Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Divisor

Mínimo Común Múltiplo.
Obtener el mínimo común múltiplo o el máximo común divisor a ciertas cantidades puede
sernos de utilidad en diversas situaciones, por ejemplo el mínimo común múltiplo nos
puede ser útil para obtener el común denominador cuando se hacen sumas o restas de
fracciones.
El máximo común divisor puede sernos útil para saber qué número es el máximo divisor de
dos o más cantidades y aplicarlo a la solución de un problema en particular, es por este
motivo que considero importante que este tema se integre al blog
matematicassecundaria.blogspot.es, así que dejando a un lado otros comentarios
permíteme enseñarte lo que es el mínimo común múltiplo:
Mínimo Común Múltiplo (MCM)
Antes de comenzar con la explicación de cómo obtener el mínimo común múltiplo de dos
cantidades, analicemos lo que es un múltiplo, según una definición que encontré en
Internet y que va acorde a lo que sé que es: “Se le llama múltiplo de un número a aquel
que obtenemos al multiplicar ese número por cualquier otro”.
Déjame mostrarte lo anterior con un ejemplo, imagínate un número, supongamos que el
número que imaginaste es el 9, entonces, si multiplicamos el nueve por cualquier otro
número, digamos por el 4, se obtiene 36:
9 x 4 = 36
Entonces el 36 es un múltiplo de 9, y si queremos obtener más múltiplos, únicamente
multiplicamos al 9 por cualquier número que se nos ocurra y obtenemos los múltiplos de 9:
9x1=9
9 x 6 = 54
9 x 11 = 99
9 x 2 = 18
9 x 7 = 63
9 x 12 = 108
9 x 3 = 27
9 x 8 = 72
9 x 13 = 117
9 x 4 = 36
9 x 9 = 81
9 x 14 = 126
9 x 5 = 45
9 x 10 = 90
9 x 15 = 135
Retomando las operaciones anteriores podemos decir que 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72,
81, 90, 99, 108, 117, 126, 135, etc. Son múltiplos de 9.
Hasta el momento ya sabemos lo que es un múltiplo, ahora voy a explicarte lo que es un
múltiplo común, esto lo voy a hacer a través de otro ejemplo, y vamos a utilizar 3 números
para la siguiente explicación, los números a utilizar serán los números 2, 3 y 4.
Como primer paso escribiremos los primeros 15 múltiplos de cada número:
Múltiplos de 2  2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30
Múltiplos de 3  3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45
Múltiplos de 4  4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60
Muy bien, ahora vamos a ver los múltiplos comunes del 2 y del 3. Para que los visualices
bien y sepas cuáles son, permíteme decirte que los múltiplos comunes van a aparecer tanto
en la lista de múltiplos del 2, como en la del 3:
Múltiplos de 2  2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30
Múltiplos de 3  3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45
Entonces podemos decir que los múltiplos comunes del 2 y el 3 son: 6, 12, 18, 24, 30 y hay
más, solo que la lista de múltiplos que hicimos es reducida, no vayas a pensar que son los
únicos múltiplos comunes de esos números.
Si ahora analizamos al mismo tiempo los múltiplos comunes de 2, 3 y 4, veamos como
queda:
Múltiplos de 2  2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30
Múltiplos de 3  3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45
Múltiplos de 4  4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60
Para que sean comunes a los tres números, deben repetirse en los múltiplos de esos tres
números y en este caso los múltiplos comunes se reducen, en este caso tenemos solo 2: 12
y 24.
Ahora solo nos hace falta analizar la palabra mínimo, y te pregunto ¿qué es mínimo?, ah,
bueno mínimo se refiere a algo pequeño, lo más pequeño de algo, y en este caso estamos
hablando de números, por lo tanto estamos buscando “el múltiplo común más pequeño”.
Si revisamos los múltiplos comunes de 2 y 3, son: 6, 12, 18, 24 y 30, pero el mínimo común
múltiplo de 2 y 3, es el número 6, ya que de todos los múltiplos comunes es el más
pequeño.
Y si preguntamos ahora, cuál es el mínimo común múltiplo de 2, 3 y 4, la respuesta es:
“12”, porque es el múltiplo más pequeño de los dos que obtuvimos anteriormente (12 y 24).
Espero que con la explicación anterior haya quedado comprendido lo que es el mínimo
común múltiplo, y ahora toca la explicación del procedimiento para obtener el mcm sin
necesidad de hacer una lista de múltiplos cada vez.
Supongamos que nos piden obtener el mínimo común múltiplo de los números 10, 15 y 30,
entonces hacemos los siguiente:
10
15
30
Y bueno, eso para que sirve, resulta que en la última columna escribimos un número que
divida a alguno de ellos, los números que se utilizan son los números primos: 2, 3, 5, 7, 11,
13, 17, 19, 31, 37, etc, siendo los más utilizados el 2, 3, 5 y 7.
10
5
15
15
30
15
2
Observa como en la última columna pusimos el 2, y en esa fila escribimos la mitad de 10, la
mitad de 30 y como el 15 no tiene mitad, se bajó el número.
Ahora se puede observar que tenemos 5, 15 y 15, ninguno de los números tiene mitad,
entonces pasamos al siguiente número primo que es el 3 y vemos si alguno de ellos tiene
tercia (o sea si se puede dividir entre 3) y resulta que si, el 15 tiene tercia, entonces
volvemos a hacer lo mismo que hicimos anteriormente
10
5
5
15
15
5
30
15
5
2
3
¿Qué es lo que se hizo?, muy sencillo, el 5 no tiene tercia, entonces se baja el número 5, el
15 si tiene tercia, es 5, por eso debajo del 15 escribimos un 5, lo mismo sucede con el otro
15.
Y ahora te pregunto, si el 5 no tiene tercia, qué número se puede utilizar ahora, pues
lógicamente el siguiente número primo que es el 5:
10
5
5
1
15
15
5
1
30
15
5
1
2
3
5
La quinta parte de 5 es 1, por eso se escribe un 1 debajo de cada uno de los 5 que
obtuvimos anteriormente, el procedimiento termina cuando todos los números quedan
reducidos a 1.
Para obtener el mínimo común múltiplo se multiplican los números que obtuvimos en la
última columna:
10
5
5
1
15
15
5
1
30
15
5
1
2
3
5
2 x 3 x 5 = 30, entonces el mínimo común múltiplo de 10, 15 y 30 es: 30
Te dejo otros ejemplos, analízalos y trata de observar las operaciones que se hicieron en
cada uno de los casos.
Calcula el mínimo común múltiplo para los siguientes números:
18, 30, 24
18
30
9
15
9
15
9
15
3
5
1
5
1
1
24
12
6
3
1
1
1
2
2
2
3
3
5
El MCM es 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 =
360
100, 45
100
50
25
25
25
5
1
50, 70, 30
50
70
25
35
25
35
5
7
1
7
1
1
30
15
5
1
1
1
2
3
5
5
7
El MCM es 2 x 3 x 5 x 5 x 7 =
1050
5, 6, 10
45
45
45
15
5
1
1
2
2
3
3
5
5
5
5
5
1
6
3
1
1
10
5
5
1
2
3
5
El MCM es 2 x 3 x 5 = 30
El MCM es 2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 5 =
900
Espero que no tengas problemas para entenderle a estos ejemplo y si así fuera tómalo como
un reto, lee y vuelve a leer el ejemplo que te puse y con ese ejemplo analiza los ejercicios
resueltos que aparecen en esta página para que te ayude a entender de dónde sale cada
uno de los números de las tablitas.