ESTADÍSTICA BÁSICA I Taller 2 ¿Porqué varían los resultados

ESTADÍSTICA BÁSICA I
1.
2.
3.
4.
5.
La estadística y sus objetivos
Aplicación de la Estadística en Química Analítica
Variabilidad analítica. Distribución normal
Otros conceptos básicos. Intervalos de confianza
Test de significancia: t-test
Taller 2
Leonardo Merino
NATIONAL FOOD
ADMINISTRATION
Science Department-Swedish National Food Agency
Santiago de Chile, Julio 2013
¿Porqué varían los resultados analíticos?
• Por
las incontrolables variaciones de las condiciones de operación
(ej. Condiciones de repetibilidad y reproducibilidad)
• Por las variaciones de las muestras
(ej. inhomogeneidad de las muestras)
Es muy importante saber diferenciar entre estas dos variaciones debido a que las
acciones correctivas necesarias son muy diferentes.
Estas dos variaciones están relacionadas a los dos fundamentales tipos de error
analítico. (La estadística nos ayuda a distinguirlos de manera objetiva).
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1
Estadística
Ciencia matemática que se ocupa de la variación de las muestras
y la variación de los resultados de las mediciones.
(La ciencia de inferir generalidades a partir de observaciones particulares).
Objetivos de la Estadística
Darnos un procedimiento lógico para sacar conclusiones en
presencia de la incertidumbre de la medición.
Se realiza al:
• Resumir grupos de datos para describirlos de una manera
concisa, clara y científica (Estadística descriptiva).
• Establecer probabilidades de obtener ciertos resultados a
partir de observaciones parciales (Estadística inferencial).
(M. Thompson (2011). Notes on Statistics and Data Quality for Analytical Chemists)
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Aplicación de la Estadística en Química Analítica
• Cálculo de la variabilidad (precisión) y el sesgo
• Identificación de diferencias estadísticamente significativas
• Construcción, evaluación y uso de curvas de calibración
• Cálculo de límites de detección y determinación
• Cálculo de la incertidumbre de los valores medidos
• Diseño de experimentos para el desarrollo de métodos y
estudios de validación
• Control estadístico del proceso de medición
Los conceptos estadísticos son relevantes en todos las etapas de la experimentación
comprendidos desde la planificación a la interpretación de los resultados.
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Estadística Clásica, Robusta y no-paramétrica
µ-3 
µ
Estadística clásica es usada con datos
que siguen una distribución normal. Se
supone que los datos analíticos siguen
esta distribución
- Media y desviación estándar
µ+3 
Estadística robusta es usada con datos que
siguen una distribución unimodal y simétrica
pero con colas extendidas. Los datos
analiticos siguen este comportamiento.
- Media robusta y desviación estándar robusta
Estadística no-paramétrica o de
distribución libre no hace ninguna
suposición sobre la distribución de los
datos.
- Mediana, MAD (Median Absolute Deviation)
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Distribución normal
p ( x )
95%
µ-2
µ
( x )2
2 2
µ+2
La distribución normal es definida por :
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
1
e
 2
 = ubicación
 = dispersión
Al aplicar la Estadística en química analítica se asume que el error
analítico sigue la distribución normal. Se considera que el error total
esta conformado por la combinación de un gran número de pequeños e
independientes errores surgidos a lo largo de las varias etapas del
procedimiento analítico (esto en un sistema analítico bien controlado).
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Distribution Normal - Ubicación
1
La distribución puede ser caracterizada por su ubicación con el parámetro 
0
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1
2
 nos permite distinguir entre diferentes distribuciones
Distribution Normal - Dispersion
2
1
2
1= 2
1> 2
1
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El estadístico  no es suficiente por si solo para caracterizar
completamente una población. Otras distribuciones podrían estar
localizadas en el mismo punto.
Un segundo estadístico ( ), que mide la dispersión de la distribución,
ayuda a diferenciarlas.
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Caracterizando completamente una distribution normal
 = ubicación
 = dispersión
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Distribución Normal – Propiedades importantes
La curva es simétrica alrededor de µ.
• Aproximadamente 68% de los datos se encuentran entre µ±1σ
• Aproximadamente 95 % de los datos se encuentran entre µ±2σ
• Aproximadamente 99.7 % de los datos se encuentran entre µ±3σ
68 %
µ
95%
99.7%
Nota: Un importante aspecto de esta distribución es que representa la probabilidad
de que un simple resultado analítico esté dentro del rango definido por la curva
normal.
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Lo
contrario tambien se cumple, i.e., la probabilidad de que el valor verdadero puede
ADMINISTRATION
encontrarse dentro de un rango alrededor de nuestro simple resultado.
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La media es calculada de la ecuación
0

n
i 1

x
n 1
i 1
xi
2
n
x i = suma de resultados
n = número de resultados
El parámetro , define la ubicación de la distribución
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Normalmente no se tiene acceso a la población total, sino sólo a un grupo n
de datos, los cuales representan a la población. Por consiguiente, cuando
calculamos la media de n resultados, estamos estimando la media de la
población, . La media es representada por x
Desviación estándar
s

n
i 1
( xi x )2
( n 1 )
El estadístico , define la dispersión de la población
La desviación estándar s es una medida de la dispersión de los
resultados alrededor de la media. La desviación estándar está
expresada en las mismas unidades que la media.
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Desviación estándar relativa (RSD)
RSD 
s
x
Coeficiente de variación (CV)
s
CV  % RSD   100
x
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Cuando queremos comparar la dispersión de resultados que tienen
diferente magnitud o unidades, la relación de la desviación estándar
con respecto a la media puede ser de más utilidad que el solo valor
absoluto de la dispersión.
La varianza S2, es el cuadrado de la desviación estándar
Varianzas son aditivas
S2 = S12 + S22 +….+ Sn2
la varianza también describe la dispersión
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Esta propiedad juega un rol de fundamental importancia en el análisis
estadístico y tiene muchas aplicaciones, por ejemplo, errores provenientes
de diferentes etapas en un procedimiento analítico pueden ser
identificados y cuantificados. Asi, el analista está en la posibilidad de
dirigir su atención a reducir sólo las fuentes de error significativas.
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Desviación estándar de la media
sM = Desviación estándar de la media, cuantifica la precisión de la media. Es decir,
es una medida del intervalo en que podemos encontrar la media de la población.
x
n=1
n=3
x
x
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n = 19
x
x
x
s
SM
n
x
S, cuantifica dispersión, i.e. que tanto varian los datos entre si.
SM, cuantifica que tan exactamente se conoce la media de la población,
i.e. la media de un número grande de muestras esta más cerca de la
media poblacional que la media de un número pequeño de muestras.
Intervalos de Confianza (IC)
El Intervalo de Confianza de un resultado nos da el rango donde
podríamos encontrar el “valor verdadero” de la media con una
probabilidad determinada.
El intervalo de confianza se calcula de la siguiente ecuación:
IC  x 
t (v,  )s
n
t(, ) es el valor de t-students para  grados de libertad y un nivel de significación de P ()
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Nota: Evite la confusión entre el nivel de significancia (P = ) y su complemento,
el nivel de confianza (comunmente usado en las tablas estadísticas).
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El Error (Analítico)
Es definido como la diferencia entre un resultado individual y el
“valor verdadero” de la medición. Es un valor simple.
Tipos de errores
Errores sistemáticos (veracidad,sesgo/recuperación), se dan cuando en el
análisis repetido de una medición, el resultado permanece constante o varia de
un manera previsible.
Es independiente del número de mediciones y por lo tanto no disminuye con el
aumento del número de análisis.
Errores aleatorios (precisión, desviación estándar), se dan cuando los
resultados individuales de una medición varían de un modo imprevisible.
Este tipo de error no se puede compensar por corrección, sin embargo puede
ser reducido con el aumento del número de observaciones.
Errores espurios se dan típicamente como consecuencia de errores humanos o
el
malFOOD
funcionamiento de los instrumentos.
NATIONAL
Eurochem/CITAC, 2012
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•Prueba de significancia 1: t-test
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Evalua la evidencia dada por un dato, en favor de
alguna afirmación hecha en relación a la población
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Comparación de dos grupos de datos (A)
¿Son las medias diferentes?
Las medias probablemente son iguales, es decir, pertenecen a la
misma poblacion
x1
x2
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Comparación de dos grupos de datos (B)
¿Son las medias diferentes?
Las medias probablemente son diferentes, es decir, pertenecen
a dos poblaciones diferentes
x1
x2
La prueba de significancia nos ayuda a decidir objetivamente si la diferencia entre
dos medias es real, o si ella proviene de variaciones aleatorias de la medición.
La decisión no solo depende de la magnitud de las diferencias de las medias sino
NATIONAL
FOODde la cantidad de datos disponibles y de sus respectivas dispersión.
tambien
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t-test (detectando errores sistemáticos)
1. Comparación de una media experimental con un valor conocido
(one sample t-test)
2. Comparación de dos medias experimentales (two sample t-test)
- Dos métodos analíticos (A y B) son usados repetidas veces en el
análisis de una misma muestra.
¿Son los métodos diferentes?
- Un método analítico es usado repetidas veces en el análisis de
dos grupos de muestras (C y D).
¿Son las muestras diferentes?
3. Comparación entre pares de muestras (paired samples)
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1. Comparación de una media experimental con un valor
de referencia
Calcular el valor observado, tobs

media
Valor de referencia
x
tobs 
x
s n

Donde: S = desviación estándar de las mediciones
n = número de mediciones
 = n-1 (grados de libertad)
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Comprobar si hay un error sistemático en un método analítico, chequear
la pureza de un material o si un valor critico (máximo límite) es excedido
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2. Comparación de dos medias experimentales
Calcular el valor observado, tobs
media A
t obs 
xA

media B
(x A  xB )
scom nA1  nB1
 2
s 2 n  1  sB2 nB  1 
 scom  A A

nA  nB  2 

xB
Donde:
scom = desviación estándar combinada
 = nA + nB - 2 (grados de libertad)
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Esto es válido si las desviaciones estándares son similares (misma población)
3. Comparación entre pares de muestras (a)
Muestra
6
A
d5
5
d4
4
d3
3
2
1
Distinguiendo y
separando dos
fuentes de variación
B
d6
d2
d1
Resultados
Muestra
6
5
d6 = B-A
d5
4
3
d4
d3
2
d2
1
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d1
0
d
Diferencias
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3. Comparación entre pares de muestras (b)
Calcular el valor observado, tobs
t obs 
d
S
d
n
Donde:
d = la media de las diferencias de resultados
Sd = desviación estándar de las diferencias
n = número de diferencias de pares
 = n-1 (grados de libertad)
Nota: El rango de variación entre las concentraciones de los diferentes
pares de muestras debe ser restringido.
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Hallando el valor crítico (tcrit)
• Calcular los grados de libertad (1 )
• Elegir la probabilidad (usualmente 95% o P=0.05)
• Usar las tablas estadísticas (para el correcto número de colas)
• Comparar: Si tobs > tCrit hay diferencia estadísticamente significativa
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Observar que aun cuando el análisis estadístico puede detectar una
“significancia estadística” esto puede no tener una significación
química de importancia práctica.
El criterio de importancia práctica proviene de una fuente externa
independiente, no de los resultados.
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Una cola
¿Una o dos-colas ?
 Ej: Cuando se quiere saber si un límite de especificación es excedido o no
Ejemplo, un límite
máximo de un
contaminante (ML)
tcrit
Dos-colas
 Ej: Queremos saber, si el valor medido esta dentro de un rango establecido
95 %
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tcrit
Ejemplo,
uso de un material
de referencia
Total 5%
Prueba de significancia: Método clásico
Prueba de una-cola o de dos-colas
1. “La media es igual al valor dado”
vs “la media no es igual al valor dado”
( = x0)
(  x0)
dos-colas
2. “La media es igual al valor dado”
vs “la media es menor que el valor dado”
( = x0)
( < x0)
una-cola
3. “La media es igual al valor dado”
vs “la media es mayor que el valor dado”
( = x0)
( > x0)
una-cola
Al hacer una prueba de significancia se comprueba la veracidad de una hipótesis
experimental, llamada “hipótesis alternativa” (HA, si hay diferencia,) con
respecto a la hipótesis nula (H0, no hay diferencia).
Es la hipótesis alternativa la que determina el número de colas.
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Si la hipótesis alternativa contiene la frase “mayor que” ó “menor que”, la
prueba es de una-cola. Si la hipótesis alternativa contiene la frase ”no es igual
que”, la prueba es de dos-colas.
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Valores Críticos para la distribución t
: Una cola:
0.25
(75%)
0.10
(90%)
0.05
(95%)
0.025
(97.5%)
0.01
(99%)
0.005
(99.5%)
: Dos colas:
0.50
(50%)
0.20
(80%)
0.10
(90%)
0.05
(95%)
0.02
(98%)
0.01
(99%)
1
1.000
3.078
6.314
12.706
31.821
63.657
2
0.816
1.886
2.920
4.303
6.965
9.925
3
0.765
1.638
2.353
3.182
4.541
5.841
4
0.741
1.533
2.132
2.776
3.747
4.604
5
0.727
1.476
2.015
2.571
3.365
4.032
6
0.718
1.440
1.943
2.447
3.143
3.707
7
0.711
1.415
1.895
2.365
2.998
3.499
8
0.706
1.397
1.860
2.306
2.896
3.355
9
0.703
1.383
1.833
2.262
2.821
3.250
10
0.700
1.372
1.812
2.228
2.764
3.169
11
0.697
1.363
1.796
2.201
2.718
3.106
12
0.695
1.356
1.782
2.179
2.681
3.055
13
0.694
1.350
1.771
2.160
2.650
3.012
14
0.692
1.345
1.761
2.145
2.624
2.977
15
0.691
1.341
1.753
2.131
2.602
2.947
Grados de
libertad:
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http://www.microbiologybytes.com/maths/t.html
Interpretación del t-test
Si al aplicar el test de significancia encontramos que:
tcrit > tobs
Podemos afirmar lo siguiente:
• no hay diferencia estadísticamente significativa
• no hay error sistemático medible (bajo las condiciones experimentales)
• Pero NO podemos afirmar que:
No existe error sistemático (puede haber un error sistemático no detectado)
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Secuencia de aplicación de una prueba de significancia
•
Formular la pregunta (¿error sistemático o aleatorio?)
• Seleccionar el tipo de prueba (¿t-test? ¿F-Test?)
• Calcular el estadístico observado (tobs o Fobs)
• Calcular los grados de libertad ()
• Elegir el nivel de confianza (generalmente 95%, =0.05)
• Decidir el número de colas (¿una-cola ? ¿dos-colas ?)
• Buscar en las tablas el valor crítico del estadístico (tcrit o Fcrit)
• Comparar ambos valores y tomar la decisión estadística
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p-value: Método moderno de la prueba de significancia
Un p-value es una medida de la evidencia que se tiene en contra de la
hipotesis nula.
La hipotesis nula (Ho) es la hipótesis de no-cambio o no-efecto.
Alta probabilidad (P cercanos a 1)
Baja probabilidad (P < 0.05)
p-value > 0.05 = no significancia
(aceptamos la Ho)
p-value < 0.05 = si hay significancia
(rechazamos la Ho)
95%
En análisis químico se acostumbra
afirmar que p-value ≤ 0.05 son
estadísticamente significantes.
µ
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x
Las áreas rojas muestras la probabilidad de que la hipótesis nula es verdadera.
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Activando las funciones estadísticas en Excel (97-2003)
• En el Menu marcar Tools,
marcar Add-Ins... (1), marcar
Analysis Toolpak (2)
• En el Menú tool se puede ver
ahora Data analysis...(3)
2.
1.
3.
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t-test en EXCEL (Versión 97-2003)
3.
2.
1.
4.
NATIONAL FOOD
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Recordar que:
Hemos visto 3 tipos de aplicaciones del t-test:
Comparación de una media con un valor (one sample t-test)
Comparación de dos medias (two samples t-test)
Comparación entre pares de muestras (paired samples)
y dos alternativas de colas para usar las tablas estadísticas:
Una-cola
Dos-colas
Por lo tanto, se tiene seis combinaciones, cinco son
equivocadas y sólo una es la correcta.
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Taller 2
Usando las notas del curso y una calculadora (si es necesario), identifique
el tipo de variación que corresponde en cada uno de los casos dados y el
tipo de t-test que debe aplicarse.
Referencias
• Miller, J.N. & Miller, J.C. Estadística y Quimiometría para Química Analítica. Prentice Hall.
4ta Ed. 2000
• Method validation Course 0072. LGC limited. London 2002
• Morgan, E. Chemometrics. Experimental Design. John Wiley & Sons, London 1991
• Thompson, M. The Frequency Distribution of Analytical Error, Analyst, (1980) Vol. 105
• Thompson, M & Lowthian, P. (2011) Notes on Statistics and Data Quality for Analytical
Chemists. Imperial college Press, London
• VAMSTAT II. Statistic Training for Valid Analytical Measurement. VAM. LGC Teddington
Ltd. 1996-2000
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