Lógica II - Ejercicios resueltos 6

“LÓGICA II”
EJERCICIOS RESUELTOS – 6
(Los ya resueltos en las clases teóricas aparecen recuadrados)
TEMA 4 – ÁRBOLES LÓGICOS
EJERCICIO 4.01
Usando el método de árboles, comprobar si la siguiente fbf es o no válida:
╞ ∃y (Fy → ∀x Fx)
 1.
2.
 3.
4.
 5.
 6.
7.
 8.
9.
10.
¬∃y (Fy → ∀x Fx)
∀y ¬(Fy → ∀x Fx)
¬(Fa → ∀x Fx)
Fa
¬∀x Fx
∃x ¬Fx
¬Fb
¬(Fb → ∀x Fx)
Fb
¬∀x Fx

(¬concl.)
(de 1)
(de 2)
(de
3)
(de 5)
(de 6)
(de 2)
(de
8)
El árbol cierra. La fbf inicial es insatisfacible. Luego, sin la negación, es válida.
EJERCICIO 4.02
Usando el método de árboles, comprobar si la siguiente fbf es o no válida:
╞ ∃y (∃x Fx → Fy)
 1.
2.
 3.
 4.
5.
6.
 7.
8.
9.
¬∃y (∃x Fx → Fy)
∀y ¬(∃x Fx → Fy)
¬(∃x Fx → Fa)
∃x Fx
¬Fa
Fb
¬(∃x Fx → Fb)
∃x Fx
¬Fb

(¬concl.)
(de 1)
(de 2)
(de
3)
(de 4)
(de 2)
(de
7)
El árbol cierra. Las fbf inicial es insatisfacible. Y sin negar será, pues, válida.
1 EJERCICIO 4.03
Usando el método de árboles, comprobar si la siguiente fbf es o no válida:
╞ ∀y (∃x Fx → Fy)




1.
2.
3.
4.
5.
6.
¬∀y (∃x Fx → Fy)
∃y ¬(∃x Fx → Fy)
¬(∃x Fx → Fa)
∃x Fx
¬Fa
Fb
(¬concl.)
(de 1)
(de 2)
(de
3)
(de 4)
El árbol está terminado y abierto. Por tanto, la fbf inicial es satisfacible. Y entonces la que nos interesaba es inválida.
EJERCICIO 4.04
Usando el método de árboles, comprobar si es o no válido el siguiente esquema argumentativo:
p → ∀x (Fx → ¬Gx), q → ∃x (Fx ∧ Gx) ╞ p → ¬q
 1. p → ∀x (Fx → ¬Gx)
 2. q → ∃x (Fx ∧ Gx)
 3. ¬(p → ¬q)
4. p
 5. ¬¬q
6. q
7. ¬p

(prem.)
(prem.)
(¬concl.)
(de
3)
(de 5)
8. ∀x (Fx → ¬Gx)
9. ¬q

 10.
 11.
 12.
13.
14.
15. ¬Fa

(de 1)
∃x (Fx ∧ Gx)
Fa ∧ Ga
Fa → ¬Ga
Fa
Ga
(de 2)
(de 10)
(de 8)
(de
11)
16. ¬Ga

(de 12)
Como el árbol cierra, las fbfs iniciales serán insatisfacibles; y el esquema de inferencia, válido.
2 EJERCICIO 4.05
Usando el método de árboles, comprobar si es o no válido el siguiente esquema argumentativo:
∃x (Fx ∧ Gx) ╞ ∀x Fx ∧ ∃x Gx
 1. ∃x (Fx ∧ Gx)
 2. ¬(∀x Fx ∧ ∃x Gx)
 3. ¬∀x Fx
 5. ∃x ¬Fx
⏐
 7. Fa ∧ Ga
9. ¬Fb
⏐
11. Fa
12. Ga
 4. ¬∃x Gx
⏐
6. ∀x ¬Gx
 8. Fa ∧ Ga
⏐
10. ¬Ga
⏐
⏐
13. Fa
14. Ga

(prem.)
(¬concl.)
(de 2)
(de 3)
(de 4)
(de 1)
(de 5)
(de 6)
(de
7)
(de
8)
El árbol está terminado y abierto. Por tanto, las fbfs iniciales son satisfacibles.
Y, en consecuencia, el esquema de inferencia es inválido. (Este árbol puede
simplificarse si se invierte el orden de aplicación de las reglas, utilizando la del
existencial antes que las de lógica proposicional, como se muestra abajo).
 1. ∃x (Fx ∧ Gx)
 2. ¬(∀x Fx ∧ ∃x Gx)
 3. Fa ∧ Ga
4. Fa
5. Ga
 6. ¬∀x Fx
 8. ∃x ¬Fx
⏐
10. ¬Fb
 7. ¬∃x Gx
⏐
9. ∀x ¬Gx
⏐
11. ¬Ga

(prem.)
(¬concl.)
(de 1)
(de
3)
(de 2)
(de 6)
(de 7)
(de 8)
(de 9)
3 EJERCICIO 4.06
Usando el método de árboles, comprobar si es o no válido el siguiente esquema argumentativo:
∃x Fx → ∃x Gx ╞ ∀x (Fx → Gx)
 1. ∃x Fx → ∃x Gx
 2. ¬∀x (Fx → Gx)
 3. ¬∃x Fx
 5. ∃x ¬(Fx → Gx)
7. ∀x ¬Fx
 8. ¬(Fa → Ga)
⏐
⏐
11. ¬Fa
12. Fa
13. ¬Ga

 4. ∃x Gx
 6. ∃x ¬(Fx → Gx)
⏐
⏐
9. Ga
 10. ¬(Fb → Gb)
⏐
⏐
⏐
14. Fb
15. ¬Gb
(prem.)
(¬concl.)
(de 1)
(de 2)
(de 3)
(de 5)
(de 4)
(de 6)
(de 7)
(de
8)
(de
10)
El árbol está terminado y abierto. Por tanto, las fbfs iniciales son satisfacibles.
Y, en consecuencia, el esquema de inferencia es inválido. (Este árbol puede
simplificarse si se invierte el orden de aplicación de las reglas, utilizando la de
cuantificadores negados y la del existencial antes que las de lógica proposicional, como se muestra abajo).




 7. ¬∃x Fx
9. ∀x ¬Fx
⏐
11. ¬Fa

1.
2.
3.
4.
5.
6.
∃x Fx → ∃x Gx
¬∀x (Fx → Gx)
∃x ¬(Fx → Gx)
¬(Fa → Ga)
Fa
¬Ga
 8. ∃x Gx
⏐
10. Gb
(prem.)
(¬concl.)
(de 2)
(de 3)
(de
4)
(de 1)
(de 7)
(de 8)
(de 9)
4 EJERCICIO 4.07
Usando el método de árboles, comprobar si es o no válido el siguiente esquema argumentativo:
∀x Fax ╞ ∀x∃y Fxy
1. ∀x Fax
 2. ¬∀x∃y Fxy
 3. ∃x¬∃y Fxy
 4. ¬∃y Fby
5. Faa
6. Fab
7. ∀y ¬Fby
8. ¬Fba
9. ¬Fbb
(prem.)
(¬concl.)
(de 2)
(de 3)
(de 1)
(de 1)
(de 4)
(de 7)
(de 7)
El árbol está terminado y abierto. Por tanto, las fbfs iniciales son satisfacibles.
Y, en consecuencia, el esquema de inferencia es inválido.
EJERCICIO 4.08
Usando el método de árboles, comprobar si es o no válido el siguiente esquema argumentativo:
∃x∀y Fxy ╞ ∀y∃x Fxy
 1. ∃x∀y Fxy
(prem.)
 2. ¬∀y∃x Fxy
(¬concl.)
 3. ∃y ¬∃x Fxy
(de 2)
4. ∀y Fay
(de 1)
 5. ¬∃x Fxb
(de 3)
6. Faa
(de 4)
7. Fab
(de 4)
8. ∀x ¬Fxb
(de 5)
9. ¬Fab
(de 8)
10. ¬Fbb
(de 8)

Como el árbol cierra, las fbfs iniciales serán insatisfacibles; y el esquema de inferencia, válido. (Las líneas 6 y 10 son superfluas).
EJERCICIO 4.09
Usando el método de árboles, comprobar si es o no válido el siguiente esquema argumentativo:
∃x∃y Fxy ╞ ∃y∃x Fxy
5  1. ∃x∃y Fxy
 2. ¬∃y∃x Fxy
3. ∀y¬∃x Fxy
 4. ∃y Fay
5. Fab
 6. ¬∃x Fxa
 7. ¬∃x Fxb
8. ∀x ¬Fxa
9. ∀x ¬Fxb
10. ¬Faa
11. ¬Fba
12. ¬Fab
13. ¬Fbb

(prem.)
(¬concl.)
(de 2)
(de 1)
(de 4)
(de 3)
(de 3)
(de 6)
(de 7)
(de 8)
(de 8)
(de 9)
(de 9)
Como el árbol cierra, las fbfs iniciales serán insatisfacibles; y el esquema de inferencia, válido. (Las líneas 6, 8, 10, 11 y 13 son superfluas).
EJERCICIO 4.10
Usando el método de árboles, comprobar si es o no válido el siguiente esquema argumentativo:
∀x (Fx → Gx) ╞ ∀x (∃y (Fy ∧ Hxy) → ∃y (Gy ∧ Hxy))
(Para simplificar considerablemente el árbol, no aplicaremos la regla para el
universal hasta haber eliminado totalmente los demás cuantificadores).
1.
 2.
 3.
 4.
 5.
 6.
7.
 8.
9.
 10.
11.
 12.
13.
14.
∀x (Fx → Gx)
¬∀x (∃y (Fy ∧ Hxy) → ∃y (Gy ∧ Hxy))
∃x ¬(∃y (Fy ∧ Hxy) → ∃y (Gy ∧ Hxy))
¬(∃y (Fy ∧ Hay) → ∃y (Gy ∧ Hay))
∃y (Fy ∧ Hay)
¬∃y (Gy ∧ Hay)
∀y ¬(Gy ∧ Hay)
Fb ∧ Hab
Fa → Ga
Fb → Gb
¬(Ga ∧ Haa)
¬(Gb ∧ Hab)
Fb
Hab
15. ¬Fb

16. Gb
17. ¬Gb

(prem.)
(¬concl.)
(de 2)
(de 3)
(de
4)
(de 6)
(de 5)
(de 1)
(de 1)
(de 7)
(de 7)
(de
8)
(de 10)
18. ¬Hab

(de 12)
6 Como el árbol cierra, las fbfs iniciales serán insatisfacibles; y el esquema de inferencia, válido. (Las líneas 9 y 11 son superfluas).
EJERCICIO 4.11
Usando el método de árboles, comprobar si es o no válido el siguiente esquema argumentativo:
∀y∃x Fxy ╞ ∃x∀y Fxy
1.
 2.
3.
 4.
 5.
 6.
7.
8.
 9.
 10.
 11.
 12.
 13.
 14.
15.
16.
17.
18.
∀y∃x Fxy
(prem.)
¬∃x∀y Fxy
(¬concl.)
∀x ¬∀y Fxy
(de 2)
∃x Fxa
(de 1)
¬∀y Fay
(de 3)
∃y ¬Fay
(de 5)
Fba
(de 4)
¬Fac
(de 6)
∃x Fxb
(de 1)
∃x Fxc
(de 1)
¬∀y Fby
(de 3)
¬∀y Fcy
(de 3)
∃y ¬Fby
(de 11)
∃y ¬Fcy
(de 12)
Fdb
(de 9)
Fec
(de 10)
¬Fbk
(de 13)
¬Fcj
(de 14)
·
·
·
A continuación de la línea 18, los universales de 1 y 3 se volverían a eliminar
cuatro veces cada uno, con las cuatro constantes nuevas aparecidas en 15, 16, 17
y 18. Ello daría lugar a ocho nuevos existenciales, que introducirían ocho nuevas
constantes. Y así sucesivamente, de forma exponencial. El árbol es infinito y,
por tanto, abierto. Luego, las fbfs iniciales son satisfacibles. Y el esquema de inferencia es inválido.
EJERCICIO 4.12
Usando el método de árboles, comprobar si es o no válido el siguiente esquema argumentativo:
∃x∃y∀z Fxyz ╞ ∀z∃y∃x Fxyz





1.
2.
3.
4.
5.
∃x∃y∀z Fxyz
¬∀z∃y∃x Fxyz
∃z ¬∃y∃x Fxyz
∃y∀z Fayz
¬∃y∃x Fxyb
(prem.)
(¬concl.)
(de 2)
(de 1)
(de 3)
7 6.
7.
8.
9.
10.
 11.
 12.
 13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
∀z Facz
(de 4)
Faca
(de 6)
Facb
(de 6)
Facc
(de 6)
∀y ¬∃x Fxyb
(de 5)
¬∃x Fxab
(de 10)
¬∃x Fxbb
(de 10)
¬∃x Fxcb
(de 10)
∀x ¬Fxab
(de 11)
∀x ¬Fxbb
(de 12)
∀x ¬Fxcb
(de 13)
¬Faab
(de 14)
¬Fbab
(de 14)
¬Fcab
(de 14)
¬Fabb
(de 15)
¬Fbbb
(de 15)
¬Fcbb
(de 15)
¬Facb
(de 16)
¬Fbcb
(de 16)
¬Fccb
(de 16)

Como el árbol cierra, las fbfs iniciales serán insatisfacibles; y el esquema de inferencia, válido. (Las líneas 7, 9, 11, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24 y 25
son superfluas).
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