Introducción a los Números Aleatorios

Universidad Católica de Valparaíso
Facultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería de Transporte
1. NÚMEROS ALEATORIOS
1.0 INTRODUCCIÓN
El papel que desempeñan las variables aleatorias uniformemente
distribuidas en la generación de variables aleatorias tomadas de otras
distribuciones de probabilidad, tales como:
Normal, Poisson
Binomial, etc., es muy importante.
Variable aleatoria corresponde a una función de valor real, definida
sobre un espacio muestral asociado con los resultados de un
experimento conceptual de naturaleza azarosa.
En tanto que el valor de la variable aleatoria es el resultado
particular de un experimento, o sea, un valor numérico o de la
muestra de una variable aleatoria.
Las letras mayúsculas se emplean para representar a las variables
aleatorias. Y las letras minúsculas para denotar los valores de las
variables aleatorias.
Consideremos un evento aleatorio cuyo resultado está dado por un
valor(real) X llamemos P(X ≤ x) la probabilidad de que el
resultado X sea ≤ x (valor dado).
La función F(x) = P(X ≤ x) (que solo depende de x) se llama
Función de Distribución Acumulada de probabilidad.
Se tiene que: 0 ≤ F(x) ≤ 1, Sí ∃ una función f(x), tal que
Yx
F(x) =
∫ f ( x)dx
−∞
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f(x) se denomina función de densidad de probabilidad de la variable
aleatoria X cuando X = x.
Las variables aleatorias se clasifican, de acuerdo con sus funciones
de densidad de probabilidad.
En este caso nos concentraremos, exclusivamente, sobre las
variables aleatorias con funciones de densidad de probabilidad
uniforme.
La función de distribución acumulativa para la distribución uniforme
estandarizada está dada por:
Si 0 ≥ x
F (x) = 0
Si 0 < x < 1
F (x) = x
Si x >= 1
F (x) = 1
Para la realización de una simulación que requiere del empleo de
variables aleatorias, se debe disponer de las secuencias de números
aleatorios con cierta distribución de probabilidad.
Los valores de las variables aleatorias a considerar aquí, se
representarán por números, que al menos, parezcan haberse obtenido
al azar.
Como los valores de nuestra población uniformemente
distribuida.
El valor de la variable aleatoria se
emplea como un término
colectivo
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que significa números aleatorios dados en forma de dígitos, enteros
o racionales, con un intervalo y un sistema de numeración bien
definidos.
Por convención:
Número aleatorio = Número aleatorio uniforme = Término colectivo
2.0
GENERADORES DE NÚMEROS ALEATORIOS.
Los métodos para generar números aleatorios involucran algún
proceso físico cuasialeatorio, que genera sucesiones de números
aleatorios de determinada longitud.
El requisito general para las sucesiones es la independencia
estadística.
2.1 Métodos para la generación de números aleatorios.
a) Métodos manuales:
Dispositivos mecánicos o electrónicos, lanzamientos de monedas o
dados, empleo de barajas, ruletas. Son menos prácticos pero simples,
lentos, atractivos, pedagógico. Pero no pueden reproducirse.
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b) Tablas de biblioteca:
Generados por los métodos anteriores. Están en tablas. Siempre
pueden reproducirse, pero es un sistema lento. Determinados
problemas requieren mas números aleatorios que los publicados.
c) Métodos de computación analógica:
Dependen de procesos físicos aleatorios, por ejemplo: el ruido
térmico de un circuito con semiconductores, que convertido en un
número binario, representa un valor numérico aleatorio. Se
considera que conducen a verdaderos números aleatorios.
d) Métodos de computación digital:
Se han sugerido tres métodos para producir números aleatorios
cuando se usan computadoras digitales; provisión externa,
generación interna, relación de recurrencia.
Existen en la actualidad técnicas para generar con una computadora,
variables aleatorias uniformemente distribuidas, r (en donde r ≥ 0 y
l ≥ r).
Los números generados por estas subrutinas de computadora se
denominan números pseudoaleatorios, porque se generan a partir de
una fórmula totalmente determinística mediante la computación.
Sus propiedades estadísticas, coinciden con las de los números
generados a través de un dispositivo fortuito idealizado que
selecciona números de un intervalo unitario (0,1) de un modo
independiente en donde son igualmente probables todos los
números.
A condición de que estos números pseudo aleatorios puedan pasar el
conjunto de pruebas estadísticas (las de frecuencia, auto correlación,
producto rezagado, corridas, de distancia y así sucesivamente)
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implicadas por un dispositivo fortuito idealizado, tales números
pseudo aleatorios se pueden tratar corno si "en realidad lo fueran" a
pesar de que no lo son.
2.2 Requisitos para un buen generador de números pseudo aleatorios
con distribución uniforme:
i) La distribución de los números debe ser uniforme en todo el
intervalo [0,1].
ii) Los números deben ser independientes dentro de toda la serie
generada.
iii) El ciclo del generador debe ser lo suficientemente grande.
iv) La serie debe volverse a repetir.
v) Capaz de generar números pseudo aleatorios a altas
velocidades.
vi) Requerir una mínima cantidad de la capacidad de memoria de
Computadora.
Los métodos de
congruencia satisfacen
de mejor forma todos
esos criterios
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