Solución de 6 ejercicios - WAINU

Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora
1. El nº escrito en base 15: 9999...99 (21 nueves), es múltiplo:
a) 7 ; b) 2 ; c) 5
Se determinan los criterios de divisibilidad en base 15 de 7, 2 y 5:
15  1 
151  15 
15n 
0
7
1
1
1
2
1
1
1
5
1
0
0
Los criterios de divisibilidad en base 15 tanto al dividir entre 2 (como entre 7), es
que la suma de las cifras sea múltiplo de dos (o de siete). Es múltiplo de 5 si acaba en 0 o
en 5.
Como la suma de las cifras de n es 21*9 = 189 = 27*7 es múltiplo de 7
La solución es a) 7
2. Sea el número 5X6732Y1 del cual sabemos que es múltiplo de 33. Además el
número formado por XY es múltiplo de 7. La cifra Y es:
a) 7 ; b) 1 ; c) 4
Como ha de ser múltiplo de 33 = 3 * 11, ha de ser múltiplo de 3 y la suma de sus
cifras, por tanto , múltiplo de 3; esto es 24 + X + Y = 3k  X + Y = 3h
Por otro lado XY ha de ser múltiplo de siete esto es: puede ser 21, 42, 63, 84
Por ser múltiplo de 11, la suma de las cifras de lugar par- menos la suma de las de
lugar impar ha de ser 0, ó múltiplo de 11: (14 + Y) – (10 + X) = 4 + Y – X = 0
Ahora probamos con:
21 (4+1-2=3) ; 42 (4+2-4=2) ; 63 (4+3-6=1) ; 84 (4+4-8=0)
El que vale es el 84, y por tanto Y = 4. La solución es c)
3. Los números de la forma 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1), con n mayor que 1 y
natural son:
a) siempre primos ; b) siempre compuestos ; c) primos o compuestos
dependiendo de n.
Como 1 + 3 + 5 + .... + (2n – 1 ) = n2 (progresión aritmética de primer término 1 y
diferencia 2), siempre es compuesto. La solución es la b)
4. Sea A un conjunto con cuatro elementos. Consideremos un grafo G cuyos
vértices son los subconjuntos de A de dos elementos. Dos vértices están
unidos por una arista si su intersección (como subconjuntos de A) es no vacía.
Entonces G es:
a) completo ; b) bipartito ; c) euleriano
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-1Miguel Sobrino Morchón
Centro Asociado de la U.N.E.D. de Zamora
Si A = {a, b, c, d}, tiene C(4,2) = 6 subconjuntos de dos elementos, luego el grafo
tiene seis vértices; cada vértice tiene cuatro aristas (el vértice que corresponde a {a,b}
está conectado con {a,c}, con {a,d}, con {b,c} y con {b,d}; lo mismo pasa con los cinco
vértices restantes)
Por tanto todos los vértices son de grado par y es euleriano La solución es la c)
5. ¿Cuántos números del conjunto {1, 2, ......., 10000} tienen la propiedad de
que la suma de sus dígitos es seis y la cifra correspondiente a las unidades es
“1”?
a) 166 ; b) 83 ; c) 21
Como la cifra de las unidades ha de ser un “1”, quedan solo tres lugares para
colocar cifras que sumen cinco. Estas pueden ser {0, 0, 5} que nos dan P32  3 números,
{0, 1, 4} que da 3! = 6, {0, 2, 3} que da 3! = 6, {1, 1, 3} que nos dan P32  3 y {1, 2, 2} que
nos dan P32  3
Total: 3 + 6 + 6 + 3 + 3 = 21.
La solución es la c).
6. El resto de la división de 77156 por 169 es: a) 1 ; b) 77 ; c) 168
Como 169 es 132,  (169) = 13 * 12 = 156, El Teorema de Euler dice: “Si p es
primo, a  p  1 mod( p) ”. En este caso 13156  1 mód (169), y el resto es 1. La solución es
a)
7. En cada cara de un cubo se trazan las diagonales. Consideremos el mapa sobre
el cubo formado por las 24 regiones triangulares que aparecen. Para colorearlo
son necesarios y suficientes:
a) dos colores ; b) 3 colores ; c) 4 colores
Si desarrollamos el cubo se ve fácilmente que el grafo es bipartito (si empezamos
por un vértice blanco y el que le sigue negro, es fácil verlo)
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-2Miguel Sobrino Morchón