MCM Y MCD

Máximo común divisor
El máximo común divisor (m.c.d) de dos números es el
mayor de los divisores comunes a ambos números
¿Cómo se calcula?
Primer paso :
Descomponemos los
números en factores
primos:
Segundo paso:
Seleccionamos los
factores comunes a
ambos números con
los menores
exponentes
Tercer paso: Multiplicamos los factores
seleccionados
m.c.d (42,60) = 2 · 3 = 6
m.c.d (42,60) = 6
Para calcular el m.c.d de dos o más números, se
multiplican los factores primos comunes a ambos
elevados a los menores exponentes.
Ahora, prueba con estos ejemplos y comprueba en esta pequeña máquina
si tus resultados son correctos
m.c.d (25,60)
=
Aquí hi hauria d'haver un applet que calculés el
mcd, un cop introduïts els números
m.c.d (51,102)
=
m.c.d (216, 56)
=
Mínimo común múltiplo
El mínimo común múltiplor (m.c.m) de dos números es el
mínimo de los múltiplos comunes a ambos números
¿Cómo se calcula?
Primer paso :
Descomponemos los
números en factores
primos:
Segundo paso:
Seleccionamos los
factores comunes y
no comunes con los
mayores exponentes
Tercer paso: Multiplicamos los factores
seleccionados
m.c.m (24,18,30) = 360
Para calcular el m.c.m de dos o más números, se
multiplican los factores primos comunes y no comunes
elevados a los mayores exponentes.
Ahora, prueba con estos ejemplos y comprueba en esta pequeña máquina
si tus resultados son correctos
m.c.m (12,14)
=
m.c.m (18,12)
=
Aquí hi hauria d'haver un applet que
calculés el mcd, un cop introduïts els
números
m.c.m
(30,4,10) =
Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo
Máximo común divisor: Es el mayor de los divisores comunes a varios naturales. Si el
máximo común divisor de dos números es 1 se dice que son primos relativos. Para el
cálculo del máximo común divisor de varios número, primero los factorizamos y luego
tomamos los factores comunes elevados al menor exponente.
Mínimo común múltiplo: Es el menor de los múltiplos comunes de un conjunto de
naturales. Para el cálculo de mínimo común múltiplo tras la factorización de los número
tomamos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente.
Máximo común divisor
El máximo común divisor, m.c.d. de dos o más números es el mayor número que
divide a todos exactamente.
Cálculo del máximo común divisor
1. Se descomponen los números en factores primos.
2. Se toman los factores comunes con menor exponente.
Ejemplo
Hallar el m. c. d. de: 72, 108 y 60.
1.
72 = 23 · 32
108 = 22 · 33
60 = 22 · 3 · 5
2.
m. c. d. (72, 108, 60) = 22 · 3 = 12
12 es el mayor número que divide a 72, 108 y 60.
Si un número es divisor de otro, entonces éste es el m. c. d.
El número 12 es divisor de 36.
m. c. d. (12, 36) = 12
Mínimo común múltiplo
Es el menor de todos múltiplos comunes a varios números, excluido el cero.
Cálculo del mínimo común múltiplo
1. Se descomponen los números en factores primos
2. Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente.
Ejemplo
72 = 23 · 32
108 = 22 · 33
60 = 22 · 3 · 5
m. c. m. (72, 108, 60) = 23 · 33 · 5 = 1 080
1 080 es el menor número que divide a: 72, 108 y 60.
Si un número es un múltiplo de otro, entonces es el m. c. m. de ambos.
El número 36 es múltiplo de 12.
m. c. m. (12, 36) = 36
Relación entre el m. c. d. y m. c. m.
m. c. d. (a, b) · m. c. m. (a, b) = a · b
Ejercicios
Calcular el m. c. d. y m.c.m. de:
a) 1428 y 376
428 = 22 · 107
376 = 23 · 47
m. c. d. (428, 376) = 22 = 4
m. c. m. (428, 376) = 23 · 107 · 47 = 40 232
b) 2148 y 156
148 = 22 · 37
156 = 22 · 3 · 13
m. c. d. (148, 156) = 22 = 4
m. c. m. (148, 156) = 22 · 3 · 37 · 13 = 5772
c) 600 y 1000
600 = 23 · 3 · 52
1000 = 23 · 53
m. c. d. (600, 1000) = 23 · 52 = 200
m. c. m. (600, 1000) = 23 · 3 · 53 = 3000
Calcular el m. c. d. y m.c.m. de:
a) 11048, 786 y 3930
1048 = 23 · 131
786 = 2 · 3 · 131
3930 = 2 · 3 · 5 · 131
m. c. d. (1048, 786, 3930) = 2 ·131 = 262
m. c. m. (1048, 786, 3930) = 23 · 3 · 5 · 131 = 15 720
b) 23120, 6200 y 1864
3210 = 24 · 3 · 5 · 13
6200 = 23 · 52 · 31
1864 = 23 · 233
m. c. d. (3210, 6200, 1864) = 23 = 8
m. c. m. (3210, 6200, 1864) = 24 ·3 · 52 · 13 · 31 · 233 =
= 1 746 521 400