ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO

ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO
Las ecuaciones son igualdades en las cuales se presenta un elemento desconocido a
determinar, llamado incógnita. Este elemento desconocido se representa generalmente
por una de las últimas letras del alfabeto.
Son llamadas de primer grado ya que el exponente mayor que tiene la incógnita de la
ecuación es 1. Que sea de primer grado nos indica que al resolverla tendrá una única
solución.
Se llama solución al valor que resuelve una ecuación, o sea que verifica la igualdad
original planteada.
Ejemplo: Verifiquemos que -5 es la solución de la ecuación 4x + 6 = 2x - 4
4(-5) + 6 = 2(-5) - 4
-20 + 6 = -10 – 4
-14 = -14
Resolvamos algunas ecuaciones, recordando que debemos, en primer lugar, resolver
los productos para luego agrupar los términos que contienen la incógnita en uno de los
miembros, dejando los demás términos en el otro.
1. 3 + 2x - 5 = -4x + 6. Juntemos los términos con x a un lado de la igualdad.
2x + 4x = 6 - 3 + 5
6x = 8
x = 8/6, simplificando
x = 4/3
2. (x + 3)(x - 2) = x(x + 5) - 3x + 4
x2 - 2x + 3x - 6 = x2 + 5x - 3x + 4
x2 - 2x + 3x - x2 - 5x + 3x = 4 + 6
-4x = 10 /·-1
4x = -10
x = -10/4
x = -5/2
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones es la resolución de problemas.
Ejemplos:
1. ¿Qué número es aquel que si lo duplicamos, y luego le restamos 12, da por resultado el
número aumentado en 3?
2x – 12 = x + 3
x = 15
El número es el 15
2. Un tronco de 18 metros se corta en dos partes, tales que una es 10 metros más larga que la
otra. ¿Cuánto mide la parte menor?
A una de las partes la representamos por x. Como la otra es 10 metros más larga, su
representación será x + 10. Entonces:
x + x + 10 = 18
2x = 8
x=4
La parte menor mide 4 metros
3. Luis tiene $300 más que Rodrigo. Si entre ambos tienen $1.200, ¿cuál es el capital de Luis?
Si Rodrigo tiene x, entonces Luis tiene x + 300.
x + x + 300 = 1200
2x = 900
x = 450
El capital de Luis es $750.
4. El perímetro de un jardín rectangular es de 58 m. Si el lado mayor mide 11 m. más que el lado
menor. ¿Cuánto miden los lados del jardín ?
x
x+11
Al sumar todos los lados del rectángulo e igualar al perímetro dado se obtiene
4x + 22 = 58
4x = 36
x=9
Luego los lados del jardín miden 9 m. y 20 m.
EJERCICIOS
1. Un padre tiene 43 años y su hijo 7 años. ¿En cuántos años más la edad del padre triplicará la
edad del hijo?
a) 6
b) 11
c) 12
d) 18
e) 32
2. Si la suma de dos números es 16 y su diferencia es 2, entonces la suma de sus cuadrados es:
a) 32
b) 74
c) 128
d) 130
e) N. A.
3. Tres veces la cantidad de pañuelos que hay en una caja, es 32 pañuelos más que dicha
cantidad. ¿Cuántos pañuelos hay en la caja?
a) 8
b) 11
c) 16
d) 28
e) 30
4. La suma de tres números es -3. El primero es el doble del segundo y el tercero es 28 unidades
menor que el primero, ¿cuál es el número mayor?
a) 28
b) 10
c) 5
d) -18
e) -28
5. Una cinta de 40 cm. de largo se corta en 3 pedazos de manera que el primer trozo es 6 cm. más
corto que el segundo, y el tercero 8 cm. más corto que el segundo. ¿Cuánto mide el pedazo más
corto?
a) 6 cm.
b) 10 cm.
c) 12 cm.
d) 14 cm.
e) 18 cm.
c) 8
d) 10
e) 12
6. Si 1 + 2 + 3 + w = 2w, entonces 2w =
a) 0
b) 6
7. La suma de tres pares consecutivos es 72. ¿Cuál es el número menor?
a) 11
b) 22
c) 23
d) 25
e) 26
c) 2
d) 5/2
e) Indefinido
c) –2x – 2
d) –2x + 2
e) 1/2
d) 1
e) 2
8. El valor de x en la ecuación (x + 1)2 - (x – 2)2 = 0 es:
a) -3/2
b) 1/2
9. Si 2x = -2(x – 1), entonces –2x =
a) 2x + 2
b) 2x – 2
10. En la ecuación –2x – 1 = -3, el valor de x es:
a) -2
b) -1
c) 0
ALTERNATIVAS
1.
Alternativa A: Incorrecta. Se plantea la ecuación a resolver en forma incorrecta. No se considera
los años que pasarán para ambos.
Alternativa B. CORRECTA. Si x representa la cantidad de años, entonces x + 43 = 3(7 + x), de
donde se obtiene que x = 11 años.
Alternativa C. Incorrecta. Se plantea erradamente 43 = 3x + 7, no considerando que la cantidad de
años x, también transcurren para el padre.
Alternativa D: Incorrecta. El no colocar un paréntesis lleva a esta alternativa, o sea plantear la
ecuación como x + 43 = 3x + 7.
Alternativa E: Incorrecta. Se escribe la ecuación a desarrollar en forma correcta, pero se comete un
error algebraico al resolver.
2.
Alternativa A: Incorrecta. Se obtienen los números correctos, pero luego se confunde cuadrados
con dobles.
Alternativa B. Incorrecta. Al no entenderse el problema, se llega a plantear x + x = 16 – 2. Esto
lleva a obtener 7 para x, y que el otro número es 5.
Alternativa C. Incorrecta. Planteamiento incorrecto y confusión de cuadrados con dobles.
Alternativa D: CORRECTA. Un posible planteamiento es x + x + 2 = 16, lo que lleva a obtener que
los números buscados son 7 y 9. La suma de sus cuadrados es 130.
Alternativa E: Incorrecta. El resultado está dado en la alternativa anterior.
3.
Alternativa A: Incorrecta. El planteamiento es correcto, pero al resolver la ecuación de despeja mal
obteniéndose 4x = 32, lo que lleva a que x = 8.
Alternativa B. Incorrecta.
Alternativa C. CORRECTA. El enunciado se representa por 3x = x + 32, de donde x = 16.
Alternativa D: Incorrecta. El error se produce al despejar incorrectamente desde la expresión 2x =
32.
Alternativa E: Incorrecta. Hay un doble error, ambos al despejar x.
4.
Alternativa A: Incorrecta. Al no tener claridad en el planteamiento, se señala el número mayor del
enunciado, que es 28.
Alternativa B. CORRECTA. De acuerdo al enunciado la ecuación es 2x + x + 2x – 8 = -3,
obteniéndose para x el valor 5. El número mayor es 2x, o sea, 10.
Alternativa C. Incorrecta. Es el valor que resulta al resolver la ecuación, pero no representa al
número mayor.
Alternativa D: Incorrecta. Corresponde al menor valor entre los tres números.
Alternativa E: Incorrecta. Al señalarse que tiene 28 unidades menos, se marca esta alternativa, no
existiendo compresión del enunciado.
5.
Alternativa A: Incorrecta. Al plantear la ecuación en forma incorrecta, x + x – 6 + x – 14, se obtiene
que el valor menor es 6.
Alternativa B. CORRECTA. Una de las ecuaciones que representa el enunciado dado es x – 6 + x
+ x – 8 = 40, de donde se obtiene que x = 18. El pedazo más corto de cinta es x – 8, o sea 18 – 8 =
10 cm.
Alternativa C. Incorrecta. Se obtiene el valor para x en forma correcta, pero 12cm. no corresponde
a la medida del pedazo más corto de la cinta.
Alternativa D: Incorrecta. La ecuación que representa al enunciado es incorrecta (ver alternativa A),
eso lleva a obtener 14 cm., no siendo este el valor menor.
Alternativa E: Incorrecta. Corresponde a la medida del pedazo más largo de la cinta.
6.
Alternativa A: Incorrecta. Un poco dominio algebraico puede llevar a sumar 1 + 2 + 3 + w como 6w.
Obteniendo luego que w = 0.
Alternativa B. Incorrecta. Corresponde al valor de w y no al solicitado.
Alternativa C. Incorrecta. Se supone, equivocadamente, que w es 4 por la secuencia 1 + 2 + 3.
Entonces 2w es 8.
Alternativa D: Incorrecta. Se supone, equivocadamente, que w es 4 por la secuencia 1 + 2 + 3 y
luego que 1 + 2 + 3 + 4 = 2w, entonces 10 = 2w.
Alternativa E: CORRECTA. Se resuelve la ecuación 1 + 2 + 3 + w = 2w, donde 6 + w = 2w,
obteniéndose que w = 6. por lo tanto 2w es igual a 12.
7.
Alternativa A: Incorrecta. Corresponde al valor obtenido al resolver la ecuación que resulta del
enunciado del problema, pero no al número menor de los pares consecutivos.
Alternativa B. CORRECTA. Resolvemos el enunciado 2x + 2x + 2 + 2x + 4 = 72, de donde se
obtiene que x = 11, por lo tanto el número menor es 2 por 11, o sea 22.
Alternativa C. Incorrecta. Corresponde al valor de la ecuación resultante de un mal planteamiento,
al considerar los números buscados como x, x+1 y x+2.
Alternativa D: Incorrecta. Error en el planteamiento y además es el par mayor.
Alternativa E: Incorrecta. Aunque se resuelve bien el planteamiento inicial luego se señala el par
mayor.
8.
Alternativa A:. Incorrecta. Se obtiene –3/2 por errores al despejar x, no realizando el cambio de
signo correspondiente.
Alternativa B. CORRECTA. Al resolver la ecuación (x + 1)2 – (x – 2)2 = 0, se obtiene x2 + 2x + 1 – x2
+ 4x – 4. Luego que 6x = 3 y finalmente, simplificando, que x = 1/2
Alternativa C. Incorrecta. Se trabaja correctamente hasta la expresión 6x = 3, pero luego al
despejar x y simplificar se obtiene 2.
Alternativa D: Incorrecta. El no realizar los cambios de signos correspondiente al paréntesis (x – 2)3
que tiene antepuesto un menos, lleva a obtener como respuesta 5/2.
Alternativa E: Incorrecta. Al desarrollar incorrectamente los cuadrados de binomios, se obtiene que
x2 + 1 = x2 + 4. Al eliminarse las x, se opta por esta alternativa.
9.
Alternativa A: Incorrecta. De 2x = -2x + 2, se despeja incorrectamente –2x.
Alternativa B. CORRECTA. Primero es importante darse cuenta de que no es necesario determinar
el valor de x en la ecuación para llegar a la alternativa correcta. Se desarrolla la ecuación dada 2x
= -2(x – 1), resulta 2x = -2x + 2. Luego se despeja lo solicitado, o sea –2x, y obtenemos que 2x – 2
= -2x.
Alternativa C. Incorrecta. Error al multiplicar por –2 el paréntesis o al despejar –2x.
Alternativa D: Incorrecta. Se coloca el valor de 2x y no el de –2x que es el solicitado.
Alternativa E: Incorrecta. El número 1/2 corresponde al valor de x, que resulta al resolver la
ecuación dada, pero que no es lo que se solicita.
10.
Alternativa A: Incorrecta. Un error en el despeje de x y luego en los signos, produce el resultado –
2.
Alternativa B. Incorrecta. Al resolver la ecuación se llega a que –2x = -2 y luego al despejar x, se
comete el error al señalarse que x = -2/2.
Alternativa C. Incorrecta. De –2x = -2, se obtiene erradamente que x = -2 + 2 = 0.
Alternativa D: CORRECTA. Al resolver –2x – 1 = -3, obtenemos que –2x = -2, o sea x = 1.
Alternativa E: Incorrecta. Al despejar x en forma incorrecta se obtiene que –2x = -4 y que x = 2.