[teo]Ejercicio Definición 1

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[teo]Notación [teo]Lema Teorema Proposición Definición
Definición
1
[teo]Ejercicio
Transparencias de AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS
Gabriel Soler López
Documento compilado con LATEX el 5 de abril de 2011
Índice general
I
Ecuaciones diferenciales
2
2. Ecuaciones y sistemas diferenciales lineales
3
1.
Definiciones básicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.
Existencia y unicidad de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3.
Estructura de las soluciones de un sistema diferencial lineal . . . . . . . . . . . .
5
4.
Estructura de las soluciones de la ecuación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
5.
Soluciones de los sistemas lineales con coeficientes constantes . . . . . . . . . . .
6
5.1.
6.
de los coeficientes indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Resolución de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes . . . .
7
6.1.
6.2.
7.
Resolución de sistemas diferenciales lineales no homogéneas por el método
Resolución de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas por el método de los coeficientes indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Reducción de un sistema lineal a una ecuación lineal de orden superior .
9
Aplicaciones a la ciencia de las ecuaciones y sistemas diferenciales lineales . . . . 11
7.1.
Una aplicación a las construcciones arquitectónicas . . . . . . . . . . . . 11
7.2.
Aplicaciones a la electricidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Bibliografı́a
25
1
Parte I
Ecuaciones diferenciales
2
Capı́tulo 2
Ecuaciones y sistemas diferenciales
lineales
1.
Definiciones básicas.
Empezamos
este capı́tulo exponiendo al alumno las definiciones que vamos a utilizar a
lo largo de este capı́tulo y el siguiente. Un sistema de ecuaciones diferenciales lineales es un
sistema de ecuaciones diferenciales de la forma
⎧
⎪
⎪
y1 = a11 (x)y1 + a12 (x)y2 + · · · + a1n (x)yn + b1 (x),
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ y = a (x)y + a (x)y + · · · + a (x)y + b (x),
2
21
1
22
2
2n
n
2
(1)
⎪
⎪
..................
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ y = a (x)y + a (x)y + · · · + a (x)y + b (x),
n1
1
n2
2
nn
n
n
n
donde las funciones aij (x) y bi (x) son continuas para todo 1 ≤ i, j ≤ n en un intervalo I. Este
sistema de ecuaciones diferenciales se puede escribir resumidamente como
y = A(x)y + b(x),
donde
⎛
(2)
⎞
a (x) a12 (x) . . . a1n (x)
⎜ 11
⎜
⎜ a21 (x) a22 (x) . . . a2n (x)
A(x) = ⎜
..
..
..
⎜
..
.
⎜
.
.
.
⎝
an1 (x) an2 (x) . . . ann (x)
3
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
y
b (x)
⎜ 1
⎜
⎜ b2 (x)
b(x) = ⎜
⎜ ..
⎜ .
⎝
bn (x)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟.
⎟
⎟
⎠
Hacemos notar que en la ecuación 2 y denota la derivada coordenada a coordenada, cuando
b(x) es el vector 0 el sistema de ecuaciones diferenciales se dice homogéneo y en caso contrario,
se dice que el sistema es no homogéneo. Diremos que el sistema 1 es de coeficientes constantes
si todas las funciones ai,j (x) son constantes, o equivalentemente si la matriz A(x) es constante.
Una ecuación diferencial lineal de orden n es una expresión de la forma
an (x)y (n) + an−1 (x)y (n−1) + an−2 (x)y (n−2) + · · · + a1 (x)y + a0 (x)y = c(x),
(3)
donde las funciones ai (x), 1 ≤ i ≤ n, y c(x) están definidas en un intervalo I y son continuas.
Si la función an (x) es tal que an (x) = 0 para todo x de I, entonces la ecuación 3 se puede
reescribir como
y (n) + cn−1 (x)y (n−1) + cn−2 (x)y (n−2) + · · · + c1 (x)y + c0 (x)y = d(x),
(4)
siendo las funciones ci (x), 1 ≤ i ≤ n, y d(x) continuas en el intervalo I.
La ecuación diferencial anterior se puede reescribir como un sistema diferencial lineal introduciendo las variables yi = y (i−1) , 1 ≤ i ≤ n:
⎛
⎞ ⎛
y1
0
1
0
⎜
⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜
⎜ y2 ⎟ ⎜
0
0
1
⎜
⎟ ⎜
..
⎜ .. ⎟ = ⎜
..
..
⎜ . ⎟ ⎜
.
.
.
⎝
⎠ ⎝
−c0 (x) c1 (x) −c2 (x)
yn
⎞
⎞⎛
...
0
...
..
.
0
..
.
. . . −cn−1 (x)
⎟⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎠⎝
y1
y2
..
.
yn
⎛
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟+⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
⎞
0
0
..
.
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
d(x)
Planteamos este tema de ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales de manera que iremos
de lo general a lo particular, en particular veremos primero las propiedades que satisfacen las
soluciones de las expresiones 1 y 4 para después pasar al cálculo efectivo de dichas soluciones,
aunque aclaramos ya, que no seremos capaces de resolver todos los casos posibles que se pueden
plantear a priori.
2.
Existencia y unicidad de soluciones
Empezamos esta sección mostrando que los sistemas de ecuaciones diferenciales homogéneos
tienen solución única una vez fijada una condición inicial. El siguiente teorema resume dicha
existencia y unicidad de soluciones.
4
Teorema 2.1 (Existencia y unicidad de soluciones). Dado el sistema de ecuaciones diferenciales y = A(t) + b(t), siendo cada componente de A y b funciones continuas definidas en
un intervalo I. Entonces, el problema de Cauchy
⎧
⎨ y = A(t)y + b(t),
⎩
y(t ) = y ,
0
(5)
0
tiene solución única definida en todo el intervalo I.
Por otro lado, este teorema de existencia y unicidad de soluciones implica la existencia
y unicidad de soluciones para la ecuación lineal de orden n en los términos que damos a
continuación:
Corolario 2.2 (Existencia y uniciad de soluciones). El problema de Cauchy:
⎧
⎪
⎪
y (n) + a1 (t)y (n−1) + . . . an−1 (t)y + an (t) = b(t),
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
y(t0 ) = y0,1 ,
⎪
⎨
y (t0 ) = y0,2 ,
⎪
⎪
⎪
..
⎪
⎪
.
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ y (n−1) (t ) = y ,
0
0,n
para funciones continuas a1 (t), a2 (t), . . . an (t) y b(t) definidas en un intervalo I tiene solución
única.
3.
Estructura de las soluciones de un sistema diferencial
lineal
Empezamos ocupándonos de la estructura de las soluciones del sistema homogéneo
y = A(t)y,
(6)
en particular:
Teorema 2.3. Las soluciones del sistema lineal homogéneo 6 tienen estructura de espacio
vectorial sobre R. Además su dimensión es n (n es el número de componentes de y).
5
4.
Estructura de las soluciones de la ecuación lineal
Aprovechando la estructura que satisfacen las soluciones de los sistemas lineales y utilizan-
do la relación que existe entre sistemas de ecuaciones lineales y ecuaciones lineales, según se ha
visto en la introducción del desarrollo de los contenido de este tema, vamos a dar un teorema
de estructura de las soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de grado n:
y (n) + cn−1 (t)y (n−1) + cn−2 (t)y (n−2) + · · · + c1 (t)y + c0 (t)y = 0,
(7)
siendo ci (t), 0 ≤ i ≤ n − 1, y d(t) funciones continuas definidas en un intervalo I.
En primer lugar podemos establecer:
Teorema 2.4. Las soluciones de (7) forman un espacio vectorial real de dimensión n.
El teorema anterior nos permite definir un sistema fundamental de soluciones de (7) como una base {y1(t), y2 (t), . . . , yn (t)} del espacio de soluciones de (7). Debido a que cualquier
solución de nuestra ecuación lineal homogénea será de la forma:
y(t) = α1 y1 (t) + α2 y2 (t) + · · · + αn (t)yn (t).
Teorema 2.5. El conjunto de soluciones de (4) tiene estructura de variedad afı́n de dimensión
n sobre el cuerpo de los números reales. Es decir, toda solución y(t) de (7) es de la forma
y(t) = α1 y1 (t) + α2 y2 (t) + · · · + αn yn (t) + yp (t),
donde αi ∈ R para 1 ≤ i ≤ n, el conjunto y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t) constituye un sistema fundamental de la ecuación homogénea (7) e yp (t) es una solución particular del problema no
homogéneo.
5.
Soluciones de los sistemas lineales con coeficientes
constantes
Proposición 2.6. Sean A ∈ Mm (R) e y(t) una solución de y = Ay. Entonces cada una de
las coordenadas de y(t) es una combinación lineal de las funciones
tk eta cos tb, tk eta sen tb,
donde a + bi recorre el conjunto de los valores propios de A con b ≥ 0 y 0 ≤ k < m(a + bi).
6
5.1.
Resolución de sistemas diferenciales lineales no homogéneas por
el método de los coeficientes indeterminados
Sea
y = Ay + b(t)
(8)
un sistema de ecuaciones lineales tal que la matriz A pertenece a Mm (R) y el término independiente es de la forma b(t) = eat [cos btp(t) + sen btq(t)] donde p y q son vectores columna
que tienen en cada una de sus componentes polinomios de grado a lo sumo k ∈ N. Tomemos
μ = a + bi, entonces:
1. Si μ no es un valor propio de A entonces 8 tiene una solución particular de la forma
yp (t) = b(x) = eat [cos btr(t)+sen bts(t)], siendo r y s vectores columna cuyas coordenadas
son polinomios en t de grado a lo sumo k.
2. Si μ es un valor propio de A entonces 8 tiene una solución particular de la forma yp (t) =
b(x) = eat [cos btr(t) + sen bts(t)], siendo r y s vectores columna cuyas coordenadas son
polinomios en t de grado a lo sumo k + m(μ).
6.
Resolución de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes
Recordamos que por una ecuación lineal con coeficientes constantes entendemos una ex-
presión del estilo:
y (n) + a1 y (n−1) + · · · + an−1 y + an y = b(t),
(9)
donde ai ∈ R para todo i ∈ {1, 2, . . . , n} y b(t) es una función continua definida en un intervalo
I. En esta sección nos dedicaremos a dar las estrategias a seguir para resolver la ecuación.
Recordamos que la resolución de 9 requiere de la solución de la ecuación homogénea
y (n) + a1 y (n−1) + · · · + an−1 y + an y = 0
(10)
y de encontrar una solución de 9. Nos ocupamos ahora de buscar un sistema fundamental de
soluciones de 10 buscando soluciones de la forma y(t) = erx con r ∈ C. Derivando y(t) n veces
7
y sustituyendo en la ecuación diferencial homogénea tenemos que:
(r n + a1 r n−1 + · · · + an−1 r + an )erx = 0,
y como la exponencial nunca se anula se tiene que tener r n + a1 r n−1 + · · · + an−1 r + an = 0, es
decir, r ha de ser raı́z de la ecuación z n + a1 z n−1 + · · · + an−1 z + an = 0 que recibe el nombre
de ecuación caracterı́stica.
El polinomio p(z) = z n + a1 z n−1 + · · · + an−1 z + an se llama polinomio caracterı́stico.
Es más:
Teorema 2.7. Si la ecuación caracterı́stica de (10) tiene por soluciones las raı́ces reales
a1 , a2 , . . . , aj con multiplicidades r1 , r2 , . . . , rj y las raı́ces complejas α1 + β1 i, α2 + β2 i, . . . ,
αh + βh i con multiplicidades s1 , s2 , . . . , sh , entonces el conjunto:
j
t al t
{x e
: 0 ≤ t < rl } ∪
l=1
h
{xt eαl t cos βl t, xt eαl t sen βl t : 0 ≤ t < sl }
l=1
es un sistema fundamental de soluciones de la ecuación 10.
6.1.
Resolución de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas
por el método de los coeficientes indeterminados
Cuando el término no homogéneo es de una forma determinada, el método de los coeficientes
indeterminados tiene una extensión a este contexto.
Teorema 2.8 (Coeficientes indeterminados). Sea la ecuación lineal de orden n con coeficientes constantes:
y (n) + a1 y (n−1) + · · · + an−1 y + an y = eat [p(t)cos bt + q(t)sen bt],
(11)
tal que p(t) y q(t) son polinomios de grado a lo sumo k ∈ N ∪ {0} y sea μ = a + bi. Entonces:
1. Si μ no es una raı́z de la ecuación caracterı́stica entonces 11 tiene una solución particular
de la forma yp (t) = eat [r(t)cos bt + s(t)sen bt] con r y s polinomios de grado a lo sumo k.
2. Si μ es una raı́z de la ecuación caracterı́stica de multiplicidad l entonces 11 tiene una
solución particular de la forma yp (t) = eat tl [r(t)cos bt + s(t)sen bt] con r y s polinomios
de grado a lo sumo k.
8
Ejemplo 2.9. Resolver la ecuación y − 4y = t + 3cos t + e−2t .
Solución: la ecuación caracterı́stica λ3 − 4λ = 0 tiene como raı́ces a 0, 2 y -2 con lo que la
solución general de la ecuación homogénea será:
yh (t) = c1 + c2 e2t + c3 e−2t .
Ahora calculamos una soluciones particulares de las ecuaciones no homogéneas:
1. y − 4y = t,
2. y − 4y = 3cos t,
3. y − 4y = e−2t ,
utilizando el teorema anterior. Por el principio de superposición de las soluciones se tendrá que
una solución de y −4y = t+3cos t+e−2t se puede obtener como suma de soluciones particulares
de las tres ecuaciones anteriores, respectivamente yp1 , yp2 e yp3 .
Como λ = 0 es raı́z de la ecuación caracterı́stica de multiplicidad 1, se debe buscar yp1 tal
que:
yp1 (t) = t(at + b) = at2 + bt.
Imponiendo que yp1 sea solución de la primera ecuación, se tiene que yp1 (t) = −1/8t2 .
Por otro lado, como i no es solución de la ecuación caracterı́stica entones buscamos yp2 (t) =
ccos t + dsen t. Por último, como -2 es raı́z de la ecuación caracterı́stica de multiplicidad 1
buscamos yp3 (t) = f te−2t . Haciendo cálculos obtenemos: yp2 (t) = −3/5sen t e yp3 (t) = 1/8te−2t .
Por lo tanto, la solución general de la ecuación primera es:
1
1
3
y(t) = c1 + c2 e2t + c3 e−2t − t2 − sen t + te−2t .
8
5
8
6.2.
Reducción de un sistema lineal a una ecuación lineal de orden
superior
Este
método consiste en pasar de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales a una
ecuación lineal de orden superior mediante un proceso similar al del método de Gauss para
9
resolver sistemas de ecuaciones lineales numéricos, para los detalles se puede consultar [4, p.
138-142]. Concretamente se pretenderá resolver sistemas de la forma:
⎧
⎪
⎪
L11 (y1 ) + L12 (y2 ) + · · · + L1n (yn ) = b1 (t),
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ L (y ) + L (y ) + · · · + L (y ) = b (t),
21
1
22
2
2b
n
2
⎪
⎪
......
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ L (y ) + L (y ) + · · · + L (y ) = b (t),
n1 1
n2 2
nn n
n
(12)
(m)
+
donde para cada (i, j) ∈ {1, 2, . . . , n}2 , Lij es un operador lineal de la forma Lij (y) = am
ij y
m−1 (m−1)
y
+ · · · + a1ij y + a0ij y con akij ∈ R para todo k ∈ {1, 2, . . . , m}. Basándonos en el
aij
hecho de que dos operadores lineales de este tipo conmutan, se puede reducir el sistema 12 a
un sistema triangular. A la hora de realizar las operaciones algebraicas para triangularizar el
sistema, será de interés simplificar la notación utilizando la igualdad D m y = y (m) , con lo que
el sistema 12 se reescribe como:
⎧
⎪
⎪
p11 (D)y1 + p12 (D)y2 + · · · + p1n (D)yn = b1 (t),
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ p (D)y + p (D)y + · · · + p (D)y = b (t),
21
1
22
2
2b
n
2
⎪
⎪
......
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ p (D)y + p (D)y + · · · + p (D)y = b (t),
n1
1
n2
2
nn
n
n
(13)
donde ahora cada pij (D) son polinomios en D y mediante las operaciones algebraicas ahora se
triangulariza el sistema.
Para ilustrar el método resolvemos el sistema de ecuaciones diferenciales lineales:
⎧
⎪
⎪
x = −6x − 3y + 14z,
⎪
⎨
y = 4x + 3y − 8z,
⎪
⎪
⎪
⎩ z = −2x − y + 5z.
(14)
Para ello empezamos reescribiendo el sistema anterior utilizando el operador derivación D:
⎧
⎪
⎪
(D + 6)x + 3y − 14z = 0,
⎪
⎨
−4x + (D − 3)y + 8z = 0,
⎪
⎪
⎪
⎩ 2x + y + (D − 5)z = 0.
Ahora eliminamos la variable y de dos ecuaciones restando a la primera ecuación tres veces la
tercera y a la segunda (D − 3) veces la tercera:
⎧
⎪
⎪
⎪ Dx + (−3D + 1)z = 0,
⎨
(−2D + 2)x + (−D 2 + 8D − 7)z = 0,
⎪
⎪
⎪
⎩ 2x + y + (D − 5)z = 0.
10
Eliminamos seguidamente x de una de las ecuaciones anteriores, para ello sumamos a la segunda
ecuación dos veces la primera:
⎧
⎪
⎪
Dx + (−3D + 1)z = 0,
⎪
⎨
2x + (−D2 + 2D − 5)z = 0,
⎪
⎪
⎪
⎩ 2x + y + (D − 5)z = 0,
y a continuación se le resta a la primera ecuación la segunda multiplicada por
⎧
⎪
⎪
( 1 D 3 − D 2 + 52 D − 3D + 1)z = 0,
⎪
⎨ 2
D
:
2
2x + (−D 2 + 2D − 5)z = 0,
⎪
⎪
⎪
⎩ 2x + y + (D − 5)z = 0,
obteniéndose el sistema triangular deseado. Ahora se resuelven las ecuaciones lineales obtenidas
de arriba hacia abajo y el proceso concluye.
7.
Aplicaciones a la ciencia de las ecuaciones y sistemas
diferenciales lineales
7.1.
Una aplicación a las construcciones arquitectónicas
El uso de vigas en la construcción requiere estudiar el material del que están hechas y su
colocación para saber cuál será la flexión de la viga una vez colocada. En este apartado nos
ocuparemos sólo de vigas construidas uniformemente y para aproximarnos a su estudio podemos
suponer que una viga está constituida por fibras distribuidas longitudinalmente, véase la viga
flexada de la figura 2.1, donde las fibras superiores están comprimidas y las inferiores alargadas.
El objetivo que nos marcamos es obtener la curva descrita por la fibra que, antes de flexar
la viga, ocupaba el eje horizontal de la viga. Esta curva se denomina curva elástica o curva de
flexión. Por otro lado denominaremos superficie de separación de la viga al plano flexado que
contiene la curva elástica o de flexión.
Con objeto de encontrar dicha curva fijamos una sección transversal de la viga a una distancia x del extremo izquierdo, denotemos por AB la intersección de la sección transversal de
11
y
6
x
-
y-
B
A
Q(x, y)
Figura 2.1: Viga
la viga con la superficie de separación de la viga y por Q(x, y) a la intersección de AB con
la curva elástica. Según la mecánica se sabe que el momento M con respecto a AB de todas
las fuerzas que actúan sobre cualquiera de los dos segmentos en los que AB divide a la curva
elástica es:
independiente del segmento considerado,
viene dado por
M = EI/R,
(15)
donde E es la elasticidad de la viga, I el momento de inercia de la sección transversal con
respecto a AB y R es el radio de curvatura de la curva elástica en el punto Q(x, y).
Para visualizar mejor el problema hacemos de la viga un objeto unidimensional, considerando sólo la curva elástica, con lo que la sección transversal queda reducida al punto P . Además
imponemos una condición adicional al problema, debido a que la pendiente de la curva y(x) es
pequeña haremos la aproximación
1
1 + y (x)
.
R=
y (x)
y (x)
Retomando la ecuación 15 y la aproximación anterior para R obtenemos para el momento
la ecuación
EIy (x) = M,
12
donde el momento flector M será la suma de los momentos de las fuerzas exteriores que actúan
sobre el segmento de la viga respecto al punto P tomando por convenio que las fuerzas hacia
arriba dan momentos positivos y hacia abajo negativos.
Vamos a estudiar ahora dos casos concretos, el primero el de una viga apoyada sobre dos
puntos y el segundo el de una viga empotrada a la pared.
VIGA APOYADA SOBRE DOS PUNTOS
Estudiamos en este apartado la flexión de una viga de carga uniforme de c Newtons por
metro de longitud, longitud l y una carga de b Newtons concentrada en su punto medio (véase
la figura 2.2).
y 6
l−x
x
2
-
x
2
l
2
O
l−x
2
-
-
l−x
2
−x
-
R
6
6
?
a
-
cx
P
x
-
?
b
?
a
cl − cx
Figura 2.2: Viga apoyada sobre dos puntos
Consideramos las fuerzas que aparecen sobre el segmento OP de la viga, éstas son:
1. una fuerza hacia arriba en O igual a la mitad del peso total, es decir a =
cl+b
2
Newtons,
2. una fuerza de cx Newtons que podemos suponer concentrada en el punto ( x2 , y( x2 )),
3. además, cuando l/2 ≤ x ≤ l entra en juego la fuerza de módulo b en el punto medio de
la viga, a x −
l
2
metros de P .
13
Ası́ que el momento flector en P será:
M1 =
M2 =
cl + b
x
cl + b
x2
x − cx =
x−c
2
2
2
2
si x ≤
l
y
2
x
l
bl cl − b
x2
cl + b
x − cx − b(x − ) = +
x−c
2
2
2
2
2
2
l
si x ≥ .
2
A continuación hacemos notar que podemos adoptar una notación conjunta para el momento
flector, en efecto, obsérvese que
Mi =
clx cx2
b
l
bl
−
+ (−1)i (x − ) + ,
2
2
2
2
4
de donde resulta la ecuación diferencial a resolver:
EIy (x) =
l
bl
b
clx cx2
−
+ (−1)i (x − ) + .
2
2
2
2
4
(16)
Integramos ahora 16 dos veces para obtener:
EIy(x) =
cl 3
l
b
c
bl
x − x4 + (−1)i (x − )3 + x2 + ex + d,
12
24
12
2
8
e imponiendo las condiciones de contorno y(0) = y(l) = 0 obtenemos
d=
y
e=
bl
24
cl3 − bl2 − b
.
24
Hacemos notar por último que para calcular y(0) tomamos i = 1 y para el cálculo de y(l)
elegimos i = 2. Proponemos ahora al alumno encontrar cuándo la función y alcanza un mı́nimo
y cuál es su valor, problema que tiene gran importancia a la hora de colocar vigas.
VIGA EMPOTRADA EN LA PARED
Estudiamos ahora la flexión de una viga de carga uniforme de c Newtons por metro de
longitud, longitud l y una carga de b Newtons concentrada en su punto medio (véase la figura
2.3). En este caso la novedad es que la viga no está apoyada en dos puntos sino que se encuentra
empotrada, esto conlleva a que la pendiente de la curva elástica y(x) verifique las condiciones
de contorno y (l) = y (0) = 0 además de las mismas condiciones que antes y(l) = y(0) = 0.
Estudiamos por separado la curva elástica y(x1 ) para los valores de x1 entre 0 y
otro lado para los valores de x1 entre
l
2
l
2
y por
y l. Empezamos considerando las fuerzas que actúan
sobre OQ1 con 0 ≤ x1 ≤ 2l :
14
1. un par de momento desconocido K, que actúan en O debido a la acción de la pared sobre
la viga,
2. un empuje hacia arriba igual a
3. cx1 newtons a
x1
2
cl+b
2
newtons,
metros de Q1 .
Ası́ que, la ecuación de los momentos queda como
EIy (x1 ) = K +
cl + b
1
l
x1 − cx21 para 0 ≤ x1 ≤ ,
2
4
2
de donde, integrando una primera vez y usando que y (0) = 0 se obtiene
EIy (x1 ) = Kx1 +
cl + b 2
1
x1 − cx31 .
4
12
Integramos una segunda vez y utilizamos la condición de contorno y(0) = 0 para obtener
EIy(x1) = K
x21 cl + b 3
1
+
x1 − cx41 .
2
12
48
y 6
x2
K
O
6
cl+b
2
x1
x1
2
x2
2
-
x2 −
l
2
-
R
K
6
?
cx1
x
-
Q2
Q1
?
cl+b
2
?
cx2
b
Figura 2.3: Viga empotrada
Ahora estudiamos y(x2 ) para
l
2
≤ x2 ≤ l, empezamos estudiando las fuerzas que actúan
sobre OQ2 , que no son más que las anteriores añadiendo el peso b en el punto x2 = 2l , es decir,
a x2 −
l
2
de Q2 . Por lo tanto:
EIy (x2 ) = K +
cl + b
c
l
x2 − x2 − b(x2 − ),
2
4
2
15
integramos ahora dos veces e imponemos las condiciones y (0) = 0 e y(0) = 0 para obtener
EIy (x2 ) = Kx2 +
cl + b 2
c
b
l
x2 − x32 − (x2 − )2 ,
4
12
2
2
y
EIy(x2 ) =
K 2 cl + b 3
c
b
l
x2 +
x2 − x42 − (x2 − )3 .
2
12
48
6
2
Por último se impone la condición y ( 2l ) = 0 para obtener
K=−
l2
cl + b
l+c ,
8
24
con lo que tenemos perfectamente determinada la curva elástica que describe la viga.
Además de estos dos problemas tipo de vigas, plantearemos a los alumnos que calculen la
curva elástica de una viga en voladizo o ménsula tal y como se muestra en la figura 2.4, teniendo
l metros de longitud y un peso uniforme de c newtons por metro. En las clases de problemas
resolveremos varios problemas con datos numéricos.
y
6
l
x
-
l−x
2
x
O
Q(x, y)
?
c(l − x)
Figura 2.4: Viga en voladizo o ménsula
16
R
-
7.2.
Aplicaciones a la electricidad
Vamos a ocuparnos en este apartado de estudiar las ecuaciones diferenciales que modelan
el flujo de corriente en un circuito eléctrico simple como el de la figura 2.5. Empezamos con un
repaso de electricidad que nos llevará al planteamiento de las ecuaciones.
i
L
+
E(t)
C
−
R
Figura 2.5: Circuito eléctrico simple
Los elementos que aparecen en el circuito 2.5 son:
una fuente de fuerza electromotriz 1 E cuya misión es impulsar las cargas eléctricas y
producir una corriente I(t) en el circuito,
un inductor de inductancia L, que se opone a cualquier cambio de la intensidad de la
corriente y produce una caı́da de la fuerza electromotriz gobernada por la ecuación
EL = LI (t),
un condensador de capacitancia C, que almacena una carga Q, carga que dificulta la
entrada de nueva carga y produce una caı́da de fuerza electromotriz dada por
EC =
Q
,
C
una resistencia R que se opone al paso de la corriente y que provoca una caı́da de la
fuerza electromotriz dada por la ecuación
ER = RI
1
(Ley de Ohm).
esta fuente de fuerza electromotriz puede variar con el tiempo
17
Conviene tener en cuenta que la corriente I(t) es el ritmo al que fluye la carga, por lo
que I(t) = Q (t). Además como, de acuerdo con la ley de Kirchhoff, la suma de las fuerzas
electromotrices en torno a un circuito cerrado es cero se tiene
E − ER − EL − EC = 0,
que se puede reescribir, teniendo en cuenta las consideraciones anteriores, como
LI (t) + RI(t) +
Q(t)
= E(t).
C
(17)
Ahora utilizamos la relación entre I(t) y Q(t) para llegar a las siguientes dos ecuaciones
diferenciales equivalentes que gobiernan el circuito:
LI (t) + RI (t) +
I(t)
= E (t)
C
LQ (t) + RQ (t) +
Q(t)
= E(t).
C
y
Hemos visto en las secciones anteriores que un ataque global a estas ecuaciones no es posible,
ya que para encontrar una solución particular de las ecuaciones juega un papel importante la
función E(t), será pues en las clases de problemas donde resolveremos las ecuaciones anteriores
para casos concretos de la función E(t).
Antes de dar por concluida esta sección conviene plantear las ecuaciones de un circuito
más complicado para que los alumnos aprendan o recuerden las leyes básicas de la electricidad
anteriormente expuestas. En particular, propondremos plantear las ecuaciones del circuito 2.6.
+
R1
E(t)
i
R2
−
L
C2
+
−
− +
C1
Figura 2.6: Circuito eléctrico
Denotamos por I1 (t) la intensidad de corriente que fluye por la resistencia R1 , por I2 (t)
la intensidad que fluye por R2 y por I3 la intensidad que fluye por L y C2 . Por lo tanto, una
18
primera ecuación que relaciona las tres intensidades es
I1 (t) = I2 (t) + I3 (t).
(18)
Por otro lado aplicamos la ley de Kirchhoff dos veces, una para el subcircuito que contiene a
la fuente de fuerza electromotriz, la resistencia R1 y el condensador de capacitancia C1 . Y una
segunda vez para el subcircuito que tiene a R2 , el inductor y el capacitador de capacitancia C2 .
Con lo cual obtenemos
E (t) = I1 (t)R1 +
I1 (t)
+ I2 (t)R2
C1
(19)
y
I2 (t)R2 = I3 (t)L +
I3 (t)
.
C2
(20)
Estas tres ecuaciones se pueden reducir a estudiar la ecuación lineal de tercer grado:
E (t) = (
R1 L
L
R1
1
1
+ L)I3 + (R1 +
)I3 + (
+
+
)I3 +
I3 .
R2
R2 C1
C2 R2 C1 C2
C1 C2 R2
Una vez calculada I3 , podemos utilizar la ecuación en variables separadas
I2 =
L 1
I3 +
I3
R2
C2 R2
para calcular I2 . Por último despejamos I1 de la ecuación 18.
Osciladores armónicos no acoplados
El objetivo de esta sección es el de obtener las ecuaciones que gobiernan el movimiento de
un carro sometido a la fuerza de un muelle tal y como se muestra en la figura 2.7.
x1
Figura 2.7: Oscilador armónico
19
VIBRACIONES ARMÓNICAS SIMPLES NO AMORTIGUADAS
De acuerdo a la ley de Hooke y a la segunda ley de Newton, si denotamos por x(t) la posición
del carro (considerando la posición de equilibrio en x = 0), por k la rigidez del muelle y por m
la masa del carro, entonces
mx (t) = −kx.
Esta ecuación se puede reescribir como
x (t) +
k
x = 0,
m
cuya solución general hemos visto que es:
x(t) = c1 sen (
k
t) + c2 cos (
m
k
t)
m
.
Ası́ que si movemos el carro a una posición x = x0 y allı́ lo soltamos con velocidad inicial
0, el movimiento del carro viene dado por la función
x(t) = x0 cos (
k
t),
m
es decir, el carro se mueve periódicamente alrededor de la posición de equilibrio con periodo
.
T = 2π m
k
VIBRACIONES ARMÓNICAS SIMPLES AMORTIGUADAS
El movimiento hasta aquı́ descrito es irreal puesto que siempre tendremos una fuerza de
amortiguamiento debida a la viscosidad del medio donde el carro se abre paso. Si suponemos
que dicha fuerza de amortiguamiento es proporcional a la velocidad y se opone al movimiento,
la ecuación que nos da el movimiento del carro es
mx (t) = kx(t) − cx (t)
con c > 0,
que se puede reescribir como
x (t) +
c k
x (t) − x(t) = 0.
m
m
(21)
Resolvemos seguidamente la ecuación diferencial anterior con las condiciones de contorno
dadas en el caso no amortiguado, es decir, x(0) = x0 y x (0) = 0. Para ello se resuelve la
20
ecuación caracterı́stica asociada a la ecuación diferencial, de donde se obtienen las raı́ces r1 =
c
c 2
k
c
c 2
k
+ ( 2m
) −m
y r2 = − 2m
− ( 2m
) −m
.
− 2m
Para dar la resolución hace falta distinguir tres casos:
c 2
k
) −m
> 0 se sigue que las raı́ces r1 y r2 son números reales negativos y la solución
1. Si ( 2m
de la ecuación diferencial 21 es:
x(t) =
x0 r1 er2 t − x0 r2 er1 t
.
r1 − r2
Una representación gráfica de la anterior función nos hará ver que en este caso el carro
no oscila en torno a la posición de equilibrio, sino que se mueve de regreso a la posición
de equilibrio. Diremos que estamos en un movimiento sobreamortiguado.
c 2
k
) =m
, con lo que la ecuación caracterı́stica tiene una
2. Consideramos en este caso que ( 2m
c
k
=− m
, con lo cual la solución de la ecuación diferencial es
raı́z doble r1 = r2 = − 2m
x(t) = x0 e−
√k
m
t
(1 +
k
t).
m
Un estudio de esta función nos muestra que en este caso tampoco hay oscilación y el carro
tiende a pararse. A este movimiento se le denomina crı́ticamente amortiguado.
3. Queda por considerar el caso donde las dos raı́ces de la ecuación caracterı́stica son comc
c
plejas y conjugadas, que denotaremos por r1 = − 2m
+ ai y por r2 = − 2m
− ai, donde
k
c 2
− ( 2m
) . La solución de 21 en este caso es
a= m
x(t) =
x0 − c t
c
e 2m (acos (at) +
sen (at)),
a
2m
función que puede reescribirse como
c 2
) −ct
x0 a2 + ( 2m
e 2m cos (at − θ),
x(t) =
a
c
). Esta escritura de x(t) nos dice que el carro oscila en torno al punto
donde θ = arctan( 2m
a
de equilibrio con una amplitud que decrece exponencialmente. Este movimiento recibe el
nombre de subamortiguado.
MOVIMIENTOS FORZADOS
21
Hasta aquı́ hemos considerado el movimiento del carro sin que actúen sobre él fuerzas ajenas
al sistema y las únicas ecuaciones lineales que nos han salido son homogéneas. No obstante,
si aplicamos al carro una fuerza externa obtendremos un movimiento forzado en general y en
algunos casos puede que sea una vibración forzada. En clase de problemas nos ocuparemos
de este tipo de movimiento considerando fuerzas externas periódicas del estilo a la función
f (t) = f0 cos (ωt), con lo que, la ecuación del movimiento es
x +
c x + kx = f (t).
m
(22)
Pensamos que la resolución general de la ecuación 22 distraerá la atención de los alumnos más
que aclarar los métodos de resolución. Pensamos que será mejor resolver problemas concretos
donde tengamos valores fijos de los parámetros que están en juego en 22. No obstante vamos a
hacer un resumen de los posibles movimientos que encontraremos.
Para empezar exponemos que una solución particular de la ecuación 22 es
f0
ωc
cos (ωt − ψ) donde ψ = arctan(
).
xp (t) = k − ω2m
(k − ω 2 m)2 + ω 2c2
Por lo tanto, la solución de la ecuación 22, x(t), será la suma de una de las soluciones de la
ecuación homogénea xh (t) y la solución particular xp , es decir x(t) = xp (t) + xh (t). Conviene
notar que la parte que proviene de la resolución de la ecuación homogénea tiende hacia cero,
con lo cual predomina la solución particular y el movimiento tiende a hacerse oscilatorio de
amplitud:
T =
f0
(k −
ω 2 m)2
+ ω 2 c2
.
Haremos notar que cuando el parámetro c es pequeño y ω se aproxima a
k
,
m
la amplitud
de la vibración es muy grande, este fenómeno se conoce con el nombre de resonancia. Comentaremos que un fenómeno relacionado con éste produjo la ruptura del puente de Tacoma,
mostraremos una animación de tal ruptura.
Por último comentaremos la similitud de la ecuación 22 con la ecuación de un circuito
eléctrico gobernado por la ecuación diferencial
LQ + RQ +
Q
= E0 cos (ωt),
C
(23)
por lo que las consideraciones anteriormente hechas para el movimiento del carro se aplican a
la cantidad de carga que fluye por un circuito eléctrico que satisfaga la ecuación 23.
22
Osciladores armónicos acoplados
Acabamos
esta sección generalizando el problema anterior para dos carros sujetos con
muelles a una pared y atados entre sı́ con otro muelle, situación que describe la figura 2.8,
donde xi mide la distancia de cada carro a su posición de equilibrio.
x1
x2
Figura 2.8: Oscilador armónico acoplado
Aplicamos la ley de Hooke a cada uno de los carros suponiendo que el carro de la izquierda
(carro 1) pesa m1 kilogramos, el carro de la derecha (carro 2) pesa m2 kilogramos y los muelles,
de izquierda a derecha, tiene constantes de rigidez k1 , k2 y k3 respectivamente. Ası́ que para el
carro 1, la ecuación de su movimiento será:
m1 x1 (t) = −k1 x1 (t) + k3 (x2 (t) − x1 (t)),
y para el carro 2:
m2 x2 (t) = −k2 x2 (t) − k3 (x2 (t) − x1 (t)).
Por lo tanto el movimiento del sistema viene regido por las ecuaciones diferenciales:
⎧
⎨ m x = (−k − k )x + k x ,
1 1
1
3 1
3 2
⎩ m x = (−k − k )x + k x ,
2 2
2
3
2
3 1
sistema que, utilizando la relación entre ecuaciones y sistemas, se reduce a resolver la ecuación
diferencial lineal de orden 4:
m1 m2 (iv) k1 + k3 + (k2 + k3 )m1 x +
x1 +
k3 1
k3
23
(k2 + k3 )(k1 + k3 )
− k3 x1 = 0.
k3
Se usará posteriormente la relación:
x2 =
m1 x1 + (k1 + k3 )x1
.
k3
En clases de problemas resolveremos problemas de este estilo con datos numéricos.
24
Bibliografı́a
[1] W. E. Boyce and R. C. Di Prima. Elementary Differential equations (4a edición). John
Wiley & Sons, Nueva York, 1986.
[2] M. Braun. Differential equations and their applications. Springer-Verlag, Berlı́n, 1993.
[3] L. Cassasús, F. Marcellán, and A. Zarzo. Ecuaciones diferenciales, problemas lineales y
aplicaciones. McGraw-Hill, Madrid, 1990.
[4] V. Jiménez. Ecuaciones diferenciales, cómo aprenderlas, cómo enseñarlas. Universidad de
Murcia, Murcia, 2000.
25