Espacios cociente

CAPı́TULO 7
Espacios cociente
En esta sección estudiamos el cociente de un espacio vectorial V por un subespacio W .
Este cociente se define como el conjunto cociente de V por una relación de equivalencia
conveniente.
Definición 7.1. Si V es un espacio vectorial y W es un subespacio cualquiera,
definimos en V la siguiente relación de equivalencia: v ∼W v 0 si v − v 0 ∈ W .
Observación 7.2. (1) El subespacio W en general se considera fijo y por ese motivo
el sı́mbolo ∼W se escribe omitiendo el subı́ndice como ∼.
(2) Es claro que v ∼ v 0 si y sólo si existe w ∈ W de modo que v = v 0 + w.
(3) Es claro que la relación ∼ es una relación de equivalencia y esto queda como ejercicio.
(4) Si W = {0}, v ∼ v 0 si y sólo si v = v 0 y si W = V para todo par v, v 0 ∈ V , v ∼ v 0 .
(5) Recordar que si ©
v ∈ V su clase de equivalencia es un subconjunto
de V y consiste de
ª
{v 0 ∈ V : v 0 ∼ v} = v 0 ∈ V : v 0 = v + w para algún w ∈ W . En otras palabras la clase
de equivalencia de v es el subconjunto v + W ⊂ V .
Definición 7.3. En la situación anterior, la clase de equivalencia de v ∈©V se denota
ª
como [v] o como v +W . El conjunto cociente V / ∼, se denota como V /W = [v] : v ∈ V
y se denomina espacio cociente de V por W .
La proyección canónica π : V → V /W – que existe para cualquier relación de
equivalencia, en particular la considerada más arriba – explı́citamente se define como
π(v) = [v] = v + W .
A priori V /W es tan sólo un conjunto. Probaremos que de hecho es un espacio
vectorial con operaciones que hacen que π : V → V /W sea una transformación lineal.
Lema 7.4. En la situación anterior tenemos que:
(1) Si v1 ∼ v10 y v2 ∼ v20 entonces v1 + v2 ∼ v10 + v20 para todo v1 , v2 , v10 , v20 ∈ V .
(2) Si v ∼ v 0 entonces av ∼ av 0 para todo v, v 0 ∈ V y a ∈ k.
Demostración. (1) Si v1 ∼ v10 y v2 ∼ v20 entonces existe w1 , w2 ∈ W tales que
v1 = v10 + w1 y v2 = v20 + w2 . Entonces v1 + v2 = v10 + v20 + w1 + w2 y como w1 + w2 ∈ W
concluimos que v1 + v10 ∼ v2 + v20 .
(2) La demostración de esta propiedad es muy semejante a la anterior y queda como
ejercicio.
¤
Teorema 7.5. Se definen en V /W las siguientes operaciones: [v] + [v 0 ] = [v + v 0 ] y
a[v] = [av] si a ∈ k y v, v 0 ∈ V . Con respecto a estas operaciones V /W es un espacio
vectorial.
Más aún, la proyección canónica π : V → V /W es una transformación lineal sobreyectiva, cuyo núcleo es W .
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7. ESPACIOS COCIENTE
Demostración. El lema anterior nos garantiza que las definiciones de suma y producto por un escalar entre clases de equivalencia tienen sentido, o sea el resultado de
sumar [v] y [v 0 ] no dependen del par v, v 0 ∈ V sino tan sólo de su clase de equivalencia
modulo W . Lo mismo para producto por un escalar.
Necesitamos probar que se verifican para las operaciones definidas en V /W todos
los axiomas de un espacio
vectorial.
Por ejemplo
para
¡
¢
¡ 0
¢ probar la propiedad asociativa
0
00
00
queremos
probar
que
[v]+[v
]
+[v
]
=
[v]+
[v
]+[v
]
derecho
¡
¢
£
¤£. El lado
¤ de esta 0igualdad
0
00
0
00
0
00
0
00
es [v]¡ + [v ] + ¢[v ] = [v + v ] + [v ] = (v + v ) + v v + (v + v ) = [v] + [v + v 00 ] =
[v] + [v 0 ] + [v 00 ] . Se ha usado en esta cadena de igualdades la propiedad asociativa de
la suma en el espacio V . El vector cero en V /W es el vector OV /W = [0V ] = [w] para
cualquier w ∈ W . Es claro que [v] + 0V /W = [v + 0] = [v] y luego ese vector es el neutro
del espacio cociente.
Si tomamos v, v 0 ∈ V y calculamos π(v + v 0 ) tenemos que π(v + v 0 ) = [v + v 0 ] =
[v] + [v 0 ] = π(v) + π(v 0 ). De forma parecida se prueba que π(av) = aπ(v) y ası́ π es
una transformación lineal. Que la proyección canónica es sobreyectiva es una propiedad
general que se observó cuando se vieron los elementos iniciales de teorı́a de conjuntos.
Por otro lado, N(π) = {v ∈ V : π(v) = 0. Pero π(v) = 0 si y sólo si [v] = [0] o sea si y
sólo si v ∈ W . Luego N(π) = W .
¤
La siguiente es una adaptación de la propiedad universal del cociente que vimos
cuando estudiamos teorı́a de conjuntos, al caso del cociente de un espacio vectorial por
un subespacio.
Teorema 7.6. Sea V, U espacios vectoriales y W ⊂ V un subespacio de V . Si T :
V → U es una transformación lineal tal que W ⊂ N(T ), entonces existe una única
transformación lineal Tb : V /W → U que hace el diagrama de abajo conmutativo.
V
π
²
T
/U
<
Tb
V /W
Demostración. Es claro que si v ∼ v 0 y escribimos v 0 = v + w, con w ∈ W entonces
T (v 0 ) = T (v + w) = T (v) + T (w) = T (v), ya que w ∈ W ⊂ N(T ). Aplicando la propiedad
universal del cociente probada en el Capı́tulo 1 (ver página ??), podemos asegurar la
existencia y unicidad de una función Tb : V /W → U que hace el diagrama conmutativo.
b
b
Para concluir la prueba, falta probar ¡la linealidad
¢
¡ de¢T . Como T ◦ π0 = T tenemos que
para todo v ∈ V , entonces T (v) = Tb π(v) = Tb [v] . Luego si v, v ∈ V tenemos que
¡
¢
¡
¢
¡ ¢
¡ ¢
Tb [v] + [v 0 ] = Tb [v + v 0 ] = T (v + v 0 ) = T (v) + T (v 0 ) = Tb [v] + Tb [v 0 ] lo que prueba que
¡
¢
¡ ¢
Tb es aditiva. En forma semejante se prueba que Tb a[v] = aTb [v] para todo a ∈ k. ¤
¡
¢
Observación 7.7. (1) En la situación anterior tenemos que N(Tb) = π N(T ) y que
Im(Tb) = T (V ) = Tb(V /W ). La segunda afirmación se deduce inmediatamente
del hecho
¡ ¢
b
de que la proyección canónica π es sobreyectiva. Por otro lado T [v] = 0 si y sólo si
¡
¢
0 = Tb π(v) = T (v) y eso sucede si y sólo si v ∈ N(T ), es decir [v] ∈ N(T )/W .
7. ESPACIOS COCIENTE
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(2) La construcción del cociente nos permite demostrar que dado un espacio vectorial
V y un subespacio W ⊂ V arbitrario, existe una transformación lineal T : V → U en
algún espacio vectorial U de modo que N(T ) = W . En otras palabras, todo subespacio
es el núcleo de alguna transformación lineal. Para demostrar lo anterior basta tomar
T = π : V → V /W la proyección canónica.
(3) Es evidente que dado un subespacio vectorial W ⊂ V existe una transformación
lineal T : U → V para algún subespacio U de modo que T (U ) = W . Para ello basta
tomar U = W y la transformación lineal T la inclusión canónica de W en V .
El siguiente resultado nos dice como están relacionados los subespacios de V y los de
V /W .
Teorema 7.8. Existe una correspondencia biyectiva entre los subespacios de V /W y
los subespacios de V que contienen a W . Esa correspondencia está dada de la siguiente
forma: L ⊂ V /W Ã π −1 (L) ⊂ V ; W ⊂ L ⊂ V Ã L/W = π(L) ⊂ V /W . Más aún, la
correspondencia respecta inclusiones.
Demostración. Es claro que las funciones definidas arriba envı́an subespacios en
subespacios. Ambos mapas son inversos uno del otro.©En efecto, si tomamos
ª W ⊂L⊂V
y calculamos π −1 (L/W ), tenemos que π −1 (L/W ) = v ∈ V : [v] ∈ π(L) . Si [v] ∈ L/W
entonces, existe l ∈ L tal que v − l ∈ W . Luego v = l + w con w ∈ W . Como W ⊂ L eso
implica que v ∈ L, o sea que π −1 (L/W ) ⊂ L. Claramente la inclusión inversa es también
verdadera. El resto de la demostración es semejante.
Finalmente, es claro que si W ⊂ L ⊂ L0 , entonces π(L) ⊂ π(L0 ).
¤
La siguiente definición es de gran utilidad.
Definición 7.9. Sea T : V → V una transformación lineal y sea W ⊂ V un subespacio. Se dice que W es invariante con respecto a T (o un subespacio invariante de T ) si
T (W ) ⊂ W .
Una aplicación muy útil del teorema anterior es la siguiente.
Teorema 7.10. Sea T : V → V una transformación lineal de V y W un subespacio
invariante de T . Entonces, existe una única transformación lineal Te : V /W → V /W que
hace el diagrama de abajo conmutativo.
V
π
T
²
V /W
/V
²
Te
π
/ V /W
Demostración. Consideremos la transformación lineal π ◦ T :¡V → ¢V /W . Probaremos en primer lugar que W ⊂ N(π ◦ T ). Si w ∈ W entonces π T (w) = 0 porque
T (w) ∈ W . Usando la propiedad universal del cociente deducimos la existencia de un
único Te : V /W → V /W de modo que Te ◦ π = π ◦ T . Esto termina la demostración del
teorema.
¤
60
7. ESPACIOS COCIENTE
Observación 7.11. El teorema anterior puede generalizarse de la siguiente forma:
Sea T : V → V 0 una transformación lineal, y W ⊂ V , W 0 ⊂ V 0 subespacios tales que
T (W ) ⊂ W 0 . Entonces, existe una única transformación lineal Te : V /W → V 0 /W 0 tal
que Te ◦ π = π 0 ◦ T .
La prueba de este hecho es una fácil adaptación de la prueba del teorema 7.10 y
queda como ejercicio.
Corolario 7.12. Sea T : V → U una transformación lineal, entonces la transformación lineal Tb : V / N(T ) → T (V ) es un isomorfismo.
b
Demostración. De acuerdo a los resultados anteriores,
¡
¢N(T ) = N(T )/ N(T ) =
{0} ⊂ V / N(T ), de donde Tb es inyectiva. Además, Tb V / N(T ) = T (V ), por lo que la
transformación lineal Tb : V / N(T ) → T (V ) es sobreyectiva.
¤
A continuación veremos algunos resultados sobre dimensión que se deducen de la
construcción anterior del cociente.
Teorema 7.13. Sea V un espacio de dimensión finita y W un subespacio; entonces
dim(V /W ) = dim(V ) − dim(W ).
Demostración. Consideremos una base C = {w1 , . . . , wt } de W y completémosla a
una base B = {w1 , . . . , wt , vt+1 , . . . , vn } de V . Consideremos los vectores, [vt+1 ], . . . , [vn ] ∈
V /W . Ese conjunto de vectores es la imagen de la base B por ©la proyección canónica
π,
ª
que es sobreyectiva. Como B genera V concluı́mos que B = [vt+1 ], . . . , [vn ] ⊂ V /W
es un generador de V /W . Probaremos ahora que los vectores [vt+1 ], . . . , [vn ] ∈ V /W
son linealmente inedependientes. Si existen escalares at+1 , . . . , an , tales que at+1 [vt+1 ] +
· · · + an [vn ] = 0, entonces at+1 vt+1 + · · · + an vn ∈ W y como los vectores de C son una
base de W tenemos que at+1 vt+1 + · · · + an vn = a1 w1 + · · · + at wt . Como los vectores
w1 , . . . , wt , vt+1 , . . . , vn ∈ V son una base de V , concluı́mos que todos los coeficientes
a1 = a2 = · · · = at = at+1 = · · · = an = 0. Hemos probado que en la situación anterior
overlineB es una base de V /W .
¤
Observación 7.14. Es de destacar que en el teorema anterior no sólo probamos
el resultado sobre la dimensión sino que además describimos un procedimiento para
encontrar una base del cociente V /W a partir de una base de W , que completamos a
una base de V .
Más aún, es fćil ver que este procedimiento (la construcción de una base de V /W )
es válido aún en dimensión infinita.
Corolario 7.15 (Teorema de la dimensión). Sea V un espacio vectorial de dimensión finita y supongamos que T : V → U es una transformación lineal. Entonces,
N(T ) ⊂ V y T (V ) ⊂ U tienen dimensión finita y además
¡
¢
¡
¢
dim N(T ) + dim T (V ) = dim(V ).
Demostración. Claramente N(T ) tiene dimensión finita. Por otro lado, usando el
Corolario 7.12, sabemos que los espacios vectoriales V / N(T ) y T (V ) son ¡isomorfos, y
eso ¡implica que
¢ T (V ¡) tiene¢ dimensión finita y además que dim(V ) − dim N(T )yr) =
dim V / N(T ) = dim T (V ) .
¤
7. ESPACIOS COCIENTE
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Observación 7.16. Comparar esta prueba con la realizada anteriormente en el ejercicio ??.
Corolario 7.17. Sea V un espacio vectorial sobre k y W ⊂ V un subespacio.
Entonces V ∼
= W ⊕ V /W .
Demostración. Como en la prueba del teorema 7.13, completamos una base B1 de
W a una base B de V . Si B2 = B \B1 , entonces π(B2 ) es una base de V /W . Consideremos
¡
¢
la inclusión ι : W ,→ V y la transformación lineal T : V /W → V inducida por T π(v) =
v, v ∈ B2 . Entonces T es inyectiva e (ι, T inducen una transformación lineal biyectiva
W ⊕ V /W → V .
¤
Queremos ahora comparar la matriz asociada a T : V → V con la matriz asociada
al mapa inducido por T en el cociente V /W en el caso en que W es un subespacio
invariante.
Teorema 7.18. Sea T : V → V una transformación lineal del espacio de dimensión
finita V . Sea W un subespacio invariante de T . Llamemos T |W : W → W la transformación lineal obtenida mediante la restricción de T a W . Consideremos Te : V /W →
V /W la transformación lineal asociada
Sean C = {w1 , . . . , wt },
© a T en el cociente.
ª
B = {w1 , . . . , wt , vt+1 , . . . , vn }µy B = [vt+1 ],¶. . . , [vn ] bases de W , V y V /W respec[T ]
?
tivamente. Entonces B [T ]B = C C £ ¤
0
T
B
B
Demostración. Calculemos en primer lugar las coordenadas en la base B de los
vectores T (wi ), i = 1, . . . , t. Como éstos están en W , que es invariante por T , concluı́mos
que T (wi ) se escribe como combinación lineal de {w1 , . . . , wt }. Los coeficientes correspondientes a esa combinación lineal son exactamente las entradas de la matriz asociada
C [T |W ]C . Eso prueba que las primeras t columnas de la matriz B [T ]B son como se enuncia
en el teorema. Consideremos la columna t + j, j = 1, . . . , n − t, de la matriz asociada.
Si escribimos T (v¡j ) = ¢α1 w£1 + · · ·¤+ αt wt + αt+1 vt+1 + · · · + αn vn , de la igualdad anterior
concluimos que T [vj ] = T (vj ) = αt+1 [vt+1 ]+· · ·+αn [vn ]. Eso implica que la “cola” (o
sea la parte que va del elemento t + 1 hasta el elemento n) del t + j-ésimo vector£ columna
¤
de la matriz B [T ]B es exactamente el j-ésimo vector columna de la matriz B T B . Eso
termina la demostración.
¤
Corolario 7.19. Sea T : V → V una transformación lineal de V , espacio vectorial
de dimensión finita, y V = W1 ⊕ W2 un descomposición en suma directa de subespacios
T –invariantes. Sea B1 una base de W1 , B2 una base de W2 y B = B1 ∪ B2 . Entonces,
µ
¶
0
B1 [T ]B1
B [T ]B =
0
B2 [T ]B2
Demostración. Aplicar el teorema anterior a W1 para obtener las primeras t columnas de B [T ]B , y a W2 para obtener las últimas r columnas.
¤