º 2 átomos º
º
Triple
3 átomos
por celda
º
por celda
a
Dr. A. Ozols
13
CELDA PRIMITIVA en 2-D (Ejemplos)
Existen varias elecciones de celdas primitivos:
El volumen de espacio que trasladado a
traveés de todos los vectores de la red de
Bravais cubre todo el espacio sin producir
superposiciones ni dejar huecos.
Un punto de la red por celda
Dos elecciones de celdas primitivos
La elección debe representar mejor
las simetrías de la red
Dr. A. Ozols
14
REDES de BRAVAIS en 3-D: CELDA PRIMITIVA (Ejemplos)
Sitios de la red de Bravais cúbica centrada
en el cuerpo ≡ dos redes cúbicas simples
superpuestas con sitios A y B como centros
de red anterior
La red cúbica simple está generada por los
vectores primitivos:
ax
by
cz
La red cúbica centrada en el cuerpo (BCC,
body centered cubic) generada por los
vectores primitivos:
a1 = ax
a2 = by
a a3 = ( x + y + z )
2
Dr. A. Ozols
A
A
A
B
B
B
A
A
B
B
B
B
B
BCC, body centered cubic)
a1
a3
a2
15
REDES de BRAVAIS en 3-D: CELDA PRIMITIVA (Ejemplos)
La red cúbica centrada en las caras (FCC, face
centered cubic) generada por los vectores
primitivos:
a a1 = ( x + z )
2
a a2 = ( x + z )
2
FCC, face centered cubic
a a3 = ( x + y)
2
a1
La expresión de los puntos de la red en la
base de los vectores primitivos:
P = a1 + a2 + a3
Q = 2a1
R = a2 + a3
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a2
a3
S = −a1 + a2 + a3
16
ELECCION de la CELDA PRIMITIVA
La elección de la celda primitiva recae en la celda de simetría completa:
CELDA de WIGNER SEITZ
La región del espacio que es más próxima aun dado punto que a cualquier
punto
La construcción de la celda de
WIGNER SEITZ:
Los 6 lados de la celda bisectan las
líneas que unen el punto central
con los 6 vecinos más próximos
Dr. A. Ozols
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REDES en 3-D
Los 3 vectores primitivos ai se toman
perpendiculares entre sí
a3
a1
a2
Dr. A. Ozols
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REDES de BRAVAIS en 3-D
Existen 14 formas de ordenar puntos en el
espacio 3-D, manteniendo las mismas
relaciones entre éstos ≡ sistemas de Bravais
Ángulos de referencia
1.
SISTEMA CUBICO
a = b = c α = β = γ =90º
Dr. A. Ozols
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REDES de BRAVAIS
2. SISTEMA HEXAGONAL
a = b ≠ c α = β = 90º; γ =120º
3. SUB- SISTEMA ROMBOHÉDRICO
(TRIGONAL)
a=b=c α=β=γ
Dr. A. Ozols
≠ 90º< 120º
20
REDES de BRAVAIS
4.
SISTEMA TETRAGONAL
a = b ≠ c α = β = γ = 90º
5. SISTEMA ORTOROMBICO
a ≠ b ≠ c α = β = γ =90º
Dr. A. Ozols
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REDES de BRAVAIS
6. SISTEMA MONOCLINICO
a≠b≠c
α = γ ≠ 90º ≠ β
7. SISTEMA TRICLINICO
a≠b≠c α≠β≠γ
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22
ELEMENTOS de SIMETRIA
Dr. A. Ozols
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ELEMENTOS de SIMETRIA
Las relaciones geométricas entre las caras planas de los cristales permitió
su agrupación y su clasificación de acuerdo a elementos de simetría u
operaciones de simetría.
Las operaciones de simetría
son transformaciones matemáticas que llevan a un objeto en congruencia (en
coincidencia) con sí mismo, manteniendo invariantes las dimensiones del objeto:
objeto simétrico ⇔ invariante por una transformación
Dr. A. Ozols
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TIPO DE OPERACIÓN DE SIMETRÍA realizada por un operador
Básicas
No pueden
descomponerse en más
elementales
•
Traslación
•
Reflexión (simetría de espejo)
•
Rotación
•
Inversión
•
rotación + inversión (Eje roto-inversión)
•
rotación + traslación (Eje helicoidal del ADN)
Compuestas
reflexión + traslación (Plano de deslizamiento
en la deformación de un metal)
…. etc.
•
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OPERACIONES DE SIMETRÍA
TRASLACIÓN
Situación inicial
Situación intermedia
Situación final
Celda primitiva
R
z
vector
desplazamient
o coincidente
con un punto
de la red
a
vector
desplazamiento
coincidente con un
punto de la red
y
z
R
R’=R+ a
x
x
Dr. A. Ozols
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OPERACIONES DE SIMETRÍA
REFLEXIÓN (simetría de espejo)
Plano de
simetria
Dr. A. Ozols
27
OPERACIONES DE SIMETRÍA
INVERSIÓN produce un objeto invertido respecto al centro de inversión
El trazado de segmentos lineales
desde puntos del objeto, pasando por
el centro de inversión, hasta una
extensión igual del otro lado del
centro.
p
centro de
inversión
p
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OPERACIONES DE SIMETRÍA
.
ROTACIÓN
.
∞
Rotación de orden n
6
(n = número de rotaciones
para completar 2π)
Operación de simetría ≡ rotación que deja invariante al
objeto por una rotación respecto al eje de simetría
(único punto fijo de la transformación)
ROTACIÓN EN 2-D
(el eje de rotación es
perpendicular al plano)
.
.
4
Cada rotación de 2π/n radianes
conduce a una situación
equivalente o indistinguible de
la anterior
Dr. A. Ozols
3
.
.
2
1
29
OPERACIONES DE SIMETRÍA
ROTACIÓN
2º orden
Ejes de rotación de orden n
rotación de 180º
4º orden
3º orden
rotación de 120º
rotación de 90º
Dr. A. Ozols
30
OPERACIONES DE SIMETRÍA
c
ROTACIÓN EN 3-D
b
a
triclínico
3 ejes a, b, c ortogonales entre
sí.
Estos pasan por el centro de la
celda primitiva y son paralelos
a sus caras
c
b
a
hexagonal
monoclínico
c
cúbico
rómbico
b
a
tetragonal
Dr. A. Ozols
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CRISTALES
Dr. A. Ozols
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ESTRUCTURA CRISTALINA
CRISTAL
RED CRISTALINA
BASE
=
+
Átomos, iones o
molécula
(sistema físico)
arreglo periódico
de puntos
+al que se le asocia la base =
sólido con un arreglo
periódico de átomos o
moléculas
(abstracción matemática)
Dr. A. Ozols
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ESTRUCTURAS CRISTALINAS (ejemplos)
ESTRUCTURA del DIAMANTE ≡ FCC + Base de 2 átomos
z
Átomos
compartidos
a ( x + 3 y + 3z )
4
a ( x + 3y + z )
4
a ( x + y + 3z )
4
Átomos internos
a ( 3x + y + z )
4
y
x
Base de 2 átomos 0,
a ( 3x + y + z )
4
Dr. A. Ozols
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ESTRUCTURA HAXAGONAL SIMPLE
Vectores primitivos
z
x a = az
3
y
a1
600
x a1
a2
y
600
a2 = ay
y
a1 = asen ( 60 ) x + a cos ( 60 ) y
⎛1 3 ⎞
a1 = a ⎜⎜ x +
y ⎟⎟
2 ⎠
⎝2
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APLILAMIENTO HEXAGONAL COMPACTO
(HCP, Hexagonal Compact Packing)
Capa de átomos
adicionales a la estructura
hexagonal simple
a3
1
( a1 + a2 + a3 )
3
Vectores primitivos
a2
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a1
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ESTRUCTURA HEXAGONAL COMPACTA
Apilamiento por capas H.C.P.
Capas ABAB….
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EMPAQUETAMIENTOS CUBICOS
CUBICO de CARAS CENTRADAS
(F.C.C. Face Centered Cubic)
CÚBICO de CUERPO CENTRADO
(B.C.C. Body Centered Cubic)
Capas ABAB…..
Capas ABCABC…..
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ESTRUCTURA de los METALES
METALES FCC
Co, Fe, Ni, Cu, Ag, Au, Pt, Al,..
METALES HCP
Zn, Cd, Mg, ...
METALES BCC
Cr, Fe, V, K...
Dr. A. Ozols
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ELEMENTOS con ESTRUCTURA CRISTALINA CUBICA DE CARAS
CENTRADAS (Ejemplos)
Elemento
a (A)
Elemento
a (A)
Elemento
a (A)
Ar
5.26
Ir
3.81
Pt
3.92
Ag
4.09
Kr
5.72
Pu
4.64
Al
4.05
La
5.30
Rh
3.80
Au
4.08
Ne
4.43
Sc
4.54
Ca
5.58
Ni
3.52
Sr
6.08
Ce
5.16
Pb
4.95
Th
5.08
Co
3.55
Pd
3.89
Xe
6.20
Cu
3.61
Pr
5.16
Yb
5.49
Dr. A. Ozols
40
ELEMENTOS con ESTRUCTURA CRISTALINA CUBICA DE
CUERPO CENTRADO (Ejemplos)
Elemento
a (A)
Elemento
a (A)
Elemento
a (A)
Ba
5.02
Li
3.49
Ta
3.31
Cr
2.88
Mo
3.15
Tl
3.88
Cs
6.05
Na
4.23
V
3.02
Fe
2.87
Nb
3.30
W
3.16
K
5.23
Rb
5.59
Dr. A. Ozols
41