tica formación general_GUIAN°3

I. MUNICIPALIDAD DE PROVIDENCIA
CORPORACIÓN DE DESARROLLO SOCIAL
LICEO POLIVALENTE “ARTURO ALESSANDRI PALMA” ANº12
DEPARTAMENTO: Matemática
Mail del Departamento: [email protected]
GUIA 3 4° MEDIO
SECTOR:
Matemática
Nivel 4/curso4º B-C-D-E-F
PROFESOR: Pedro Campillay Iturrieta
Plazo: 21 OCTUBRE
UNIDAD TEMÁTICA: Estadística
CONTENIDO: Probabilidades
APRENDIZAJE ESPERADO: Aplicar la definición de probabilidades y resolver problemas
NOMBRE……………………………………..CURSO.4º……. FECHA:…………..
Instrucciones: Lea los conceptos y revisa los ejemplos de cada tema y sus distinta formas de
cómo se desarrollan, luego desarrolla los ejercicios y finalmente envía la evaluación
ENVIA LA EVALUACIÓN HASTA EL DIA 21 DE OCTUBRE HASTA LAS 12:00 PM
LAS CONSULTAS A PARTIR DE AHORA SON EN FORMA PRESENCIAL EN LA
PARROQUIA ITALIA QUE ESTA EN BUSTAMANTE , FRENTE AL HOSPITAL DEL
TRABAJADOR.
Probabilidades
Espacio muestral (S)
Es el conjunto de todos los resultados posibles de la realización de un experimento.
Por ejemplo, si el experimento consiste en “lanzar una moneda al aire”, al caer ésta
puede resultar “cara” o “sello”, por lo tanto, el espacio muestral será el conjunto:
Smoneda = {cara, sello}
Si el experimento consiste en "lanzar un dado", el espacio muestral será:
Sdado = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Observaciónes:
1.
Si lanzamos a la vez una moneda y un dado, el espacio muestral resultante
se obtiene del producto cartesiano Sm  Sd:
2.
De la observación anterior se desprende que el número de elementos o
cardinalidad del espacio muestral resultante corresponde al producto del número
de elementos del primer espacio muestral por el número de elementos del
segundo.
#Smd = 2  6 = 12
Ejemplos:
1. Si lanzamos dos dados, el espacio muestral tendrá 36 elementos, es decir,
6  6 (6 resultados de cada dado).
2. Si lanzamos un dado y una moneda, el espacio muestral tendrá 6  2 = 12
elementos.
Evento o suceso (E) Un evento o suceso, es un subconjunto del espacio
muestral. En los ejemplos citados en el número anterior, son eventos de los
espacios muestrales respectivos:
a)
b)
c)
d)
“que salga cara”, cuyo conjunto es E = {cara}
“que salga 3”; E = {3}
“que no salga 5”; E = {1, 2, 3, 4, 6}
“que salga un número par”; E = {2, 4, 6}
Probabilidad
La Probabilidad de que ocurra un evento o suceso x, es la razón entre el
número de casos favorables y el número de casos posibles.
Px 
Nº de casos favorables eventosfavorables # E


Nº de casos posibles
espaciomuestral # S
La probabilidad es un valor entre 0 y 1 ó 0% y 100%. Si el suceso o evento
es seguro de que ocurra, su probabilidad es 1 ó 100% y si el suceso es seguro que
no ocurra, su probabilidad es 0 ó 0%.
Probabilidad a priori Es la probabilidad de que ocurra un evento o suceso
conocidos de antemano todos los resultados posibles del experimento. Esta
probabilidad nos permite predecir la ocurrencia de un evento en términos de
cuantificar dicha ocurrencia. Históricamente, esta probabilidad ha estado
relacionada con los juegos de azar.
Probabilidad a posteriori, frecuencial o empírica
La probabilidad a posteriori, es aquella que se determina después de realizar
un experimento n veces, donde n es muy grande. Si un suceso particular ocurre m
veces, entonces la probabilidad del suceso se define como:
Px 
Nº de casos favorables m

Nº de experimentos
n
Ejemplo: Se lanzó una moneda 50 veces y 26 veces salió “cara”; la probabilidad a
posteriori o frecuencial es:
Pcara 
Y la probabilidad de “sello” es:
26
 0,52  52%
50
Psello 
24
 0,48  48%
50
LEYES Y TEOREMAS
Sucesos excluyentes Dos o más sucesos son excluyentes cuando sólo uno de
ellos puede ocurrir en un experimento. Por ejemplo, los resultados de lanzar una
moneda o de lanzar un dado.
Sucesos independientes Dos sucesos se dicen independientes si la ocurrencia
de un suceso no afecta la ocurrencia del otro suceso. Por ejemplo, al lanzar dos
dados, el resultado de uno no influye en el resultado del otro.
Sucesos dependientes Los sucesos dependientes son aquellos en que la
ocurrencia de uno afectará la ocurrencia del otro. Por ejemplo, al sacar dos cartas
de un naipe, sacar una carta roja en una segunda extracción depende de si en la
primera extracción se obtuvo una carta roja o no. En sucesos dependientes, si la
probabilidad de que un suceso ocurra es P1 y, una vez ocurrido, la probabilidad de
que un segundo suceso ocurra es P2, entonces la probabilidad de que ambos
sucesos ocurran en ese orden es P1 · P2
Ejemplo:
Una bolsa contiene 5 bolas rojas y otra bolsa contiene 1 bola blanca
y 4 rojas. Si se elige una de las bolsas y luego una bola de ellas, ¿cuál es la
probabilidad de que la bola sea blanca?
Solución: La probabilidad de elegir una bola blanca depende de elegir la bolsa que la
1
contiene. Como la probabilidad de elegir la segunda bolsa es
y la
2
1
probabilidad de elegir una bola blanca de esta bolsa es , entonces la
5
probabilidad de sacar una bola blanca de entre ambas bolsas será:
Pb =
1 1
1
· =
2 5
10
Ley de la suma
Sean A y B dos sucesos mutuamente excluyentes. Si A puede ocurrir de m maneras
distintas y B puede ocurrir de n maneras distintas, entonces A o B podrá ocurrir de
m + n maneras distintas, es decir, la probabilidad de que ocurra un suceso entre
varios mutuamente excluyentes en una sola prueba, es la suma de las
probabilidades separadas de ocurrencia.
Ejemplos:
1.
¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado, el resultado sea 4 ó 5?
1
y la probabilidad de que salga 5
6
1
1
1
1
también es . Luego, la probabilidad de que salga 4 ó 5 es
+
= .
6
6
6
3
Solución:La probabilidad de que salga 4 es
2.
¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una carta de un naipe inglés, ésta
sea de trébol o de corazones?
Solución:Un naipe inglés tiene 13 cartas de cada pinta y las pintas son 4; trébol,
13 1

corazón, picas y diamante. La probabilidad de sacar un trébol es
y la
52 4
13 1
 . Entonces, la probabilidad de
probabilidad de sacar un corazón también es
52 4
1 1 1
sacar un trébol o un corazón es  
4 4 2
Ley del producto
Sean A y B dos sucesos independientes. Si A puede ocurrir de m maneras distintas
y B puede ocurrir de n maneras distintas, entonces A y B podrán ocurrir de m · n
maneras distintas. Es decir, la probabilidad de que todos los sucesos
independientes ocurran entre el conjunto de tales sucesos es el producto de sus
probabilidades separadas.
Ejemplo: Una bolsa contiene 4 bolas blancas y 2 negras, otra bolsa contiene 2
bolas blancas y 4 negras y una tercera bolsa contiene una bola blanca y
3 negras. Si se saca una bola de cada bolsa, ¿cuál es la probabilidad de
que todas sean blancas?
Solución: En la bolsa 1, la probabilidad de extraer una bola blanca es
4 2
2 1
 . En la bolsa 2, la probabilidad de extraer una bola blanca es  .
6 3
6 3
1
En la bolsa 3, la probabilidad de extraer una bola blanca es . Luego, la
4
probabilidad de extraer 3 blancas es:
P3b = Pb1 · Pb2 · Pb3 =
2 1 1 1
· · 
3 3 4 18
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE:
1. En una bolsa se echan 12 bolitas numeradas correlativamente del 1 al 12. Calcular la
probabilidad de obtener un número menor que 5 o múltiplo de 5 al sacar una de ellas.
a) 1/2
b) 1/3
c) 1/6
d) 1/18
e) 0
2. Calcular la probabilidad de obtener dos ases de un naipe de 52 cartas, sin devolver la primera
carta al naipe.
a) 1/26
b) 1/352
c) 4/663
d) 1/221
e) 3/674
3. Al lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener un puntaje menor que 5 ó mayor que
10?
a) 1/72
b) 1/12
c) 1/4
d) 1/6
e) Ninguna de
las anteriores
4. Calcular la probabilidad de que al sacar dos fichas de una bolsa, que contiene 3 fichas rojas y 4
blancas, con reposición, ambas sean fichas rojas.
a) 3/4
b) 2/7
c) 6/49
d) 1/7
e) 9/49
5. Si se lanza un dado, calcular la probabilidad de que se obtenga un número impar o múltiplo de 3.
a) 1/2
b) 2/3
c) 1/3
d) 1/6
e) 5/6
6. Se extraen dos cartas, una tras otra, sin devolución, de una baraja de 40 cartas. Calcular la
probabilidad de que ambas cartas sean reyes.
a) 1/100
b) 1/5
c) 1/130
d) 23/130
e) 1/20
7. Se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los resultados sea menor que
6, si sabemos que dicha suma ha sido múltiplo de 4?
a) 1/3
b) 1/4
c) 5/18
d) 3/10
e) Ninguna de
las anteriores
8. Determinar la probabilidad de que al lanzar un dado cuatro veces no se obtenga ningún 6.
a) 0
b) 1/1296
c) 10/3
d) 2/3
e) 625/1296
9. En un naipe de 40 cartas se toman 3 cartas distintas. Calcular la probabilidad de que sean
números distintos.
a) 1/64.000
b) 3/40
c) 1/59.280
d) 4/3.705
e) 192/247
10. Se tiene dos urnas con bolas. La primera contiene 2 bolas blancas y 3 bolas negras; mientas
que la segunda contiene 4 bolas blancas y una bola negra. Si se elige una urna al azar y se extrae
una bola, ¿cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blanca?
a) 6/5
b) 8/25
c) 2/5
d) 3/5
e) 4/5
11.
Un niño tiene una alcancía sólo con monedas de $10, de $50 y de $100. La
probabilidad de extraer una moneda de $10 es 7/20, mientras que la de extraer una de
$100 es 2/5. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una moneda de $50?
A) 7/50 B) 16/25
C) 3/4 D) 1/4
E) 1/5
12. En una camada de cerdos, de un total de n cerditos recién nacidos m son machos.
Entonces, la probabilidad de nacimiento de una hembra en esta camada es:
A) 1 
m
n
B)
1m
n
C)
nm
n
nm
nm
D)
E) 1 
n
m
13. Según el pronóstico del tiempo dado por la TV, para mañana hay una probabilidad
del 30% de que llueva y una probabilidad del 40% de que haga frío. Si ambos fenómenos
son independientes, ¿cuál es la probabilidad de que mañana llueva, pero que no haga
frío?
A) 90%
B) 80%
C) 60%
D) 30%
E) 18%
14.
Cierta clase de tortuga marina pone sus huevos en la playa. Cuando nacen las
crías, estas caminan rápidamente hacia el mar, pero solo el 20% logra llegar. El resto es
presa de las aves depredadoras.
Si seleccionamos al azar tres tortuguitas recién nacidas, ¿cuál es la probabilidad de que
ninguna de ellas logre llegar a salvo al mar?
A) 0,064
B) 0,240
C) 0,360
D) 0,512
E) 0,800
15.
En una caja hay 4 fichas negras y 5 blancas. Éstas no pueden verse desde afuera
y son indistinguibles al tacto. En estas condiciones se realiza el siguiente experimento:
Una primera persona saca una ficha al azar. No la devuelve ni mira su color, pero agrega
a la caja una ficha negra. Luego de esto, una segunda persona saca al azar una ficha de
la caja y mira su color.
La probabilidad de que esta segunda persona saque una ficha negra es igual a:
A)
4 4 5 5
  
9 9 9 9
B)
4 5 5 6
  
9 9 9 9
C)
4 3 5 3
  
9 9 9 9
D)
5 5

9 9
E)
4 4

9 9
16.
Para ingresar a un cajero automático un usuario debe ingresar su tarjeta y su
clave de acceso. Esta última consiste en un número de cuatro dígitos, entre los cuales
puede haber repeticiones de dígitos. Si un sujeto se encuentra una tarjeta y la ingresa al
cajero, la probabilidad de que tenga acceso a la cuenta del usuario que la perdió,
digitando una clave al azar es:
A) 1/4 B) 1/40
C) 1/100
D) 1/1.000
E) 1/10.000
Respuestas:
1 A 5 B 9
E 13 E
2 D 6 C 10 D 14 D
3 C 7 A 11 D 15 A
4 E 8 E 12 A 16 E
EVALUACIÓN :
1. En el interior de una tómbola hay 9 bolitas blancas y una roja. Éstas son
indistinguibles entre sí, salvo por su color y no pueden ser vistas por un observador
externo. De la tómbola se extraen bolitas al azar, de una en una, sin reposición, hasta
que salga la bolita roja.
La probabilidad de que resulte la bolita roja en la cuarta extracción es:
2. Cierto juego computacional consta de tres etapas. Para un jugador de mediana
destreza, la probabilidad de completar exitosamente cada etapa es 2/5, 1/4 y 1/12,
respectivamente. Si cada etapa es independiente de las otras, ¿cuál es la probabilidad de
que un jugador de mediana destreza logre pasar a la tercera etapa?
3. Una máquina envasadora de detergente en polvo produce un 10% de paquetes con un
contenido bajo el estándar admitido. Si de un lote grande de paquetes producidos por
esta máquina se extraen aleatoriamente paquetes, uno a uno, la probabilidad de que
resulte un paquete bajo el peso estándar solo en la tercera extracción es:
4.En cierto barrio de inmigrantes en Nueva York, el 75% de las personas habla en su
lengua natal, de los cuales, el 40% habla inglés. De los que no hablan en su lengua natal,
la mitad habla inglés. ¿Cuál es la probabilidad de que en estos barrios una persona
tomada al azar hable inglés?
RUBRICA DE LA EVALUACIÓN
(Con estos criterios y puntajes que se indican en el cuadro serán evaluadas tus respuestas)
Desempeño
Bueno
Regular
Insuficiente
Optimo(3 puntos)
(2 puntos)
(1 punto)
(0 punto)
Categorías
Estadística
(PROBABILIDADES)
a) Hace un análisis y
describe su
razonamiento
Si tiene b) y c)
Si tiene a) o b)
Si tiene a) y c)
Si tiene a) y c)
Si tiene b) y c)
b)Expresa la relación
matemática que
permite el cálculo de
PROBABILIDAD
c) Expresa en forma
porcentual el
resultado
Solo si tiene
c