1. a) La ecuación x 2y + xy +(x 2 − 1)y = 0 es una ecuación de

a) La ecuación x2 y 00 + xy 0 + (x2 − 1)y = 0 es una ecuación de Bessel de orden ν = 1.
Puesto que ν es un entero, la solución general es
1.
y(x) = c1 J1 (x) + c2 Y1 (x)
b) La ecuación 16x2 y 00 + 16xy 0 + (16x2 − 1)y = 0 es equivalente a la ecuación x2 y 00 +
xy 0 + (x2 − 1/16)y = 0 que es una ecuación de Bessel de orden ν = 1/4. Así pues,
puesto que 2ν no es un entero, la solución general es
y(x) = c1 J1/4 (x) + c2 J−1/4 (x)
Alternativamente, puesto que ν no es entero otra forma de la solución general es
y(x) = c1 J1/4 (x) + c2 Y1/4 (x)
c) La ecuación x2 y 00 + xy 0 + (36x2 − 1/4)y = 0 es una ecuación paramétrica de Bessel
de parámetro λ = 6 y de orden ν = 1/2. La solución general es
y(x) = c1 J1/2 (6x) + c2 Y1/2 (6x)
2. Errata. El enunciado correcto es
Comprueba que la ecuación diferencial
xy 00 + (1 + 2n)y 0 + xy
posee una solución particular y = x−n Jn (x)
Se tiene
y 0 (x) = −nx−n−1 Jn (x) + x−n Jn0 (x)
e
y 00 (x) = −n(−n − 1)x−n−2 Jn (x) − 2nx−n−1 Jn0 (x) + x−n Jn00 (x),
de manera que, sustituyendo,
h
i
xy 00 + (1 + 2n)y 0 + xy = x−n−1 x2 Jn00 (x) + xJn0 (x) + (x2 − n2 )Jn (x)
Ahora bien, Jn (x) es solución de la ecuación de Bessel x2 y 00 + xy 0 + (x2 − n2 )y = 0, por
lo tanto
x2 Jn00 (x) + xJn0 (x) + (x2 − n2 )Jn (x) = 0
de manera que
h
i
xy 00 + (1 + 2n)y 0 + xy = x−n−1 x2 Jn00 (x) + xJn0 (x) + (x2 − n2 )Jn (x) = x−n−1 · 0 = 0
3. De y(x) = xn Jn (x) se tiene que
y 0 (x) = nxn−1 Jn (x) + xn Jn0 (x)
1
e
y 00 (x) = n(n − 1)xn−2 Jn (x) + 2nxn−1 Jn0 (x) + xn Jn00 (x)
Sustituyendo entonces, se tiene
i
h
xy 00 + (1 − 2n)y 0 + xy = xn−1 x2 Jn00 (x) + xJn0 (x) + (x2 − n2 )Jn (x)
y, por lo tanto (véase problema anterior)
i
h
xy 00 + (1 − 2n)y 0 + xy = xn−1 x2 Jn00 (x) + xJn0 (x) + (x2 − n2 )Jn (x) = xn−1 · 0 = 0
4. Errata: debe decir x2 y 00 + (λ2 x2 − n2 + 1/4)y = 0.
Se tiene
y 00 (x) =
1 2 2 00
√ 4λ x Jn (λx) + 4λxJn0 (λx) − Jn (λx)
4x x
y, sustituyendo,
x2 y 00 + (λ2 x2 − n2 + 1/4)y =
i
√ h 2 2 00
x λ x Jn (λx) + λxJn0 (λx) + (λ2 x2 − n2 )Jn (λx)
Ahora bien, no es difícil ver, haciendo la sustitución λx = t que
λ2 x2 Jn00 (λx) + λxJn0 (λx) + (λ2 x2 − n2 )Jn (λx) = 0
y, por lo tanto,
x2 y 00 + (λ2 x2 − n2 + 1/4)y = 0
5.
a) y = xJ1 (x) (ejercicio 3 con n = 1).
√
b) y = xJ0 (2x) (dividiendo por 4 y ejercicio 4 con λ = 2 y n = 0).
c) y = x3 J−3 (x) (ejercicio 2 con n = −3) o y = x3 J3 (x) (ejercicio 3 con n = 3)
6.
7. De forma similar al anterior, se tiene que
Γ(1 − 1/2 + n) = Γ(n + 1/2) =
(2n − 1)!! √
π
2n
donde
(2n − 1)!! = (2n − 1)(2n − 3) · · · 3 · 1
y, operando de forma similar
s
J−1/2 (x) =
2
cos x
πx
2