potencias y raíces.

POTENCIAS Y RAÍCES.
1.- POTENCIAS.
Definición.- Llamamos POTENCIA a la expresión abreviada usada para escribir un
producto de n factores no necesariamente iguales.
Escribimos:
Ejemplo:
bn = b.b.b.b…b (n veces)
donde n es la BASE y b el EXPONENTE.
72 = 7.7=49
8 = 8.8.8.8.8.8 = 262144
6
Observación.Si elevamos un número positivo a cualquier potencia, el resultado es siempre positivo.
Si elevamos un número negativo a un exponente
 Par, el resultado es negativo.
 Impar, el resultado es positivo.
Ejemplo: 53= 5.5.5=125
(-3)2 = (-3).(-3)=9
64 = 6.6.6.6 = 1296
(-2)3=(-2).(-2).(-2)= -8
Observación.- Para elevar un número negativo a un exponente tenemos que
colocar el número entre paréntesis.
(-4)2=16 -42= -16 →
(-4)2 ≠ -42
1.a.- OPERACIONES CON POTENCIAS.1. SUMA.-Para sumar dos o más potencias sumamos las bases y sumamos los exponentes.
2. RESTA.- Para restar dos potencias calculamos cada una de ellas y restamos los
resultados.
3. PRODUCTO.Para multiplicar potencias que tienen la misma base, dejamos la misma base y
sumamos los exponentes.
Para multiplicar potencias que tienen distinta base pero el mismo exponente,
dejamos el mismo exponente y multiplicamos las bases. Recíprocamente, para elevar un
producto a una potencia elevamos cada uno de los factores a dicha potencia.
Para multiplicar potencias con distinta base y distinto exponente, sumamos los
exponentes y multiplicamos las bases.
Observación.- Cualquier número se puede poner en forma de potencia de base
dicho número y exponente cero.
Observación.- Cualquier número elevado a 0 es 1.
4. COCIENTE.Para dividir potencias que tienen la misma base, dejamos la misma base y restamos
los exponentes.
Para dividir potencias que tienen el mismo exponente pero bases diferentes, dejamos
el mismo exponente y dividimos las bases. Recíprocamente, para elevar un cociente a una
potencia, elevamos cada uno de los elementos a dicha potencia.
Para dividir potencias con distinta base y distinto exponente, debemos calcular cada
una de ellas y luego dividirlas.
5. POTENCIA DE UN POTENCIA.Para elevar una potencia a otra potencia, dejamos la misma base y multiplicamos los
exponentes.
2.- RAÍCES CUADRADAS.
Definición: La RAÍZ CUADRADA de un número entero es otro número entero que
elevado al cuadrado nos proporciona el número dado.
√ radicando = raíz cuadrada
Observación: Hacer la raíz cuadrada es la operación inversa a elevar al cuadrado.
Ejemplo: √16= +-3
Todas las raíces cuadradas tienen dos soluciones, una positiva y otra negativa; es decir,
un número entero y su opuesto.
Definición: La RAÍZ CUADRADA ENTERA de un número es el mayor entero cuyo
cuadrado es menor que dicho número. El RESTO es la deferencia entre el número dado y el
cuadrado de su raíz entera.
Ejemplo: √37 → Raíz cuadrada entera 6
Resto 1 = 37-62
2.a.- CÁLCULO DE LA RAÍZ CUADRADA:
1.Dividimos el radicando en grupos de dos cifras empezando por la derecha.
257596  25 _ 75 _ 96
2.Calculamos la raíz cuadrada entera del primer grupo de números de la izquierda. El
resultado corresponderá con la primera cifra de nuestra raíz cuadrada.
Restamos al primer grupo el cuadrado de su raíz entera y unimos al resultado el
siguiente grupo.
3.Calculamos el doble del número obtenido como raíz, 5.2 = 10 y hallamos el menor
número d tal que 10b . b se aproxime a las cifras que tenemos en el radicando.
4.Repetimos el proceso con cada uno de los grupos hasta llegar al final.
RADICALES DE ÍNDICE MAYOR QUE 2.
Definición: Llamamos RAÍZ ENÉSIMA de un número ‘a’ a otro número ‘b’ tal que bn=a.
Escribiremos:

a  b  b  b  b ...  b  a
n veces
n
n
a  b
do
Raíz
radican


índice

n
Radical
El número de soluciones de un radical depende del índice y del radicando:
RADICANDO
POSITIVO
ÍNDICE
PAR
IMPAR
NEGATIVO
Dos raíces: + y Ninguna raíz.
Una raíz.
Todo radical se puede escribir en forma de potencia con exponente fraccionario:
n
a a
m
n
m
OPERACIONES CON RADICALES
SUMA/RESTA.
Para sumar o restar radicales:
CASO 1: Si tienen el mismo índice y el mismo radicando, sumamos o restamos los coeficientes
y dejamos el mismo radical.
Ejemplo:
3
4  7 3 4  83 4
CASO 2: Si no lo tienen, intentamos reducir el radical simplificando los exponentes del
radicando con el índice de la raíz, o sacando factores fuera de la raíz, de forma que
consigamos radícale con el mismo índice y el mismo radicando.
5  6 3  23  5  3  2  11
Ejemplo:
Si no tienen ambos elementos iguales, NO PODEMOS SUMARLOS.
PRODUCTO/COCIENTE.
Para multiplicar o dividir radicales:
CASO 1: Si tienen el mismo índice, multiplicamos o dividimos los radicandos y dejamos el
mismo índice.
Ejemplo:
3
4  3 5  3 20
CASO 2: Si tienen el mismo radicando, multiplicamos o dividimos los índices y dejamos el
mismo radicando.
Ejemplo:
3
4  6 5  6 42  6 5  6 20
CASO 3: Si no tienen ni el mismo índice ni el mismo radicando, multiplicamos o dividimos los
índices y los radicandos.
RADICAL DE UN RADICAL
Para hacer la raíz de una raíz, dejamos el mismo radicando y multiplicamos los índices.
Ejemplo:
5 3
4 88 2
RACIONALIZAR UNA FRACCIÓN.
Racionalizar una fracción es quitar las raíces del denominador. Podemos distinguir tres casos.
CASO 1. Nuestro denominador es de la forma:
En ese caso, multiplicamos numerador y denominador por la raíz del
denominador.
Ejemplo:
CASO 2: Nuestro denominador es muy parecido al anterior, sólo hay
productos. Es de la forma:
En este caso, multiplicamos numerador y denominador por la raíz del
denominador elevada a un grado menor que el índice. También podemos
multiplicar
por
la
“raíz
complementaria”
(¡recordad
el
invento
Arturo!):
Ejemplo:
CASO 3: Si en el denominador tenemos sumas o restas, es decir, es
de la forma
entonces multiplicaremos numerador y denominador por la expresión conjugada del
numerador:
El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central
cambiado:
EXPRESIÓN ORIGINAL
EXPRESIÓN CONJUGADA
A+B
A-B
A-B
A+B
¡CUIDADO CON LAS IDENTIDADES NOTABLES!
de
FRACCIONES
POTENCIAS
RADICALES
Numerador
Denominador
Exponente del radicando
Índice del radical
Dos fracciones son equivalentes si tienen el mismo
cociente.
Dos radicales son equivalentes si tienen la misma raíz.
Para calcular una fracción equivalente a otra dada,
multiplicamos o dividimos numerador y denominador por
el mismo número.
Para calcular un radical equivalente a otro dado,
multiplicamos o dividimos el exponente del radicando
y el índice del radical por el mismo número.
Para reducir a común denominador:
a) mcm (denominadores)=d=nuevo denominador
Para reducir a común índice:
a) mcm(índices)=nuevo índice = i
b)
d
 antiguo numerador  nuevo numerador
antiguo den
b)
i
 antiguo exp  nuevo exp
antiguo indice
OPERACIONES.
SUMAR/RESTAR:
Reducimos a común denominador.
Sumamos/Restamos numeradores.
Dejamos el mismo denominador.
MULTIPLICAR:
Multiplicamos los numeradores.
Multiplicamos los denominadores.
SUMAR/RESTAR:
Sólo podemos sumar radicales iguales.
Sumamos/Restamos los coeficientes.
Dejamos el mismo radical.
ó
Operamos cada potencia y sumamos/restamos
MULTIPLICAR:
a m  a n  a mn
a  b   a  b
m
m
m
a : b  a : b
m
POTENCIA DE UNA POTENCIA:
POTENCIA DE UNA FRACCIÓN:
n
a
a
   n
b
b
n
a 
m n
a
m
a b
Deben tener el mismo índice. Si no lo tienen debemos
reducir previamente a común índice.
DIVIDIR:
a m : a n  a mn
m
a m b 
m
DIVIDIR:
DIVIDIR:
Multiplicamos en cruz.
SUMAR/RESTAR:
Sólo podemos sumar radicales iguales.
Sumamos/Restamos los coeficientes.
Dejamos el mismo radical.
ó
Operamos cada radical y sumamos/restamos
MULTIPLICAR:
m
a m b 
m
a b
m
Deben tener el mismo índice. Si no lo tienen debemos
reducir previamente a común índice.
RAÍZ DE UNA RAÍZ:
m n
m n
a 
m n
a
POTENCIA DE UNA RAÍZ:
RAÍZ DE UNA FRACCIÓN
m
m
a
a
m
b
b
 a
m
n

m
an