EP-10_LPO - FiloSevilla2012

Ejercicios de cálculo deductivo natural
Lógica de primer orden
EP-10
Problema 1. Demostrar usando exclusivamente reglas básicas del cálculo deductivo natural.
(a) ` ∀x(P x ∧ Qx) → (∀xP x ∧ ∀xQx)
(b) ∀x(P x ∧ Qx) ∨ ∀xRx ` ∃xP x → ∀x((P x ∧ Qx) ∨ Rx)
(c) ∀x(P x ∧ Qx → ¬Rx), ∃x(P x ∧ Qx ∧ Sx) ` ∃x(P x ∧ Sx ∧ ¬Rx)
(d) ∀x(¬P x → ¬Qx), ∀x(Rx → Sx), ∀x(T x → ¬Sx), ∀x(P x → Rx) ` ∀x(Qx → ¬T x)
(e) ∃x(∀yP y → Qx) ` ∀yP y → ∃xQx
Problema 2. Demostrar usando reglas básicas y derivadas del cálculo deductivo natural.
(a) ∀x(¬P x ∨ ¬Rx → ¬Sx), ∀x(Qx ∨ T x → Rx), ∃x¬Rx ` ∃x(¬Sx ∧ ¬T x)
(b) ∀x(P x → Qx), ∀x(Rx ∧ ¬Sx → P x ∨ T x), ¬∃x((Sx ∨ T x) ∧ ¬Qx) ` ∃xRx → ∃xQx
(c) ∀x(∀y(F y → Rxy) → ∀y(P y → Rxy)), ∃xy(P y ∧ ¬Rxy) ` ∃xy(F y ∧ ¬Rxy)
(d) ¬∃x(P x → Qx) ` ¬∀xQx
(e) ∃x(P x ∧ ¬Qx), ∀x(P x → Rx) ` ∃x(Rx ∧ ¬Qx)
(f) ∀x(P x → Qx), ∃x(P x ∧ Rx) ` ∃x(Rx ∧ Qx)
(g) ` ∀x(P x → Qx) → ∀x(¬Qx → ¬P x)
(h) ∀x(P x → Qx), ∀x(Rx → ¬Sx), ∀x(¬Sx → ¬Qx) ` ∀x(P x → ¬Rx)
(i) ` ∃y(P y ∧ ∀x(Rx → Qxy)) → ∀x(Rx → ∃y(P y ∧ Qxy))
(j) ∀x(P x ∧ Qx → ∀y(Qy → Rxy)) ` ∀x(P x ∧ Qx → Rxx)