RESUMEN: DEMOSTRAR COMO SE PUEDE EMPLEAR LA

(T1) VALORACIÓN POR OPCIONES REALES
RESUMEN: DEMOSTRAR COMO SE PUEDE EMPLEAR LA METODOLOGIA
DE OPCIONES REALES EN LA EVALUACION DE PROYECTOS,
PARTIENDO DE LAS BASES CONCEPTUALES DE LA TEORIA DE
OPCIONES FINANCIERAS Y CONSIDERANDO SU APLICACIÓN EN LAS
DECISIONES ESTRATEGICAS.
(T2) 7.1 El Valor Presente Neto (VPN), una herramienta que se va quedando
corta.
Dentro de las grandes organizaciones, una de las discusiones más comunes se
presenta cuando el CFO (Chief Financial Officer) rechaza por resultados
financieros un proyecto propuesto por el CEO (Chief Executive Officer); el
primero, defiende su posición en que el proyecto no genera valor ni genera
flujos de caja positivos para la empresa, mientras que para el segundo el
proyecto es vital para la estrategia de la compañía y se debe realizar sin
importar los beneficios económicos, por cuanto permitirá mejorar la posición
estratégica en el futuro.
Esta situación conlleva a explicar porque una de las herramientas más sólida y
utilizada por los financieros para evaluar proyectos, los flujos de caja
descontados (FCD) no es un método perfecto. Se ha observado que el análisis
del FCD presenta deficiencias al considerar la parte estratégica del proyecto, al
manejo de la incertidumbre a la cual el proyecto se enfrenta y a la flexibilidad
que puede tener un ejecutivo para cambiar el rumbo del proyecto mientras está
en marcha.
Frente a la necesidad de una nueva herramienta para la evaluación financiera
de proyectos, que incluya tanto la parte económica como la estratégica, y sobre
todo, la flexibilidad e incertidumbre en el futuro, en 1987 Myers acuñó el
nombre de “Opciones reales”, proponiendo la valoración de ciertos proyectos
del sector real mediante el uso de técnicas para valorar opciones financieras,
basándose en la similitud que existe entre comprar una opción financiera e
ingresar a un proyecto real.
En realidad, mientras que en la academia la nueva metodología y su
comparación básica han tenido una buena acogida, no ha sido igualmente
recibida por los practicantes; algunas de las razones por las que no se usa la
valoración de proyectos por medio de opciones reales son:
•
•
•
La idea es muy reciente aún.
Las matemáticas de la metodología son complejas.
Los resultados van en contra de la intuición que hasta ahora se acostumbra
a manejar.
•
Es una idea que no nace de la teoría de evaluación de proyectos sino que
es traída y acoplada de la teoría de los títulos derivados.
(T3) 7.2 Opciones Financieras
Bajo las condiciones de la racionalidad, el hombre es averso al riesgo en sus
decisiones, acentuándose hoy en día por un futuro cada vez más incierto;
decisores como los jugadores en los casinos, los toreros que se enfrentan a la
bestia, y los corredores de vehículos fórmula, son casos en los cuales el riesgo
se convierte en placer, pero son la excepción a la regla.
En el mundo contemporáneo el hombre ha creado instrumentos que le
permiten transferir ese riesgo; los seguros han sido la forma más usual, y hoy
en día, se pueden asegurar los bienes, la salud, la familia con diferentes
coberturas o cubrimientos. Por ejemplo, si en la rutina diaria nos encontramos
conduciendo nuestro vehículo por una de las avenidas de la ciudad y por
cualquier circunstancia nos ocurre un accidente y el vehículo que conduciamos
resulta averiado totalmente, no tendría repercusiones en nuestro patrimonio si
contamos con un seguro de vehículo que tenga la cobertura de amparo
patrimononial, puesto que la compañía de seguros reembolsaría el valor
correspondiente. De la misma forma, si por causa del accidente debemos
recurrir a un hospital, el seguro médico cubriría los gastos; finalmente, en caso
de que el accidente tenga un desenlace fatal y perdamos la vida, nuestra
familia podría subsistir ante esta eventualidad.
Los seguros se han ido sofisticando y, hoy en día, se ofrecen diversas
coberturas a personas y empresas; obviamente, estas coberturas de las pólizas
de seguros tienen un costo para el usuario comunmente llamado “prima”; en
caso de que no ocurra el siniestro, la aseguradora habrá ganado este valor por
el hecho de asumir el riesgo, sin realizar ningún desembolso; pero en caso de
que ocurra el siniestro deberá cubrir lo pactado en el contrato de seguros.
Las decisiones de negocios no son ajenas al riesgo sino que conviven con él;
por lo tanto, se han creado instrumentos que permiten cubrirse ante la
ocurrencia de sucesos no deseados y son las llamadas “opciones financieras”,
que pueden definirse como contratos entre dos partes que dan derecho a su
poseedor para vender o comprar un activo a un precio determinado durante un
periodo o en una fecha prefijada.
Históricamente se dice que los fenicios, los griegos y los romanos negociaban
mercancías mediante contratos con clausulas de opción; sin embargo, el primer
mercado organizado de opciones surge en Holanda en el siglo XVII con los
tulipanes; los americanos las utilizaban hace aproximadamente dos siglos,
aunque sin una normatividad precisa lo que ocasionaba incumplimientos de los
vendedores, y un altísimo riesgo para los compradores. La situación anterior
originó la aparición del primer mercado organizado de opciones el 26 de abril
de 1973 en la ciudad de Chicago (Estados Unidos de America) con el nombre
de Chicago Board Option Exchange (CBOE).
En los últimos años en Colombia se negocian opciones a través de la Bolsa
Nacional Agropecuaria, para lo cual se estableció la primera Cámara de
Compensación; ésta entidad se ha fortalecido tanto en el número de
transacciones que maneja como en sus utilidades y abre las puertas a
inversionistas de nuestro país a la utilización de estos instrumentos de
ingeniería financiera mundialmente utilizados.
(T3) 7.2.1 Conceptos Fundamentales
Una opción financiera es un contrato que da el derecho a su poseedor de
vender o comprar un activo a un precio determinado durante un período o en
una fecha prefijada. Si se analiza la etimología de la palabra opción, viene del
latin optio que significa elegir, es decir, la facultad dada a una persona, por la
ley o por un contrato, de escoger entre varias situaciones jurídicas: el
adquirente o comprador de una opción puede seleccionar si adquiere el bien o
no en la fecha estipulada; al contrario, el vendedor de la opción está obligado a
entregar el bien si así lo desea el comprador.
Lo anterior permite establecer una clasificacion globalmente utilizada: se llama
“CALL” a las opciones de compra y “PUT” a las opciones de venta. Así en el
medio de los inversionistas, cuando el mercado está en trayectoria alcista se
utiliza como estrategia comprar una “CALL” y cuando está a la baja se compra
una “PUT” para protegerse. Los activos sobre los cuales se pueden establecer
este tipo de contratos son las acciones, las tasas de interés, los índices
bursátiles, las divisas, etc; y por ser el activo objeto del contrato se les conoce
con el nombre de “activo subyacente”. El precio fijado para ejercer la opción se
llama “precio de ejercicio” o “strike”.
Como se mencionó antes, en un principio las negociaciones en los mercados
de opciones se efectuaban unilateralmente (mercados OTC) con base en la
confianza mutua de las partes contratantes, existiendo riesgo para los
compradores por el incumplimiento de los vendedores; posteriormente, con los
mercados organizados como el de Chicago, o el existente hoy en nuestro país
con la Bolsa Nacional Agropecuaria, las negociaciones se hacen a través de la
cámara de compensación que es el ente intermediario entre oferentes y
demandantes (figura 7.1) y es quien asume los riesgos de contrapartida; para
amortiguarlos obliga a los vendedores de opciones, que son los que están
obligados a entregar el bien, a realizar depósitos de garantía conocidos con el
nombre de “márgenes”, cuyo valor se calcula de acuerdo con la cotizacion
diaria de los activos subyacentes. Si el vendedor de la opción no tiene en su
cuenta con la cámara de compensación el depósito exigido, se le hace un
llamado al margen para que haga la consignación correspondiente y cumpla
con la normatividad de la cámara.
COMPRADOR
CÁMARA DE COMPENSACIÓN
Figura 7.1 Mercado organizado
VENDEDOR
(T4) Determinación del nivel de garantía
Las negociaciones en los mercados organizados se hacen a través de
contratos estandarizados; para las acciones, por ejemplo, un contrato equivale
a 100 acciones.
El cálculo del depósito exigido se hace con base en la elección del mayor
monto entre el depósito normal y el deposito mínimo calculados estos últimos
de la siguiente manera:
DEPOSITO NORMAL=15%(Precio de la acción)(# de acciones)+Prima–(Precio de ejercicio-Precio de la acción) (# de acciones)
DEPOSITO MINIMO = 5%(Precio de la acción) (# de acciones) + Prima
PRIMA = (Prima) (# de acciones)
El número de acciones corresponden a las incluidas en un contrato.
(T4) Depósito exigido
Si el depósito normal es mayor que el depósito mínimo entonces:
DEPÓSITO EXIGIDO = DEPÓSITO NORMAL
Si el depósito normal es menor que el depósito mínimo, entonces:
DEPÓSITO EXIGIDO = DEPÓSITO MÍNIMO
Los parámetros del 15% y del 5% utilizados en los cálculos de los depósitos
normal y mínimo corresponden a los determinados por la CBOE.
Ejemplo:
Supongamos que existiera el mercado de opciones en la Bolsa de Colombia y
vendemos una “CALL” de Carton Colombia (lote de 100 acciones) a un precio
de ejercicio (strike) de $2.400 con una prima de $200 por acción. Si a la fecha,
las acciones de la empresa tienen un precio de cierre de $2.350 y el contrato
corresponde a 100 acciones, se realizarían los siguientes cálculos:
Depósito normal = 15%($2.350)(100) + 200(100) – ($2.400 - $2.350)(100) = $50.250
Depósito mínimo = 5%($2.350)(100) + 200(100) = $31.750
El depósito exigido para este caso sería de $50.250, puesto que se escoge el
mayor entre el normal y el mínimo.
Tomando como base la informacion anterior, se pueden simular los depósitos
exigidos para diferentes precios de cierre.
Tabla 7.1.
Depósitos de garantía para diferentes precios de cierre de la acción
Precio cierre Depósito normal Depósito mínimo Depósito exigido
$ 1,800.00
$
$ 29,000.00
$ 29,000.00
$ 1,900.00
$
$ 29,500.00
$ 29,500.00
$ 2,000.00
$ 10,000.00
$ 30,000.00
$ 30,000.00
$ 2,100.00
$ 21,500.00
$ 30,500.00
$ 30,500.00
$ 2,200.00
$ 33,000.00
$ 31,000.00
$ 33,000.00
$ 2,300.00
$ 44,500.00
$ 31,500.00
$ 44,500.00
$ 2,350.00
$ 50,250.00
$ 31,750.00
$ 50,250.00
$ 2,400.00
$ 56,000.00
$ 32,000.00
$ 56,000.00
$ 2,500.00
$ 57,500.00
$ 32,500.00
$ 57,500.00
$ 2,600.00
$ 59,000.00
$ 33,000.00
$ 59,000.00
El precio de cierre del ejemplo anterior es de $2.350
(T3) 7.2.2 Estrategias básicas
Siendo la opción un contrato entre dos partes, que da derecho a su poseedor a
vender o comprar un activo a un precio determinado durante un periodo o en
una fecha prefijada, es posible establecer una serie de estrategias para cubrir
el riesgo de variaciones en los valores de los activos.
Si para un período específico y como resultado de la situación política de
nuestro país se ha originado una disminución de la oferta del arroz y el precio
ha tenido un fuerte incremento, los inversionistas pueden obtener ganancias si
adquieren una opción “CALL”; si por ejemplo se adquiere a un mes con un
precio de ejercicio de $ 450.000 la tonelada y el precio de la tonelada en el
momento de comprar la opción es de $430.000, y después de transcurrido el
mes el precio en el mercado es de $ 510.000, el inversionista usando la opción
compraría la tonelada a $450.000 y la vendería en el mercado a $510.000
obteniendo una ganancia de $60.000 ($510.000 - $450.000) resultado al que
debe deducirse la prima (por ejemplo $10.000) para obtener la utilidad neta:
$60.000 - $10.000 = $50.000
Si el precio de la papa tiene una tendencia a la baja, los inversionistas
comprarán una “PUT”; si por ejemplo se adquiere a un mes con un precio de
ejercicio de $300.000 la tonelada y el precio de la tonelada en el momento de
comprar la opción es de $350.000 la tonelada y transcurrido el mes el precio es
de $230.000, el inversionista usando la opción, compraría en el mercado a
$230.000 y la vendería a $300.000 obteniendo una ganancia neta de $70.000;
si paga una prima por la opción de $10.000 tendría un beneficio neto de
$60.000 ($70.000 - $10.000).
De los anteriores ejemplos se puede concluir que a través de la adquisición de
opciones se pueden cubrir los riesgos de tendencias alcistas (“CALL”) o de
trayectorias a la baja (“PUT”). Los productos agrícolas suelen encontrarse
estandarizados y son establecidos por las cámaras de compensación.
(T4) A. Estrategia No.1: Comprar una “CALL”
Los inversionistas cuando observan que la trayectoria del precio de la acción es
alcista tenderán a comprar una “CALL”. Si el señor Armando Rico analiza el
comportamiento del valor de la acción de la empresa “BB” para los últimos 30
días y la trayectoria del precio histórico le insinúa que puede adquirir una
“CALL”, ordenará a su corredor hacerlo por ejemplo, cuando el valor de la
opción (prima) es de $5 por acción, para un período de 30 días y un precio de
ejercicio de $114.
VALOR ACCION EMPRESA BB
114.00
112.00
110.00
VALOR DE LA ACCION
108.00
106.00
104.00
Serie1
102.00
100.00
98.00
96.00
94.00
-
5
10
15
20
25
30
35
DIAS
Figura 7.2
A continuación analizará diversas alternativas para los diferentes precios que
puede tener en el futuro la acción de la empresa BB y con base en ello
determinar las circunstancias bajo las cuales el inversionista tendrá ganancias
o pérdidas.
Para el ejemplo se consideraron 30 alternativas y para cada una se calculó la
ganancia neta con base en la siguiente ecuación:
UTILIDAD = PRECIO DE LA ACCIÓN – PRECIO DE EJERCICIO – PRIMA
Cuando el precio de la acción en el mercado es mayor que el precio de
ejercicio se ejerce la opción; en caso contrario no se ejerce, es decir que el
resultado de la operación se puede expresar de la siguiente manera:
UTILIDAD = MÁXIMO [0, PRECIO ACCIÓN EN EL MERCADO – PRECIO DE EJERCICIO] - PRIMA
Es decir, si el precio de la acción en el mercado es $101, siendo el precio de
ejercicio de $114, no se ejercerá la opción y solamente se perderá el valor de la
prima.
UTILIDAD = MÁXIMO [0, 101 – 114] – 5 = 0 – 5 = -5
Como se escoge el máximo entre cero y la diferencia entre 101 y 114, que es –
13, solamente se perderán 5 que corresponden al valor de la prima.
Si el precio de la acción en el mercado fuera de $126, se obtendrá el siguiente
resultado:
UTILIDAD = MÁXIMO [0, 126 –114] – 5 = 12 – 5 = 7
Como la diferencia entre el precio de la acción y el precio de ejercicio es
positiva, se ejerce la opción; es decir, se compra la acción de BB a $114 y se
vende en el mercado a $126.
En la tabla 7.2 se pueden observar algunos de los resultados posibles.
Tabla 7.2.
Utilidades compra “CALL” para diferentes valores de la acción en el mercado
Alternativas
Precio de la acción en el
mercado
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
100.00
101.00
102.00
103.00
104.00
105.00
106.00
107.00
108.00
109.00
110.00
111.00
112.00
113.00
114.00
115.00
116.00
117.00
118.00
119.00
120.00
121.00
122.00
123.00
124.00
125.00
126.00
127.00
128.00
129.00
Precio de ejercicio de
la opción
(strike)
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
Prima
(valor de la
opción)
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
Utilidad o
pérdida
Uso de la
opción
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
SI
SI
SI
SI
SI
SI
SI
SI
SI
SI
SI
SI
SI
SI
SI
La informacion anterior se puede graficar con el objeto de ver el
comportamiento de la compra de una “CALL” ante los cambios de precio de la
acción en el mercado (Figura 7.3).
COMPRA DE UNA CALL
12
10
8
UTILIDAD
6
4
COMPRA DE UNA CALL
2
0
-
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
140.00
-2
-4
-6
PRECIO DE LA ACCION
Figura 7.3
(T4) B. Estrategia No.2: Vender una “CALL”
En un mercado cuando alguien compra una “CALL” existe una contraparte que
la vende; por esta razón es importante analizar el comportamiento de sus
utilidades.
UTILIDAD = PRIMA – MÁXIMO [0, PRECIO ACCIÓN EN EL MERCADO – PRECIO DE EJERCICIO]
En este caso el vendedor de la “CALL” obtiene utilidad si el precio de la acción
en el mercado es inferior al precio de ejercicio, puesto que la contraparte no
ejercerá la opción de comprar ya que la consigue a un precio menor en el
mercado; su utilidad será la prima, es decir, el valor de la opción; en caso
contrario sus pérdidas pueden llegar a ser infinitas si el precio del mercado es
muy superior al de ejercicio.
Por ejemplo, si la señora Linda Plata vende la “CALL” a Armando Rico con un
precio de ejercicio de $114, un periodo de 30 días y una prima de $5 por
acción; cuando el precio en el mercado es de $101 por acción no se ejercerá la
opción y las utilidades de Linda se calcularán de la siguiente forma:
UTILIDAD = PRIMA – MÁXIMO [0, PRECIO ACCIÓN EN EL MERCADO – PRECIO DE EJERCICIO]
UTILIDAD = 5 – MÁXIMO [0, 101 –114] = 5
Si el precio de la acción en el mercado fuera de $126, el resultado de la
operación será el siguiente:
UTILIDAD = 5 – MÁXIMO [0,126 –114] = - 7
lo que significa que obtendrán pérdidas.
Como puede observarse, las inversiones en opciones son un juego de suma
cero: cuando Armando perdió $5, Linda ganó $5 y cuando Armando ganó $7,
Linda perdió $7.
En la Tabla 7.3 se plantean algunas de las alternativas de precio en el mercado
de la acción y su incidencia en las utilidades del vendedor de la “CALL”.
Tabla 7.3.
Utilidades venta “CALL” para diferentes valores de la acción en el mercado
Alternativas
Precio de la acción en el
mercado
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
Precio de ejercicio de
la opción
(strike)
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
Prima
(valor de la
opción)
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
Utilidad o
pérdida
Uso de la
opción
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
SI
SI
SI
SI
SI
SI
SI
SI
SI
SI
SI
SI
SI
SI
SI
La información de la Tabla 7.3 se puede graficar con el objeto de ver el
comportamiento de una de una “CALL” ante los cambios de precio de la acción
en el mercado.
VENTA DE UNA CALL
6
4
2
0
UTILIDAD
0
20
40
60
80
100
120
140
-2
VENTA DE UNA CALL
-4
-6
-8
-10
-12
PRECIO DE LA ACCION
Figura 7.4
(T4) C. Estrategia No.3: Comprar una “PUT”
Si el inversionista observa que la trayectoria del precio de la acción es hacia la
baja decidirá comprar una “PUT”; retomando el ejemplo de Armando Rico, si
analiza el comportamiento del valor de la acción de la empresa “YY” en los
últimos 30 días (Figura 7.5), la trayectoria del precio histórico le insinua que
puede adquirir una “PUT”; entonces ordenará a su corredor hacerlo, por
ejemplo, con el valor de la opción (prima) de $5 por acción, por un periodo de
30 días y un precio de ejercicio de $114.
A continuación puede analizar varias alternativas para los diferentes precios
que puede tener en el futuro la acción de la empresa YY y con base en ello
determinar las circunstancias bajo las cuales el inversionista tendrá ganancias
o pérdidas.
Para el ejemplo se consideraron 30 alternativas y para cada una se calculó la
ganancia neta con base en la siguiente ecuación:
UTILIDAD = PRECIO DE EJERCICIO DE LA OPCIÓN – PRECIO ACCIÓN – PRIMA
VALOR ACCION EMPRESA YY
114.00
112.00
110.00
PRECIO DE LA ACCION
108.00
106.00
PRECIO DE LA ACCION BB
104.00
102.00
100.00
98.00
96.00
94.00
0
5
10
15
20
25
30
35
DIA
Figura 7.5.
Si el precio de la acción en el mercado es menor que el precio de ejercicio, se
ejerce la opción, en caso contrario no se ejerce, es decir que el resultado de la
operación se puede expresar de la siguiente manera:
UTILIDAD = MÁXIMO [ 0, PRECIO DE EJERCICIO - PRECIO ACCIÓN EN EL MERCADO] - PRIMA
Por lo tanto, si el precio de la acción en el mercado es $101, siendo el precio
de ejercicio de $114, se ejerce la opción, es decir se compra la acción a $101
en el mercado y se vende a $114.
UTILIDAD = MÁXIMO [0, 114 -101] – 5 = 13 – 5 = 8
Se escoge el máximo entre cero y la diferencia entre 114 y 101 que es 13, y se
le resta el valor de la opción o sea la prima que es de $5, obteniéndose una
utilidad neta de $8.
Si el precio de la acción en el mercado fuera de $126, se obtendría el siguiente
resultado:
UTILIDAD = MÁXIMO [0, 114 -126] – 5 = – 5
Como la diferencia entre el precio de ejercicio y el precio de la acción es
negativa, no se ejerce la opción y solamente se pierde el valor de la prima.
Tabla 7.4.
Utilidades compra “PUT” para diferentes valores de la acción en el mercado
Alternativas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Precio de la acción
en el mercado
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
Precio de ejercicio de la
opción (strike)
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
Prima (valor de
la opción)
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
Utilidad o
pérdida
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
Uso de la
opción
SI
SI
SI
SI
SI
SI
SI
SI
SI
SI
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
(T4) D. Estrategia No.4: Vender una “PUT”
Obviamente si se compra una “PUT” (Estrategia No.3) debe existir una
contraparte que la vende; a continuación se analiza el comportamiento de sus
utilidades.
UTILIDAD = PRIMA – MÁXIMO [ 0, PRECIO DE EJERCICIO - PRECIO ACCIÓN EN EL MERCADO]
En este caso el vendedor de la “PUT” obtiene utilidad si el precio de ejercicio
de la opción es menor al mercado, puesto que en este caso la contraparte no
ejerce la opción de comprar y el vendedor obtendrá como ganancia el valor de
la prima.
Tomando el ejemplo de la estrategia No. 3 supóngase que Linda Plata es la
vendedora de la “PUT” a Armando Rico con un precio de ejercicio de $114, un
periodo de 30 días y una prima de $5 por acción.
Con base en la información anterior se analizan varias alternativas para los
diferentes precios que puede tener en el futuro la acción de la empresa YY y se
determina las circunstancias bajo las cuales el vendedor de la “PUT” tendrá
ganancias o pérdidas.
Se consideraron 30 alternativas (Tabla 7.5) y para cada una se calculó la
ganancia neta, con base en la siguiente ecuacion:
UTILIDAD = PRIMA – MÁXIMO [ 0, PRECIO DE EJERCICIO - PRECIO ACCIÓN EN EL MERCADO]
Por lo tanto si el precio de la acción en el mercado es $101, siendo el precio de
ejercicio de $114, se ejerce la opción, es decir se compra la acción a $101 en
el mercado y se vende a $114. A la prima se le resta el máximo entre cero y la
diferencia entre 114 y 101 que es 13, obteniéndo una pérdida para el vendedor
de la “PUT” de –8.
UTILIDAD = 5 – MÁXIMO [0, 114 -101] = 5 - 13 = - 8
En caso contrario, si el precio de la acción en el mercado fuera de $126, se
obtendría el siguiente resultado:
UTILIDAD = 5 – MÁXIMO [0, 114 -126] = 5 – 0 = 5
Como la diferencia entre el precio de ejercicio y el precio de la acción es
negativa, no se ejerce la opcion y el vendedor obtiene como ganancia el valor
de la prima.
Tabla 7.5.
Utilidades venta “PUT” para diferentes valores de la acción en el mercado
Alternativas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Precio de la
acción en el
mercado
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
Precio de
ejercicio de la
opción (strike)
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
Prima (valor de
la opción)
Utilidad o
pérdida
Uso de la opción
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
-19
-18
-17
-16
-15
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
SI
SI
SI
SI
SI
SI
SI
SI
SI
SI
SI
SI
SI
SI
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
La informacion anterior se puede graficar con el objeto de ver el
comportamiento de una venta de una “PUT” ante los cambios de precio de la
acción en el mercado (Figura 7.6).
VENTA DE UNA PUT
10
5
0
0
20
40
60
80
100
120
140
UTILIDAD
-5
VENTA DE UNA PUT
-10
-15
-20
-25
PRECIO DE LA ACCION
Figura 7.6
(T3) 7.2.3. Estrategias de especulación a través de opciones
Las opciones, como se ha visto en este capítulo, sirven para protegerse de las
variaciones en los precios hacia arriba o hacia abajo, en otras palabras de la
volatilidad; sin embargo este indicador puede tener varios grados de
intensidad, por lo que el solo uso de las estrategias básicas no es suficiente,
sino que es necesario combinarlas para protegerse ante diferentes niveles de
riesgo.
(T4) Clasificación de las opciones según su valor intrínseco
Las opciones se pueden clasificar de acuerdo con la generación de utilidad o la
pérdida para su poseedor en las siguientes categorías:
•
Dentro del dinero (in the money, ITM). Cuando el poseedor de la opción
obtiene utilidad puesto que el precio de la acción es mayor que el precio de
ejercicio para las opciones “CALL” y el precio de ejercicio es mayor que el
precio de la accion en el mercado para las opciones “PUT”. Simbólicamente
esto puede ser expresado de la siguiente forma:
A = Valor de la acción en el mercado
E = Precio de ejercicio de la opción.
Dentro del dinero: A > E
•
En el dinero (at the money, ATM). Cuando el poseedor de la opción no
obtiene ni utilidad ni pérdida puesto que el valor de la acción en el mercado
es igual al precio de ejercicio de la opción. Es decir:
A=E
•
Fuera del dinero (out of the money, OTM). Cuando el poseedor de la opción
obtiene perdida, puesto que el precio de la acción es menor que el precio de
ejercicio. Es decir:
A<E
(T4) Tipos de estrategia
Los tipos de estrategia se originan mezclando los dos aspectos vistos
anteriormente, es decir, las estrategias básicas y la clasificacion de acuerdo
con el valor intrínseco.
(T5) Estrategias “Bullspread”
Se utilizan cuando la volatilidad esperada del precio de la acción en el mercado
es relativamente pequeña y donde es posible, que la variación en precios no
alcance a cubrir el costo de la prima de la opción. Se puede lograr por
diferentes caminos:
La primera alternativa es comprar una “CALL” en el dinero y vender
simultáneamente otra “CALL” fuera del dinero; los resultados se observan en la
Tabla 7.6.
Como se observa en el caso de la venta de la “CALL” que se hace fuera de
dinero, el precio de la acción en el mercado es menor que el precio de ejercicio
en todos los casos presentados; por lo tanto, el comprador de la “CALL” no la
ejerce generándonos una utilidad de $5 para todos los casos.
En el caso de la compra de la “CALL” en el dinero, el precio de ejercicio debe
ser igual al precio de la acción en el mercado, por lo que no se ejerce la opción
de compra y se obtiene una pérdida de -$5 que corresponde al valor de la
prima. El resultado integrado o conjunto de las dos operaciones es cero.
Tabla 7.6.
Estrategia “bullspread” venta “CALL” fuera del dinero más compra “CALL” en el dinero
Alternativa
Precio
acción
1
2
3
4
5
100
101
102
103
104
Precio
ejercicio
venta
“CALL”
129
129
129
129
129
Valor
de la
prima
Utilidad
Precio
de la
acción
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
100
101
102
103
104
Precio
ejercicio
compra
“CALL”
100
101
102
103
104
Valor
de la
prima
Utilidad
Utilidad
conjunta
5
5
5
5
5
-5
-5
-5
-5
-5
0
0
0
0
0
Alternativa
Precio
acción
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
Precio
ejercicio
venta
“CALL”
129
129
129
129
129
129
129
129
129
129
129
129
129
129
129
129
129
129
129
129
129
129
129
129
129
Valor
de la
prima
Utilidad
Precio
de la
acción
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
Precio
ejercicio
compra
“CALL”
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
Valor
de la
prima
Utilidad
Utilidad
conjunta
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Una segunda alternativa es comprar una “PUT” en el dinero y vendiendo
simultáneamente otra “PUT” dentro del dinero; los resultados se observan en la
Tabla 7.7.
En el caso de la compra de la “PUT”, como se hace en el dinero, el precio de la
acción en el mercado es igual al precio de ejercicio en todos los casos
presentados; por lo tanto, al comprar la “PUT” no se ejerce la opción puesto
que no hay beneficio por ser iguales los precios de la acción y el de ejercicio y
se pierde el valor de la prima -$5.
En el caso de la venta de la “PUT” dentro del dinero, el precio de la acción es
mayor que el precio de ejercicio de la opción; por lo tanto, el comprador de la
“PUT” no la va a ejercer, puesto que no va a comprar una acción en el mercado
para venderla a un precio menor; por lo tanto, como vendedores de la “PUT”, la
utilidad es el valor de la prima, o sea $5. El resultado integrado o conjunto de
las dos operaciones es cero.
Tabla 7.7.
Estrategia “bullspread” compra “PUT” en el dinero más venta “PUT” dentro del
dinero
Alternativa
Precio
acción
1
2
3
4
5
100
101
102
103
104
Precio
ejercicio
compra
“PUT”
100
101
102
103
104
Valor
de la
prima
Utilidad
Precio
de la
acción
5
5
5
5
5
-5
-5
-5
-5
-5
100
101
102
103
104
Precio
ejercicio
venta
“PUT”
100
100
100
100
100
Valor
de la
prima
Utilidad
Utilidad
conjunta
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
0
0
0
0
0
Alternativa
Precio
acción
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
Precio
ejercicio
compra
“PUT”
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
Valor
de la
prima
Utilidad
Precio
de la
acción
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
Precio
ejercicio
venta
“PUT”
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
Valor
de la
prima
Utilidad
Utilidad
conjunta
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Una alternativa adicional para obtener los resultados anteriores es utilizar otra
estrategia bullspread, es decir, comprando una “CALL” fuera del dinero y
vendiendo simultáneamente otra “CALL” en el dinero; los resultados se
observan en la Tabla 7.8.
Como la compra de la “CALL” se hace fuera del dinero, el precio de la acción
en el mercado es menor que el precio de ejercicio en todos los casos
presentados; por lo tanto, la no se ejerce la opción y se perderá el valor de la
prima -$5.
En el caso de la venta de la “CALL” en el dinero, el precio de la acción es igual
al precio de ejercicio de la opción; por lo tanto, el comprador de la “CALL” no la
va a ejercer, puesto que no va a comprarla para venderla al mismo valor; por
lo tanto, como vendedores de la “CALL”, la utilidad es el valor de la prima o sea
$5. El resultado integrado o conjunto de las dos operaciones es cero.
Tabla 7.8.
Estrategia “bullspread” compra “CALL” fuera del dinero más venta “CALL” en el dinero
Alternativa
Precio
acción
1
2
3
4
5
6
7
8
100
101
102
103
104
105
106
107
Precio
ejercicio
compra
“CALL”
129
129
129
129
129
129
129
129
Valor
de la
prima
Utilidad
Precio
de la
acción
5
5
5
5
5
5
5
5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
100
101
102
103
104
105
106
107
Precio
ejercicio
venta
“CALL”
100
101
102
103
104
105
106
107
Valor
de la
prima
Utilidad
Utilidad
conjunta
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
0
0
0
0
0
0
0
0
Alternativa
Precio
acción
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
Precio
ejercicio
compra
“CALL”
129
129
129
129
129
129
129
129
129
129
129
129
129
129
129
129
129
129
129
129
129
129
Valor
de la
prima
Utilidad
Precio
de la
acción
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
Precio
ejercicio
venta
“CALL”
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
Valor
de la
prima
Utilidad
Utilidad
conjunta
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Finalmente, se pueden obtener los resultados anteriores utilizando otra
estrategia “bullspread”, esta vez, comprando una “PUT” dentro del dinero y
vendiendo simultáneamente una “PUT” en el dinero; los resultados se observan
en la Tabla 7.9.
En el caso de la compra de la “PUT”, como se hace dentro del dinero el precio
de la acción en el mercado es mayor que el precio de ejercicio en todos los
casos presentados; por lo tanto, no se ejerce la opción, y se perderá el valor de
la prima -$5, puesto que el inversionista no va a adquirir una acción en el
mercado a un precio mayor para que haciendo uso de la opción se la compren
a un precio menor.
En el caso de la venta de la “PUT” en el dinero, el precio de la acción en el
mercado es igual al precio de ejercicio de la opción; por lo tanto el comprador
de la “PUT” no la va a ejercer, puesto que no va a comprar una acción para
venderla al mismo valor. Por lo tanto, como vendedores de la “PUT”, la utilidad
es el valor de la prima o sea $5. El resultado integrado o conjunto de las dos
operaciones es cero.
Tabla 7.9.
Estrategia “bullspread” compra “PUT” dentro del dinero más venta “PUT” en el dinero
ALTERNATIVA
PRECIO
ACCIÓN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
100
101
102
103
104
105
106
107
108
PRECIO
EJERCICIO
COMPRA
“PUT”
100
100
100
100
100
100
100
100
100
VALOR
DE LA
PRIMA
UTILIDAD
PRECIO
DE LA
ACCIÓN
5
5
5
5
5
5
5
5
5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
100
101
102
103
104
105
106
107
108
PRECIO
EJERCICIO
VENTA
“PUT”
100
101
102
103
104
105
106
107
108
VALOR
DE LA
PRIMA
UTILIDAD
UTILIDAD
CONJUNTA
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
ALTERNATIVA
PRECIO
ACCIÓN
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
PRECIO
EJERCICIO
COMPRA
“PUT”
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
VALOR
DE LA
PRIMA
UTILIDAD
PRECIO
DE LA
ACCIÓN
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
PRECIO
EJERCICIO
VENTA
“PUT”
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
VALOR
DE LA
PRIMA
UTILIDAD
UTILIDAD
CONJUNTA
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Como se puede observar en los portafolios analizados el uso de las estrategias
“bullspread” genera un efecto compensatorio que neutraliza el riesgo, lo que se
pierde con una inversión se gana con otra y viceversa.
Estas estrategias se usan cuando la volatilidad esperada de la acción o de
cualquier activo subyacente considerado es muy pequeña, y los cambios en el
precio de la acción, no son suficientes para compensar el valor pagado por la
prima.
(T5) Estrategias Straddle (Conos)
Este tipo de estrategia es útil para el inversionista cuando la volatilidad de la
acción o del activo subyacente es alta; consiste en la compra o venta
simultánea de opciones “CALL” y “PUT” con el mismo vencimiento y el mismo
precio de ejercicio.
Tabla 7.10.
Estrategia “straddle”: venta de una opción “PUT” y venta de una opción “CALL” con
igual precio de ejercicio e idéntico vencimiento
ALTERNATIVA
PRECIO
ACCIÓN
PRECIO
EJERCICIO
VENTA
“PUT”
VALOR
DE LA
PRIMA
UTILIDAD
PRECIO
DE LA
ACCIÓN
PRECIO
EJERCICIO
VENTA
“CALL”
VALOR
DE LA
PRIMA
UTILIDAD
UTILIDAD
CONJUNTA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
-19
-18
-17
-16
-15
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
ALTERNATIVA
PRECIO
ACCIÓN
PRECIO
EJERCICIO
VENTA
“PUT”
VALOR
DE LA
PRIMA
UTILIDAD
PRECIO
DE LA
ACCIÓN
PRECIO
EJERCICIO
VENTA
“CALL”
VALOR
DE LA
PRIMA
UTILIDAD
UTILIDAD
CONJUNTA
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
Como se observa en la tabla, el máximo beneficio se logra cuando el precio de
la acción es igual al precio de ejercicio; en el intervalo comprendido entre $114
y $123 del valor de la acción se obtienen utilidades positivas, valores inferiores
a $114 o superiores a $123 producen pérdidas.
En La Figura 7.7 se puede observar claramente el comportamiento de esta
estrategia con base en la información suministrada.
VENTA PUT Y VENTA CALL
15
10
5
0
UTILIDAD
0
20
40
60
80
100
120
140
VENTA PUT Y VENTA CALL
-5
-10
-15
-20
PRECIO DE LA ACCION
Figura 7.7
Siguiendo con la misma estrategia, pero modificando el portafolio en el sentido
en que el inversor en lugar de adquirir una opción de venta “PUT” y una opción
de venta “CALL”, adquiere una de venta “PUT” y dos de venta “CALL”, los
resultados se observan en la Tabla 7.11.
Tabla 7.11.
Estrategia “straddle”: venta una opción “PUT” y venta de dos opciones “CALL” igual
precio de ejercicio e idéntico vencimiento
ALTERNATIVA
PRECIO
ACCIÓN
PRECIO
EJERCICIO
VENTA
“PUT”
VALOR
DE LA
PRIMA
UTILIDAD
PRECIO
DE LA
ACCIÓN
PRECIO
EJERCICIO
VENTA
“CALL”
VALOR
DE LA
PRIMA
UTILIDAD
UTILIDAD
CONJUNTA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
-19
-18
-17
-16
-15
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-14
-16
-18
-20
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
15
13
11
9
7
5
3
1
-1
-3
-5
-7
-9
-11
-13
-15
Nótese que el rango de beneficios varía: la estrategia comienza a generar
utilidades cuando el precio de la acción es de $110 y termina el rango positivo
cuando el valor de la acción en el mercado es de $121.
El resultado de las utilidades de la venta de la opción “CALL” se encuentra
multiplicado por dos en la Tabla 7.11 en relación con la Tabla 7.10, puesto que
en el caso de la Tabla 7.11 se considera que se compra una opción de venta
“PUT” y dos opciones de venta “CALL”.
(T3) 7.2.4. Valoración de opciones
¿Cuál es el valor de una opción?, ¿Cuánto debe pagar un inversionista por
ella?, ¿Cómo se fija la prima? Las anteriores son preguntas que se haría
cualquier inversionista racional.
Las opciones, como se explicó anteriormente, son contratos que generan
derechos a los compradores, pero ¿cuánto vale ese derecho, si
hipotéticamente un inversionista adquiere una “CALL” con precio de ejercicio
de $2.250 y un plazo de 60 días? ¿Qué prima debe pagar por adquirir ese
derecho?
En las opciones hay dos partes, un comprador y un vendedor, quienes a través
de la cámara de compensación negocian las opciones; los compradores
buscan transferir el riesgo y los vendedores lo asumen. Obviamente estos
últimos deben cobrar un valor por asumirlo y de este proceso surge la pregunta
¿Cuánto vale? Para responderla se deben definir los factores que dan valor a
una opción.
(T4) A. Factores determinantes del valor de una opción
Tiempo: Una opción tendrá más o menos valor dependiendo del tiempo que
falte para su vencimiento; no puede valer lo mismo una opción que tiene un
tiempo de vencimiento a seis meses que otra que tiene un tiempo de
vencimiemto de un mes; entre más largo sea el lapso para su vencimiento
mayor será su valor.
Volatilidad: La volatilidad del activo subyacente (acciones, divisas, índices, etc.)
está definida por la variabilidad de los valores; entre mayor sea la dispersión,
mayor sera el riesgo y la opción tendrá un valor más alto.
Tasa de interés: El valor de la tasa de interés tambien influye en el valor de la
opción: entre más alto sea el interés, el precio de ejercicio tendrá un valor
presente menor; por lo tanto, la opción tendrá un valor más bajo.
En mercados eficientes el precio de la opción debe reflejar el valor de los
factores mencionados para evitar el arbitraje. En este caso se entiende por
arbitraje el aprovechamiento por parte de los especuladores de negociar
opciones que no reflejen el valor real para obtener beneficio de ello; sin
embargo, estos arbitrajistas se encargan que a través del proceso especulativo
la opción se cotice a su verdadero valor.
(T4) B. Paridad ““CALL” – “PUT””
Anteriormente se analizaron las estrategias básicas y sus combinaciones
según los resultados que quiera obtener el inversionista y las circunstancias del
mercado, si es alcista o bajista.
El perfil de la utilidad o pérdida de una acción, es una línea recta con
inclinación de 45 grados, cuyo punto de corte con el eje de las “X” es el precio
al cual se adquirió la acción; los valores a la derecha de este punto generan
beneficio para el inversionista. Al mezclar una opción de compra “CALL” con
una opción de venta “PUT” resulta un perfil idéntico al obtenido con el precio de
la acción y utilidad.
Tabla 7.12.
Beneficio conjunto de la compra de una “CALL” y la venta de una “PUT”
Alternativas
Precio de la
acción
Precio de
ejercicio de la
opción
Utilidad
Precio de la
acción
Precio de la
opción
Beneficio
Beneficio
conjunto
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
114
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
100.00
101.00
102.00
103.00
104.00
105.00
106.00
107.00
108.00
109.00
110.00
111.00
112.00
113.00
114.00
115.00
116.00
117.00
118.00
119.00
120.00
121.00
122.00
123.00
124.00
125.00
126.00
127.00
128.00
129.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
114.00
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
VENTA PUT Y COMPRA CALL
20
15
10
UTILIDAD
5
VENTA PUT Y COMPRA CALL
0
-
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
140.00
-5
-10
-15
-20
PRECIO DE LA ACCION
Figura 7.8
Si se grafica el precio de la acción y el beneficio conjunto de la compra de una
“CALL” y la venta de una “PUT”, se obtiene el mismo perfil que cuando se
grafica el precio de una acción y su utilidad. De acuerdo con el resultado de la
Figura 7.8 se puede definir la siguiente ecuación:
A = precio de una acción
P = venta de una “PUT”
O = compra de una “CALL”
A=O–P
Con base en la ecuación y si se establecen las siguientes convenciones,
Compra de una “CALL”
Venta de una “CALL”
Compra de una “PUT”
Venta de una “PUT”
Compra de una Acción
Venta de una Acción
=
=
=
=
=
=
O
-O
P
-P
A
-A
se pueden establecer lo que se llaman productos sintéticos, con base en
simples ejercicios algebráicos:
A = O – P = compra de una acción = compra de una “CALL” y venta de una “PUT”.
-A = P – O = venta acción = compra de una “PUT” y venta de una “CALL”.
O = A + P = compra “CALL” = compra de una acción y compra de una “PUT”.
-O = -A – P = venta “CALL” = venta de una acción y venta de una “PUT”.
P = O – A = compra “PUT” = compra de una “CALL” y venta de una acción.
-P = -O + A = venta “PUT” = venta de una “CALL” y compra de acción.
Las relaciones anteriores deben conservarse para evitar situaciones de
arbitraje; si una de ellas está infravalorada, los arbitrajistas la adquieren, en
caso contrario, cuando está sobrevalorada, los arbitrajistas especulativos la
venderán en el proceso.
Si E es el precio de ejercicio de la opción y en el momento actual el precio de la
acción es mayor que el precio de ejercicio, al inversionista le interesa vender la
acción a crédito, obtiene A y compra el paquete O - P al precio E habiendo de
esta forma realizado una utilidad de A – E. En caso de que el precio de la
acción fuese menor que el precio de ejercicio se compraría la acción, se
vendería el paquete O – P y se obtendría una ganancia de E – A.
Con base en lo anterior se puede concluir que en equilibrio, en el momento de
vencimiento de la opción y sin la posibilidad de arbitraje:
A–E=O–P
La relación anterior se conoce como la paridad entre “PUT” y “CALL”.
(T2) 7.2.5. Modelos de valoración de opciones
(T4) A. Modelo binomial
(T5) I. Valoración de una opción para un periodo
El valor de una acción en el mercado puede en un tiempo dado tener un valor
más alto que el actual o uno más bajo, dependiendo del comportamiento de los
factores que determinan el valor de una opción; por ejemplo, si la acción de la
empresa BB tiene actualmente un valor en el mercado de $1.000 es posible,
según los analistas, que suba a $1.300 o que baje a $900, cada uno de ellos
con una probabilidad del 50%. Se tendría la siguiente situación:
Precio alto de la acción = $ 1.300
50%
Precio actual
de la acción = $1.000
50%
Precio bajo de la acción = $ 900
La información anterior permite calcular el valor esperado de la acción de la
siguiente forma:
Valor esperado de la acción de BB = $1.300(50%) + $900(50%) = $1.100
Al final del periodo el valor teórico de la opción debe tener el mismo valor que
el de la opción en el mercado.
El modelo binomial considera que la acción puede tomar dos posibles valores
en el futuro: uno optimista y otro pesimista, y con base en ellos, determina el
valor de la opción en el momento inicial.
Si la acción vale al final del periodo $1.300, el valor de la opción sería:
Valor de la opción = MAX [ 0, 1.300 – 1.000] = 300
Si la acción vale al final del periodo $900, el valor de la opción sería:
Valor de la opción = MAX [ 0, 900 – 1.000] = 0
Lo anterior puede resumirse así:
PRECIO DE
PERIODO
1300
900
LA
OPCIÓN
FINAL
DEL PROBABILIDAD
50%
50%
VALOR DE LA OPCIÓN
MAX ( 0, 1300-1000) = 300
MAX(0, 900 – 1000) = 0
El comprador de la opción al final del periodo, si la acción tomó un valor de
$1.300, habrá ganado $300; en caso contrario no ganará nada, solamente
perderá el valor de la prima.
Los dos posibles valores, optimista y pesimista, que pueden tomar la acción y
la opción, son los elementos necesarios para definir lo que se conoce como el
“cociente Delta”, el cual relaciona la diferencia entre el valor posible más alto de
la opción y el más bajo, con la diferencia entre el valor posible más alto de la
acción y el más bajo y se expresaría asi:
Delta = diferencial de precios posibles de la opción/ diferencial de precios posibles de la acción
DELTA = (Vr. opción precio alto - Vr. opción precio bajo)/ (Vr. acción precio alto - Vr. acción precio bajo)
El Delta permite establecer la llamada “cobertura”, es decir, el número de
acciones y opciones que debe adquirir el inversionista para eliminar el riesgo.
Para el ejemplo, Delta sería:
DELTA = (300 – 0) / (1.300 – 900) = ¾
Lo anterior significa que para eliminar el riesgo se necesitan 3 acciones de la
empresa BB y 4 opciones de la misma empresa.
Analizando las dos posibilidades que pueden presentarse en el precio futuro,
ya que sea más alto o más bajo que el valor actual de la acción y tomando la
posición de cobertura, definida por el indicador Delta, que indica que la cartera
o portafolio debe estar conformado por tres acciones que se adquirirían con
recursos propios y cuatro opciones que se apalancarían.
ALTERNATIVA No.1 Precio alto de la acción = $1.300
Valor posición combinada = Precio alto acción (# acciones definidas por el Delta) – Valor alto opción (#
opciones definidas por el Delta).
Valor posición combinada = 1.300 (3) – 300(4) = 2.700
ALTERNATIVA No.2. Precio bajo de la acción = $900
Valor posición combinada = Precio bajo acción (# acciones definidas por el Delta) – Valor bajo opción (#
opciones definidas por el Delta).
Valor posición combinada = 900 (3) – 0(4) = 2.700
Se observa que con las alternativas 1 y 2 se obtiene el mismo resultado, es
decir, que con la cobertura se ha eliminado el riesgo.
Con base en los resultados anteriores, se puede determinar el valor de la
opción tomando como referente el concepto de equivalencia.
F = P ( 1 + i )N.
Donde:
F = Valor Futuro.
P = Valor Presente.
i = Tasa de interés, en este caso se toma la tasa libre de riesgo = 10%
anual.
N
= Tiempo = un año.
El valor futuro es el resultado final que se obtiene con la cobertura, es decir
2.700, el número de periodos que se considera para este caso es igual a uno.
El valor de P esta conformado por el portafolio que diseñó el inversionista, es
decir, 3 acciones de BB y 4 opciones, expresado así:
P = [ 3(1.000) – 4 (Valor de la opción)]
Precio de la acción hoy
El signo negativo de la adquisición de las cuatro opciones, se debe a que
fueron financiadas. Reemplazando en la equivalencia inicial se tiene:
F = P (1 + i )N
2.700 = [ 3(1.000) – 4(valor de la opción)]( 1+ 0.10)
2.700 = [ 3.000 – 4(valor de la opción)]( 1.10)
2.454,55 = 3.000 – 4(valor de la opción)
545,45 = 4 (valor de la opción)
Valor de la opción = 136,36
Alternativamente, como las acciones se pueden fraccionar, se toma el ejemplo
anterior y en lugar de expresar el Delta como un fraccionario (¾), se hubiera
expresado como 0.75 se tendría lo siguiente:
ALTERNATIVA No.1. Precio alto de la acción = $1.300
Valor posición combinada = Precio alto acción (# acciones definidas por el
Delta) – Valor alto opción (# opciones definidas por el Delta).
Valor posición combinada = 1.300 (0.75) – 300(1) = 675
ALTERNATIVA No.2. Precio bajo de la acción = $900
Valor posición combinada = Precio bajo acción (# acciones definidas por el
Delta) – Valor bajo opción (# opciones definidas por el Delta).
Valor posición combinada = 900 (0.75) – 0(1) = 675
Con base en los resultados anteriores, se puede determinar el valor de la
opción tomando como referente el concepto de equivalencia.
F = P ( 1 + i )N
Donde:
F = Valor futuro.
P = Valor presente.
i = Tasa de interés, en este caso se toma la Tasa libre de riesgo = 10%
anual.
N = Tiempo, un año.
El valor futuro es el resultado final que se obtiene con la cobertura, es decir
675; el número de periodos que se considera para este caso es igual a uno. El
valor de P está conformado por el portafolio que diseñó el inversionista, es
decir, 0.75 acciones de BB y una opción, expresado así:
P = [ 0.75(1.000) – 1 (Valor de la opción)]
Precio de la acción hoy
El signo negativo de la adquisición de la opción, se debe a que fué financiada.
Reemplazando en la equivalencia inicial se tiene:
F = P (1 + i )N
675 = [ 0.75(1.000) – 1(valor de la opción)]( 1+ 0.10)
675 = [ 750 – 1(valor de la opción)]( 1.10)
613,64 = 750 – 1(valor de la opción)
136.36 = 1 (valor de la opción)
Valor de la opción = 136,36
Lo anterior quiere decir que sobre una acción que en el futuro pueda valer
$1.300 o $900 siendo el precio de hoy de $1.000, ambos con probabilidad del
50%, la opción tendría un valor hoy de $136,36. Se observa que el resultado de
la valoración es idéntico al obtenido cuando se utilizó un portafolio conformado
por 3 acciones y 4 acciones.
De los cálculos anteriores se concluye que el Delta permite eliminar el riesgo a
través de la cobertura y que, si ésta se usa, se obtiene el mismo resultado
independientemente de que el precio de la acción sea superior al valor actual o
inferior.
Al final del periodo el valor teórico de la opción debe tener el mismo valor que
el de la opción en el mercado.
Los ejercicios anteriores son la base para establecer un modelo general
cuando se tenga un esquema similar, esto es, considerando un solo periodo.
El gráfico siguiente (Figura 7.9) expresa el portafolio definido por el Delta
DAALTA - OALTA
DA – O
DABAJA - OBAJA
Figura 7.9.
Donde:
D = ratio de cobertura.
AALTA = Valor precio alto de la acción.
ABAJA = Valor precio bajo de la acción.
OALTA = Valor precio alto de la opción.
OBAJA =Valor precio bajo de la opción.
El sistema de cobertura se puede generalizar considerando los siguientes
parámetros:
i* = tasa libre de riesgo + 1.
A = Valor de la acción en el momento inicial.
a = multiplicador para obtener el valor superior de la acción.
b = multiplicador para obtener el valor inferior de la acción.
b<a
i*>b
DAALTA – OALTA = DABAJA - OBAJA
Lo cuál, expresado con base en los parámetros establecidos, sería:
DAa - Oa = DAb - Ob
D = Ratio de Cobertura = DELTA = ( OALTA - OBAJA) / (AALTA - ABAJA)
Lo cuál, expresado con base en los parámetros, sería:
D = (OALTA – OBAJA)/(Aa – Ab)
D = (OALTA – OBAJA)/A(a – b)
Para conservar la equivalencia se calculan los valores optimista y pesimista
generados por la cobertura como valor presente del momento inicial y se
obtiene lo siguiente:
DA – O = (DAa – OALTA)/ i* = (DAb – OBAJA)/ i*
Donde:
i = tasa libre de riesgo.
Recuerde que i* = (1+i) y que los valores optimista y pesimista del portafolio
son valores futuros. Despejando O, se tiene:
O = DA – (DAa - OALTA )/i*
O =( i*DA – DAa + OALTA )i*
O = 1/i*[DA( i* - a) + OALTA]
Sustituyendo D por su valor, se tiene:
O = 1/i*[[ (OALTA – OBAJA)/A(a – b) ]A( i* - a) + OALTA]
O = 1/i*[[ (OALTA – OBAJA)/(a – b) ]( i* - a) + OALTA]
O = 1/i*[[ (OALTA – OBAJA)/(a – b) ]( i* - a) + (OALTA(a-b))/(a-b)]
O = 1/i*[ (OALTA(i* - a))/(a – b) – (OBAJA(i* - a))/(a – b) + (OALTA(a-b))/(a-b)]
Factorizando, se tiene:
O = 1/i*[ (OALTA(i* - a+ a - b))/(a – b) – (OBAJA(i* - a))/(a – b) ]
O = 1/i*[ (OALTA(i* - b))/(a – b) + (OBAJA(a – i*))/(a – b) ]
Si se hace:
p = (i* - b)/(a – b)
por lo tanto:
1 – p = 1 - (i* - b)/(a – b)
1 – p = (a – b – i* + b)/(a – b)
1 – p = (a – i*)/(a – b)
Sustituyendo los valores, se tiene:
O = 1/i* [ p OALTA + (1 – p)OBAJA]
OALTA = MAX [0, Aa - E]
OBAJA = MAX [0, Ab - E]
Tomando el ejemplo que se trabajó anteriormente en el cuál se consideró que
el precio actual de la empresa BB era de $1.000, con un escenario optimista de
$1.300/acción lo que implica un multiplicador a=1,3 y un escenario pesimista de
$900/accion lo que implica un multiplicador b=0,9, con base en estos
parámetros y una tasa libre de riesgo igual al 10% lo que significa que i* = 1.10,
se puede determinar el valor de p, o sea la probabilidad de ocurrencia de que el
valor de la acción se incremente en 30%.
p = (1.1 – 0.9)/(1.3 –0.9) = 0.50
por lo tanto: 1 – p = 0.50
Teniendo los valores de p, 1 – p, OALTA, OBAJA, se puede obtener el valor de la
opción en el momento inicial, es decir, cuando la acción tiene un valor de
$1.000.
O = 1/i* [ p OALTA + (1 – p)OBAJA]
O = 1/1.10 [ 0.50 (300) + (1 - 0.50(0)]
O = 136,36
Que es el mismo resultado obtenido anteriormente.
(T5) II. Valoración de una opción para dos periodos
Considerando dos periodos, y suponiendo los mismos factores de crecimiento y
decrecimiento en el valor de la acción, es decir, que si en el primer periodo el
crecimiento es 1,30, en el segundo será idéntico, tanto gráfica como
simbólicamente esto se expresaría así:
Valor de la acción = A
Factor de crecimiento = a
Factor de decrecimiento = b
Aa2
Aa
2Aab
A
Ab
T0
T1
Ab2
T2
Observando la rama superior del árbol, la acción tiene crecimiento en los dos
periodos; por el contrario en la rama inferior ocurre decrecimiento en ambos
periodos. En las ramas intermedias se presenta una alza y una baja en lapsos
de tiempo diferentes, en una primero crece y luego decrece, y en la otra se
obtiene el mismo comportamiento pero primero decrece y luego crece, por lo
cual el resultado de la salida es 2abA.
Considerando de forma análoga el comportamiento de las opciones y su
expresión gráfica, se tiene:
Oa2 = MAX [0, Aa2 - E]
Oa
Oab = MAX [0, Aab - E]
O
Ob
Ob2 =
MAX [0, Ab2 - E]
Después del primer periodo la acción puede tomar los siguientes valores:
Aa2
Aa
Aab
y la opción:
Oa2
Oa
Oab
Utilizando la cobertura expresada con el cálculo del Delta, se tendría lo
siguiente:
DAa2 – Oa2
DAa - Oa
DAab - Oab
Como la cobertura genera el mismo resultado, según lo visto anteriormente:
DAa2 – Oa2 = DAab – Oab
D(Aa2 – Aab) = Oa2 – Oab
D = (Oa2 – Oab)/(Aa(a – b))
El valor del portafolio en el tiempo T1 debe ser igual al valor presente de
cualesquiera de los portafolios obtenidos en T2, es decir:
DAa – Oa = (DAa2 – Oa2)/i*
ó
DAa – Oa = (DAab – Oab)/i*
Reemplazando D por su valor se tiene:
Oa =(1/i*)[pOa2 + (1 – p)Oab]
donde, p = (i* - b)/(a – b)
Ejemplo. Considerando la acción de BB que hoy tiene un valor en el mercado
de $1.000, y que en el siguiente periodo puede, según los analistas, crecer con
un factor incremental a=1,3 o decrecer con un factor b= 0,9, y si se mantienen
estos mismos factores de crecimiento y decrecimiento para periodos
posteriores, la acción tendría el siguiente comportamiento en el futuro.
Por ejemplo, si la acción crece durante tres periodos tendría un valor en ese
momento del tiempo de $1.000*(1.30)3 = 2.197 que corresponde a la rama
superior del árbol ( Figura 8.11). En caso que decreciera, su valor dentro de
tres periodos será: $1.000*(0.90)3 = 729.
Entre estos casos extremos se presentan situaciones intermedias; por ejemplo,
la acción puede crecer durante dos periodos consecutivos y luego decrecer en
el último, por lo cual su valor final se calcularía de la siguiente forma:
$1.000*(1.30)(1.30)(0.90) = 1.521 este valor también puede generarse si la
acción primero decrece y en los dos periodos posteriores decrece, así:
$1.000*(0.90)(1.30)(1.30) =1.521.
También puede decrecer en dos periodos consecutivos y luego crecer, por lo
que al final del tercer periodo alcanzaría el siguiente valor:
$1.000*(0.90)(0.90)(1.30) = 1.053
cifra que tambien se obtiene cuando la acción crece en el periodo inicial y
decrece en los dos periodos posteriores: $1.000*(1.30)(0.90)(0.90) = 1.053
Lo anterior puede expresarse gráficamente asi (Figura 7.19):
2.197
1690
1.300
1.000
1.521
1170
900
1.053
810
729
Figura 7.11
Tomando como referente el grafico anterior y siguiéndolo de izquierda a
derecha, es decir, partiendo de los valores futuros de la acción se llega al valor
presente de la opción de la siguiente forma:
O = Valor de la opción
A = Precio de la acción en el mercado
E = Precio de ejercicio de la opción = 1.000
p = Probabilidad de ocurrencia de que la acción se incremente de valor = 0.5
a = Factor de crecimiento = 1,30
b = Factor de decrecimiento = 0,90
i* = Tasa de interés libre de riesgo + 1 = 0.10 + 1 = 1.10
Considerando las dos ramas superiores del árbol, en los cuales el posible valor
de la acción sería $2.197 y $1.521, y siguiéndolas de izquierda a derecha, se
determinaría el valor de la opción para el periodo anterior, que simbólicamente
se expresaría así:
O = (1/i*)[p[MAX[0, (Aa3 – E)]] + (1- p)[MAX[0, (Aa2b – E)]]
O1 = (1/1.10)[0.5[MAX[0, (2.197 – 1.000)]] + (1- 0.5)[MAX[0, (1.521 – 1.000)]]
O1= (1/1.10)[0.50(1.197) + 0.50(521)] = 780,91
Tomando los siguientes valores del árbol, en los cuales el posible valor de la
acción será: $ 1.521 y $ 1.053, el valor de la opción en el periodo
inmediatamente anterior será:
O2 = (1/1.10)[0.5[MAX[0, (1.521 – 1.000)] + (1- 0.5)[MAX[0, (1.053 – 1.000)]
O2= (1/1.10)[0.50(521) + 0.50(53)] = 260.91
Tomando las ramas inferiores del árbol, en los cuales el valor futuro de la
acción será: $1.053 y $729, el valor de la opción será:
O3 = (1/1.10)[0.5[MAX[0, (1.053 – 1.000)]] + (1- 0.5)[MAX[0, (729 – 1.000)] ]
O3= (1/1.10)[0.50(53) + 0.50(0)] = 26.5
Los resultados anteriores O1, O2, O3 corresponden a los diferentes valores que
puede tomar la opción en T2, y son la fuente de información para calcular el
valor de las opciones en T1.
Tomando los valores de O1 y O2 se obtiene O4:
O4 = (1/1.10)[0.5[MAX[0, 780.91]] + (1- 0.5)[MAX[0, 260.91]] = 473.55
Tomando los valores de O2 y O3 se obtiene O5:
O5 = (1/1.10)[0.5[MAX[0, 260.91]] + (1- 0.5)[MAX[0, 26.5]] = 130.64
Los resultados anteriores O4 y O5 corresponden a los dos valores que puede
tomar la opción en T1 y son la fuente de información para calcular el valor de la
opción en T0.
O6 = (1/1.10)[0.5[MAX[0, 473.55]] + (1- 0.5)[MAX[0, 130.64]] = 274.63
Valor de la opción = $274.63
Este es el valor que debería pagar hoy un inversionista por una opción con las
características de crecimiento y decrecimiento en el futuro de la acción de la
empresa BB en los diferentes periodos.
Alternativamente se puede calcular el valor de una opción utilizando la
siguiente fórmula:
O = (1/i*N) ⎨ΣJ=0( N!/((J!(N – J)!PJ(1 – P)N-JMAX[0, aJbN-J(A – E)]⎬
O = (1/1.103) [(3!/3!)0.503(0) + 3!/(1!2!)(0.50)(0.502)53 + 3!/(2!1!)!)(0.502)(0.50)521 + [(3!/3!)0.503(1197)
O = 274.63
Valor que coincide con el obtenido anteriormente. Por lo tanto se puede
concluir que los métodos de valoración de opciones utilizan el mismo
fundamento, es decir, el valor presente de los valores esperados de la opción.
(T4) B. Modelo de valoración de opciones Black–Sholes
Es indudable la importancia y el aporte en la valoración de opciones en los
mercados financieros del modelo Black y Sholes el cuál, es actualmente el más
utilizado por los inversionistas.
Su deducción puede hacerse a través de la distribución binomial o utilizando
técnicas de derivación.
Si se utiliza la distribucion binomial para deducirlo, se debe considerar que para
que la opción (“CALL”) este dentro del dinero el valor de la acción debe tener
un número mínimo de alzas que se denominarán “x”:
ax.bn-xA>E
por lo tanto:
x > ln(E/Abn)/ln(a/b)
Donde:
x = número de alzas.
n = número de periodos.
E = Precio de ejercicio.
A = Precio de la acción.
ln = logaritmo natural.
Con base en lo anterior se tendría la ecuacion que determina el valor de la
opción:
O = “CALL” = AZ[x, n, p’] - E i*-n Z[x, n, p]
Z[x, n, p’] y Z[x, n, p] corresponden a los parámetros para determinar las
probabilidades de la distribucion binomial.
p = (i* - b)/(a – b)
p’ = (a/i*)p
Por la paridad entre “PUT” y “CALL”.
P = “PUT”, O = “CALL”
P = O – A + (E/ i*); reemplazando O por su valor, se tiene:
P = “PUT” = E i*-n⎨1 - Z[x, n, p]⎬ - A⎨1 - Z[x, n, p’]⎬
Ejemplo. Calcular el valor de las opciones “PUT” y “CALL” de la empresa YY
con base en la siguiente información: A= 1.000, E=900, i* = 1.10, a=1.30, b=
0.90, n = 5 periodos.
El primer paso es calcular el mínimo número de alzas “x”, para que la opción
“CALL” esté dentro del dinero:
x > ln(E/Abn)/ln(a/b), x > ln(900/(1.000*0.905))/ln(1.30/0.90)
x > 1,099 alzas
El valor de la opción “CALL” estaría determinado por la siguiente ecuación:
O = “CALL” = AZ[x, n, p’] - E i*-n Z[x, n, p]
O = “CALL” = 1.000Z[1,099,5, p’] -900 1.10-5 Z[1,099, 5, p]
Se conocen A, E, “x” y “n”, faltarían p y p’ para poder completar los parámetros
de la distribución binomial:
p = (i* - b)/(a – b) = (1.10 –0.90)/(1.30 – 0.90) = 0.4949
p’ = (a/b)p = (1.30/0.90)0.4949 = 0.5849
O = “CALL” = 1.000Z[1,099,5, 0.5849] - 900 1.10-5 Z[1,099, 5, 0.4949]
Utilizando la distribucion binomial del Excel ® se coloca en número de éxitos el
valor de “x” , en ensayos “n” y en probabilidad de éxito el valor de “p”; por
último pulse verdadero; el Excel ® arroja el valor complementario de la
distribución, por lo tanto, el valor buscado es 1 menos el resultado obtenido.
De acuerdo con lo anterior los resultados obtenidos sería:
O = “CALL” = 1.000Z[1,099,5, 0.5849] - 900 1.10-5 Z[1,099, 5, 0.4949]
O = “CALL” = 1.000(0.90088083) - 900 1.10-5(0.8061231)
O = “CALL” = 450.40
Ahora, con base en la paridad entre “PUT” y “CALL”, se puede hallar el valor de
la opción “PUT”:
P = “PUT” = E i*-n⎨1 - Z[x, n, p]⎬ - A⎨1 - Z[x, n, p’]⎬
Se conocen todos los parámetros para hallar la distribución binomial
complementaria; por lo tanto, el valor de la “PUT” será:
P = “PUT” = 900 1.10*-5⎨1 - Z[1,099, 5, 0.4949 ]⎬ - 1.000⎨1 - Z[1,099,5,
0.5849]⎬
P = “PUT” = 900 1.10*-5 (0.1938769) - 1.000(0.09911917) = 9.22
P = “PUT” = 9.22
El modelo de Black–Scholes, también puede ser obtenido alternativamente a
través de diferenciales, leegando al valor “CALL” de la siguiente forma:
O = “CALL” = AN(d1) – (E/εrt) N(d2)
Donde:
A = Precio de la acción.
E = Precio de ejercicio de la opción.
i = Tasa anual libre de riesgo.
t = Tiempo expresado en años.
d1 =( ln(A/E) + [r + (1/2)σ2]t)/(σ√t)
σ = volatilidad del precio de la acción en términos anuales.
d2 =d1 - σ√t
r = ln( 1 + i)
Ejemplo. Con base en la siguiente información de la empresa YY, calcular el
valor de la “CALL” y de la “PUT”, A =1.000, E = 950, t =4 meses, i =10% anual
y σ =40%.
t = 4 meses, que expresado en años es: t =4/12 = 0.33333333
r = ln( 1+0.10) = 9.53%
Con base en lo anterior, se puede obtener d1:
d1 =( ln(A/E) + [r + (1/2)σ2]t)/(σ√t)
d1 =( ln(1.000/950) + [9.53% + (1/2)0.402]0.33333)/( 0.40√0.3333333) = 47.51%
d2 =d1 - σ√t = 47.51% - 40%√0.33333333 = 24.42%
ε = 2.718281
O = “CALL” = AN(d1) – (E/εrt) N(d2)
O = “CALL” = 1.000N(47.51%) – (950/2.7182819.53%(0.33333)) N(24.42%)
O = “CALL” = 1.000(0.68265815) – (950/2.7182819.53%(0.33333))(0.59646385)
O = “CALL” = 133.73
Con base en la paridad “PUT” y “CALL” se puede obtener la valoración de una
opción “PUT”:
P = “PUT” = O – A + Eε-
rt
Reemplazando O por su valor se tiene:
P = “PUT” = Eε- rt N(-d2) – AN(-d1)
P = 950(2.718281)- 9.53%(0.33333)(0.40353615) – 1000(0.31734185)
P = “PUT” = 54.03
El modelo de Black–Scholes aplicado en el ejemplo anterior se fundamenta en
los siguientes supuestos:
•
•
•
•
•
•
•
No hay costos de transacciones.
Los activos son divisibles.
Información disponible, sin costo.
No se pagan dividendos.
Los agentes pueden prestar y pedir prestado a la tasa libre de riesgo.
Las opciones son europeas, es decir, que solamente se pueden ejercer al
vencimiento.
La variación del rendimiento es constante durante la vigencia del contrato.
(T4) C. Análisis comparativo entre el modelo Black–Scholes y el modelo binomial
La dificultad que pueden presentar los dos modelos es en la estimación de
ciertos parámetros; en el caso del modelo Black–Scholes supone que la
volatilidad histórica es la misma que se presentará en el futuro mientras en el
caso binomial la estimación de los multiplicadores a y b que definen el
crecimiento y decrecimiento de la acción, se hacen con base en el buen criterio
del analista. Sin embargo, Hull propone en 1989 que un buen acercamiento al
multiplicador a (alto) en el modelo binomial estaría expresado de la siguiente
forma:
a = εσ √ (t/n)
Donde t es plazo en años de la opción, n es el número de periodos del modelo
binomial y σ la volatilidad estimada de la acción expresada en términos
anuales.
i* = ε
(rt)/n
Donde:
r = tasa de interes instantáneo expresada como ln(1+i).
Se pueden comparar los dos modelos mediante un caso específico.
Ejemplo. Determinar el valor de la “CALL” y de la “PUT” utilizando los modelos
Black-Scholes y Binomial si se tiene la siguiente información: el valor de la
acción es de $2.600, el precio de ejercicio de la opción es de $2.500, la tasa de
interés libre de riesgo es de 9%, la volatilidad es de 34.90%, el periodo es de 6
meses.
Modelo binomial:
Con base en el modelo binomial, el valor de la opción está definido por:
O = “CALL” = AZ[x, n, p’] - E i*-n Z[x, n, p]
Z[x, n, p’] y Z[x, n, p] corresponden a los parámetros para determinar las
probabilidades de la distribución binomial. Así mismo, “x” es el numero mínimo
de alzas que debe tener la acción para estar dentro del dinero, n es el número
de periodos y los valores de p y p’ están definidos como se expresa a
continuación:
p = (i* - b)/(a – b)
p’ = (a/i*)p
a = factor de crecimiento.
b = factor de decrecimiento.
x > ln(E/Abn)/ln(a/b)
σ = 31.85%
t = periodos expresados en años = 6/12 =0,5 años
a = εσ √ (t/n) = 2.7182818281(31.85%)√(0.5/6)= 1.0963024
b= 1/a = 1/1.0963024 = 0.9121571
(rt)/n
i* = ε
, donde r es la tasa de interés instantáneo expresada como ln(1+i).
r = ln(1 + 0.09) = 8.62%
i* = 2.718281(8.62%*0.5)/6 = 1.007207323
x > ln((2500/(2600*0.91215716))/ln(1.0963024/0.9121571)
x > 2.786711
p = (i* - b)/(a – b)
p = (1.007207323 - 0.9121571)/( 1.0963024 - 0.9121571)
p = 0.51616976
p’ = (a/i*)p
p’ = (1.0963024/1.007207323) 0.51616976
p’ = 0.561828846
Se conocen los valores de A y E, y fueron calculados los valores de los
parámetros para medir las probabilidades utilizando la distribución binomial; por
lo tanto, se puede emplear la fórmula de valoración de opciones:
O = “CALL” = AZ[x, n, p’] - E i*-n Z[x, n, p]
Z[x, n, p’] = 1 - Z[2.786711, 6, 0.561828846 ] = 0.763944
Z[x, n, p] = 1 - Z[2.786711, 6, 0.51616976 ] = 0.6860574
Para determinar los valores anteriores se utilizó la distribución binomial de la
hoja de cálculo Excel ®.
O = “CALL” = 2600(0.763944) – 2500(1.007207323) -60.6860574
O = “CALL” = 343.44
Utilizando el teorema de la paridad entre “PUT” y “CALL”, se obtiene el valor de
la “PUT”:
P = “PUT” = E i*-n⎨1 - Z[x, n, p]⎬ - A⎨1 - Z[x, n, p’]⎬
Los valores de ⎨1 - Z[x, n, p]⎬ y ⎨1 - Z[x, n, p]⎬ se pueden obtener de la
siguiente forma:
⎨1 - Z[x, n, p]⎬ = 1 - 0.6860574 = 0.31394256
⎨1 - Z[x, n, p’]⎬ = 1 - 0.763944 = 0.236056007
P = “PUT” = 2500(1.007207323) -60.31394256 – 2600(0.236056007)
P = “PUT” = 138.01
Modelo Black-Scholes:
La forma de valorar las opciones con este modelo se hace mediante la
siguiente ecuación, como se explicó anteriormente:
O = “CALL” = AN(d1) – (E/εrt) N(d2)
La determinacion de d1 y d2 se hace a través de las siguientes ecuaciones:
d1 =( ln(A/E) + [r + (1/2)σ2]t)/( σ√t )
d2 = d1 - σ√t
La información necesaria para calcular el d1 y el d2 se determinó en el modelo
binomial.
A = 2600
E = 2500
r = ln (1+i ) = ln( 1+ 9%) = 8.62%
σ = 31.85%
t = 0,5 años.
d1 =( ln(2600/2500) + [8.62% + (1/2)(31.85%)2]0.5)/( 31.85%√0.5 )
d1 = 47.81%
d2 = d1 - σ√t
d2 = 47.81% - 31.85%√0.5
d2 = 25.29%
O = “CALL” = AN(d1) – (E/εrt) N(d2)
O = “CALL” =2600N(47.81%) – (2500/2.7182818.62%(0.5))N(25.29%)
N(47.81%) corresponde en la distribución normal a una probabilidad de
0.683703438 y N(25.29%) corresponde en la distribución normal a una
probabilidad de 0.599814338; por lo tanto:
O = “CALL” =2600(0.683703438) – (2500/2.7182818.62%(0.5))(0.599814338)
O = “CALL” = 341.33
El valor de la “PUT” sería:
P = “PUT” = Eε- rt N(-d2) – AN(-d1)
N(-d2) = 1 - N(d2) = 1- 0.599814338 = 0.40018566
N(-d1) = 1 - N(d1) = 1- 0.683703438 = 0.31629656
P = 2500(2.718281)- 8.62%(0.5)(0.40018566) – 2600(0.31629656)
P = “PUT” = 135.90
Como puede observarse con los dos modelos se obtienen resultados
similares, pero no idénticos, en la valoración de la “PUT” y de la “CALL”; sin
embargo, a medida que aumentan los periodos en la distribución binomial, los
resultados entre los dos modelos para las “PUT” y las “CALL” tienden a ser
más cercanos.
(T2) 7.3. PARALELO ENTRE OPCIONES FINANCIERAS Y OPCIONES REALES
En pocas palabras, se puede decir que las opciones reales son la extensión de
la teoría de opciones financieras al mundo real.
La comparación conceptual se basa en que el dueño de un proyecto tiene la
opción o el derecho de liquidarlo, mediante lo cual se recibe el dinero por
abandonarlo, es decir el valor de la venta de activos en ese momento, en caso
que su endeudamiento fuera cero
(T3) 7.3.1 TIPOS DE OPCIONES REALES
Las opciones reales reciben denominaciones o tipos según el objetivo de cada
una; en la siguiente lista se presentan los principales tipos de opciones reales y
un ejemplo de cada uno.
Opción de aplazar o aprender. Esta opción existe cuando se puede tomar la
decisión de esperar un tiempo para invertir, ya sea para obtener mayor
información o porque se cree que en futuro las condiciones del mercado serán
mejores. Este caso se presenta cuando una compañía crea un proyecto piloto
mucho más pequeño y con una menor inversión que el original, con el fin de
generar conocimiento y experiencia sobre el negocio; de esta manera en el
futuro conocerá más el negocio y podrá juzgar mejor sobre los resultados del
proyecto original.
Opción de salir o desinvertir. Se presenta cuando el proyecto tiene la
flexibilidad necesaria para que una vez iniciado no se lleve a cabo o no se siga
en él. La opción de desinvertir se presenta cuando un proyecto se lleva a cabo
por etapas, y en la finalización de cada segmento se toma de nuevo la decisión
de continuar o retirarse del proyecto.
El criterio de mayor utilizacion para la toma de decisiones de nuevos proyectos,
nuevos productos, nuevos mercados, reemplazo de maquinaria ha sido
historicamente el Valor Presente Neto, sin embargo este criterio de decision
parte del supuesto de que a lo largo del tiempo no podrian surgir estrategias
diferentes a las deliberadas(planeadas), pero en el mundo real si un producto
no tiene éxito en determinado mercado puede ser retirado, es decir, pueden
existir estrategias alternas a las que Henry Mintzberg llamo emergentes, esta
abstraccion teorica de la realidad abre un campo de accion a la aplicación de la
teoria de opciones a la Evaluacion de Proyectos o tambien conocida como
presupuesto de capital
Cuando en un proyecto no se hace la inversion total requerida sino que se
hacen inversiones parciales para ver los resultados, si estos son positivos se
continua con el proyecto, en caso contrario se da por terminado, la situacion
anterior se asemeja a la compra de una “CALL”, por lo tanto los modelos
utilizados para su valoracion en las opciones financieras, pueden utilizarse de
manera similar en los proyectos de inversion y reciben el nombre de Opciones
Reales.
OPCIONES REALES Aplicación del Modelo Black – Scholes A UN CASO
DE EXPANSION DE ACUERDO A RESULTADOS.
Caso # 1: EXPANSION DE ACUERDO A RESULTADOS
Colombia Floreciente es una empresa dedicada a la produccion de flores para
exportacion, despues de realizar su analisis estrategico para los proximos
años, la empresa formulo su estrategia para el futuro inmediato, la cual
consiste en la produccion de flores exoticas (heliconias) para el mercado
asiatico, especialmente dirigido a Japon, Corea y Singapur, sinembargo su
Gerente considera que es muy arriesgado sembrar las 10 hectareas previstas,
inicialmente ordena sembrar 2 hectareas y se estiman los siguientes flujos de
caja para este ultimo nivel de produccion:
AÑO
0
1
2
3
4
5
FLUJO DE CAJA
-200.000
20.000
40.000
60.000
80.000
100.000
Los flujos esperados de caja anteriores son crecientes, por lo cual se podria
asimilar a una “CALL”.
Si la tasa de descuento de la empresa es el 15% efectivo anual, el Valor
Presente Neto del proyecto para dos hectáreas seria:
2
3
4
5
VPN = -200.000 + 20.000/1.15 + 40.000/1.15 + 60.000/1.15 + 80.000/1.15 + 100.000/1.15 = - 17.454,04
Por lo tanto de acuerdo al criterio del VPN el proyecto no seria VIABLE.
Alternativamente si se emplea el modelo de Black-Scholes para valorar esta
inversion se tendria:
O = “CALL” = AN(d1) – (E/εrt) N(d2)
La determinacion de d1 y d2 se hace a traves de las siguientes ecuaciones:
d1 =( ln(A/E) + [r + (1/2)σ2]t)/( σ√t )
d2 = d1 - σ√t
A = 20.000/1.15 + 40.000/1.152 + 60.000/1.153 + 80.000/1.154 + 100.000/1.155 = 182.545,96
Es decir el valor presente de los flujos futuros generados por el proyecto.
E = 200.000
i = tasa libre de riesgo = 5% efectivo anual
r = ln (1+i ) = ln( 1+ 5%) = 4.87%
La volatilidad de la rentabilidad fue obtenida mediante el cálculo de la
desviacion estandar de la Tasa Interna de Retorno de los flujos de caja libres
obtenidos de escenarios generados por cambios en los precios de venta de las
flores.
TIR
9.76%
14.50%
35.43%
-11.77%
45.00%
17.60%
σ = 20%
t = 1 año; es el tiempo que se va a probar el proyecto
d1 =( ln(182.545,96/200.000) + [4.87% + (1/2)(20%)2]1)/( 20% )
d1 = - 11,26%
d2 = d1 - σ√t
d2 = -11,26% - 20% = -31,26%
O = “CALL” = AN(d1) – (E/εrt) N(d2)
O = “CALL” =182.545,96N(-11,26%) – (200.000/2.7182814.87%)N(-31,26%)
N(-11,26%) corresponde en la distribucion normal a una probabilidad de
0,4552 y N(-31,26%) corresponde en la distribucion normal a una probabilidad
de 0,3773 , por lo tanto:
O = “CALL” =182.545,96(0,4552) – (200.000/2.7182814.87%)(0,3773)
O = “CALL” = 11.224,93 para dos hectareas sembradas
Inicialmente se evaluaron dos hectáreas por el método del valor presente neto
para analizar la viabilidad del proyecto y con este criterio el valor obtenido fue
negativo (-17.454,04), por lo tanto no es viable. Posteriormente se determinó el
valor de una “CALL” para los flujos de dos hectáreas y su valor fue de
$11.294,93 con base en lo anterior se puede determinar la viabilidad del
proyecto utilizando las opciones reales de la siguiente forma:
Vr Presente con Opciones Reales = Vr Presente Proyecto Prueba + (Vr “CALL” proyecto prueba)(Número de “CALL”s para completar
proyecto)
Por lo tanto el valor total del proyecto con opciones reales seria:
Vr del Proyecto Opciones reales = Vr presente para dos hectáreas + (valor
opciones dos hectáreas)(# “CALL”s para completar 10 hectáreas)
Valor del Proyecto = -17.454,04 + (11.224,93)4 = 27.445,66
Se multiplicó por 4 el valor de la “CALL” para dos hectáreas lo que nos da un
total de 8 mas las dos iniciales que arrojaron un valor presente negativo se
completan las 10 hectáreas del proyecto.
Por el resultado obtenido el proyecto debe realizarse, en general el valor de la
opcion va a estar influenciado por la volatilidad de la rentabilidad de la
inversion, lo anterior puede probarse si se hacen los calculos anteriores pero
utilizando volatilidades inferiores a 20% o superiores a esta, con los mismos
valores de A, E, i, r; estos calculos se hicieron y se obtuvieron los siguientes
resultados:
VOLATILIDAD σ
VALOR PRESENTE NETO
VALOR DEL PROYECTO CON
OPCIONES REALES
0%
1%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
40%
-17.454,04
-17.454,04
-17.454,04
-17.454,04
-17.454,04
-17.454,04
-17.454,04
-17.454,04
-17.454,04
-17.454,04
-17.454,02
-13.357,28
-916,50
13.064,79
27.445,67
41.964,56
56.525,71
85.606,72
Lo anterior puede observarse claramente en el siguiente grafico:
VALOR DEL PROYECTO CON OPCIONES REALES PARA DIFERENTES NIVELES DE
VOLATILIDAD
100.000,00
VALOR CON OPCIONES REALES
80.000,00
60.000,00
40.000,00
VALOR CON OPCIONES REALES
VALOR PRESENTE NETO
20.000,00
0,00%
5,00% 10,00% 15,00% 20,00% 25,00% 30,00% 35,00% 40,00% 45,00%
-20.000,00
-40.000,00
VOLATILIDAD
En general puede concluirse que para volatilidades muy pequeñas cuando se
tiende a cero los dos sistemas dan iguales o similares resultados, las opciones
reales aumentan su importancia a medida que aumenta la volatilidad del
proyecto, es decir este sistema es util cuando se tienen altos niveles de
volatilidad, en el caso anterior el valor generado por el proyecto medido a
través de las opciones reales es positivo cuando la volatilidad esta entre 10% y
11% como se observa en el grafico anterior cuando la curva de valor de las
opciones reales corta el eje de la volatilidad.
OPCIONES REALES Aplicación del Modelo Black – Scholes A UN CASO
DE ABANDONO DEL PROYECTO.
Caso # 2 ABANDONAR EL PROYECTO
En este caso se considera la posibilidad de abandonar el proyecto de acuerdo
al resultado obtenido, y esta decision se puede tomar en cualquiera de los años
de vida del proyecto, para ejemplificar el caso planteado consideremos que la
empresa “Colombia Floreciente” decide cultivar orquídeas para exportarlas a
Europa y va a evaluar esta decision utilizando como instrumento las opciones
reales, el caso de abandono es muy similar a una “PUT” en las opciones
financieras, pues esta se utiliza cuando el precio de las acciones estan a la
baja.
FLUJO DE
CAJA
AÑO 0
AÑO 1
AÑO 2
AÑO 3
AÑO 4
-400.000
100.000
200.000
200.000
100.000
Si la tasa de descuento es del 20% efectivo anual se tendría un valor presente
neto del proyecto de $ –13.811,73
Con base en la informacion del flujo de caja del proyecto se puede determinar
cuanto vale abadonarlo en cualquiera de los años contenidos en su vida,
simplemente calculando el valor presente en ese punto del tiempo de los flujos
de caja proyectados que se esperaban recibir, utilizando la tasa de descuento
previamente definida, que para el ejemplo en cuestion es el 20%
ABANDONAR AL FINAL DEL AÑO UNO
Si se decide abandonar el proyecto al final del año uno, se tendría un valor
presente de los flujos faltantes igual a:
Valor presente = 200.000/(1+0.20) + 200.000/(1+0.20)2 + 100.000/(1+0.20)3 = 363.426
ABANDONAR AL FINAL DEL AÑO DOS
Si se decide abandonar el proyecto al final del año dos, se tendría un valor
presente de los flujos faltantes igual a:
Valor presente = 200.000/(1+0.20) + 100.000/(1+0.20)2 = 236.111
ABANDONAR AL FINAL DEL AÑO TRES
Si se decide abandonar el proyecto al final del año tres, se tendría un valor
presente de los flujos faltantes igual a:
Valor presente = 100.000/(1+0.20) = 83.333
Con base en la informacion anterior para cada punto del tiempo y si la tasa libre
de riesgo es del 8% efectivo anual, el precio de ejercicio es de 356.000 y se
tiene una volatilidad del 45% se puede valorar la opcion de abandonar el
proyecto en cualquiera de los años de la vida del proyecto, utilizando el modelo
de Black-Scholes para “PUT”S, el precio de ejercicio es el valor que se
considera que se recibira en caso de abandonar el proyecto.
P = “PUT” = Eε- rt N(-d2) – AN(-d1)
N(-d2) = 1 - N(d2)
N(-d1) = 1 - N(d1)
d1 =( ln(A/E) + [r + (1/2)σ2]t)/( σ√t )
d2 = d1 - σ√t
VALOR DE LA OPCION AL FINAL DEL AÑO 1
E = 356.000 , A = 363.426 , r = ln(1+i) = ln(1+0.08) = 0.0769, t = 3 y volatilidad
medida en terminos de la desviación estandar σ = 45%
d1 =( ln(363.426/356.000) + [0.0769 + (1/2)45%2]3)/( 45%√3 ) = 71.24%
d2 = d1 - σ√t = 71.24% - 45% √3 = 71.24% - 77.94% = -6.70%
P = “PUT” = Eε- rt N(-d2) – AN(-d1)
N(d1) y N(d2) se obtienen de las tablas de distribucion normal estandarizada, o
utilizando la funcion estadistica de EXCEL que tiene el mismo nombre y
colocando como valor Z los valores de d1 y d2
N(d1) = 0.7619, N(-d1) = 1 – 0.7619 = 0.2381
N(d2) = 0.4733, N(-d2) = 1 – 0.4733 = 0.5267
P = 356.000(2.728281)-0.0769*3N(-d2) – 363.426N(-d1)
P = 356.000(2.728281)-0.0769*30.5267 – 363.426(0.2381) = 62.318
VALOR DE LA OPCION AL FINAL DEL AÑO 2
E = 356.000 , A = 236.111 , r = ln(1+i) = ln(1+0.08) = 0.0769, t = 2 y volatilidad
medida en terminos de la desviación estandar σ = 45%
d1 =( ln(236.111/356.000) + [0.0769 + (1/2)45%2]2)/( 45%√2 ) = -8.52%%
d2 = d1 - σ√t =-8.52%% - 45% √2 = -72.16%
P = “PUT” = Eε- rt N(-d2) – AN(-d1)
N(d1) = 0.4660, N(-d1) = 1 – 0.4660 = 0.5339
N(d2) = 0.2353, N(-d2) = 1 – 0.2353 = 0.7647
P = 356.000(2.728281)-0.0769*2N(-d2) – 236.111N(-d1)
P = 356.000(2.728281)-0.0769*20.7647 – 236.111(0.5331) = 107.334
VALOR DE LA OPCION AL FINAL DEL AÑO 3
E = 356.000 , A = 83.333 , r = ln(1+i) = ln(1+0.08) = 0.0769, t = 1 y volatilidad
medida en terminos de la desviación estandar σ = 45%
d1 =( ln(83.333/356.000) + [0.0769 + (1/2)45%2]1)/( 45%√1 ) = - 283.08%
d2 = d1 - σ√t = -283.08% - 45% √1 = -283.08% - 45% = -328.08%
P = “PUT” = Eε- rt N(-d2) – AN(-d1)
N(d1) = 0.002321, N(-d1) = 1 – 0.002321 = 0.9976
N(d2) = 0.00052, N(-d2) = 1 – 0.00052 = 0.9994
P = 356.000(2.728281)-0.0769*1N(-d2) – 83.333N(-d1)
P = 356.000(2.728281)-0.0769*10.9994 – 83.333(0.9976) = 246.319
VALOR DE LA OPCION AL FINAL DEL AÑO 4
El valor de la opcion al final del año 4, es igual al precio de ejercicio o sea
356.000
Una vez obtenidos los valores de las “PUT” en cada uno de los puntos del
tiempo, se suman sus valores, lo que daria que el proyecto necesita tres “PUT”
para protegerse.
EVALUACION DEL PROYECTO:
El valor del proyecto seria igual a su valor presente neto descontado a la tasa
de descuento que para el proyecto seria del 20% mas el valor de las opciones
descontadas a la tasa libre de riesgo (7.69%) es decir:
VALOR PRESENTE NETO UTILIZANDO OPCIONES REALES:
2
3
4
-13.811.73 + 62.318/(1+0.0769) + 107.334/(1+ 0.0769) + 246.319/(1+0.0769) +356.000/(1+ 0.0769) = 598.534.52
POR LO TANTO BAJO ESTAS CONDICIONES EL PROYECTO SERIA
VIABLE
EN GENERAL LAS OPCIONES REALES VAN A SER UTILES CUANDO LOS
PROYECTOS
TENGAN
MUCHA
VOLATILIDAD,
ES
DECIR
INCERTIDUMBRE, PUESTO QUE PARA ESTOS CASOS ARROJAN
RESULTADOS POSITIVOS, NO SUCEDE LO MISMO CUANDO LA
VOLATILIDAD ES MINIMA.
BIBLIOGRAFÍA
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