10.- Una empresa se dedica a la fabricación de dos productos, A y B

10.- Una empresa se dedica a la fabricación de dos productos, A y B, que se elaboran
tanto en horas ordinarias como en horas extras de trabajo. Los objetivos económicos
que se plantean para el próximo ejercicio son los siguientes:
9 Maximizar los ingresos.
9 Minimizar los costes.
9 Maximizar la producción.
Además de estos objetivos, hay que considerar un conjunto de condiciones, las cuales
están relacionadas con la producción mínima requerida para cada tipo de producto, así
como con la disponibilidad de horas de trabajo en tiempo normal y en tiempo extra:
ƒ En horas ordinarias de trabajo, cada unidad del producto A
necesita 3 horas para su fabricación y cada unidad del producto
B, 2 horas, siendo el tiempo disponible al día de 120 horas.
ƒ Por otro lado, si los productos se fabrican en horas
extraordinarias, se necesitan 1 hora de trabajo por unidad de
producto (tanto en el A como en el B), disponiéndose de un total
de 20 horas extras.
ƒ Debido a un contrato de suministro con su mejor cliente, la
empresa debe fabricar al menos 30 unidades diarias del producto
A, ya sea en tiempo normal como en tiempo extra, imponiendo la
misma restricción al producto B.
Cada unidad producida del producto A proporciona un ingreso de 10 € y un coste de 6 €
si se realiza dentro de la jornada normal; si se produce en el tiempo extra, dicho ingreso
se reduce a 8.5 € y el coste a 3 €. Para el producto B, el ingreso es de 8 € y el coste de 4
€ en jornada normal y también se reduce a 7 € y 2 €, respectivamente, en tiempo extra.
Las metas que la empresa desea conseguir son las siguientes:
Primer nivel de prioridad: Obtener un ingreso que supere, como mínimo, los 700 €
diarios.
Segundo nivel de prioridad: Los costes de la empresa no deben sobrepasar el nivel
presupuestado de 500 € diarios.
Tercer nivel de prioridad: El nivel de producción total, tanto en el tiempo normal como
en el tiempo extra, debe situarse exactamente en las 100 unidades de demanda media
diaria estimada.
Se pide:
a) Formule el modelo de Programación por Metas Lexicográficas apropiado a
los deseos de la empresa, e indique el problema a resolver en cada nivel.
b) Si fabrica 10 unidades del producto A en horas ordinarias, 20 en horas
extraordinarias, 45 unidades del producto B en horas ordinarias y ninguno de
B en horas extras, ¿es un plan de producción satisfactorio? ¿Por qué?
c) ¿Toda solución satisfactoria es eficiente? ¿Por qué? En el caso que no lo
fuese: ¿cómo lo detectaría?, ¿qué se podría hacer para conseguir, al mismo
tiempo, una solución satisfactoria y eficiente?
Solución:
a)
Denominamos xAO a las unidades del producto A que se elaboran en
horas ordinarias, xAE a las unidades del producto A que se elaboran en horas
extraordinarias, xBO a las del producto B que se elaboran en horas ordinarias, y xBE a las
del producto B que se elaboran en horas extraordinarias.
Como objetivos de la empresa tenemos los siguientes: maximizar los ingresos,
minimizar los costes, y maximizar la producción.
Max 10xAO + 8.5xAE + 8xBO + 7xBE
Min 6xAO + 3xAE + 4xBO + 2 xBE
Max xAO + xAE + xBO + xBE
Debemos tener en cuenta una serie de condiciones, relacionadas con la
producción mínima requerida para cada tipo de producto, así como con la disponibilidad
de horas de trabajo en tiempo normal y en tiempo extra:
3xAO + 2xBO ≤ 120
xAE + xBE ≤ 20
xAO + xAE ≥ 30
xBO + xBE ≥ 30
Primer nivel de prioridad: Obtener un ingreso que supere, como mínimo, los 700 €
diarios. La meta será:
10xAO + 8.5xAE + 8xBO + 7xBE ≥ 700
tras introducir las correspondientes variables de desviación tenemos que:
10xAO + 8.5xAE + 8xBO + 7xBE + n1 – p1 = 700
la variable no deseada es n1, y la función de realización será: h1(n1, p1) = n1
Segundo nivel de prioridad: Los costes de la empresa no deben sobrepasar el nivel
presupuestado de 500 € diarios. La meta será:
6xAO + 3xAE + 4xBO + 2 xBE ≤ 500
tras introducir las correspondientes variables de desviación tenemos que:
6xAO + 3xAE + 4xBO + 2 xBE + n2 – p2 = 500
la variable no deseada es p2, y la función de realización será: h2(n2, p2) = p2
Tercer nivel de prioridad: El nivel de producción total, tanto en el tiempo normal como
en el tiempo extra, debe situarse exactamente en las 100 unidades de demanda media
diaria estimada. La meta será:
xAO + xAE + xBO + xBE = 100
tras introducir las correspondientes variables de desviación tenemos que:
xAO + xAE + xBO + xBE + n3 – p3 = 100
las variables no deseadas son n3 y p3, y la función de realización será: h3(n3, p3) = n3 + p3
En estas condiciones el problema de programación por metas a resolver es:
Lexmin { n1, p2, n3 + p3 }
s.a.
3xAO + 2xBO ≤ 120
xAE + xBE ≤ 20
xAO + xAE ≥ 30
xBO + xBE ≥ 30
10xAO + 8.5xAE + 8xBO + 7xBE + n1 – p1 = 700
6xAO + 3xAE + 4xBO + 2 xBE + n2 – p2 = 500
xAO + xAE + xBO + xBE + n3 – p3 = 100
xAO, xAE, xBO, xBE, ni, pi ≥ 0 i = 1, 2, 3
Nivel 1:
Min n1
s.a.
3xAO + 2xBO ≤ 120
xAE + xBE ≤ 20
xAO + xAE ≥ 30
xBO + xBE ≥ 30
10xAO + 8.5xAE + 8xBO + 7xBE + n1 – p1 = 700
xAO, xAE, xBO, xBE, n1, p1 ≥ 0
Nivel 2:
Min p2
s.a.
3xAO + 2xBO ≤ 120
xAE + xBE ≤ 20
xAO + xAE ≥ 30
xBO + xBE ≥ 30
10xAO + 8.5xAE + 8xBO + 7xBE + n1 – p1 = 700
n1 = 0
6xAO + 3xAE + 4xBO + 2 xBE + n2 – p2 = 500
xAO, xAE, xBO, xBE, n1, p1, n2, p2 ≥ 0
Nivel 3:
Min n3 + p3
s.a.
3xAO + 2xBO ≤ 120
xAE + xBE ≤ 20
xAO + xAE ≥ 30
xBO + xBE ≥ 30
10xAO + 8.5xAE + 8xBO + 7xBE + n1 – p1 = 700
n1 = 0
6xAO + 3xAE + 4xBO + 2 xBE + n2 – p2 = 500
p2 = 0
xAO + xAE + xBO + xBE + n3 – p3 = 100
xAO, xAE, xBO, xBE, n1, p1, n2, p2 , n3, p3 ≥ 0
b) Para que el punto (10, 20, 45, 0) sea solución satisfactoria, debe verificar
todas las restricciones del problema y además satisfacer las metas. Comprobémoslo,
sustituyendo el punto.
Restricciones del problema:
30 + 90 = 120 ≤ 120
20 + 0 = 20 ≤ 20
10 + 20 = 30 ≥ 30
45 + 0 = 45 ≥ 30
Primera meta:
100 + 170 + 360 + 0 = 630, no cumple ≥ 700
Por tanto no es solución satisfactoria.