Matemáticas financieras y criterios de evaluación

Matemáticas financieras y
criterios de evaluación
01/06/03
1
Conceptos generales
Momentos y períodos
Momento
Momento
Momento
Momento
Momento
Momento
0
1
2
3
4
5
Período 1
01/06/03
Período 2
Período 3
Período 4
Período 5
2
1
Costo de oportunidad
No da lo mismo disponer de recursos en el futuro que
percibirlos hoy, por cuanto si se posterga la recepción
de dichos recursos se asume un costo de oportunidad
dado por la rentabilidad que se deja de percibir por no
poder destinarlos al mejor proyecto alternativo.
Quien toma la decisión, se ve enfrentado a opciones
que presentan costos y beneficios que deben ser
comparados para elegir por aquella que reporte el
mayor beneficio neto. Pero no siempre es fácil la
elección, por cuanto en muchos casos estos costos y
beneficios que presentan las distintas opciones son
difíciles de cuantificar y, por lo tanto, difíciles de
comparar.
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3
Costo de oportunidad
Analicemos el caso del señor Juan Pérez, un destacado administrador
financiero, quien está planeando obsequiarle a su hijo un automóvil el día
de su graduación, que será dentro de un mes. El precio del vehículo es de
$7.000, y el señor Pérez, quien ya dispone de dicho dinero está enfrentado
a la decisión de comprar hoy o comprar dentro de un mes. Si suponemos
que estamos en un mundo sin inflación y, por lo tanto, el precio del
vehículo se mantendrá constante y que, además, los stocks disponibles
garantizan que tanto hoy como dentro de un mes habrá unidades para la
venta, entonces:
¿será indiferente para nuestro personaje comprar hoy o comprar
dentro de un mes?
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4
2
Costo de oportunidad
La respuesta es no, puesto que si compra dentro de un mes, el señor Pérez
podría depositar hoy su dinero en algún instrumento financiero, por
ejemplo depósitos a plazo de renta fija, y ganar durante un mes una tasa,
supongamos, de un 1,5% sobre su depósito, lo que lo dejaría al final de
ese período con un saldo a favor de $7.105, los $7.000 de capital inicial
más los $105 ganados por concepto de intereses.
Si Juan Pérez comprara hoy, “dejaría de ganar” el interés que le generaría
su depósito. En otras palabras, asumiría un costo de oportunidad,
representado por aquella tasa de interés que le generaría su depósito a
plazo.
En consecuencia, si el señor Pérez es un agente económico racional, que
maximiza su utilidad tomando decisiones eficientes, entonces debería
optar por postergar su compra para dentro de un mes e invertir hoy en
depósitos a plazo de renta fija a 30 días, siempre y cuando sea ese su
mejor proyecto alternativo.
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5
Interés simple versus interés compuesto
Suponga que usted toma un depósito a plazo en el sistema
financiero por un monto de $5.000.000. Suponga, además,
que el sistema financiero le ofrece un 1% de interés
mensual y que debe elegir entre el Banco A, que ofrece
pagar 1% de interés simple mensual y el Banco B que
ofrece la misma tasa mensual, pero bajo la modalidad de
interés compuesto. Para tomar la decisión, se debe hacer el
siguiente análisis
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3
Interés simple versus interés compuesto
Banco A
Capital
Depósito inicial
5.000.000
Acumulado a los 30 días
5.000.000
Acumulado a los 60 días
Acumulado a los 90 días
Intereses
Banco B
Total
Capital
Intereses
Total
5.000.000
5.000.000
50.000
5.050.000
5.000.000
50.000
5.050.000
5.000.000
100.000
5.100.000
5.050.000
50.500
5.100.500
5.000.000
150.000
5.150.000
5.100.500
51.005
5.151.505
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5.000.000
7
Matemáticas financieras
Valor del dinero en el
tiempo
Cálculo de valor
actual
Cálculo de valor
futuro
Anualidades
Perpetuidades
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8
4
Criterios de evaluación
Valor actual neto (VAN)
Período de recuperación (PR)
Tasa interna de retorno (TIR)
Costo anual equivalente (CAE)
Rentabilidad inmediata (RI)
Índice valor actual neto (IVAN)
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9
Valor actual neto (VAN)
El VAN considera todos los flujos de caja del
proyecto.
El VAN descuenta
adecuademente.
los
flujos
de
caja
Aceptar los proyectos con VAN positivo
beneficia a los accionistas.
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5
Valor actual neto (VAN)
Supongamos que una empresa evalúa un proyecto que
tiene las siguientes cifras:
Inversión inicial
: $100.000
Flujo de Caja
: $ 115.000
Tasa de Descuento : 10%
VAN = - 100.000 +
115.000
1,10
= 4 . 546
Qué nos dice esto: Si la empresa ejecuta el proyecto, recuperará la
inversión inicial de $100.000 y además la empresa aumentará su valor en
4.546.
Por ello, cada vez que la empresa ejecuta proyectos con VAN > 0, esta
aumenta su valor económico y además, indirectamente aumenta la
riqueza de los accionistas.
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Valor actual neto
Inversión
0
(50.000)
1
15.000
Flujos proyectados
2
3
4
18.000
22.000
30.000
5
30.000
El VAN del proyecto, considerando una tasa de descuento del 17% anual,
es el siguiente:
VAN =
15.000
+
18.000
+
22.000
+
30.000
+
30.000
(1 + 0,17)1 (1 + 0,17)2 (1 + 0,17)3 (1 + 0,17)4 (1 + 0,17)5
− 50000
VAN = 19.399
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12
6
Análisis del VAN
Saldo
Período
Inversión
1
2
3
4
5
Flujo de
caja anual
Saldo
Saldo
Rentabilidad Recuperación
actualizado
después de
mínima
de la
Acumulado
después de
recuperar
exigida
inversión
recuperar la
la inversión
inversión
50.000
15.000
8.500
6.500
6.500
43.500
18.000
7.395
10.605
17.105
32.895
22.000
5.592
16.408
33.513
16.487
30.000
2.803
16.487
50.000
30.000
50.000
Total saldo actualizado después de recuperar la inversión
10.710
30.000
5.715
13.683
19.399
Costo de oportunidad= 17%
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13
Tasa Interna de Retorno
Ejemplo
Una empresa puede comprar una máquina en US
$4,000. La inversión generará en los próximos dos
años US$2,000 y US$4,000 respectivamente.
Cuál es la TIR de la Inversión
VAN = −4,000 +
2,000
4,000
+
=0
1
2
(1 + TIR ) (1 + TIR )
TIR = 28 .08 %
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Tasa Interna de Retorno
2500
2000
1500
TIR
VAN (,000s)
1000
500
10
0
90
80
70
60
50
40
30
20
-500
10
0
-1000
-1500
-2000
Tasa de Descuento (%)
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Tasa Interna de Retorno
Múltiples Tasa de Retorno
Ciertos flujos de caja pueden generar VAN=0 con dos
diferentes tasas de descuento
Los siguientes flujos de caja generan VAN=0 a TIR=-50%
y TIR=15.2%.
C0
− 1,000
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C1
+ 800
C2
+ 150
C3
+ 150
C4
+ 150
C5
+ 150
C6
− 150
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8
Tasa Interna de Retorno
Error N° 2 – Multiples Tasa de Retorno
VAN
1000
TIR=15.2%
500
Tasa de
Descuento
0
-500
TIR=-50%
-1000
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Comparación VAN versus TIR
Proyecto
A
B
VAN
Proyecto
A
B
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0
1
(12.000)
(12.000)
2
1.000
10.000
6.500
5.000
3
10.000
1.000
TIR
16,39%
22,79%
Tasa de descuento
5%
9%
3.486
2.923
2.110
2.155
14%
628
1.294
18%
22%
26%
(398)
674
(1.306)
107
(2.113)
(414)
18
9
Valor actual neto versus Tasa interna de retorno
4.000
3.486
3.000
2.923
Valor actual neto
2.155
2.000
2.110
1.294
1.000
628
674
107
0
(398)
5%
9%
14%
18%
-1.000
(414)
22%
26%
(1.306)
-2.000
(2.113)
-3.000
tasas de descuento
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19
Período de recuperación (PR)
El método del período de recuperación es el número de años que
demorará el inversor en recuperar el dinero invertido en un
determinado proyecto.
Esta regla nos señala que solo se aceptarán los proyectos que se
recuperen en el tiempo deseado.
Este método ignora el costo de oportunidad del dinero y el número
de años en el tiempo que se recibirán los flujos.
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20
10
Período de recuperación
Ejemplo
Examine los tres proyectos y note el error que
significaría tomar una decisión en función de este
método.
Proyecto
C0
C1
C2
C3
A
- 2000
500
500
5000
B
C
- 2000 500 1800
- 2000 1800 500
PR
Período
VAN al 10%
0
0
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21
Período de recuperación
PR
Proyecto
C0
C1
C2
C3
A
- 2000
500
500
5000
Período
3
B
- 2000
500
1800
0
2
- 58
C
- 2000 1800
500
0
2
+ 50
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VAN al 10%
+ 2,624
22
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Costo anual equivalente (CAE)
® El criterio del costo anual equivalente (CAE) se utiliza para decidir
entre proyectos alternativos, con vidas útiles diferentes y donde,
además, los ingresos no son relevantes para la toma de decisión, puesto
que no son incrementales.
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23
Costo anual equivalente (CAE)
Para entender mejor este criterio suponga que debe adquirir un equipo para la
planta del cual existen tres opciones en el mercado:
La opción 1, consiste en un equipo que tiene un valor de adquisición de US$
35.000, una vida útil de tres años y se le debe realizar una reparación mayor al
término del año dos, la cual tendría un costo de US$ 6.200.
La opción 2, consiste en un equipo que tiene un valor de adquisición de US$
40.000, una vida útil de cuatro años y se le debe realizar una reparación mayor al
término del año dos, la cual tendría un costo de US$ 8.400.
La opción 3, consiste en un equipo que tiene un valor de adquisición de US$
43.000, una vida útil de cinco años y se le debe realizar una reparación mayor al
término del año tres, la cual tendría un costo de US$ 7.300.
La tasa de descuento relevante es de 15%.
Suponga que todos los otros costos no son incrementales.
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24
12
Costo anual equivalente (CAE)
Esquemáticamente, la situación es la siguiente:
Períodos
0
1
2
3
4
Equipo 1
35.000
0
6.200
0
Equipo 2
40.000
0
8.400
0
0
Equipo 3
43.000
0
0
7.300
0
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5
0
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Costo anual equivalente (CAE)
® Para seleccionar la alternativa correcta se debe determinar el CAE,
para lo cual es necesario conocer primero el Valor actual de los costos
relevantes del problema (VAC). Para ello, basta con actualizar los
costos:
VACequipo1 = 35.000 +
6.200
= 39.688
(1 + 15% )2
VACequipo2 = 40.000 +
8.400
= 46.352
(1 +15%)2
VACequipo3 = 43.000 +
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7.300
(1+ 15%)3
= 47.800
26
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Costo anual equivalente (CAE)
® A partir del VAC se puede determinar el CAE, que corresponde a la
determinación de una anualidad:
CAE equipo1 =
39.688
= 17.382
1
1
−
3
0,15 0,15(1,15)
CAE equipo2 =
46.352
= 16.235
1
1
−
4
0,15 0,15(1,15)
CAE equipo3 =
47.800
= 14.259
1
1
−
0,15 0,15(1,15)5
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27
Costo anual equivalente (CAE)
El resumen de los resultados es el siguiente:
VAC
CAE
Valor actual
de la
perpetuidad
Valor actual
de replicar
proyectos
Equipo 1
39.688
17.382
115.883
115.857
Equipo 2
46.352
16.235
108.236
108.211
Equipo 3
47.800
14.259
95.063
95.041
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28
14
Rentabilidad Inmediata
® Este criterio tiene por objeto establecer el momento óptimo de poner
en marcha un proyecto y no medir la rentabilidad de dicho proyecto.
Por lo tanto, se aplica sólo cuando se ha podido determinar que el
proyecto es rentable.
® Se aplica en aquellos proyectos en los cuales el comportamiento del
flujo de caja depende de una variable externa al proyecto. Por ejemplo,
en un proyecto de construcción de un camino puede darse el caso de
que el VAN sea positivo, pero la cantidad de vehículos que lo usan
durante los primeros años es muy pequeña. En este caso, puede ser
interesante postergar la construcción por uno o dos años.
® El criterio de rentabilidad inmediata se define como la razón entre el
flujo neto del primer año de operación del proyecto y la inversión
capitalizada al momento cero.
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29
Rentabilidad Inmediata
® Suponga el siguiente flujo:
F1
F2
F3
F4
I
n La rentabilidad inmediata se calcula de la siguiente manera:
RI =
F1
I
n Al dividir el beneficio neto del primer año por la inversión inicial, se
puede apreciar si el proyecto rinde ese primer año a lo menos la
rentabilidad exigida por el inversionista. Si la rentabilidad inmediata es
inferior a la rentabilidad exigida, se volverá a calcular con el beneficio
del segundo año, dividido por la inversión inicial.
n La inversión inicial no debe capitalizarse ya que el desembolso se
estaría postergando un año para hacer la inversión, por lo que el
inversionista no asume un costo de capital por esos recursos.
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30
15
Índice de valor actual neto (IVAN)
® El índice de valor actual neto permite seleccionar proyectos bajo
condiciones de racionamiento de capital, es decir, cuando no hay
recursos suficientes para implementarlos todos.
® La fórmula para calcular el IVAN es la siguiente:
IVAN =
VAN
I
n El criterio permite medir cuánto VAN aporta cada peso invertido
individualmente en cada proyecto.
n Luego, se jerarquiza de mayor a menor IVAN para seleccionar los
proyectos en los cuales se invertirá.
n A modo de ejemplo, véase el cuadro de la página siguiente.
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31
Racionamiento de capital
Proyectos
Períodos
A
0
(1.215)
1
450
2
C
(300)
D
E
F
G
(1.400)
(700)
(1.550)
(1.800)
155
505
180
620
540
95
450
155
505
180
620
540
95
3
450
155
505
180
620
540
95
4
450
155
505
180
620
540
95
5
450
155
505
180
620
540
95
6
450
505
180
620
540
95
7
505
180
8
505
Tasa
01/06/03
B
(350)
95
95
10%
VAN
745
288
1.294
TIR
29,0%
43,0%
32,2%
176
17,3%
1.150
552
157
32,7%
19,9%
21,4%
VAE
171
76
243
36
264
127
29
IVAN
0,61
0,96
0,92
0,25
0,74
0,31
0,45
32
16
Tasas nominal y efectiva de interés
®
Dos tasas anuales de interés con diferentes períodos de
conversión son equivalentes si producen el mismo interés
compuesto al final de un año.
®
Por ejemplo, para determinar el monto compuesto de $100
al final de un año ya sea al 4% convertible trimestralmente
y al 4,06% anual, se debe segujir el siguiente
procedimiento:
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33
Tasas nominal y efectiva de interés
® al 4% convertible trimestralmente:
4
 0,04 
1001 +
 = 104,06
4 

® al 4,06% convertible anualmente:
100(1 + 0,0406 ) = 104,06
® Por lo tanto, 4% anual, convertible trimestralmente, y 4,06%
convertible anualmente, son tasas equivalentes.
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17
Tasas nominal y efectiva de interés
®
Cuando el interés es convertible más de una vez en el año,
la tasa anual dada se conoce como tasa nominal.
® La tasa de interés efectivamente ganada en un año, se
conoce como tasa efectiva.
® 4,06% es la tasa efectiva equivalente a una tasa nominal de
4% convertible trimestralmente.
®
Luego:
iefectiva
01/06/03
 i

= 1 + nominal 
n 

n
35
18