Matem_ticas_I_BLOQUE_I

BACHILLERES
DEL
ESTADO DE BAJA
CALIFORNIA SUR
DIRECCIÓN GENERAL
DIRECCIÓN ACADÉMICA
DEPARTAMENTO
DEL
SISTEMA DE EDUCACIÓN
AUTO-PLANEADA
ASIGNATURA:
MATEMÁTICAS I
BLOQUE I:
Resolver problemas
aritméticos y algebraicos.
1
CUADERNO DE TRABAJO DE
MATEMÁTICAS I: BLOQUE I
 Colegio de Bachilleres del Estado de Baja California Sur
Antonio Navarro #462 e/Aquiles Serdán y Guillermo Prieto
Teléfono (612) 125-30-50 • Fax (612) 125-30-58
SEPTIEMBRE 2013
2
MATEMÁTICAS I, BLOQUE I. RESOLVER PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
PRESENTACIÓN
A partir del Ciclo Escolar 2009-2010 la Dirección General del Bachillerato
incorporó en su plan de estudios los principios básicos de la Reforma Integral de la
Educación Media Superior (RIEMS) cuyo propósito es fortalecer y consolidar la
identidad de este nivel educativo, en todas sus modalidades y subsistemas;
proporcionar una educación pertinente y relevante al estudiante que le permita
establecer una relación entre la escuela y su entorno; y facilitar el tránsito
académico de los estudiantes entre los subsistemas y las escuelas.
Para el logro de las finalidades anteriores, uno de los ejes principales de la
Reforma Integral es la definición de un Marco Curricular Común (MCC), que
compartirán todas las instituciones de bachillerato, basado en desempeños
terminales, el enfoque educativo basado en el desarrollo de competencias, la
flexibilidad y los componentes comunes del currículum.
A propósito de éste destacaremos que el enfoque educativo permite:
Establecer en una unidad común los conocimientos, habilidades, actitudes y
valores que el egresado de bachillerato debe poseer.
Es propósito de la RIEMS el dar una identidad compartida entre todas las
opciones de la Educación Media Superior independientemente de las modalidades
en que se oferten, que asegure en sus egresados el dominio de las competencias
que conforman el MCC que da sustento al Sistema Nacional de Bachillerato, y que
para contribuir a los propósitos señalados nuestros programas de asignaturas se
apegarán a la opción IV Educación Auto planeada, enunciada en el articulo
secretarial 445.
Esta opción de la modalidad mixta se caracteriza por la flexibilidad en el
horario y para acreditar la trayectoria curricular, así como por la variable que
refleja en el ámbito de la mediación docente.
Los estudiantes:
1. Aprenden en grupo. Por lo menos 30% de sus actividades de aprendizaje
las desarrollan bajo la supervisión del docente;
2. Siguen una trayectoria curricular combinada. Es preestablecida en el caso
de las asignaturas seriadas y libres para el resto de las asignaturas;
3. Cuentan con mediación docente. Es obligatorio para la institución
educativa tener a disposición el personal docente con la preparación
adecuada para desempeñar dentro del plantel las actividades que le son
propias. En todo caso la mediación estará en función de las necesidades
de los estudiantes y de las horas frente a docente que requiere esta
opción educativa;
4. Pueden prescindir de la mediación digital;
5. Desarrollan dentro del plantel las actividades que frente a docente señala
el plan y programas de estudio y pueden realizar el trabajo independiente
que establezca el propio plan desde un espacio diverso;
6. Determinan libremente su calendario y cuentan con un horario de estudio
flexible;
3
MATEMÁTICAS I, BLOQUE I. RESOLVER PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
7. Están sujetos a las evaluaciones que para acreditar los programas de
estudio aplique la institución educativa;
Como parte de la formación básica anteriormente mencionada, a continuación
se presenta el cuaderno de trabajo de la asignatura de Matemáticas I: que
pertenece al campo disciplinar de Matemáticas, el cual tiene la finalidad de
propiciar el desarrollo de la creatividad y el pensamiento lógico y crítico entre los
estudiantes, mediante procesos de razonamiento, argumentación y estructuración
de ideas que conlleven el despliegue de distintos conocimientos, habilidades,
actitudes y valores, en la resolución de problemas matemáticos que en sus
aplicaciones trasciendan el ámbito escolar. La finalidad de la asignatura de
Matemáticas I es la de permitir al estudiante utilizar distintos procedimientos
algebraicos para representar relaciones entre magnitudes constantes y variables,
y resolver problemas de la vida cotidiana.
Desde el punto de vista curricular, cada materia de un plan de estudios mantiene
una relación vertical y horizontal con el resto. Matemáticas I, permite el trabajo
interdisciplinario, en relación directa con las asignaturas de: Química I y II,
Matemáticas II, III y IV, Física I y II, Cálculo Diferencial e Integral I y II,
Probabilidad y Estadística I y II.
El programa de Matemáticas I está conformado por siete bloques, aquí te
presentamos el primer bloque: RESOLVER PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y
ALGEBRAICOS.
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MATEMÁTICAS I, BLOQUE I. RESOLVER PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
ÍNDICE
Contenido
PRESENTACIÓN .................................................................................................... 3
DESEMPEÑO 1. Identifica formas diferentes de representar números positivos.. 7
EL SISTEMA DE NÚMEROS REALES ............................................................... 7
Enteros ............................................................................................................. 7
Números racionales ......................................................................................... 7
Números irracionales ....................................................................................... 7
Números reales ................................................................................................ 8
Decimales ........................................................................................................ 8
Tipos de números ............................................................................................ 9
Distintas formas de los números decimales ................................................... 10
DESEMPEÑO 2 . Jerarquiza operaciones numéricas ........................................ 13
JERARQUIZACIÓN DE OPERACIONES .......................................................... 13
Ejemplos de expresiones aritméticas: ............................................................ 13
Uso de paréntesis .......................................................................................... 15
DESEMPEÑO 3. Calcula porcentajes, descuentos e intereses ....................... 17
PORCENTAJES ............................................................................................. 17
Descuentos y aumentos ................................................................................. 19
Tasas de interés ............................................................................................. 21
Interés simple ................................................................................................. 22
Interés compuesto .......................................................................................... 22
DESEMPEÑO 4. Soluciona problemas aritméticos y algebraicos ...................... 24
OPERACIONES CON FRACCIONES ............................................................... 24
Suma y resta de fracciones del mismo denominador ..................................... 24
Reducción de fracciones a común denominador ........................................... 25
por el método de los productos cruzados....................................................... 25
Reducción de fracciones a común denominador ........................................... 26
por el método del mínimo común múltiplo ...................................................... 26
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MATEMÁTICAS I, BLOQUE I. RESOLVER PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
Suma y resta de fracciones de distinto denominador ..................................... 27
Multiplicación de fracciones ........................................................................... 28
División de fracciones .................................................................................... 29
RESOLUCION DE PROBLEMAS ..................................................................... 30
AUTOEVALUACION .......................................................................................... 33
EVALUACION FORMATIVA GLOBAL DEL BLOQUE I ..................................... 39
BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................. 41
DIRECTORIO .................................................................................................... 42
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MATEMÁTICAS I, BLOQUE I. RESOLVER PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
DESEMPEÑO 1.
números positivos
Identifica formas diferentes de representar
EL SISTEMA DE NÚMEROS REALES
Es fundamental para nuestro trabajo en matemáticas conocer los diferentes tipos
de números que se utilizan. Uno de los primeros conjuntos de números que se
aprenden son los números naturales. Estos números son 1, 2, 3, 4, etcétera.
Éstos fueron también los primeros números inventados por la humanidad. Más
tarde, la humanidad descubrió la necesidad del número (0). Cuando se añadió el 0
a los números naturales, se formó un nuevo conjunto de números, llamados
números enteros naturales.
Enteros
La humanidad continuó usando los números enteros hasta que descubrió que no
había posibilidad de resolver ciertos problemas con el conjunto de números
enteros naturales. Problemas como la resta 3 — 5 requerían que se inventara un
nuevo conjunto de números: los enteros. Éstos incluían a los números naturales,
el cero y un valor negativo para cada uno de los números naturales. El conjunto de
enteros consta de los números
..., —4, —3, —2, —1, O, 1, 2, 3, 4....
Los números negativos se llaman enteros negativos y los números naturales
positivos, enteros positivos. El número 0 no es positivo ni negativo. Los números
positivos pueden escribirse con un signo más (+) adelante del número, como +1,
+2, +3,... aunque esto no es necesario.
Nota: Una elipsis de tres puntos (...) en una serie de números significa que se han
omitido ciertos números. Se colocan donde estarían los números faltantes.
Números racionales
Los números racionales se crearon para indicar cuándo era necesaria una parte
de algo. Estos números se emplean para representar la división de un entero entre
otro entero positivo o negativo. Existen números racionales tanto positivos como
negativos. Los números racionales pueden expresarse en varias formas. Los
números
constituyen diferentes maneras de escribir 2.
Números irracionales
Hace algún tiempo la gente pensaba que todo podía expresarse como un número
racional y que cualquier problema tendría como respuesta un número racional. De
hecho existe una historia: la primera persona que probó que no todos los números
eran racionales fue ejecutada a causa de esta aseveración. Quizá debido a que no
es racional ejecutar a una persona sólo porque descubrió un nuevo conjunto de
números, estos números se llamaron números irracionales. Algunos de ellos son
7
MATEMÁTICAS I, BLOQUE I. RESOLVER PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
. Si bien no lo probaremos aquí, no es posible representar ninguno
de estos números por medio de la división de dos enteros.
Números reales
Cuando los números racionales se combinan con los irracionales, se forma un
nuevo conjunto: los números reales. En la mayor parte de este cuadernillo de
aprendizaje se utilizan los números reales. Existe otro nuevo conjunto de números,
llamados números imaginarios, y los conjuntos de números reales e imaginarios
se combinan formando otro conjunto, los números complejos.
A veces es conveniente representar los números reales sobre una recta numérica.
La recta numérica es una línea horizontal marcada en intervalos igualmente
espaciados. Unas de estas marcas se llama origen y se indica con el número cero
(0). Las marcas a la derecha se señalan usando los enteros positivos. Los enteros
negativos se emplean para designar las marcas a la izquierda del origen. En la
figura 1 se muestra una escala típica.
Figura 1.
Los demás números reales se localizan entre los enteros.
El hecho de que una recta numérica no tenga que ser horizontal puede
demostrarse por medio de un termómetro. La mayoría de los termómetros de
pared cuelgan verticalmente, con los números positivos arriba de los números
negativos, esto representa una recta numérica vertical. Sin embargo, el hecho de
que algunos termómetros sean circulares demuestra que nada requiere que una
representación sea una línea recta.
Decimales
Cada número real puede representarse con un número decimal. Los números
racionales se representan mediante decimales repetidos. Los números irracionales
se representan mediante decimales no repetidos. Las representaciones decimales
nos permiten colocar estos números con precisión sobre la recta numérica.
Los decimales repetidos incluyen
(se repite el 0),
(se
repite el 0),
(se repite el 3) y
(se repite el 72).
Éstos se representan en ocasiones con una barra sobre los dígitos de repetición.
Así,
y
. Los números que repiten el
cero se llaman decimales terminales y generalmente se escriben sin indicar al
cero repetido. Cuando se hace esto, tenemos
y
.
Los números irracionales se representan mediante decimales no repetidos ni
terminales. Por ejemplo, he aquí las representaciones decimales de cuatro
números irracionales:
8
MATEMÁTICAS I, BLOQUE I. RESOLVER PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
Tipos de números
 Los números naturales son: 1, 2, 3,...., 10, 11,...., 102, 103,..... Hay
infinitos. Al conjunto de todos ellos se les designa con la letra N.
 Los números enteros incluyen los naturales, sus opuestos y el cero: ...,
-11, -10,......, -2, -1, 0, 1, 2,...., 10, 11,..... Al conjunto de todos ellos se les
designa con la letra Z.
 Los números escritos como fracciones
donde el numerador no es
múltiplo del denominador y el denominador es no nulo. Hay dos tipos:
 Fracciones propias: Numerador < Denominador (Ejemplo: 2/3),
siempre se pueden transformar en un decimal y este es menor a la
unidad.
 Fracciones impropias: Numerador > Denominador (Ejemplo: 3/2),
siempre es mayor a la unidad, se puede escribir como número
mixto es decir; una parte entera y una fracción propia (Ejemplo ).
Nota: El símbolo (<) indica : menor que y ( >) mayor que .
 Los números fraccionarios tienen una expresión como número decimal
 Números decimales exactos: Número finito de decimales:
 Números decimales periódicos puros: Número infinito de decimales
tales que la parte decimal se repite:
=
 Números decimales periódicos mixtos: Número infinito de
decimales tales que hay alguna cifra decimal que no se repite:
=
 Los números racionales incluyen los números enteros y los
fraccionarios. Al conjunto de todos ellos se les designa con la letra Q.
 Los números irracionales son aquellos que no son racionales: , ,
1.010010001… (Números decimales no periódicos). Al conjunto de todos
ellos se les designa con la letra I.
Esquema de la clasificación de los números reales R
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MATEMÁTICAS I, BLOQUE I. RESOLVER PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
Distintas formas de los números decimales
Antes de comenzar un estudio serio sobre los números reales es importante
analizar algunas de las formas que presentan los números positivos, hacer
algunas consideraciones de ellos, describir las distintas formas en las que pueden
ser expresados, así como el momento oportuno para utilizar cada una de esas
posibles representaciones.
Comencemos con un número que conoces y utilizas de manera cotidiana;
digamos el número 4. De él se puede afirmar que:
a) Es un número natural debido a que lo utilizamos para contar.
b) Es un número que logra expresarse como un decimal, ya que es
equivalente a 4.0
c) Puede ser representado como un número de la forma , expresión
que conoces como fracción; puesto que la expresión
es equivalente a
4.
d) Desde el punto de vista de los porcentajes, representa el 400%. Es
decir, partiendo de que la unidad es equivalente al 100%, 4 veces esta
unidad equivaldría al porcentaje descrito.
e) Es un decimal periódico, debido a que es posible hacer notar el
punto decimal y agregar infinitos ceros a la derecha del punto, es decir:
Ahora consideremos otro número. Veremos que puede representarse de distintas
formas; por ejemplo, si tomamos el 25%, este número tiene las representaciones
siguientes:
a) No es un número natural.
b) Como decimal, es representado como 0.25
c) En la forma , representa ; para llegar a esta forma, puedes
considerar dos caminos distintos:
1. El 25% representa 25 partes de 100, es decir,
2. 0.25 se lee y vale 25 centésimos; que representa lo mismo
que
el proceso para llegar a un cuarto es semejante al
descrito.
d) 0.25 es un decimal periódico repetitivo debido a que puede
expresarse de manera equivalente con ceros infinitos a la derecha del
punto, es decir,
10
MATEMÁTICAS I, BLOQUE I. RESOLVER PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
En el caso de
, las distintas representaciones que tiene son:
a) No es un número natural, debido a que no es utilizado propiamente para contar
los elementos de un conjunto.
b) 7.282828... es su representación decimal.
c) Su representación fraccionaria es
; para obtenerla, se sigue un proceso
especial; consistente, para este caso, en los siguientes pasos.
1. Consideramos que x representa la forma
del número que
deseamos expresar.
2. Expresamos la intención de encontrar la forma con la ecuación 1:
3. Obtenemos una segunda ecuación multiplicando la primera por 100;
en el caso específico que nos ocupa:
4. A la segunda ecuación le restamos la primera:
5. Despejamos x en la nueva ecuación y obtenemos la expresión que
nos interesa.
d)
representa aproximadamente el 728.28%.
Por último, consideraremos
a) No es un número natural, debido a que no es utilizado para contar.
b) Su representación decimal se obtiene al dividir 5 entre 11, lo que da
0.45454545...
c) Debido a que hay un periodo que se repite, puede ser representado
d) Como porcentaje, representa 45.45%.
11
MATEMÁTICAS I, BLOQUE I. RESOLVER PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
I.
Utilizando lo que hasta ahora hemos visto de los números, completa el
cuadro que a continuación aparece representando de distintas formas los
números que encuentres en él.
Como decimal
periódico
Como fracción o
número de la
forma
Como
porcentaje
Como Natural
Como decimal
4
4.0
400 %
No es natural
0.25
25 %
No es natural
0.454545…
45.45 %
8
75 %
4.32
100 %
3.4444…
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MATEMÁTICAS I, BLOQUE I. RESOLVER PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
DESEMPEÑO 2 . Jerarquiza operaciones numéricas
JERARQUIZACIÓN DE OPERACIONES
Existen situaciones en las que se deben emplear combinaciones de las
operaciones tales como: suma, resta, multiplicación, división e, incluso, las
potencias (que se pueden considerar como multiplicaciones abreviadas).
Una forma combinada de números y operaciones aritméticas se conoce con el
nombre de expresión aritmética.
Ejemplos de expresiones aritméticas:
2+3
22 + 2 – 5 x 8
1 + 23 + 2 4 + 25
2+3x5–7
24 x 3 5 + 3 ÷ 2
53 – 3 x 4 2 ÷ 82
Se observa que ninguna de estas expresiones tiene paréntesis. Posteriormente se
analizará el uso de éstos en las expresiones aritméticas.
Si se tiene una expresión como: 2 + 3 x 5, ¿qué operación debe realizarse
primero, la suma o la multiplicación?
En la expresión 5 + 22, ¿qué debe hacerse primero, sumar y luego elevar al
cuadrado o primero elevar al cuadrado y después sumar?
Es claro que los resultados dependerán del orden que se siga.
En la expresión 2 + 3 x 5, si primero se suma (2 + 3) y luego se realiza la
multiplicación (5 x 5), el resultado que se obtiene es 25; si primero se multiplica (3
x 5) y luego se suma, el resultado será 17.
En el segundo ejemplo, 5 + 22, si primero se suma (5 + 2) y después se eleva al
cuadrado (72), se obtiene 49; si primero se eleva al cuadrado (2 2) y después se
suma, el resultado es 9.
Para evitar confusiones, se pueden utilizar los paréntesis o ciertas convenciones:
Una expresión aritmética se simplifica mediante la aplicación de la siguiente
jerarquía de las operaciones:
a) Se calculan todas las potencias (con el número inmediato al lado izquierdo
del exponente) de izquierda a derecha.
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MATEMÁTICAS I, BLOQUE I. RESOLVER PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
b) Se calculan todas las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha
(con los números inmediatos a la izquierda y la derecha de los signos
“x” y “÷”).
c) Se calculan todas las sumas y restas de izquierda a derecha (con los
números inmediatos a la izquierda y la derecha de los signos + y –).
Para la expresión 25 ÷ 5 + 102 – 52 x 4
Primero se calculan las potencias. Como en este caso aparecen dos de ellas, el
cálculo se realiza de izquierda a derecha:
= 25 ÷ 5 + 100 – 52 x 4 → Se calculó la potencia 102.
= 25 ÷ 5 + 100 – 25 x 4 → Se obtuvo la potencia 52.
Ahora hay que calcular las multiplicaciones y las divisiones. Como hay una división
y una multiplicación, se realizan de izquierda a derecha:
= 5 + 100 – 25 x 4 → Se dividió 25 ÷ 5.
= 5 + 100 – 100 → Se multiplicó 25 x 4.
Por último, se realizan las sumas y restas de izquierda a derecha:
= 105 – 100 → Se realizó la suma 5 + 100.
= 5 → Se restó 105 — 100.
ACTIVIDADES
I.
Ejercicios: realiza los cálculos que se indican:
1) Con los números: 2, 3 y 5.
a) Suma los dos primeros y
multiplica el resultado por el
tercero.
b) Encuentra el producto de los
dos últimos y suma el
resultado con el primero.
¿Obtienes el mismo resultado en
ambos incisos?
¿Cuál de estos incisos representa la
siguiente operación 2 + 3 x 5?
2) Con los números: 99, 18 y 9.
a) Resta los dos primeros y divide
el resultado entre el tercero.
b) Divide el segundo entre el
tercero y resta al primero el
resultado de la división.
¿Obtienes el mismo resultado en
ambos incisos?
¿Cuál de estos incisos representa la
siguiente operación 99 – 18 ÷ 9?
3) Calcula
las
siguientes
expresiones.
Considera
la
jerarquía de operaciones.
a) 9 ÷ 9 – 4 + 22 x 10
b) 27 – 23 x 2 + 50
c) 22 – 20 + 4 x 50 ÷ 10
d) 72 ÷ 7 + 43 ÷ 4 + 62 ÷ 3
4) Relaciona las columnas; en la
primera columna aparece una
expresión aritmética y en la
segunda su resultado.
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MATEMÁTICAS I, BLOQUE I. RESOLVER PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
a) 2 • 7 • 8 ÷ 4÷2
b) 22 • 52 ÷ 4
c) 19 • 5 – 27 + 3 • 32
25
40
28
d) 28 + 4 x 34 ÷ 33
e) 44 – 40 + 27 – 3
14
95
Uso de paréntesis
Anteriormente se estudió el orden jerárquico de las operaciones, lo cual evita
confusiones al evaluar las expresiones aritméticas.
El uso de paréntesis permite una lectura más sencilla de las operaciones,
respetando la jerarquía planteada. Por ejemplo, en la expresión 2 + 3 x 5 se debe
evaluar primero la multiplicación (3 x 5) y después la suma; se puede indicar esto
mediante el uso de paréntesis como sigue: 2 + 3 x 5 es lo mismo que 2 + (3 x 5)
De manera similar,
es lo mismo que
, por lo que el uso de los paréntesis
sirve para aclarar las expresiones aritméticas.
Los paréntesis también se emplean para modificar la jerarquía establecida.
Si en la resolución de la operación 2 + (3 x 5) se necesita realizar primero la suma
y después la multiplicación, se modifica el orden colocando los paréntesis de este
modo: (2 + 3) x 5. De manera similar, si en la expresión
se necesita evaluar
2
primero 3 y luego elevar el resultado al cuadrado, se escribe
.
De acuerdo con lo anterior, la jerarquía de las operaciones se modifica con la
siguiente regla:
Antes de cualquier otra simplificación, se calculan las expresiones que se
encuentran entre paréntesis de izquierda a derecha.
A continuación se presentan algunos ejemplos de aplicación:
El valor de la expresión (2 x 3)2 + (5 – 3)3 se calcula evaluando primero las
expresiones que están entre paréntesis de izquierda a derecha:
(2 x 3)2 + (5 – 3)3
= 62 + (5 – 3)3 →
= 6 2 + 23
→
Se multiplicó 2 x 3
Se realizó la resta 5 — 3
Después se siguen las reglas ya conocidas:
= 36 + 23
→
Se obtuvo la potencia 62.
= 36 + 8
→
Se efectuó el cálculo de 23
= 44
→
Se realizó la suma 36 + 8.
Si aparecen varios niveles de paréntesis, se evalúan "de adentro hacia afuera", es
decir, iniciando con el interno.
Para evaluar la expresión (3 + (5 x 6)) ÷ 11, se realizó lo siguiente:
15
MATEMÁTICAS I, BLOQUE I. RESOLVER PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
→ Se calculó el paréntesis interno, con la
multiplicación 5 x 6
= 33 ÷ 11
→ Se realizó la suma correspondiente al
paréntesis externo 30 + 3.
=3
→ Se efectuó la división 33 ÷ 11.
A continuación mostramos dos ejemplos más en los que se hace uso de las
operaciones con símbolos de agrupación; en cada uno de ellos se rompe el orden
intuitivo de las operaciones.
Ejemplo 1
3+ 4(6 + 8)+2 +(4 + 9)=
En el primer paso realizamos las
operaciones que se encuentran en el
interior de cada paréntesis.
3+ 4(14)+2+(13) =
Se efectúan las multiplicaciones que
están indicadas en los paréntesis.
3 + 56 + 2 + 13 = 74
Sumamos los números
(3 + (5 x 6)) ÷ 11 = (3 + 30) ÷11
Ejemplo 2
3 + 5 [ 4 + 2 (7+2) ] + 4 =
3+5[4+2(9) ]+4=
3 + 5 ( 4 + 18 ) + 4 =
3 + 5 ( 22 ) + 4 =
3 + 110 + 4 = 117
II.
En el primer paso realizamos la
operación que se encuentra en el
interior del paréntesis.
Ahora se efectúa la multiplicación
indicada por el paréntesis.
Se realiza la suma que se encuentra en
el interior del paréntesis. Y efectuamos
la multiplicación indicada por el
paréntesis
Sumamos los números.
Ejercicios: realiza los cálculos que se indican:
1.Escribe las expresiones con los paréntesis necesarios para mejorar la lectura.
Sigue la jerarquía de operaciones.
a)
c)
e)
=
=
b)
d)
f)
2.Evalúa las siguientes expresiones aritméticas respetando la jerarquía de
paréntesis y de operaciones.
a)
b)
c)
16
MATEMÁTICAS I, BLOQUE I. RESOLVER PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
d)
e)
DESEMPEÑO 3. Calcula porcentajes, descuentos e intereses
PORCENTAJES
Muchos datos de investigaciones se expresan en términos de porcentajes; por
ejemplo, los resultados de las votaciones, los análisis de los censos, el contenido
nutricional de los alimentos, los resultados de las encuestas, etc., por ejemplo,
según los datos proporcionados por el INEGI, "la población mexicana creció
12.33% de 1990 a 1995".
Las fracciones se pueden presentar como relaciones entre dos cantidades, por
ejemplo, la superficie de la Tierra y la superficie cubierta por agua. Sin embargo,
en muchas ocasiones es más claro expresar la información mediante una fracción
equivalente con denominador 100. Por ejemplo, el agua cubre el
Cuando se realizan los productos cruzados de las fracciones
y
de la Tierra.
se observa
que éstas son equivalentes. 3 x 100 = 4 x 75 = 300
Las expresiones con denominador 100:
,
, se traducen como 3 de cada 100,
7 de cada 100, etc. Lo cual se expresa como 3 por cada 100 o, mejor aún, 3 por
ciento, que se escribe: 3%.
En algunos casos se relacionan números decimales con porcentajes, por ejemplo,
señalar que el 3.5% de los alumnos de una escuela están en el cuadro de honor
no quiere decir que hay 3.5 alumnos, sino que del total de alumnos esa proporción
es la que aparece incluida en el cuadro de honor.
En otros casos aparecen situaciones en las que se involucran cantidades mayores
que 100, por ejemplo, cuando se pregunta cuál es el 15% de 287, lo que se
pretende es obtener un número que satisfaga esta igualdad:
=
Es decir, se encontrará el numerador que haga equivalentes a estas dos
fracciones. Si se emplea el criterio de los productos cruzados, resulta lo siguiente:
=
17
MATEMÁTICAS I, BLOQUE I. RESOLVER PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
Por productos cruzados:
Esto es:
Por tanto: x = 43.05 , lo cual indica que esta cantidad es el 15% de 287.
En seguida se realizará lo mismo para el ejemplo del agua y la Tierra. Si la
superficie de la Tierra es 510, 000, 000 km2, la parte cubierta por agua es del 75%,
es decir:
=
Entonces:
O sea:
Por tanto: x = 382 500 000
Esto significa que 382 500 000 km2 están cubiertos por agua.
Asimismo, se pueden resolver problemas como el siguiente:
Si una revista especializada en nutrición dice que 455 personas, que son el 35%
de las encuestadas, consumen refrescos dietéticos, ¿cuántas personas fueron
entrevistadas?
En este caso, el problema no es encontrar el 35%, sino el 100%; es decir, el total
del cual 455 es el 35%. Para ello se debe calcular lo siguiente:
=
Entonces:
Es decir:
= 1300
donde: x = 1 300.
Esto significa que se encuestó a 1 300 personas.
ACTIVIDADES.
I.
Ejercicios de porcentajes:
Realiza lo que se pide.
a) Observa cuántas personas hay
alrededor de ti, diferéncialas por
el género: hombres y mujeres.
Escribe los datos en términos de
porcentaje.
b) Pregunta
a
30
personas
(compañeros,
maestros,
familiares, vecinos) si usan
lentes. Escribe los resultados de
la encuesta en términos de
porcentaje.
18
MATEMÁTICAS I, BLOQUE I. RESOLVER PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
c) Mide un listón y córtale un trozo;
mide la parte del listón que
quedó, compara las dimensiones
y escribe la diferencia entre ellas.
Expresa el porcentaje que
representa el trozo que se cortó.
Considera como 100% la medida
inicial.
Resuelve los siguientes problemas.
a) Berenice ayudó a su papá a
vender pollo a domicilio durante
sus vacaciones. El ofreció a la
niña el 15% de todo lo que ella
vendiera. Si al finalizar el verano
Berenice había vendido $735.50,
¿cuánto le pagó su papá?
b) Una fábrica de refrigeradores
produce,
normalmente,
35
unidades al día. Por fallas de la
planta eléctrica, tres días de una
semana la producción bajó a 21
unidades. Si se labora de lunes a
sábado, ¿cuál es el porcentaje de
refrigeradores que se dejaron de
producir en esa semana?
c) El primer día de clases, había
835 alumnos en una secundaria;
al finalizar la semana eran ya
1002.
¿En
qué porcentaje
aumentó la población de esa
escuela?
d) Laura pesaba 55 kg antes de
ponerse a dieta y bajó el 15% de
ese peso en dos meses; pero en
las fiestas navideñas subió el
15% de su nuevo peso. ¿Pesa
Laura más, menos o igual que
antes de iniciar la dieta?
e) Si Laura primero hubiera subido
el 15% de su peso y luego bajado
el 15% de su nuevo peso,
¿pesaría lo mismo que en el
problema anterior al final del
mismo período? ¿Pesaría ahora
más, menos o igual que antes de
subir de peso?
Descuentos y aumentos
Los porcentajes se emplean con frecuencia para determinar aumentos y
descuentos: de salarios, de precios, de rendimiento, de potencia, etc.
El porcentaje es sólo una forma de expresar un número con denominador 100.
Cuando se dice que el incremento del salario es de 12%, esto significa que por
cada $ 100.00 del antiguo salario, se aumentan $ 12.00. Si Juan ganaba, a la
quincena, $ 1 200.00, ahora recibirá:
Aumentos
1200 + (0.12) x 1 200 = 1 200 + (12 x 12) = 1 344
Se suma el término (12 x 12), porque el salario de Juan se compone de 12
centenas y por cada una de ellas aumentó $ 12.00.
19
MATEMÁTICAS I, BLOQUE I. RESOLVER PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
Se puede obtener el mismo resultado mediante el siguiente problema de
fracciones equivalentes:
=
Entonces:
De donde:
Por tanto: x = 144
Es decir, el aumento del 12% de un salario de $ 1 200.00 es $ 144.00, por lo cual
el nuevo salario de Juan es $ 1 344.00. Este procedimiento tiene la ventaja de ser
más general, pues sirve para calcular cualquier porcentaje.
Otro ejemplo: cuando en una tienda anuncian un descuento del 50%, todo el
mundo sabe que la mercancía está a la mitad de su precio. Si un vestido costaba
$ 137.00, ¿cuál es su nuevo precio?
=
Entonces:
De donde:
Por tanto: x = 68.50
Ello significa que $ 68.50 es el nuevo precio del vestido, pues esta cantidad es,
precisamente, la mitad de $ 137.00.
También se habla de los aumentos o disminuciones del rendimiento de las
máquinas en general.
Si al motor de un automóvil se le agrega un aditivo para que su rendimiento
aumente 12.5%, cada litro de gasolina rendirá 12.5% más. Por ejemplo, si antes
recorría
, ahora recorrerá:
=
Entonces:
De donde:
Por tanto: x = 1
Es decir, ahora el motor del automóvil rinde
.
ACTIVIDADES
II.
Ejercicios de descuentos y aumentos:
Resuelve los siguientes problemas.
20
MATEMÁTICAS I, BLOQUE I. RESOLVER PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
a) ¿Qué te conviene más, una
rebaja del 15% seguida de un
aumento del 5%, o el aumento
del 5% seguido de la rebaja del
15%? Explica tu respuesta.
b) En
un
campeonato
de
basquetbol, el equipo de David
ganó 4 de los 7 primeros juegos.
¿Qué porcentaje de los juegos
ganó? ¿Qué porcentaje de los
juegos perdió? Si a la mitad de la
temporada se habían jugado 26
partidos y el equipo de David
había triunfado en 13 de ellos,
¿qué porcentaje de juegos había
ganado? ¿Mejoró el equipo
respecto a los primeros partidos?
Al finalizar la temporada, el
equipo había vencido en 39
partidos de 52, ¿qué porcentaje
de
juegos
ganó?
¿Mejoró
respecto a los porcentajes
anteriores?
c) Los alumnos de una escuela
fueron divididos, para una
competencia deportiva, en 20
grupos de 36 niños cada uno.
¿Qué porcentaje de los alumnos
hay en cada grupo? ¿Qué
porcentaje de estudiantes hay en
15 grupos? ¿Cuál es el 2% de los
alumnos de esa zona?
d) El número de alumnos de una
escuela descendió de 510 a 440.
Expresa en porcentaje esta
reducción.
e) Una
tienda
de
artículos
deportivos anuncia una gran
barata: todos los productos
tendrán una rebaja del 32%.
Encuentra los precios rebajados
de los siguientes artículos, cuyos
precios normales se indican:
balón de futbol, $65; red de
voleibol, $256; guantes para
portero, $178; calcetas, $25.
Redondea los precios cuando se
requiera.
Tasas de interés
Cuando alguien planea ahorrar o invertir su dinero, o por el contrario, pedir
prestada alguna cantidad, debe considerar los problemas de interés. La tasa de
interés es muy importante porque determina una cuota de dinero adicional —que
le pagarán o que tendrá que pagar— aparte de la devolución del dinero prestado o
pedido.
Una persona invierte su dinero y recibe ganancias por ello cuando:
• Deposita su dinero en una cuenta de ahorros.
• Compra un certificado bancario o de la federación.
• Compra acciones en una compañía, es decir, se vuelve socio inversionista.
• Invierte en la bolsa (mercado de dinero).
El interés es una cuota de dinero que recibe la persona que invierte por permitir el
uso de su dinero.
El banco y algunas veces otras instituciones, utilizan el dinero de los ahorradores
para prestar a los clientes que solicitan préstamos. Un deudor (el que debe dinero)
tiene que pagar una cuota por el uso del dinero que le fue prestado; él debe
buscar la opción en la que dicha cuota sea lo más baja posible. Actualmente
mucha gente pide dinero prestado a través de:
21
MATEMÁTICAS I, BLOQUE I. RESOLVER PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
• Préstamos hipotecarios, por ejemplo, dinero prestado para comprar una casa
quedando ésta en garantía.
• Préstamos para la compra de un auto (otro tipo de préstamo hipotecario).
• Tarjetas de crédito (préstamos automáticos para la compra de lo que se quiera).
• Becas crédito (préstamos para realizar estudios que se deben pagar al
finalizarlos).
Interés simple
El interés simple es una cuota adicional a la cantidad prestada que debe pagar la
persona a la que fue otorgado el préstamo. Generalmente se calcula por periodos
anuales. En otras épocas en que la economía de los países cambiaba muy
lentamente era muy común este tipo de interés. Por ejemplo, si alguien invierte su
dinero a un rendimiento de "9% de interés simple anual" significa que se le pagará
una ganancia de 9% de la cantidad que tiene invertida. Así, si se invierten $10000,
se obtendrá una ganancia de $900 al año. (10 000 x 0.09 = 900).
El porcentaje que determina la cuota que se debe pagar se llama tasa de interés
(se puede simbolizar con la letra “t”). La cantidad invertida o prestada se llama
capital (se puede simbolizar con la letra C) y la cuota que se paga en beneficio del
inversionista o prestamista se llama interés (se puede simbolizar con la letra i ).
Problemas:
1. Si se invierte un capital de $34 000, a una tasa de interés del 18.5% anual,
¿cuál es el interés (simple) que se recibirá al año?
2. Si se pagó por un año un interés simple de $8 000 y la tasa de interés fue del
32% anual, ¿cuál fue el capital que el banco prestó?
3. Una persona recibió $3 000.00 al año por una inversión de $20 000.00. ¿Cuál
fue la tasa de interés que se aplicó?
Interés compuesto
El banco también recibe depósitos de los ahorradores y debe pagarles un
beneficio, un interés. Al cabo de determinado periodo, un ahorrador puede retirar
el interés generado por su dinero. Sin embargo, muchos deciden sumarlo al capital
inicial, acrecentándolo así.
Supongamos que una persona deposita 4 000 pesos. El banco le paga interés a
una tasa de 2% mensual. Al cabo de un mes, el capital le habrá generado al
ahorrador un interés de 80 pesos, ya que 4 000 x 0.02 = 80.
Al comienzo del segundo mes, el capital incrementado es de $4 080.
Completa la tabla del capital de interés compuesto de una persona que invierte
$4000 a una tasa mensual de 2.5% durante 10 meses (redondea a pesos).
22
MATEMÁTICAS I, BLOQUE I. RESOLVER PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
T
1
2
3
C
4100
4203
4308
4
5
6
7
8
9
10
23
MATEMÁTICAS I, BLOQUE I. RESOLVER PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
DESEMPEÑO 4. Soluciona problemas aritméticos y algebraicos
OPERACIONES CON FRACCIONES
Suma y resta de fracciones del mismo denominador

Para sumar fracciones del mismo denominador, se suman los numeradores y se
deja el mismo denominador.
Ejemplo:
4 3 8 4  3  8 15
  

3
5 5 5
5
5

Para restar fracciones del mismo denominador, se retan los numeradores y se deja
el mismo denominador.
Ejemplo:
9 3 93 6
 

7 7
7
7
EJERCICIOS
1. Calcula las siguientes sumas de fracciones.
12 4 20
 

7 7 7
15 10 21



11 11 11
21 14 10



13 13 13
31 41 38



17 17 17
2. Calcula las siguientes restas de fracciones.
23 14


7
7
43 29


11 11
89 78


13 13
103 94


19 19
24
MATEMÁTICAS I, BLOQUE I. RESOLVER PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
Reducción de fracciones a común denominador
por el método de los productos cruzados
Para reducir fracciones a común denominador por el método de los productos cruzados,
se multiplican el numerador y el denominador de cada fracción por el producto de los
denominares de los demás.
Ejemplo: vamos a reducir a común denominador las fracciones:
3
2
3 3  4  5 60


;
2 2  4  5 40
5
4
1
5
5 5  2  5 50


;
4 4  2  5 40
1 1 2  4
8


5 5  2  4 40
Las fracciones buscadas son:
60
40
50
40
8
40
3. Reduce a común denominador por el método de los productos cruzados las
siguientes fracciones.
4
5
y
1
2
,
2
10
1
3
y
3
8
1
4
y
2
3
2
3
4
,
y
3
5
7
25
MATEMÁTICAS I, BLOQUE I. RESOLVER PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
Reducción de fracciones a común denominador
por el método del mínimo común múltiplo
Para reducir fracciones a común denominador por el método del mínimo común múltiplo
se procede así:
1.° Se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores, y ese valor es el denominador
común de todas las fracciones.
2.° Se divide el mínimo común múltiplo por el denominador de cada fracción y el cociente
obtenido se multiplica por el numerador.
Ejemplo: vamos a reducir a común denominador las fracciones: m.c.m.(4, 5, 8)  40
numeradores
denominadores
1
4
1 1 10 10


;
4
40
40
3
5
1
8
3 3  8 24


;
5
40
40
1 1 5
5


8
40
40
4
2
1
1
1
5
5
5
5
1
8
4
2
1
1
2
2
2
5
1
2x2x2x5 = 40
Las fracciones buscadas son:
60
40
50
40
8
40
4. Reduce a común denominador por el método del mínimo común múltiplo las
siguientes fracciones.
2
3
,
2
5
,
1
2
4
7
4
5
y
y
1
9
4
3
,
1
8
y
8
9
3
4
1
,
y
7
9
10
26
MATEMÁTICAS I, BLOQUE I. RESOLVER PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
Suma y resta de fracciones de distinto denominador

Para sumar fracciones de distinto denominador, se reducen las fracciones a común
denominador;
Después se suman los numeradores y se deja el mismo denominador.
4 1 1
  
Ejemplo: 5 3 2
m.c.m.(5, 3, 2) 
1.° Se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores, y ese valor
es el denominador común de todas las fracciones.
2.° Se divide el mínimo común múltiplo por el denominador de cada fracción y
el cociente obtenido se multiplica por el numerador.
4
30
m.c.m.
 como el m.c.m. es 30, se divide

5
5
deno min ador
5
5
5
1
3
3
1
1
2
1
1
1
2 x 3 x 5 = 30
m. c. m. = 30
Ejemplo: da como resultado 6, este cociente se multiplica por el
numerador
4, da como resultado
24
30
4  (3  2)  1 (5  2)  1 (5  3) 24  10  15 49
19


1
30
30
30
30

Para restar fracciones de distinto denominador, se reducen las fracciones a común
denominador;
Después se restan los numeradores y se deja el mismo denominador.
5. Calcula las siguientes sumas de fracciones
1 4 1
  
5 3 2
2 1 3
  
3 9 5
4 2 1
  
7 4 8
3 1 1
 

2 5 10
2
3
5
1
27
MATEMÁTICAS I, BLOQUE I. RESOLVER PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
Multiplicación de fracciones
El producto de dos o más fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los
Numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores.
Ejemplo:
4 2 1 4  2 1
8
  

5 3 4 5  3  4 60
6. Calcula los siguientes productos de fracciones (cambio del signo “x” )
2 1 3
  
3 4 4
 3  2 1
     
7 9 8
1 2 2
  
8 3 9
4 5 9
     
7 6 5
7. Calcula
1
10 1 10 10
de
  
2
3 2 3
6
3
2
de

4
9
2
2 60 120
de 60  

 40
3
3 1
3
3
de 90 
5
28
MATEMÁTICAS I, BLOQUE I. RESOLVER PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
División de fracciones
Para dividir una fracción
Inversa de
c c
d
(
inversa
), o lo que es lo mismo, se multiplican en cruz los términos de
d d
c
las fracciones
Ejemplo:
a
c
a
por otra fracción
, se multiplica la fracción
por la fracción
b
b
d
a c ad
 
.
b d bc
a
ad
Si es de la forma b 
.
c bc
d
4 3 4  8 32
 

5 8 5  3 15
4
5  4  8  32 .
3 5  3 15
8
1. Calcula las siguientes divisiones de fracciones.
3 2
 
7 8
9
12 
7
5
4 3
 
5 7
4
11 
3
16
2. Observa el ejemplo resuelto y calcula de este modo los ejercicios restantes.
4
1
1 4 1 5
5
de x   x   

5
2
2 5 2 4 8
2
3
de x   x 
3
8
3
7
de x 
x
11
12
5
3
de x   x 
10
2
29
MATEMÁTICAS I, BLOQUE I. RESOLVER PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
3. Determina las divisiones de las fracciones.
2 5
 
9 11
6 5
 
3 7
10 2
 
13 5
4 3
 
11 7
4. Observa el ejemplo resuelto y calcula de este modo, el resto de los ejemplos.
4
1
1 4 1 5
5
de x   x   

5
2
2 5 2 4 8
2
3
de x   x 
3
8
3
7
de x 
x
11
12
5
3
de x   x 
10
2
RESOLUCION DE PROBLEMAS
1. María tomó 1/4 de litro de leche y su hermano Francisco 2/4 de litro. ¿Cuál de
los dos tomó mayor cantidad de leche?
2. Juan repartió un terreno en 5 partes iguales; de ellas sembró
3
con maíz y las
5
2
partes restantes con papas. ¿Cuál de las dos siembras ocupa menos
5
terreno?
Entre dos fracciones que tienen igual denominador, siempre es mayor la que
tiene mayor numerador.
30
MATEMÁTICAS I, BLOQUE I. RESOLVER PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
3. Pedro y su esposa Francisca han comprado un terreno de 600m 2, donde
quieren construir una casa. Pedro desea ocupar en la
1
construcción sólo
del terreno y el resto cultivarlo.
6
Francisca quiere una casa más grande y le pide ocupar en
1
1
la construcción
del terreno total. ¿Es cierto que
del
4
4
terreno es mayor que 1/6 del terreno? Si se ocupara en la
25
1
mts.
construcción
del terreno, ¿la casa sería más grande o
8
más pequeña?
4. Una persona adulta duerme diariamente alrededor de
1
de las horas del día y
3
1
de las horas del día. Compare el tiempo que duerme el
2
adulto con el que duerme el niño.
un niño pequeño
5. Juan y Ramón tienen parcelas iguales. Juan puso abono en
2
2
las 5 partes de su terreno y Ramón en las 3 partes.
¿Quién abonó mayor cantidad de terreno?
Para comparar fracciones de diferentes numeradores y diferentes
denominadores, es necesario transformarlas en otras equivalentes que tengan
un común denominador.
2
6.-Doña Ana compró en el Costco $10 de aceite y le dieron 3 de la botella que
4
llevó. Al día siguiente fue al City Club y, por los mismos $ 10, le dieron 5 de la
misma botella. Doña Ana se pregunta: ¿Dónde será más barato el aceite?
31
24
mts
Entre fracciones de igual numerador, a mayor denominador es menor
el valor de la fracción.
MATEMÁTICAS I, BLOQUE I. RESOLVER PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
7. Los barcos camaroneros, “El tachidito” y “El compayito”, que tienen igual
3
capacidad, vuelven después de una noche de pesca. El primero llenó las 4 partes
5
de su bodega; el otro las 7 . ¿Cuál obtuvo mejor pesca?
8. Ulises, Marcelo y Fernando son tres hermanos que van en bicicleta a la misma
3
5
2
escuela. Ulises tarda
de hora; Marcelo tarda
de hora, y Fernando demora
4
6
3
de hora. ¿Cuál de ellos lo hace más rápido y cuál es el más lento?
9. Dos jornaleros pavimentan una cancha de básquetbol. El primer día hacen
trabajo, el segundo día
1
del
5
1
1
y el tercero del trabajo total. ¿Qué parte de la cancha
3
4
queda pavimentada al término del tercer día?
32
MATEMÁTICAS I, BLOQUE I. RESOLVER PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
AUTOEVALUACION
Con la finalidad de que verifiques tu aprendizaje en este bloque I, se te presentan
algunos ejercicios y apliques lo adquirido.
DESEMPEÑO
positivos
1.
Identifica formas diferentes de representar números
I. Expresa el número que se te proporciona de la manera en que se indica.
1. Expresa 14.36 como un número de la forma .
2. Determina la forma decimal del número
3. Determina la forma
.
equivalente del número 9.2222...
4. El 7 exprésalo como un decimal periódico.
5. El valor equivalente a
en porcentaje
6. Encuentra el valor que expresa
II.
como un número de la forma .
Relaciona las columnas que a continuación se muestran, de manera que
coloques la letra del inciso en el paréntesis que indica el número equivalente.
a)
(
) 50 %
b) 3.242424…
(
)
c)
(
) 62.5 %
d) 85 %
(
)
33
MATEMÁTICAS I, BLOQUE I. RESOLVER PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
e)
(
)
DESEMPEÑO 2. JERARQUZACIÓN DE OPERACIONES
1. Calcula las expresiones aritméticas utilizando las reglas de la jerarquización.
a)
b)
c)
d)
e)
2. Realiza las siguientes operaciones teniendo en cuenta jerarquía de operaciones.:
1. 27 + 3 · 5 – 16 =
2.
27 + 3 – 45 ÷ 5 + 16 =
3.
(2 · 4 + 12) (6 − 4) =
4. 3 · 9 + (6 + 5 – 3) – 12 ÷ 4 =
5 . 2 + 5 · (2 · 3)³ =
6.
7.
440 − [30 + 6 (19 − 12)] =
2{4 [7 + 4 (5 · 3 − 9)] − 3 (40 − 8)} =
DESEMPEÑO 3. Calcula porcentajes, descuentos e intereses
Aplica los conocimientos sobre porcentajes, descuentos e intereses en la resolución de
los siguientes problemas.
a) A Rafael le descuentan el 12% de su sueldo por concepto de un préstamo. Si
gana $800. a la semana y debe $720.00, ¿durante cuántas semanas le van a
descontar?
b) El 11.11% del peso del agua corresponde al hidrógeno y el resto al oxígeno.
¿Qué cantidad de hidrógeno y oxígeno hay en 8500 gramos de agua?
c) En un campamento habitan 3 000 personas; el 35% de ellas son
estadounidenses, el 25% japoneses y el resto de otras nacionalidades. ¿Cuántos
34
MATEMÁTICAS I, BLOQUE I. RESOLVER PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
estadounidenses hay? ¿Cuántos japoneses? ¿Cuál es el porcentaje de personas
pertenecientes a otras nacionalidades y cuántas son?
d) El Sr. Gómez dio $ 210 para una bicicleta que regalará a su hijo. Si esta
cantidad representa el 62% del precio total, ¿cuánto cuesta la bicicleta?
e) La maestra de Física dijo, al principio del curso, que las calificaciones de los
exámenes significarían el 60% de la calificación mensual, los reportes de
laboratorio el 25% y las tareas el 15%. Joel ha entregado todos los reportes de
laboratorio y las tareas, pero en los exámenes obtuvo calificaciones de 5, 5, 6 y
6.5. ¿Aprobará Joel?
f) Si Luis compra a crédito una camioneta que cuesta $85000, deberá pagar
$35000 de enganche y el resto en 1 mes. Si debe pagar el 3.5% de interés sobre
el restante, ¿cuánto pagará?
g) Fidel le debe $500 a su tío y lo único que puede vender para cumplir su
compromiso es un radio. Está ofreciendo el radio en $550.00 y dice que con ello
pierde el 20% del precio real. ¿Cuál es el precio real del radio?
h) María compró, en una venta de saldos, mercancía por $4375. Si al vender esa
mercancía obtendrá una ganancia del 24%, ¿cuánto dinero ganará?
DESEMPEÑO 4. SOLUCIONA PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
1. Determina la suma de las fracciones que se indican.
15 2 30
 

6 6 6
14 12 23
 

13 13 13
20 12 8
  
19 19 19
21 31 48
 

17 17 17
35
MATEMÁTICAS I, BLOQUE I. RESOLVER PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
2. Determina la resta de las fracciones que se indica.
26 13
 
5 5
53 39


10 10
79 68


12 12
108 94


20 20
3. Reduce a común denominador las fracciones siguientes, utilizando productos
cruzados.
5
6
1
3
3
8
y
,
1
4
4
7
y
1
5
3
4
y
3
5
6
,
y
4
3
7
4. Reduce a común denominador por el método del mínimo común múltiplo las
siguientes fracciones.
3
4
,
2
3
,
1
3
5
8
5
7
y
y
1
9
2
3
,
1
7
y
9
5
3
6
1
,
y
4
5
10
36
MATEMÁTICAS I, BLOQUE I. RESOLVER PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
5. Determina la suma de las fracciones que se indican.
1 6
 
4 7
1 2


3 10
4 2 1
  
3 6 5
12 1 1
 

5 6 10
6. Determina el producto de las fracciones que se indican
1 6
 
4 7
1 4
 
3 11
4 2 1
  
3 6 5
12 3 1
  
5 7 3
7. ¿Cuál es el resultado de las operaciones que se indican?
1
8
de 
3
5
2
5
de

3
12
3
de 70 
4
5
de 60 
2
37
MATEMÁTICAS I, BLOQUE I. RESOLVER PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
8. Realiza la división de las fracciones siguientes.
5 10


8 12
10
3 
5
7
4 2
 
3 9
4
2 
16
3
9. Determina el valor de “x” en las operaciones que se indican.
3
2
de x   x 
4
3
3
4
de x   x 
4
7
5
6
de x   x 
12
7
1
4
de x   x 
5
3
Resuelve los problemas siguientes.
1
de una tela y en la confección
4
de una falda 1/3 de la misma tela. ¿Qué fracción de la tela utilizó en la falda y
la blusa juntas?
1. En la confección de una blusa Marisela gastó
3
1
kg de arroz. Si en la comida del día gasta
kg, ¿Qué
4
6
cantidad de arroz le queda?
2. María compra
38
MATEMÁTICAS I, BLOQUE I. RESOLVER PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
3. Una llave de agua surte un depósito que se desea llenar en sus
hora después de abrir la llave, el nivel de agua llena las
3
partes. Una
4
2
partes del depósito.
5
¿Qué cantidad de agua le falta llenar el depósito?
4. Un depósito tiene dos llaves para la entrada de agua. Si se abre sólo la llave A,
1
el depósito se llena en
de hora. Si se abre sólo la llave B, el depósito se
20
1
llena en
de hora. Si se abren las dos llaves, ¿el depósito se llena en más o
10
1
en menos de
de hora?
10
5. Pedro pensaba sembrar la mitad de su terreno con sandías, pero las semillas
1
sólo le alcanzaron para sembrar
del terreno. ¿Cuánto terreno del que tenía
3
destinado a la siembra de sandías le quedó desocupado?
EVALUACION FORMATIVA GLOBAL DEL BLOQUE I
A continuación se te presenta una evaluación formativa global del Bloque I con la
finalidad de que apliques todo lo que aprendiste hasta éste momento. Lee
cuidadosamente cada pregunta y contesta lo que se indique en cada una de ellas.
1. La representación del número 5.25 en su forma
A)
2. El número
A) 47.35%
B)
C)
D)
tiene su representación en forma de porcentaje en el inciso.
B)
34.75%
C)
43.75 %
3. El resultado de la expresión numérica 2+6 • 4 – 8
A) 24
es:
B)
18
C)
4
D) 53.47%
es igual a:
D) 32
4. El resultado de la expresión numérica 3 • 6 • 5 ÷ 2 ÷ 5 es igual a :
39
MATEMÁTICAS I, BLOQUE I. RESOLVER PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
A) 9
B)
6
C)
4
D) 3
5 . El resultado de la operación
A) 11445
es :
B) 1245
C)
245
D) 45
6. Si el 35% , de una cierta cantidad total es 525 ¿ Cuánto es el total?
A) 1200
B) 1245
C)
1400
D) 1500
7. El primer día de clases, había 635 alumnos en una secundaria; al finalizar la
semana eran ya 1000 . ¿En qué porcentaje aumentó la población de esa escuela?
A) 47.84%
B)
57.48%
C)
34.75 %
D) 53.47%
8. Una tienda de artículos deportivos anuncia una gran barata: todos los productos
tendrán una rebaja del 34%. ¿Cuál el precios rebajados de los siguientes artículos, si
su precios normales son: balón de futbol, $455; porterías, $856.
A) Balón $300
Portería $ 565
B) Balón $310
Portería $ 560
C) Balón $200
Portería $ 465
9. El cinabrio está formado de mercurio y azufre. Si
D) Balón $300
Portería $ 656
son de azufre, ¿qué parte le
corresponde al mercurio?
A)
B)
C)
10. Al escalar una montaña, un alpinista, asciende el primer día
y el segundo día
A)
D)
de la altura total
. ¿Cuánto le queda por ascender?
B)
C)
D)
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MATEMÁTICAS I, BLOQUE I. RESOLVER PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
BIBLIOGRAFÍA
BASICA
 Algebra Elemental. Allen R. Ángel , Ed. Pearson Prentice Hall.
 Aritmética y Álgebra. Samuel Fuenlabrada de la Vega Truciol. Ed. Mc Graw
Hill.
 Matemáticas I. Ana Laura Álvarez Méndez, Nueva Editorial Lucero
 Matemáticas I Aritmética y Álgebra, Patricia Ibáñez Carrasco, Gerardo
García Torres, Ed. Cengage Learning
COMPLEMENTARIA
 Matemáticas I. Antonio Pulido Chiunti, Ed. Nueva Imagen colección NR

 Matemáticas I, Aritmética Y Álgebra, Ed, DGTI,Fondo de cultura
Económica.
 Matemáticas I . Arturo Méndez Hinojosa
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DIRECTORIO
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DIRECTORIO
ING. ROBERTO PANTOJA CASTRO
DIRECTOR GENERAL
ING. JOSÉ ARTURO HERNÁNDEZ
HERNÁNDEZ
DIRECTOR ACADÉMICO
LIC. JOSÉ ANTONIO PUENTE
CARREÓN
JEFE DEL DEPARTAMENTO SEA-P
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