Colegio Los Robles

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Equipo Técnico de Matemáticas
Resumen de
Conocimientos Básicos
Matemáticas 1º ESO
(IX.2013)
Todos los alumnos de 1º de ESO han de conocer perfectamente los contenidos de
este resumen, que se les podrá preguntar en cualquier momento del curso.
Índice
1. Sistema Métrico Decimal
2. Otras unidades de uso frecuente
3. Normas para escribir los símbolos de las unidades
4. Terminología de las operaciones básicas
5. Criterio de Jerarquía de Operaciones (CJO) y paréntesis
6. Propiedades de las operaciones básicas
7. Definición de múltiplo y divisor
8. Propiedades de múltiplos y divisores
9. Números primos y compuestos
10. Criterios de divisibilidad
11. Descomposición de un nº en producto de factores primos
12. Cálculo del m.c.d. y del m.c.m. de varios números
13. Criterio de equivalencia de fracciones
14. Simplificación de fracciones
15. Reducción de fracciones a común denominador
16. Operaciones con fracciones
17. Operaciones con fracciones y números naturales
18. Tipos de ángulos
19. Ángulos formados al cortar una secante a dos paralelas
20. Terminología geométrica
21. Circunferencia
22. Triángulos
23. Cuadriláteros
24. Áreas (o superficies) de las principales figuras planas
25. Cuerpos geométricos
2
2
2
3
3
4
4
4
5
5
5
5
6
6
6
7
7
7
8
8
9
9
10
12
13
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1. Sistema Métrico Decimal
A. Unidades, múltiplos y submúltiplos:
x
Longitud

mam
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
Masa

mag
kg
hg
dag
g
dg
cg
mg
Capacidad 
maL
kL
hL
daL
L
dL
cL
mL
Superficie

mam2
km2
hm2
dam2
m2
dm2 cm2 mm2
Volumen

mam3
km3
hm3
dam3
m3
dm3 cm3 mm3
÷
superficie
volumen
10
102
103
tantas veces como
posiciones las
separen.
longitud
masa
capacidad
se multiplica por:
Para pasar de una
unidad mayor a otra
menor de:
B. Conversiones:
2. Otras unidades de uso frecuente
Magnitud
Unidad
Símbolo
Equivalencia
Tonelada métrica
t
1 t = 1 000 kg
Quintal métrico
q
1 q = 100 kg
Hectárea
ha
1 ha = 1 hm2
Área
a
1 a = 1 dam2
Centiárea
ca
1 ca = 1 m2
Masa
Superficie
3. Normas para escribir los símbolos de las unidades
 No se pone un punto al final (no son abreviaturas, sino símbolos).
 Deben ir separados por un espacio del número al que acompañan.
 No se les añade una “s” al final si el número al que acompañan no es la unidad.
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 Se escriben con minúscula, con la única excepción del litro que se hace con mayúscula (L)
para evitar posibles confusiones con el número 1.
 Los múltiplos y submúltiplos también se escriben con minúscula hasta el miria (ma); desde
mega (M) se hace con mayúscula.
4. Terminología de las operaciones básicas
■ Suma
273
+ 46
319
■ Resta
sumandos
suma
273
- 46
227
minuendo
sustraendo
diferencia
■ División
dividendo
divisor
273
x 3
819
■ Raíz
índice
2738
038
2
■ Producto
factores
producto
■ Potencia
radicando
exponente
9
3
304
93
8 =2
resto
cociente
radical
raíz
base
5. Criterio de Jerarquía de Operaciones (CJO) y paréntesis
Cuando nos encontramos con una secuencia de operaciones, éstas no se efectúan
ordenadamente de izquierda a derecha sino que se realizan obligatoriamente en el siguiente
orden:
1º) las potencias
2º) productos y cocientes (de izquierda a derecha)
3º) sumas y/o restas (indistintamente)
Si en una de estas secuencias apareciesen paréntesis, han de realizarse en primer lugar las
operaciones que están dentro de los paréntesis.
Ejemplos:
Operación
Observaciones
correcta
4  2  3  4  6  10
12  8  2  12  4  3
incorrecta
4  2  3  6  3  18
12  8  2  4  2  2
3  22  3  4  12
3  22  62  36
12  3  2  4  2  8
12  3  2  12  6  2
2  ( 4  5)  2  9  18
2  ( 4  5)  8  5  13
Hay que hacer antes el producto que la suma
Hay que hacer el cociente antes que la resta
Hay que efectuar la potencia antes que el
producto
Cuando compiten productos y cocientes se
opera de izquierda a derecha.
Hay que hacer antes la operación de dentro
del paréntesis
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6. Propiedades de las operaciones básicas
Operación
Suma
Propiedad
Fórmula
Conmutativa
ab ba
Asociativa
a  (b  c )  (a  b)  c
Elemento neutro
Elem. simétrico
a0a
a  (a)  0
Conmutativa
a b  b a
Asociativa
a  (b  c )  (a  b)  c
Producto
Distributiva
(respecto a la suma)
Producto de
potencias de la
misma base
Cociente de
potencias de la
misma base
Potenciación
División
Raíz cuadrada
an  am  anm
32  33  9  27  243
323  35  243
an
 a n m
am
25  22  32  4  8
252  23  8
(a  b)n  an  an
Potencia de un
cociente
an
a
(a  b)n     n
b
b
Casos particulares
Prueba
Prueba
358
538
5  ( 4  3)  5  7  12
(5  4)  3  9  3  12
707
5  (5)  0
6  3  18
3  6  18
2  (3  4)  2  (12)  24
(2  3)  4  6  4  24
a  (b  c )  (a  b)  (a  c )
2  (3  5)  2  8  16
ó
2  3  2  5  6  10  16
(a  b)  c  (a  c )  (b  c )
(en sentido inverso: sacar factor común)
Potencia de un
producto
Potencia de
potencia
Ejemplo
n
a 
n m
a
nm
(4  3)2  122  144
42  32  16  9  144
(6  2)3  33  27
63  23  216  8  27
2 
3 2
 82  64
232  26  64
1n  1 ; n1  n ; n 0  1 ; 0n  0
Dividendo = Divisor · Cociente + Resto
(Raíz)2 + Resto = Radicando
7. Definición de múltiplo y divisor
Los múltiplos de un número son los resultantes de multiplicarlo por los números naturales.
Un número es divisor de otro cuando resulta exacta la división del segundo entre primero.
8. Propiedades de múltiplos y divisores
 Si a es múltiplo de b, b es divisor de a.
 El 1 es divisor de todos los números naturales.
 El 0 es múltiplo de todos los números naturales.
 Todo número natural es divisor de sí mismo.
 Todo número natural es divisor de 0.
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9. Números primos y compuestos
 Un número es primo si sólo tiene dos divisores: él mismo y la unidad. Los diez primeros
números primos son: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 y 23.
 Un número es compuesto cuando tiene más de dos divisores.
10. Criterios de divisibilidad
 Un número es divisible entre 2 si su última cifra es cero o par.
 Un número es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es 3 ó múltiplo de 3.
 Un número es divisible entre 5 si acaba en 0 ó 5.
11. Descomposición de un nº en producto de factores primos
Para descomponer un número en producto de factores primos se va dividiendo el número, y
los cocientes obtenidos, entre sus divisores primos hasta obtener un cociente igual a 1.
Ejemplo:
315
105
35
7
1
3
3
5
7
315  32  5  7
;
450
225
75
25
5
1
2
3
3
5
5
450  2  32  52
12. Cálculo del m.c.d. y del m.c.m. de varios números
 Para calcular el máximo común divisor (m.c.d.) de varios números:
1º) Se descomponen en factores primos,
2º) Se cogen los factores comunes a todos los números con el menor exponente.
 Observación: si dos números no tienen más divisor común que el 1, éste es su m.c.d.
 Para calcular el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de varios números:
1º) Se descomponen en factores primos,
2º) Se cogen los factores comunes y los no comunes con el mayor exponente.
 Observación: si dos números no tienen ningún divisor común (son primos entre sí) su m.c.m.
es su producto.
Ejemplo:
Para hallar el m.c.d. y el m.c.m. de 63, 42 y 98:
63
3
42 2
98 2
21
3
21 3
49 7
7
7
7 7
7 7
1
1
1
m.c.d. = 7
m.c.m. = 2  32  72  882
63  3 2  7
42  2  3  7
98  2  7 2
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13. Criterio de equivalencia de fracciones
Dos fracciones
a
c
y
d
b
son equivalentes (es decir,
representan al mismo
número) si se cumple que:
ad  bc
14. Simplificación de fracciones
 Para obtener la fracción equivalente irreducible de una dada se puede proceder de dos
maneras:
1ª)
2ª)
Mediante
una sola
simplificación:
Mediante
simplificaciones
sucesivas:
840 2  2  2  3  5  7  2  7 14



660 2  2  3  5  11
11 11
840 420 210 70 14




660 330 165 55 11
2
2 3 5
 Criterio importante: en las operaciones con fracciones hay que simplificar siempre el
resultado todo lo posible. Además es muy aconsejable hacer o mismo con las fracciones
que figuren en los enunciados de los ejercicios antes de empezar a operar con ellas.
15. Reducción de fracciones a común denominador
Comentario
Operación
Para reducir a común denominador estas
fracciones:
1º) Se halla el m.c.m. de sus
denominadores:
Y ese m.c.m. es el nuevo denominador de
todas las fracciones:
2º) Para calcular los nuevos numeradores:
se divide el m.c.m. entre el denominador de
cada fracción y el resultado se multiplica
por el correspondiente numerador:
Con lo que las nuevas fracciones son:
7 5 11 9
;
;
y
12 18 30 40
12  22  3 

18  2  32 
3
2
  m.c.m. = 2  3  5  360
30  2  3  5
40  23  5 
?
?
?
?
;
;
y
360 360 360 360
360  12  30 ; 30  7  210
360  18  20 ; 20  5  100
360  30  12 ; 12  11  132
360  40  9 ; 9  9  81
210 100 132 81
;
;
y
360 360 360 360
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16. Operaciones con fracciones
Operación
Suma
y
resta
Producto
Cociente
Procedimiento
Ejemplo
1º) Si las fracciones tienen el mismo
denominador: se suman (o restan) los
numeradores y se deja el mismo
denominador:
a c ac
a c ac
y
 
 
b b
b
b b
b
2º) Si no tienen el mismo denominador, se
empieza por reducirlas a común
denominador (n. 14) y luego se procede
como en el caso anterior.
a c ac
 
b d bd
a c ad
 
b d bc
a
 
b
Potencia
n

5 2 52 3
 

7 7
7
7
4 7 1 4  7  1 10 5
b)   


6 6 6
6
6 3
a)
7 3 7  3 21
 

5 2 5  2 10
7 3 7  2 14
 

5 2 5  3 15
3
 
2
an
bn
3

33 27

8
23
17. Operaciones con fracciones y números naturales
Se efectúan teniendo en cuenta que todo número natural es una fracción de denominador
unidad.
Ejemplos:
2
2 4 2  1  4  3 2  12 14
4  


3
3 1
3
3
3
6 3 6 3  5 15 5
b) 3    


5 1 5 1 6
6 2
a)
18. Tipos de ángulos
A. Un ángulo puede ser:
Nombre
Agudo
Recto
Obtuso
Llano
Definición
Mide menos de
90º
Mide 90º
Mide más de 90º y
menos de 180º
Mide 180º
Figura
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B. Dos ángulos pueden ser:
Nombre
Complementarios
Suplementarios
Definición
Si juntos
suman 90º
Si juntos
suman 180º
Figura
65º
35º
120º
Consecutivos
Si tienen el
vértice y un
lado
comunes
Adyacentes
Si son a la vez
consecutivos y
suplementarios
Opuestos por
el vértice
Si tienen el
mismo vértice
y los lados en
prolongación
60º
19. Ángulos formados al cortar una secante a dos paralelas



Tipo de ángulos
Relaciones de igualdad
Opuestos por el vértice
Correspondientes
Alternos externos
Alternos internos
=;=;=;=
 =  ;  = ;  =  ;  = 
=;=
=;=





20. Terminología geométrica
Los términos que aparecen a continuación han de conocerse con precisión:
ángulo convexo
POLÍGONOS
Nº de
lados
3
4
5
6
7
8
9
10
ángulo cóncavo
Nombre
triángulo
cuadrilátero
pentágono
hexágono
heptágono
octógono
eneágono
decágono
apotema
vértice
diagonal
lado
Perímetro de un polígono: suma de las longitudes de todos sus lados.
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21. Circunferencia
A. Terminología:
recta secante
recta tangente
radio ( OE )
circunferencia
E
D
O
diámetro ( CD )
sector circular
C
círculo
B
centro (O)
segmento circular
Cuerda( AB )
A
arco (AB)
B. Longitud:
La longitud, L, de una circunferencia de radio “r” vale L  2r  d , siendo   3,14 y “d”
el diámetro.
C. Propiedades:
 La mediatriz de cualquier cuerda de una circunferencia pasa por el centro de la
circunferencia.
 Todos los ángulos que tengan su vértice en cualquier punto de una circunferencia y
abarquen una misma cuerda son iguales entre sí.
 Todos los ángulos que tengan su vértice en un punto cualquiera de la circunferencia y
abarquen un diámetro son rectos.
 Toda tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que llega al punto de
tangencia.
22. Triángulos
A. Tipos:
Tipos
de
triángulos
según
sus
lados
según
sus
ángulos
equiláteros (tres lados iguales)
isósceles (dos lados iguales y uno desigual)
escalenos (los tres lados distintos)
acutángulos (los tres ángulos agudos)
rectángulos (un ángulo recto y dos agudos)
obtusángulos (un ángulo obtuso y dos agudos)
B. Propiedad fundamental:
La suma de los tres ángulos de un triángulo siempre vale 180º.
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C. Teorema de Pitágoras:
Enunciado
Todos los triángulos rectángulos (y sólo ellos)
cumplen que el cuadrado de su hipotenusa es
igual a la suma de los cuadrados de sus
catetos.
Figura
Fórmula
b
a
h2  a2  b2
h
D. Puntos notables:
es el punto en
que se cortan las
tres
Aclaración
Circuncentro(1)
mediatrices
Mediatriz: recta
perpendicular a un
segmento que pasa por
su punto medio
Incentro(2)
bisectrices
Bisectriz: semirrecta
que divide a un ángulo
en dos partes iguales
alturas
Altura de un triángulo:
segmento que va
perpendicularmente
desde un vértice hasta
el lado opuesto
medianas
Mediana: segmento
que une un vértice con
el punto medio del lado
opuesto
Nombre
Ortocentro
Baricentro
Figura
(1) Es el centro de una circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo (circunferencia
circunscrita).
(2) Es el centro de una circunferencia tangente a sus tres lados (circunferencia inscrita).
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23. Cuadriláteros
A. Tipos
Tipos
de
cuadriláteros
Trapecios
(tienen 2 lados
paralelos –las bases–)
paralelogramos
(tienen sus lados
paralelos dos a dos)
Trapecio rectángulo (tienen 2 ángulos rectos)
Trapecio isósceles (los lados no paralelos son iguales)
rectángulos (4 ángulos rectos y lados iguales 2 a 2)
rombos (4 lados iguales y ángulos iguales 2 a 2)
cuadrados (4 lados iguales y 4 ángulos rectos)
romboide (los 4 lados y los 4 ángulos iguales 2 a 2)
B. Propiedad fundamental:
La suma de los cuatro ángulos de un cuadrilátero vale 360º.
C. Otras propiedades:
 Una diagonal divide a un paralelogramo en dos triángulos iguales.
 Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales.
 Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales.
 Los ángulos contiguos de un paralelogramo son suplementarios.
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24. Áreas (o superficies) de las principales figuras planas
Nombre
Figura
Rectángulo
h
Superficie
Fórmula
base  altura
S  bh
Lado Lado
S  L2
b
Cuadrado
L
Triángulo
h
base  altura
2
S
bh
2
(Diagonal)  (diagonal)
2
S
Dd
2
b
d
Rombo
D
b
Trapecio
(Base )  (base )
 altura
2
h
S
B
Polígono
regular
perímetro apotema
2
a
Polígono
irregular
Bb
h
2
S
pa
2
No hay fórmulas: se descompone el polígono en
otros más sencillos de áreas conocidas.
Círculo
r
Corona
circular
r
pi (radio)2
( área círculo  )
menos
( área círculo  )
R
Sector
circular
r
nº
Segmento
circular
h
  r2
 nº gradosdel sec tor
360
(área del sector)
menos
(área del triángulo)
S    r 2 (  3,14)
S    R2     r 2  
 R2  r 2 
S
S
  r2  n
360
  r2  n b  h

360
2
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25. Cuerpos geométricos
Nombre
Figura
Área base
Prisma
área de un
polígono
Área lateral
Área de una
cara lateral
(rectángulo)
Área total
A T  2  AB  AL
por
Casos
particulares:
Volumen
V  AB  h
nº de caras
cubo
ortoedro
r
Cilindro
h
área de un
círculo
desarrollo
lateral:
AL  2  r h
(área de un
rectángulo)
A T  2A B  A L
V  AB  h
A T  AB  AL
V
AB  h
3
A T  AB  AL
V
AB  h
3
AL  4  r 2
AT 
4 3
r
3
h
r
Pirámide
área de un
polígono
área de una
cara lateral
(triángulo)
por
caso
particular:
nº de caras
tetraedro
Cono
g
AL   r g
r
desarrollo
lateral
área círculo
(área sector
circular)
g
r
Esfera
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r
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