Ecuaciones simultáneas de primero y segundo grado

Capítulo 9
Ecuaciones simultáneas de primero y segundo grado
Para resolver un sistema simultáneo que esté formado por ecuaciones de primero y segundo grado, se procede de la siguiente forma:
1. Se identifican cada una de las ecuaciones del sistema.
2. Se igualan las ecuaciones.
3. Se despeja y se genera una sola ecuación cuadrática.
4. Se resuelve la ecuación cuadrática por cualquiera de los métodos desarrollados en el capítulo anterior (descomposición de factores, generación del cuadrado perfecto, fórmula general, etc.).
5. Se sustituye la raíz encontrada en la ecuación lineal y se despeja la otra
incógnita.
Aunque los sistemas simultáneos de ecuaciones de primero y segundo grado
pueden tener cero, una o dos soluciones, en ciencias sociales por lo general sólo se
utiliza la que se ubica en primer cuadrante (x positiva,y positiva). Por esta razón para
los siguientes ejercicios sólo se calcula la solución ubicada en este cuadrante I.
Ejemplos:
1. a. y=2+5+20
30-x
b. y= multiplicando ambos miembros por 20 e igualando
20y = 40 + 4x + x2 =150- 5x de donde
x2+9x-110=0
-9± 521
2
x=
-9±2.825
2
x = 6.91 , sustituyendo este valor en la ecuación lineal y despejando y se
obtiene y = 5.77
149
2. a. y = 16 - x2
b. y= 4+x
y= 16-x2=4+x
x2+x-12=0
(x+4)(x-3)=0
x = 3
y = 7
Figura 16
Y
20
= 16-x2
(3,7)
10
-3 -2 -1-5 - 0 1
6
-15
-20
-25
-30
-35 1
-00 1
3. a. y=9x+12
b. y = 39 - 3x2
y=9x+12=39-3x2
3x2+9x-27=0
x22+3x-9=0
x
-3± 9+36
Figura 17
2
x
-3± 45
7
X
-10
Y
150
1 1. 1I1 ^110+ 1
4. a. (x + 6) (y + 12) = 144
x
b. Y=2+2
multiplicando por 2 (x+6) ambos miembros
Y=2+x = 144 -12
2 x+6
Figura 18
4x+24+x2+6x=288-24x-144
x2+34x-120=0 y
25
-34t 1636
2
x=
- 34 ± 40.447
2
x = 3.22
y = 3.61
-2
o
-1
1
2
3
4
5
x
5. a.(x+4) y+2)=24
x
b. Y=1 +2
Figura 19
Y
251
x
20
24 _2=1+X
x+4 2
48-4x-16 = 2x +8+x2+4x
x2+1Ox-24 = 0
(x + 12) (x - 2) =-0
x=2
Y=2
15
1
-5
2
3
4
10
x
151
Ejercicios
Resuelva los siguientes ejercicios:
1. a) Y = 4 solución x = 4
b)
Y(x+1)=5
y=
1
solución x = 3
y= 3
2. a) y (x + 3) = 18
b) y -3x+6=0
3. a) (x + 12) (y + 6) = 169 solución x= 1
b) x-y+6=0 y= 7
4. a) (x + 5 ) (y + 6) = 80 solución x= 3
b)
y=3+3
y=
4
xy = 15 solución x= 3
5. a)
b) y = x + 2 y= 5
6. a) x (y + 6) = 24 solución x= 3
b) y-2x+4=0 y= 2
7. a) (x + 10) (y + 5) = 225 solución x = 5
b) x-y+5=0 y=10
Si tienes dudas consulta los ejercicios resueltos.
152
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I 11
Ecuaciones simultáneas de segundo grado
Un sistema simultáneo formado por ecuaciones de segundo grado se resuelve
mediante el siguiente procedimiento:
1. Se identifican cada una de las ecuaciones del sistema.
2. Se igualan las ecuaciones.
3. Se despeja y se genera una sola ecuación cuadrática.
4. La ecuación cuadrática se resuelve por cualquiera de los métodos desarrollados anteriormente; descomposición de factores, generación del cuadrado
perfecto, fórmula general, etcétera.
5. El valor encontrado se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales
y se despeja la otra variable.
Ejemplos:
2
1. a. y=6+ 4
b. x= 36-y
2
y=6+ 4 =36
-x2
24 + x2 = 144 - 4x2, 5x2 =120
x2 = 24, -> x = 2,r6-, despejando se obtiene que x = 4.90, y = 12
2. a. y = 10 - 3x2
Figura 20
Y
-10 -9 /-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 1 2 3 4 N 6 7 8 9 10
A
-20
-30
-40
-50
-60-
153
Figura 21
b. y=4+x2+2x
y= 10-3x2=4+x2+2x
4x2+2x-6=0
2x2+x-3=0
(2x + 3) (x - 1) = 0
x= 1, y=7
3. a. y=x2+5x+1
y= 4 4 x_+ 2x
b. y+2x2-9=0
y=x2+5x+ 1 =-2x2+9
3x2+5x-8=0
(3x+8)(x-1)=0
x=1
y=7
4. a. x=2y2-2y-6
b. x= y2-y+ 18
Figura 22
x=2y2-2y-6=-y2-y+18
3y2-y-24=0
(3y + 8 ) (y - 3) = 0
y=3
x=6
5. a. x = 3y2 - 3y - 2
b. x= 10-y2- y
3y2- 3y- 2 = 10 - y2 -y
4y2-2y-12=0
2y2-y-6=0
(2y + 3) (y - 2) = 0
y=2
xi4
-25 J
154
1 IOI^IIW tl l i ll^tlli
I I 1 : l 1 ! l 1 1 1 1 A l 11 1 1 ..W11 i11 1 11
Ejercicios
1. a) y=48-3x2
b)y=x2+4x+16
solución
x 2.37
y.31.15
2. a) x = l 0y + 5y2
b) x=64-8y-2y2
solución
x=40
y=2
3. a) y=(x+2)2
solución
5
x= 2
81
b) y=39-3x2
y 4
4. a) x= 10y+4y2
b) x=96-8y-2y2
solución
y 2.77
x58.39
5. a) x=84-y2
solución
y= 4
x=68
b) x=y+4y2
155