Soluciones a “Ejercicios y problemas”

Soluciones a “Ejercicios y problemas”
PÁGINA 243
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Pág. 1
El lado de un pentágono regular mide 12 cm, y su radio, 10,2 cm. Halla su
apotema con una cifra decimal.
12 cm
a = √10,22 – 62 = √68,04 ≈ 8,2 cm
La apotema del pentágono mide 8,2 cm.
10,2 cm
a
6 cm
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El radio de un pentágono regular mide 20 cm, y su apotema, 16,2 cm. Halla la
longitud de su lado (con una cifra decimal).
x = √202 – 16,22 = √137,56 ≈ 11,7 cm
20 cm
16,2 cm
El lado del pentágono mide 2 · 11,7 = 23,4 cm.
x
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El lado de un octógono regular mide 8 cm, y su apotema, 9,6 cm. Halla el radio de la circunferencia circunscrita al polígono.
8 cm
r = √9,62 + 42 = √108,16 ≈ 10,4 cm
El radio de la circunferencia circunscrita es igual al radio del
octógono, y mide 10,4 cm.
9,6 cm
12
r
4 cm
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Halla, con una cifra decimal, la altura de un triángulo equilátero de 12 cm de
lado. ¿Cuánto miden su apotema y su radio?
a
12 cm
a = √122 – 62 = √108 ≈ 10,4 cm
La altura mide 10,4 cm.
6 cm
La apotema es 1 de la altura del triángulo, y el radio es 2 de la altura.
3
3
Por tanto: apotema = 1 (10,4) ≈ 3,5 cm
3
radio = 2 (10,4) ≈ 6,9 cm
3
Unidad 12. Figuras geométricas
12
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El lado del hexágono exterior mide 8 cm. Halla el
radio, la apotema y el lado del triángulo azul.
4 cm
x
Pág. 2
8 cm
8 cm
Al ser un hexágono, su radio mide igual que el lado. Por tanto:
x = √82 – 42 = √48 ≈ 6,9 cm
El lado del triángulo mide 2 · 6,9 = 13,8 cm.
El radio del triángulo coincide con el radio del hexágono, por lo que mide 8 cm.
La apotema del triángulo mide la mitad del radio; es decir, 4 cm.
50
Resuelto en el libro del alumno.
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Di si los triángulos siguientes son rectángulos, acutángulos u obtusángulos:
I. a = 61 m, b = 60 m, c = 11 m
II. a = 18 cm, b = 15 cm, c = 12 cm
III. a = 30 m, b = 24 m, c = 11 m
I. a 2 = 3 721, b 2 + c 2 = 3 600 + 121 = 3 721
Como a 2 = b 2 + c 2, el triángulo es rectángulo.
II. a 2 = 324, b 2 + c 2 = 225 + 144 = 369
Como a 2 < b 2 + c 2, el triángulo es acutángulo.
III. a 2 = 900, b 2 + c 2 = 576 + 121 = 697
Como a 2 > b 2 + c 2, el triángulo es obtusángulo.
■ Problemas “+”
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Una recta pasa a 18 cm del centro de una circunferencia de radio 19,5 cm. ¿Corta la recta a la circunferencia? Halla la longitud de la cuerda que determina en ella.
La recta corta a la circunferencia, ya que la distancia de la
recta al centro de la circunferencia es menor que el radio.
x = √19,52 – 182 = √56,25 = 7,5 cm
La cuerda mide 2 · 7,5 = 15 cm.
Unidad 12. Figuras geométricas
19,5
cm
18 cm
x
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Describe las figuras que se obtienen con los siguientes cortes hechos a un cubo
de 6 cm de arista y represéntalas en tu cuaderno. Di qué tipo de polígono se obtiene
y halla sus dimensiones:
6
a)
El corte contiene a una arista y pasa por los puntos medios
de otras dos aristas.
3
6
b)
El corte contiene a dos aristas opuestas.
6
Observa que los cuatro lados son iguales. Halla su longitud
y la de la diagonal menor.
3
3
c)
3
d)
El plano pasa por los puntos medios de dos aristas contiguas y por dos vértices.
3
12
6
a)
x = √62 + 32 = √45 ≈ 6,7 cm
6 cm
Es un rectángulo de 6,7 cm Ò 6 cm.
x
b)
6 cm
x
Unidad 12. Figuras geométricas
x = √62 + 62 = √72 ≈ 8,5 cm
Es un rectángulo de 6 cm Ò 8,5 cm.
Pág. 3
12
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c)
Pág. 4
D
x = √62 + 32 = √45 ≈ 6,7 cm
x
Es un rombo de 6,7 cm de lado.
d
Perímetro = 4 · 6,7 = 26,8 cm.
x
La diagonal menor es igual a la diagonal de una cara del cubo.
Mide d = √62 + 62 = √72 ≈ 8,5 cm.
x
d)
x = √32 + 32 = √18 ≈ 4,2 cm
z
y = √62 + 62 = √72 ≈ 8,5 cm
z
z = √62 + 32 = √45 ≈ 6,7 cm
y
Es un trapecio isósceles de bases 8,5 cm y 4,2 cm y lados no paralelos de 6,7 cm.
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Queremos colgar un cuadro de 46 cm por 32 cm de un clavo que está a 2,20 m
de altura. Para ello, se fijan dos alcayatas en la parte posterior del marco, a dos centímetros de los bordes, y una cuerda como indica la figura. ¿Cuál debe
2 cm
ser la longitud de la cuerda, si cada
extremo con su nudo necesita 5 cm,
y queremos que el borde inferior del
cuadro quede a 170 cm del suelo?
Observa el dibujo:
20
x
21
50
50
20
42
220
32
30
46
Por tanto:
x = √212 + 202 = √841 = 29 cm
La cuerda debe medir 2 · 29 + 2 · 5 = 58 + 10 = 68 cm
Unidad 12. Figuras geométricas
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