Campos variables en el tiempo A. J. Zozaya Índice Índice 1 1. Ley de inducción de Faraday 1 1.1. Conductor que se mueve en un campo magnético, 2. —1.2. Caso general de la inducción, 3. —1.3. Forma diferencial de la ley de inducción de Faraday, 5. 2. Corriente de desplazamiento de Maxwell 6 2.1. Ecuaciones de Maxwell, 7. —2.2. Potenciales retardados, 7. 3. Revisión del concepto de energía magnética Referencias 11 Bibliografía 11 Índice alfabético 1. 8 12 Ley de inducción de Faraday En los materiales con una conductividad distinta de cero, se inducen corrientes de conducción si se «sumerB = B(t ) gen» en un campo magnético variable en el tiempo. Con relación a la figura 1, Faraday (alrededor de 1831) observó que al variar el campo de inducción magnética B i (t ) se engendraba una corriente en la espira conductora. En particular, tomando como referencia las direcciones del Figura 1: Espira conductora en presencampo B y la corriente I indicadas en la figura 1, se cia de un campo magnético variable en observa que al incrementarse B la corriente decrece, y el tiempo. viceversa, al disminuir B la corriente aumenta. El establecimiento de esta corriente se atribuye a la «inducción» de una fuerza capaz de realizar trabajo sobre los portadores de carga del medio conductor. El trabajo por unidad de carga que realiza esta fuerza, que bien pudiera llamarse trabajo, se denomina fuerza electro-motriz, abreviadamente f.e.m., y se define como sigue: f.e.m. = I E · d` (1) En la Ecuación (1) se asume que un campo de naturaleza eléctrica, E, es responsable de este trabajo. Ciertamente, tal campo eléctrico no es de naturaleza conservativa. 1 La relación cuantitativa establecida experimentalmente por Faraday entre la variación temporal del campo magnético B y la «fuerza electro-motriz» tiene la siguiente forma: I E · d` = − Cesp | {z f.e.m. d B Φ dt Sesp } f.e.m. = − d Z B · ds dt Sesp (2) La Ecuación (2) debe leerse de la siguiente manera: dado un campo magnético B, variable en el tiempo, y prefijado un cierto camino cerrado en la región de existencia del campo magnético, imaginario o real, que bien pudiera ser una espira conductora Cesp , sobre tal camino se induce un campo eléctrico capaz de realizar un trabajo por unidad de carga, a lo largo del circuito, par al flujo de la razón de cambio temporal del campo magnético a través de una cualquiera de las superficies definidas por el camino mismo. La relación espacial entre los campos inducido –E– e inductor –∂B/∂t– es de mutua ortogonalidad. El signo menos en la Ec. (2) se conoce como Ley de Lenz. La ley de Lenz establece que la f.e.m. que se induce en la espira por la acción del flujo magnético primario, o exterior, es tal que la corriente engendrada produce un flujo magnético secundario contrario al flujo magnético primario, produciendo un flujo resultante menor [1]. 1.1. Conductor que se mueve en un campo magnético Si un conductor se mueve con velocidad ν en una región en la que existe un campo magnético B t-invariante y uniforme (ver Fig. 2), todos los portadores de carga dentro del conductor experimentan una fuerza dada por: F = q(ν × B) (3) La Ecuación (3) forma parte de una expresión de la fuerza aún más general, denominada fuerza de Lorentz, la cual tiene en cuenta la acción de los campos tanto eléctrico como magnético: F = q(E + ν × B) (4) La componente magnética de la Fuerza de Lorentz por unidad de Figura 2: Inducción por movimiento. Cierta barra conductora se desplaza a velocidad ν sobre un par de rieles, conductores también, en carga: una región en la que existe cierto campo B uniforme . Todos los F portadores de carga en la barra experimentan una fuerza por unidad =ν ×B q de carga dada por ν × B. Solo los electrones podrán moverse dando se puede considerar, desde el punto lugar a una corriente I que queda limitada por la resistencia R en serie con el circuito. de vista de la propia carga, como una suerte de campo eléctrico: E = ν × B, de modo que 2 para un circuito en el que una o más de sus partes, o todo él, presentan un movimiento relativo respecto de un campo magnético exterior, se puede definir una trabajo por unidad de carga, o f.e.m., no nulo, dado por: I Γ I F ·d` = (ν × B) · d` q Γ |{z} I E E · d` = | Γ {z (ν × B) · d` Γ f.e.m. 1.2. I } Caso general de la inducción I Muy corrientemente se suele separar la f.e.m. inducida por la variación temporal del campo magnético de la inducida por el movimiento relativo del circuito, denominando f.e.m de transformación la primera, y f.e.m de generador, o de movimiento, la segunda [2]: B −e ν −e −e I E · d` = − Z SΓ Γ | ∂B · ds ∂t {z } + f.e.m. de transformación (a) Por traslación del circuito B Polo norte (ν × B) · d` |Γ {z } f.e.m. de generador (5) También se suelen englobar ambas f.e.m. en una única ecuación d Z B · ds E · d` = − dt SΓ Γ Polo sur ω I I I (b) Por rotación del circuito (6) donde queda sobrentendido que el flujo SΓ B · ds puede variar en el tiempo porque el campo magnéFigura 3: Mecanismos de inducción de la f.e.m. tico sea t−variante: B = B(t), o el circuito se dede generador o de movimiento. forme –Fig. 2–, se traslade –Fig. 3(a)–, o rote –Fig. 3(b)–, en el tiempo: SΓ = SΓ (t), o ambas cosas. Para comprobar el caracter general de la Ec. (6) procederemos como sigue partiendo de la forma compacta R f.e.m. = − dΦ dt donde Φ = SΓ B · ds, siendo SΓ una cualquiera de las superficies definidas por el circuito Γ en el que se desea determinar la f.e.m., pudiendo ocurrir que tanto el campo magnético B = B(t), como la superficie SΓ = SΓ (t) varíen con el tiempo. Se tiene R " # Z dΦ 1 Z = lı́m B(t + ∆t) · ds − B(t) · ds ∆t→0 ∆t dt SΓ (t+∆t) SΓ (t) 3 (7) Figura 4: Circuito que cambia por deformación, traslación o rotación. En t el circuito es de la forma Γ(t) y tiene asociada una familia de superficies abiertas SΓ (t). En t + ∆t el circuito es de la forma Γ(t + ∆t) y tiene asociada una familia de superficies abiertas SΓ (t + ∆t). En el intervalo ∆t el circuito «barre» una superficie S`at . Un diferencial de superficie sobre S`at tendrá la forma de ds = d` × νt si sus dos lados se toman paralelos a Γ y a la velocidad ν, respectivamente, como se indica. donde SΓ (t) y SΓ (t + ∆t) son las superficies definidas por el mismo circuito en los instantes t y t + ∆t, respectivamente, las cuales pueden ser, en general, distintas (ver Fig. 4). Si en el intervalo ∆t el circuito ha cambiado, por deformación, traslación o rotación, las superficies SΓ (t) y SΓ (t + ∆t) en conjunto con una superficie que denotaremos S`at , la cual se puede pensar como el área barrida por la deformación, traslación o rotación del circuito en el intervalo ∆t, conforman una superficie cerrada S = SΓ (t) + SΓ (t + ∆t) + S`at . Ahora bien, si el campo magnético varía continuamente y con suavidad se podrá expandir de la forma: ∆t + T.O.S., y al despreciar los términos de orden superior, la Ec. B(t + ∆t) = B(t) + ∂B(t) ∂t (7) asume la forma # " Z Z ∂B(t) 1 Z dΦ B(t) · ds + B(t) · ds = lı́m ∆t · ds − dt ∆t→0 ∆t SΓ (t+∆t) ∂t SΓ (t+∆t) SΓ (t) tomando en cuenta que V (SΓ ) ∇·B(t) dν = y que ∇ · B = 0, resulta R R SΓ (t+∆t) B(t)·ds− R SΓ (t) B(t)·ds+ R S`at (8) B(t)·ds`at ! Z dΦ 1 Z ∂B(t) − B(t) · ds = lı́m + · ds ∆t | {z`at} ∆t→0 ∆t dt ∂t S`at SΓ (t+∆t) (9) d`×νdt En la Ecuación (9) el diferencial de superficie sobre S`at tendrá la forma ds`at = d` × νt si sus dos lados se toman paralelos a Γ y a la velocidad ν, respectivamente, como se muestra R H R en la Fig. 4, y la integral de superficie se podrá expresar de la forma S`at = Γ(t) 0∆t : ! Z dΦ 1 I Z ∆t ∂B(t) = lı́m − B(t) · d` × νdt + · ds ∆t ∆t→0 ∆t dt ∂t Γ(t) 0 SΓ (t+∆t) " ! ! # I Z 1 ∂B(t) = lı́m − B(t) · d` × ν ∆t + · ds ∆t ∆t→0 ∆t ∂t Γ(t) SΓ (t+∆t) I Z ∂B(t) =− B(t) · d` × ν + · ds ∂t Γ(t) SΓ (t) 4 (10) Usando la propiedad A · B × C = B · C × A, se obtiene finalmente: f.e.m. = − 1.3. Z dΦ I ∂B(t) = · ds ν × B(t) · d` − dt ∂t Γ(t) SΓ (t) (11) Forma diferencial de la ley de inducción de Faraday Al tomar el límite SΓ → 0, de modo de reducir la superficie SΓ y su contorno Γ a un punto (macroscópico), y usando el Teorema de Stoke, la Ec. (6) da lugar a: d Z lı́m E · d` = lı́m − B · ds SΓ →0 Γ→0 Γ dt SΓ Z d Z lı́m B · ds ∇ × E · ds = lı́m − SΓ →0 SΓ SΓ →0 dt SΓ Z d Z ∇ × E · ds = − B · ds dt I SΓ →0 SΓ →0 y en la medida que la superficie SΓ se contrae, las cantidades subintegrales ∇×E y B, siendo funciones de buen comportamiento, tienden a comportarse como cantidades constantes en los puntos de SΓ , pudiéndose factorizar de sus respectivas integrales: Z SΓ →0 d Z ∇ × E · ds = − dt ∇×E· B · ds SΓ →0 Z SΓ →0 ∂B Z ds = − · ∂t ds SΓ →0 ∇×E = − ∂B ∂t (12) La Ecuación (12) se conoce como Ley de Inducción de Faraday en forma diferencial o puntual. El campo eléctrico definido mediante la Ec. (12) es un campo de naturaleza solenoidal, o sea un campo no conservativo, de líneas cerradas. Con la Ec. (12) se completa el conocimiento del campo eléctrico. Se reconoce así, que el campo eléctrico posee dos componentes: una componente irrotacional, o estática, E i , y una componente solenoidal, o dinámica, E s : E = E i + E s , donde los campos E i y E s quedan definidos de la siguiente manera: ∇ × Ei = 0 ρν ∇ · Ei = ε0 ∇ × Es = − ∂B ∂t ∇ · Es = 0 Normalmente, sin embargo, se describe el campo eléctrico de la siguiente manera concisa: ∂B ∇×E = − ∂t ρν ∇·E = ε0 5 (13) (14) o equivalentemente (en el mundo macroscópico): ∇×E = − ∂B ∂t (15) ∇ · D = ρν (16) donde se debe distinguir la naturaleza distinta de las densidades volumétricas de cargas que aparecen en las Ecs. (14) y (16): la primera incluye todo tipo de cargas (libres y ligadas), la segunda incluye solo las cargas libres. 2. Corriente de desplazamiento de Maxwell En el Cuadro 1 se muestra el conjunto de leyes experimentales conocidas para la época de Maxwell escritas usando la notación moderna que debemos principalmente a Heaviside y Gibbs. Cuadro 1: Resumen del conocimiento acumulado hasta la época de Maxwell. Formas diferenciales o puntuales Ley de inducción de Faraday Ley de Gauss Ley circuital de Ampere ∇ × E = − ∂B ∂t Formas integrales o globales H Γ E · d` = − dtd ∇ · D = ρν H ∇×H =J H ∇·B =0 Ecuaciones constitutivas Ecuación de continuidad de la corriente S(Γ) D · ds = R H · d` = R S Γ R H S V (S) S(Γ) B · ds ρν dν J · ds B · ds = 0 D = εE, B = µH, J = σE ν ∇ · J = − ∂ρ ∂t H S J · ds = − dtd R V (S) ρν dν Maxwell observó la incosistencia existente entre las ecuaciones de la ley de Ampere y de continuidad de la corriente: al tomar la divergencia de la primera se llega a un resultado ν incoherente con la segunda: ∇·(∇×H) = 0 = ∇·J , pero, a su vez: ∇·J = − ∂ρ . Maxwell ∂t debió corregir la Ley de Ampere añadiendo algo al segundo miembro: ∇ × H = J + algo, de tal suerte que al tomar la divergencia de esta ecuación resultase ∇ · J = −∇ · algo. Al comparar este resultado con la ecuación de continuidad de la corriente tendría que ser ν ∇ · algo = − ∂ρ . Facilmente se puede deducir, usando la Ley de Gauss (∇ · D = ρν ) que ∂t 6 algo = ∂D ∂t y: ∂D ∂t se denomina densidad de corriente de desplazamiento. ∇×H =J + donde el nuevo término 2.1. ∂D ∂t (17) Ecuaciones de Maxwell Maxwell concibió la densidad de corriente de desplazamiento por la vía del pensamiento, y no experimentalmente, y al hacerlo estaba postulando la teoría más completa de la Física: la Teoría Electromagnética. El conjunto de ecuaciones: ∇×E = − ∂B ∂t (18) ∇ · D = ρν (19) ∂D ∇×H = J + ∂t ∇·B = 0 (20) (21) se conocen como las Ecuaciones de Maxwell. Tales ecuaciones son ecuaciones del punto o diferenciales y permiten explicar todos los fenómenos electromagnéticos macroscópicos de la naturaleza. Las Ecuaciones de Maxwell contienen el concepto de acción contigua, en contraposición con la acción a distancia, pues correlacionan la razón de variación espacial con la razón de cambio por unidad de tiempo de los campos, lo cual implica que la evolución de éstos no puede sino ocurrir mediante pequeños (infinitesimales) pasos espaciales y temporales. 2.2. Potenciales retardados J (r‘) µ 0 De la Ecuación (21) se desprende que B = ∇ × A, solo que A(r, t) 6= 4π V 0 R dν . El vector potencial magnético ahora será función del tiempo y su valor en un punto dado será función de la distribución de corriente en un instante de tiempo anterior, el necesario para que el efecto de J (r 0 ) ( o sea A) mediante una «acción contigua» se manifieste en el punto de observación r. Un expresión apropiada para A, tomando en cuenta este retardo, y asumiendo que la perturbación A «viaja» de un punto a otro a una velocidad νp es R µ Z J (r 0 , t − R/νp ) 0 dν A(r, t) = 4π V 0 R (22) Otra consecuencia de las Ecuaciones de Maxwell es que E 6= −∇V , ya que ∇ × E 6= 0. Sin embargo al sustituir en la Ec. (18) B = ∇ × A: ∂B ∂t ∂ = − ∇×A ∂t ∇×E = − 7 intercambiando los operadores ∂ ∂t ←→ ∇× ∂A ∇×E = ∇× − ∂t ! ∂A ∇× E+ = 0 ∂t ! de donde E+ ∂A = −∇V ∂t |{z} −ES | {z Ei } ∂A E = −∇V − | {z } ∂t} | {z Ei Es y Ei = −∇V son las componentes solenoidal, o «dinámica», e irrotacional, donde Es = − ∂A ∂t o cuasiestática, del campo eléctrico, respectivamente. ρν (r‘) 1 R Ciertamente el potencial V = V (r, t) 6= 4πε dν 0 y su causa –ρν (r 0 , t)– no suceden V0 R simultáneamente: primero sucede la causa y luego sucede el efecto, de modo que al observar el potencial en r en un instante de tiempo t dado, la causa que lo ha engendrado ha debido ocurrir un instante de tiempo anterior, dígase t0 = t − R/νp , donde νp es la velocidad con que la acción de las fuentes se propaga hacia los puntos contiguos alrededor y νRp es el tiempo que tarda en ir del punto fuente r 0 al punto de observación r: V (r, t) = 1 Z ρν (r 0 , t − R/νp ) 0 dν 4πε V 0 R (23) Las funciones de las Ecs. (22) y (23) se conocen como los Potenciales Retardados. 3. Revisión del concepto de energía magnética En el capítulo previo definimos la densidad de energía magnética para medios lineales mediante la fórmula wm = 21 H · B y advertimos que su deducción no podía ser posible hasta haber completado el estudio de la Ley de Inducción de Faraday, tema que finalmente hemos tratado. Procederemos de seguido a deducir esta expresión usando como referencia un cuerpo conductor de la forma que se indica en la Fig. 5 el cual se conecta electricamente por los extremos 1 y 2 con un generador que forzará «suavemente» una corriente constante I, partiendo de un valor nulo. En t = 0 el generador empezará a inyectar cargas por uno de los extremos y las evacuará por el otro, de tal manera de realizar un trabajo dw = ∆V dq sobre la carga diferencial dq, siendo ∆V la difrencia de potencial entre los extremos 1 y 2 del conductor. Este diferencial de carga se incorporará a la corriente i que empezará a circular a través de la sección ∆S1 del R conductor: i = ∆S1 J · ds. Recordemos que hemos asumido que la corriente será inicialmente nula y por tanto la misma será una función del tiempo i = i(t), y que la haremos variar 8 Figura 5: Cuerpo conductor sobre el que se forzará una corriente I DC de manera suave, y que servirá de base para la deducción de la expresión wm = 12 H · B. muy lentamente, o suavemente, hasta alcanzar un valor constante I. Anticiparemos que esto ocurrirá después de T s. Durante la evolución de i(t) se inducirá un campo Es dado por , donde A vendría dado por la Ec. (22). Si se asume que la evolución temporal Es = − ∂A ∂t de J sea suficientemente lenta, dígase cuasiestática, se podrán despreciar los retardos y J (r 0 ,t) µ R dν 0 , donde VC es el volumen del conductor. En este aproximar A como A = 4π VC R punto es necesario precisar un poco mejor el caracter suave de la evolución temporal de la corriente. Cuando exigimos una variación lenta de la corriente lo hacemos porque deseamos parta de un valor nulo (cuando la corriente alcance el valor que la derivada temporal ∂A ∂t constante I, la misma derivada será igualmente nula). Cabe preguntarse el porqué de esta premisa tan restrictiva y particular. La respuesta es que no deseamos malgastar la energía del generador en las variaciones del momento de las cargas ni en radiación, sino utilizarla toda solo en la creación del campo magnético de I. Volviendo a la expresión dw = ∆V dq, admitiremos que este trabajo debe hacerse para vencer la f.e.m. inducida contraria, y su valor mínimo, despreciando las pérdidas óhmicas en el conductor, vale Z 2 ∆V dq = − 1 Es dq · d` (24) y como dq = i(t)dt Z J (t) · dsan dt dq = ∆S Reemplazando la Ec. (25) en la Ec. (24) se obtiene dw = − Z 2 1 Z Es ∆S J (t) · dsan dt · d` 9 (25) tomando d` y an colineales con E (y por ende con J ), siendo E = − ∂A , de modo que las ∂t R2 R R integrales anidadas 1 y ∆s equivalgan a la integral sobre el volumen VC del conductor VC , el trabajo diferencial realizado se podrá escribir como ! Z dw = VC ∂A · J dv dt ∂t De esta manera dw Z ∂A = · J dv dt VC ∂t representa la rapidez con que la fuente externa al conductor crea el campo magnético, o la rapidez con que la fuente transfiere su energía al campo magnético. Cuando la corriente alcance su valor estable, lo cual ocurrirá, según lo anticipamos, a los T segundos, el campo magnético creado albergará una energía par a Wm = Ahora bien, como Z T Z VC 0 y como R VC ∂A ∂t ∂ (A ∂t · J) = ∂A · J dv ∂t · J dv = R VC A· ∂A ∂t Z T VC 0 ∂A · J dv ∂t ·J +A· ! ∂J ∂t Z dt = Z ∂J ∂t A·J VC ! dt (26) se podrá escribir T dv − Z T 0 0 ∂J A· dv ∂t VC Z ! dt dv, lo cual comprobaremos más adelante, sigue que T 1Z Wm = A · J dv 2 VC 0 y si VC A · J dv = 0, entonces R 0 1Z Wm = A · J dv 2 VC (27) representa la energía magnética almacenada en la distribución de corriente y utilizada para crear el campo magnético correspondiente. Ahora bien, expandiendo el volumen de integración de la Ec. (27) hasta incorporar todo el espacio, remplazando J por ∇ × H, utilizando la identidad vectorial ∇ · (A × H) = H · ∇ × A − A · ∇ × H, y sustituyendo ∇ × A por B se obtiene Wm = 1Z H · B dv 2 V∞ (28) porque al convertir la integral de volumen de ∇ · (A × H) en la integral de flujo de A × H a través de la superficie cerrada en el infinito, ésta se desvanece, toda vez que el vector A × H decrece con el inverso del cubo de la distancia (A × H ∝ r13 ), mientras que la superficie crece con el cuadrado (ds ∝ r2 ). La cantidad 12 H ·B tiene dimensiones (Julios/m3 ) de una densidad volumétrica de energía, y se la denomina densidad volumétrica de energía magnética: 1 wm = H · B 2 10 (29) Comprobación Se desea comprobar que Z ∂A ∂J · J dv = dv A· ∂t VC ∂t VC Para ello partiremos poniendo J = ∇ × H Z (30) ∂A ∂A = ∇×H · ∂t ∂t ∂J ∂H A· = A·∇× ∂t ∂t J· y usando la identidad vectorial ∇ · (A × B) = B · ∇ × A − A · ∇ × B ! ∂A ∂A ∂B = ∇· H × +H · ∇×H · ∂t ∂t ∂t ! ∂H ∂H ∂H = ∇· A× + ·B A·∇× ∂t ∂t ∂t Al sustituir estas expresiones en la Ec. (30) y al expandir el volumen de integración desde VC hasta incluir todos los puntos del universo, y al usar el teorema para de la Divergencia ∂H convertir las integrales de volumen de los términos ∇· H × ∂A y ∇· A × en integrales ∂t ∂t de flujo a través de la superficie en el infinito que encierra el universo, resulta Z ∂B ∂A · J dv = dv H· ∂t V∞ V∞ ∂t Z Z ∂J ∂H A· dv = · B dv ∂t V∞ V∞ ∂t Z · ds y ya que A ∝ 1r , H ∝ r12 y ds ∝ r2 las integrales S∞ H × ∂A ∂t Si el medio es lineal y no posee memoria será H Z H· V∞ H S∞ · ds son nulas. A × ∂H ∂t Z ∂H ∂B dv = · B dv ∂t V∞ ∂t y por lo tanto Z VC Z ∂A ∂J · J dv = A· dv ∂t ∂t VC Bibliografía [1] N. N. Fiódorov. Fundamentos de electrodinámica. MIR, Moscú, URSS, 1982. [2] William H. Hayt. Teoría electromagnetica. McGraw-Hill, Mexico, 1991. 11 Índice alfabético Corriente de desplazamiento de Maxwell, 6 densidad de corriente de desplazamiento, 7 densidad de energía magnética, 10 Ecuaciones de Maxwell, 7 energía magnética, 10 f.e.m. de generador, 3 f.e.m. de movimiento, 3 f.e.m. de transformación, 3 fuerza de Lorentz, 2 fuerza electro-motriz, 1 Ley de inducción de Faraday, 1 ley de inducción de Faraday, 1, 5 Ley de Inducción de Faraday en forma diferencial, 5 Ley de Inducción de Faraday en forma puntual, 5 Ley de Lenz, 2 Potenciales Retardados, 8 Potenciales retardados, 7 12