Document

Pontificia Universidad Católica Madre y Maestra
Recinto Santo Tomás de Aquino
Vice Rectoría de Post Grado
MG-617-T Modelos para la Toma de Decisiones
en honor a Carlos Dreyfus
PROGRAMA GENERAL
Ing. Rubén Darío Estrella Sánchez, MBA
Cavaliere dell’ordine al Merito della Repubblica Italiana
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV)
y Maestro (SALOME UREÑA)
[email protected] ; [email protected]
www.atalayadecristo.org
SEPTIEMBRE, 2013
Objetivo General:
Este curso persigue desarrollar habilidades en los gerentes y futuros gerentes de
negocios/proyectos que le permitan valorizar, aplicar y crear diferentes modelos matemáticos,
útiles en el proceso de toma de decisiones en el mundo de los negocios, con la finalidad de
optimizar los resultados a obtener en las diferentes situaciones del mundo real.
CONTENIDO DEL PROGRAMA
 Teoría de Toma de Decisiones.
o Información Crítica.
o Simulación.
o Modelos
o Toma de Decisiones.
 Modelos Matemáticos.
o Modelos Lineales.
 Modelos de Costos, Ingresos y Beneficios.
 Punto de Equilibrio
 Modelos de Oferta y Demanda.
 Análisis del Equilibrio.
 Depreciación en línea recta.
o Modelos No Lineales.
 Funciones cuadráticas de ingresos, oferta y demanda.
 Equilibrio entre oferta y demanda.
 Modelo de ubicación.
2
 Modelos Estadísticos.
o Estadística Descriptiva.
 Conceptos generales de Estadística.
 Tabla de Frecuencias y Gráficos Estadísticos.
 Medidas de Tendencias Central y de Dispersión.

Los Cuantiles.
 Proyecto Parcial – Uso de Herramientas Estadísticas.
o Estadística Inferencial.
 Introducción a las Probabilidades.
 Distribución Binomial.
 Distribución Hipergeométrica.
 Distribución de Poisson.
 Distribución Normal.
 Distribución T.
 Aproximación Binomial a Normal.
 Teoría de Regresión y Correlación.
 Distribución Muestral (Adicional).
 Estimados y Tamaño de Muestra.
 Distribución Chi cuadrada.
 El Análisis de Varianza – ANOVA.
 Prueba de Hipótesis.
 Pruebas no paramétricas.
 Modelos de Programación Lineal.
o Método Gráfico.
o Método Simplex.
o Método PERT.
o
Diagrama de Gantt.
 Proyecto Final – Modelos de Programación Lineal.

Pruebas Cortas
10 puntos:
1º Parcial
Proyecto Parcial
25 puntos
15 puntos
Evaluación
5 puntos (Modelos Lineales)
5 puntos (Modelos No Lineales)
Modelos Lineales / No Lineales / Descriptiva
Modelos Estadísticos (Presentación en el Aula)
2º Parcial
Proyecto Final
25 puntos
25 puntos
Modelos Estadísticos - Estadística Inferencial
Modelos de Programación Lineal (Presentación en el Aula)
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 2
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
3
Materiales Útiles:
- Calculadora Científica con Combinación nCr
- Computador Portátil – Notebook – Laptop (Será usada en el aula,
en los exámenes y en el laboratorio).
- Juego de Reglas, Compás.
- Manual de Ejercicios (Impreso).
- Bibliografía indicada a continuación.
Softwares Útiles:
-
MegaStat
SPSS 17.0
Probabilidades y Estadística de la Mc Graw Hill
Microsoft Excel
SPCXL
Aplicaciones aportadas por los estudiantes
METODOLOGÍA DEL LABORATORIOS
I.
Utilización de Microsoft Excel – Hoja Electrónica de Cálculo.
II.
Utilización de los Programas: MegaStat – SPSS 17.0 – Probalidades y
Estadísticas de la Mc Graw Hill – SPCXL.
III. Búsqueda de Programas.
IV. Implementación del Software – En los casos resueltos y asignados.
V.
Presentación en el Laboratorio de la Implementación.
VI. Entrega de los archivos de los Programas identificados.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 3
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
4
Agenda – Calendario
Modulo
Contenido
Fecha
Hora
Valor
I
Introducción, Reglas del Juego y 1º Asignación
29, 30 Ago.
6-8/8-10
Asistencia
I
Teoría de Toma de Decisiones
3 Sept.
6-8/8-10
Asistencia
I
Modelos Lineales
10 Sept.
6-8/8-10
Asistencia
I
Control de Lectura
17 Sept.
6-8/8-10
5 puntos
I
Modelos No Lineales
1 Oct.
6-8/8-10
Asistencia
I
Control de Lectura
8 Oct.
6-8/8-10
5 puntos
II
Modelos Estadísticos – Estadística Descriptiva
15 Oct.
6-8/8-10
Asistencia
II
Modelos Estadísticos – Estadística Descriptiva
22 Oct.
6-8/8-10
Asistencia
I , II
Primer Parcial
29 Oct.
6-8/8-10
25 puntos
II
Proyecto Parcial – Modelos Estadísticos
(Presentación en el Laboratorio)
31 Oct., 1
Nov.
6-8/8-10
15 puntos
II
Modelos Estadísticos – Probabilidades
5 Nov.
6-8/8-10
Asistencia
II
Modelos Estadísticos – Distribuciones de
Probabilidades y Aproximación
12 Nov.
6-8/8-10
Asistencia
II
Modelos Estadísticos – Teoría de Regresión y
Estimación y Tamaño de Muestra
19 Nov.
6-8/8-10
Asistencia
II
Modelos Estadísticos – Prueba de Hipótesis
26 Nov.
6-8/8-10
Asistencia
II
Segundo Parcial
3 Dic.
6-8/8-10
25 puntos
III
Modelos de Programación Lineal
5, 6 Dic.
6-8/8-10
Asistencia
III
Proyecto Final – Modelos de Programación
Lineal (Presentación en el Aula)
10 Dic.
6-8/8-10
25 puntos
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 4
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
5
Pontificia Universidad Católica Madre y Maestra - Recinto Santo Tomás de Aquino
MG-617-T Modelos para la Toma de Decisiones - Ing. Rubén Darío Estrella, MBA
Aplicación de las Estadísticas - Proyecto Parcial
Valor 15 puntos - Fecha de Entrega: 31-10-2013 y 01-11-2013
Una empresa multinacional del Sector Supermercados que está ubicada en el Distrito
Nacional, Santo Domingo y Santiago, está pensando expandir sus operaciones
estableciéndose en otras 3 provincias del País, con este propósito un equipo de
estudiantes de Modelos para la Toma de Decisiones fue contratado, para determinar en
cuáles y qué orden debe ubicarse tomando en consideración las siguientes informaciones
estadísticas:
1. Población Rural y Urbana.
2. Hogares Rurales y Urbanos.
3. Población Ocupada.
4. Población Económicamente Activa.
5. Proporción de la Ocupada en relación a la Activa.
6. Gasto Anual por Hogar Rural (En alimentos, bebidas y tabaco).
7. Gasto Anual por Hogar Urbano (En alimentos, bebidas y tabaco).
8. Demanda total (En base a la suma del Gasto Rural y Urbano).
9. Densidad Poblacional.
Además:
- Característica del Sector Industrial (Supermercados), situación actual, entorno,
tendencias, etc.
- Estilo de vida.
- Desarrollo provincial.
- Nivel de Educación.
- Acceso a la tecnología y medios de comunicación.
- Nivel de participación de la competencia.
- Distancia de los centros de distribución.
- Medios y costos de transporte.
- Disponibilidad y costo de mano de obra.
- Disponibilidad y calidad de los servicios públicos.
- Rentabilidad del negocio.
Utilizando las Herramientas estadísticas, algunas consideraciones de Operaciones y
Mercadeo, presente su Informe.
Impreso y en CD.
FECHA DE ASIGNACIÓN: 29-30/08/2013
www.bancentral.gov.do
www.one.gov.do
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 5
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
6
Pontificia Universidad Católica Madre y Maestra - Recinto Santo Tomás de Aquino
MG-617-T Modelos para la Toma de Decisiones - Ing. Rubén Darío Estrella, MBA
PROYECTO FINAL
Valor 25 puntos - Fecha de Entrega: 10-12-2013
Lineamientos generales para el trabajo final
Elaborar para una empresa de su elección, las recomendaciones necesarias para lograr una mejor u óptima programación de
un proceso determinante o crítico para el logro de los objetivos de la organización que la hagan más competitiva y rentable,
tomando en consideración la situación actual de la empresa, cultura, posibilidades económicas, características de su sector
industrial, disponibilidad de tecnología, etc.
Algunos detalles a incluir en su trabajo:
 Breve reseña de la empresa, historia, evolución, cultura, etc.
 Característica del Sector Industrial, situación actual, entorno, tendencias, etc.
 Misión, Visión y Objetivos.
 Evaluar la situación actual del proceso seleccionado; hacer una crítica de la situación, emitir un diagnóstico claro y
completo.
 Utilizando El Diagrama Gantt indicar los tiempos empleados para la realización de este proyecto final.
 Utilizando el Método PERT (Program Evaluation Review Technique - Técnica de Revisión y evaluación de
programas) determine:
o Lista de actividades del proceso (Descripción, actividades predecesoras inmediatas, duración, etc.).
o Tiempo de finalización de cada actividad.
o Actividades Críticas del proceso.
o Tiempo que se pueden retardar las actividades “no críticas”
o Diagramas de Red del proceso.
o Diagrama de Gantt del proceso.
o Determinación del tiempo total requerido del proceso.
o Determinación del Camino Crítico o Ruta Crítica.
o Determinación de Tiempos más próximos y Tiempos más lejanos.
o Determinación de holguras.
o Formas de reducir la duración del proceso.
o Tiempos inciertos de actividad del proceso.
 Tiempo promedio o esperado, varianza, distribución de probabilidades beta.
o Variabilidad en el tiempo de terminación del proceso.
o Probabilidad de terminar el proceso a tiempo.
o Cómo pueden concentrarse más eficientemente los recursos en actividades, a fin de acelerar la
terminación del proceso.
o Qué control se debe ejercer en el flujo de gastos para las diversas actividades a lo largo del proceso.
o Consideraciones de Tiempo y Costo.
 Evaluación y presentación clara, evidente y objetiva de los efectos y el impacto de sus recomendaciones en la
empresa: económicas, de calidad, de imagen, etc.
 Mínimo de Fuentes Bibliográficas (Libros) a utilizar: 5
 Impreso y en CD.
FECHA DE ASIGNACIÓN: 29-30/08/2013
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 6
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
7
 Bibliografía de Modelos Lineales y No Lineales.
o ANDERSON David, SWEENEY Dennis, WILLIAMS Thomas, CAMM
Jeffrey and MARTIN Kipp. Métodos Cuantitativos para los Negocios.
CENGAGE Learning: 11ª, 2011.
o BUDNICK Franck S. Matemáticas Aplicadas para Administración,
Economía y Ciencias Sociales. McGraw-Hill: Segunda Edición, 1990.
o HAEUSLLER Ernest F. And PAUL Richard S. Matemáticas para
Administración y Economía. Pearson Educación – Prentice Hall: Décima
edición, 2003.
o VISCENCIO Brambila. Economía para la Toma de Decisiones. CENGAGE
Learning: Primera Edición, 2002.
o LORA Ricardo and GRULLON Ramón. METODOS CUANTITATIVOS EN
LA TOMA DE DECISIONES. Departamento Editorial de la Pontificia
Universidad Católica Madre y Maestra. Santiago de los Caballeros, República
Dominicana: Tercera Edición, 1994.
o HILLIER Frederick S., HILLIER Mark S. Métodos Cuantitativos para
Administración. McGraw-Hill: Tercera Edición, 2008.
o HILLIER Frederick and LIEBERMAN Gerald.
Introducción a la
Investigación de Operaciones. McGraw-Hill: Novena Edición. 2010.
o RENDER Barry, STAIR Ralph M. and HANNA Michael. Métodos
Cuantitativos para Negocios. Pearson – Prentice Hall: Novena Edición, 2006.
o HERNANDEZ SAMPIERI Roberto, FERNANDEZ COLLADO Carlos and
BAPTISTA LUCIO Pilar. Métodos de la Investigación. Mc Graw Hill.
Quinta Edición. 2010.
o BONINI Charles, HASUMAN Warren and BIERMAN Harold. Análisis
Cuantitativo para Negocios. McGraw-Hill: Novena Edición, 2000.
o KELTON W. David, SADOWSKI Randall P. and STURROCK David T.
Simulación con Software Arena. McGraw-Hill: Cuarta Edición, 2008.
o HOFFMANN Laurence and BRADLEY Gerald. CÁLCULO. McGraw-Hill:
Sétima Edición, 2001.
o BIERMAN Harold, BONINI Charles and HASUMAN Warren. Análisis
Cuantitativo para la Toma de Decisiones. McGraw-Hill: 1994.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 7
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
8
o EPPEN G.D., GOULD F.J., SCHMIDT C.D., MOORE Jeffrey and
WEATHERFORD Larry. Investigación de Operaciones en la Ciencia
Administrativa. Pearson Educación – Prentice Hall: Quinta edición, 2000.
o SAMUELSON Paul and NORDHAUS William.
Hill: Decimoquinta Edición, 1996.
ECONOMIA. McGraw-
o HORNGREN Charles and SUNDEM Gary. Contabilidad Administrativa.
Prentice-Hall Hispanoamericana: Novena Edición, 1994.
o HORNGREN Charles, SUNDEM Gary and ELLIOTT John. Contabilidad
Financiera. Prentice-Hall Hispanoamericana: Quinta Edición, 1994.
o CHASE Richard and AQUILANO Nicholas. Dirección y Administración de
la Producción y de las Operaciones. McGraw-Hill: Sexta Edición. 1995.
o HIRSCHEY Mark and PAPPAS James L. Fundamentals of Managerial
Economics. The Dryden Press: Fitth Edition. 1995.
o LEHMANN Charles H. Geometría Analítica.
México. 2006.
Editorial Limusa, S.A.,
 Bibliografía de Modelos Estadísticos.
o WEBSTER, Allen L. Estadística Aplicada a los Negocios y la Economía. McGrawHill: Tercera Edición. 2000.
o LIND Douglas A., MARCHAL William G. and WATHEN Samuel A. Estadística
Aplicada a los Negocios y a la Economía. McGraw-Hill. 15ª Edición. 2012.
o ANDERSON David, SWEENEY Dennis and WILLIAMS Thomas. Estadística para
Negocios y Economía. CENGAGE Learning: 11ª Edición. 2012.
o TRIOLA, Mario F. Estadística. PEARSON Addison Wesley. 11ª Edición. 2013.
o TRIOLA, Mario F. Estadística. PEARSON Addison Wesley. Décima Edición. 2009.
o SPIEGEL Murray, SHILLER John and SRINIVASAN R. Alu. Probabilidad y
Estadística. Mc Graw Hill. 3ª. Edición – Serie Shaum. 2010.
o NIEVES Antonio and DOMINGUEZ Federico. Probabilidad y Estadística para
Ingeniería un enfoque moderno. Mc Graw Hill. 2010.
o HERNANDEZ SAMPIERI Roberto, FERNANDEZ COLLADO Carlos and
BAPTISTA LUCIO Pilar. Métodos de la Investigación. Mc Graw Hill. Quinta
Edición. 2010.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 8
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
9
o GUTIERREZ PULIDO Humberto and DE LA VARA SALAZAR Román. Control
Estadístico de Calidad y Seis Sigma 6. Mc Graw Hill. 2004
o JONSON Robert and KUBY Patricia. Estadística Elemental Lo Esencial.
International Thomson Editores, S. A.: Tercera Edición 2004.
o LIPSCHUTS Seymour and LIPSON Marc. PROBABILIDAD. Mc Graw Hill.
Segunda Edición. 2001.
o MILTON J. Susan and ARNOLD Jesse C. PROBABILIDAD Y ESTADISTICA.
Mc Graw Hill. Cuarta Edición. 2004.
o MONTIEL A. M., RIUS F. And BARON F.J. Elementos Básicos de Estadística
Económica y Empresarial. Prentice Hall: 1997.
o HOPKINS Kenneth, HOPKINS B.R. and GLASS Gene. Estadística Básica para
las Ciencias Sociales y del Comportamiento. Prentice Hall: Tercera Edición. 1997.
o LAPIN Lawrence L. Statistics for Modern Business. The Dryden Press: 1995.
 Bibliografía de Programación Lineal.
o GIDO Jack and CLEMENTS James P. Administración exitosa de Proyectos.
Cenage Learning: Quinta Edición. 2012.
o HILLIER Frederick and LIEBERMAN Gerald.
Introducción a la
Investigación de Operaciones. McGraw-Hill: Novena Edición. 2010.
o MURCIA Jairo Darío. Proyectos – Formulación y Criterios de Evaluación.
Alfaomega: Primera Edición. 2009.
o ANDERSON David, SWEENEY Dennis and WILLIAMS Thomas. Métodos
Cuantitativos para los Negocios. International Thomson Editores: Novena
Edición. 2004 - Séptima Edición.
o ARREOLA RISA Jesús S. And ARREOLA RISA Antonio. Programación
Lineal – Una introducción a la toma de decisiones cuantitativa. International
Thomson Editores: Primera Edición. 2003.
o HILLIER Frederick S., HILLIER Mark S. Métodos Cuantitativos para
Administración. McGraw-Hill: Tercera Edición, 2008.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 9
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
10
o HAEUSLLER Ernest F. And PAUL Richard S. Matemáticas para
Administración y Economía. Pearson Educación – Prentice Hall: Décima
edición 2003.
o WINSTON Wayne L. Investigación de Operaciones – Aplicaciones y
algorimos. Thomson: Cuarta Edición, 2005.
o BONINI Charles, HASUMAN Warren and BIERMAN Harold. Análisis
Cuantitativo para Negocios. McGraw-Hill: Novena Edición, 2000.
o BIERMAN Harold, BONINI Charles and HASUMAN Warren. Análisis
Cuantitativo para la Toma de Decisiones. McGraw-Hill: 1994.
o LORA Ricardo and GRULLON Ramón. METODOS CUANTITATIVOS EN
LA TOMA DE DECISIONES. Departamento Editorial de la Pontificia
Universidad Católica Madre y Maestra. Santiago de los Caballeros, República
Dominicana: Tercera Edición, 1994.
o HILLIER Frederick and LIEBERMAN Gerald.
Introducción a la
Investigación de Operaciones. McGraw-Hill: Sexta Edición. 1997.
o CHASE Richard and AQUILANO Nicholas. Dirección y Administración de
la Producción y de las Operaciones. McGraw-Hill: Sexta Edición. 1995.
o EPPEN G.D., GOULD F.J., SCHMIDT C.D., MOORE Jeffrey and
WEATHERFORD Larry. Investigación de Operaciones en la Ciencia
Administrativa. Pearson Educación – Prentice Hall: Quinta edición 2000.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 10
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
11
 Teoría de Toma de Decisiones.
“En el mundo de negocios de hoy, la diferencia entre un ambiente de incertidumbre,
indecisión y lentitud, y un mundo de rapidez, decisiones acertadas, flexibilidad y éxito,
radica en el conocimiento. Sólo la verdadera información puede llevarnos a conseguir el
conocimiento dinámico para la acción efectiva, clave del éxito empresarial.
El gran valor de las infraestructuras y modelos de información radica en la
posibilidad de tomar decisiones rápidas y seguras que lleven a la acción exitosa. El énfasis
no debe estar en la tecnología, sino en la información que ayuda a proveer, para crear
conocimiento y acción.”
Ing. Carlos Yunén.
Glosario
Conocimiento Científico: Es aquel que descubre causas y principios (leyes) siguiendo una
metodología ordenada y sistemática.
Es la apropiación del objeto de estudio.
Construye explicaciones acerca de la realidad por medio de procedimientos o
métodos basados en la lógica, que le permiten establecer leyes generales y explicaciones
particulares de su objeto.
Aprendizaje: Es un proceso continuo mediante el cual el individuo cambia su conducta
mediante la experiencia, es decir, su manera de pensar, actuar, sentir y hablar.
Aprendizaje => Experiencia
Datos: Información en sentido general. Colección significativa de información.
Información: Conjunto de datos que, cuando se interpretan y comprenden, proporcionan a
los usuarios del sistema un conocimiento de algún tipo. Conjunto de datos que han sido
organizados o analizados de alguna manera lógica y con un propósito.
Verdad: Conformidad con los hechos o con la realidad. Real y Efectiva.
Efectiva: Con resultados favorables.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 11
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
12
Información Crítica
Información Crítica es aquella que es útil y relevante en la toma de decisiones para la
solución de un problema o para el aprovechamiento de una oportunidad con la finalidad de
concretizar los objetivos de la empresa.
Ing. Rubén Estrella.
Glosario
Información: se refiere al conjunto de datos que, cuando se interpretan y comprenden,
proporcionan a los usuarios del sistema un conocimiento de algún tipo.
Crítica: término que se aplica a las condiciones a partir de las cuales produce un cambio.
Problema: es aquello que pone en peligro la capacidad de la organización para alcanzar sus
objetivos.
Oportunidad: es aquello que ofrece la posibilidad de superar los objetivos.
Objetivos: Son instrumentos metodológicos que sirven como patrones para seguir la trayectoria
del rendimiento y el avance de una organización.
Meta: Fin que pretende alcanzar la organización; con frecuencia, las organizaciones tienen más
de una meta; las metas son elementos fundamentales de las organizaciones.
Toma de decisiones: es el proceso para identificar un curso de acción para resolver un problema
específico o aprovechar una oportunidad.
La información crítica se caracteriza por ser:
- De Calidad: es una información exacta, integra y consistente, basada en controles y
validaciones que prevén errores.
A > Exactitud > Calidad > Confianza en la Toma de decisiones
> Calidad de la información, implica > Costo
Exacta: Fiel, cabal.
Integra: Completa, entera.
Consistente: Con fundamento, coherencia, solidez, estabilidad.
- Oportuna: Que está disponible cuando conviene.
Para tener un control efectivo se deben aplicar las medidas correctivas antes de que la
desviación del plan o la norma sea demasiado grande. Por lo tanto, la información debe
estar al alcance de la persona indicada en el momento oportuno, para que se emprendan las
medidas adecuadas.
- Relevante: para las funciones y labores de los gerentes.
- De cantidad razonable.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 12
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
13
La Información Crítica da los siguientes beneficios:
















Agrega valor
Aumenta la eficiencia
Minimiza los costos
Aumenta la productividad
Reduce los tiempos de espera
Incrementa la competitividad
Permite la innovación continua
Adaptabilidad al entorno y al cambio
Mayor poder de negociación
Rapidez de respuesta
Proyecta una imagen de calidad
Valoración analítica de oportunidades
Búsqueda creativa de oportunidades
Elimina el riesgo y fortalece
Ayudan a centrar la atención sobre la contribución que pueden aportar los sistemas de
información (SI).
Permite hacer inversiones más beneficiosas
Glosario
Valor:
- Grado de utilidad de un bien.
- Lo que estoy dispuesto a pagar.
- Tiempo de trabajo invertido en un bien.
- Es la diferencia entre lo que se paga por un bien o servicio y lo que se gana por adquirir este bien o
servicio; puede ser positiva cuando se dice que el valor a superado las expectativas respecto de lo
esperado; o negativa, cuando se dice hay insatisfacción o desilusión por la compra del bien o servicio.
Eficacia: Es la obtención de los resultados deseados, y puede ser un reflejo de cantidades, calidad
percibida o ambos.
Eficiencia: Se logra cuando se obtiene un resultado deseado con el mínimo de insumos.
Competitividad: Capacidad o habilidad que le permite a una empresa de sacar o llevarle ventaja a otras;
y de que los clientes reconozcan las ventajas de ser clientes de la misma. Posición en el Mercado y
Productividad.
Productividad: Capacidad productiva del trabajo y del capital o producción factible de bienes y
servicios con respecto a los insumos exigidos para alcanzar la producción.
Producción = Producto/Insumo = Eficacia/Eficiencia = Hora/Hombre = Hora/Máquina
Calidad: Conjunto de cualidades o características que constituyen la esencia de un producto y respaldan
el grado de beneficio proporcionado al consumidor. Eficacia con que un producto cumple las
expectativas del comprador.
Riesgo: Probabilidad de que ocurra algún evento desfavorable. “Un azar”, un peligro, la exposición a
una pérdida o daño.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 13
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
14
Cuatro situaciones que suelen alertar a los gerentes de que existe un problema y es
necesaria la información crítica:
A) Una desviación de la experiencia pasada significa que se ha roto un patrón existente
de la actuación de la organización.
B) Una desviación del plan establecido significa que no se están alcanzando las
proyecciones o las expectativas de los gerentes.
C) Otras personas presentan problemas al gerente con frecuencia.
D) El desempeño de la competencia también puede producir situaciones que requieren
resolver problemas.
Todo diseño de sistema debe estar orientado a la información y a la manera en que
las personas la obtienen, la usan, la procesan y la comunican. Si no se toman las
consideraciones anteriores es posible que se provoquen los siguientes conflictos:
1.
Conflicto entre la información necesitada, deseada y recibida por los
directores. Nota: La información necesitada debe estar disponible sin
esfuerzo.
2.
Conflicto entre la información necesitada, existente y obtenida.
Para lograr lo anterior se requiere de un alto grado de lo que Peter Drucker llama
“responsabilidad por la información”. Cada uno, en su posición, debe tener muy claro estos
tres aspectos: Qué información se requiere para hacer el trabajo, de quién o de dónde se
depende para obtener esa información, y quién depende de esa información para hacer lo
suyo.
Solución de Problemas.
La solución de problemas se puede definir como el proceso de identificar la
diferencia entre un estado de cosas real y el deseado, y a continuación tomar acciones
para resolver dicha diferencia. Para aquellos problemas lo suficientemente importantes
para justificar el tiempo y el esfuerzo de un cuidadoso análisis, el proceso de resolución
de problemas involucra los siguientes pasos:
1. Identificar y definir el problema.
2. Determinar el conjunto de soluciones alternativas.
3. Determinar el criterio o criterios que se utilizaran para evaluar dichas alternativas.
4. Evaluar las alternativas.
5. Elegir una alternativa.
6. Ponerla en práctica, es decir, implementar la alternativa seleccionada (la
decisión).
7. Evaluar los resultados, y determinar si se ha llegado a una solución satisfactoria.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 14
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
15
Glosario
Alternativas: son las opciones que debe considerar en la decisión quien debe tomarla.
Tomador de Decisiones: es el individuo o grupo que tiene la responsabilidad de tomar la decisión (o
secuencia de decisiones) que se analizan.
Gerente y líder: Persona responsable de dirigir las actividades que ayudan a las organizaciones para
alcanzar sus metas.
Liderazgo: Proceso de dirigir e influir en las actividades laborales de los miembros de un grupo.
La Simulación
La simulación es la representación por imitación del funcionamiento de un sistema o
proceso por medio del funcionamiento de otro. Por ejemplo la simulación de un proceso
industrial a través del computador.
La Simulación es intentar duplicar las particularidades, apariencia y características de
un sistema real.
La simulación se refiere a un gran conjunto de métodos y aplicaciones que buscan
imitar el comportamiento de sistemas reales, generalmente en una computadora con un
software apropiado.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 15
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
16
La simulación significa imitar el desempeño de un proceso, fenómeno o sistema real
a través de un medio controlado, con el fin de estimar cual sería el desempeño real.
La simulación permite la representación o modelación de una o posibles situaciones
o fenómenos de la realidad, a partir de un análisis previo de las diferentes relaciones, partes
o componentes de un sistema o totalidad.
La idea que subyace a la simulación es imitar una situación practica de forma
matemática, a continuación estudiar sus propiedades y características de operación y,
finalmente obtener conclusiones y tomar decisiones de acción basadas en los resultados de
la simulación. De esta manera, el sistema práctico no se toca hasta que se han cuantificado
previamente las ventajas y desventajas de lo que podría ser una importante política de
decisión en el modelo de sistema.
La simulación se emplea en la dirección de operaciones para determinar programas
de producción y necesidades de materiales; para analizar sistemas de colas, niveles de
inventario y procedimientos de mantenimiento; para realizar la planificación de la
capacidad, de necesidades de recursos y la planificación de procesos.
Glosario
Proceso: Una colección de actividades que requiere de uno o más insumos y crea un
resultado que tiene un valor para el cliente. Método sistemático para manejar actividades.
Administración: Proceso de planificación, organización, dirección y control del trabajo de
los miembros de la organización y de usar los recursos disponibles de la organización para
alcanzar las metas establecidas.
Visión General de un Estudio de Simulación.











Entender el Sistema.
Ser claro en los Objetivos.
Formular la representación del modelo.
Traducir a un software de modelación.
Verificar que la representación en la computadora caracterice fielmente el modelo
conceptual.
Validar el modelo.
Diseñar experimentos.
Ejecutar experimentos.
Analizar los resultados.
Tener entendimiento
Documentar lo que se hace.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 16
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
17
Fases Principales en el Estudio de la Simulación:
1. Definir el Problema.
a. Objetivos del sistema que se estudia
b. Variables que afectan el logro de los objetivos
c. Recolección y procesamiento de datos
2. Construir el modelo de simulación.
a. Especificación de variables y parámetros
b. Especificación de las reglas de decisión
c. Especificación de las distribuciones de probabilidades
d. Especificación de los procedimientos de incremento de tiempo
3.
4.
5.
6.
7.
Especificar los valores de las variables y parámetros.
Ejecutar la simulación – modelo.
Evaluar los resultados
Validación
Proponer un nuevo experimento
Ventajas y Desventajas de la Simulación.
La Simulación es una herramienta que ha sido aceptada extensamente por los
administradores por varias razones:
1. Es relativamente sencilla y flexible.
2. Los avances recientes en software permiten que algunos modelos de simulación sean
muy fáciles de desarrollar.
3. Pueden utilizarse para analizar situaciones cotidianas grandes y complejas que no
pueden resolverse mediante modelos convencionales de análisis cuantitativo. La
simulación se utiliza con éxito para modelar sistemas urbanos, hospitales, sistemas
de educación, economías nacionales y estatales y hasta sistemas mundiales de
alimentación.
4. La simulación permite las preguntas del tipo que pasaría si… A los administradores
les gusta saber con anticipación cuáles opciones son atractivas. Con una
computadora, el administrador puede aprobar diversas decisiones de políticas en
cuestión de minutos.
5. Las simulaciones no interfieren con el sistema real. Gracias a la simulación, los
experimentos se llevan a cabo en el modelo, no dentro del sistema mismo.
6. La simulación permite el estudio del efecto interactivo de componentes individuales
o variables para determinar cuáles son importantes.
7. Es posible realizar una “comprensión de tiempo” mediante la simulación. Se puede
obtener el efecto de ordenar, publicar o aplicar otras políticas a lo largo de muchos
meses o años mediante una simulación por computadora en corto tiempo.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 17
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
18
8. La simulación permite incluir complicaciones prácticas que la mayoría de los
modelos de análisis cuantitativo no incluyen.
Las principales desventajas de las simulaciones son:
1. Los buenos modelos de simulación para manejar situaciones complejas pueden ser
muy caros. Frecuentemente, el desarrollo de un modelo es un proceso largo y
complicado.
2. La simulación no genera soluciones óptimas para los problemas, como lo hacen otras
técnicas de análisis cuantitativo como la cantidad económica de pedido, la
programación lineal o PERT. Es un enfoque de prueba y error que puede producir
soluciones distintas en corridas repetidas.
3. Los administradores deben generar todas las condiciones y restricciones para las
soluciones que quieran examinar. Por sí mismo, el modelo de simulación no produce
respuesta alguna.
4. Cada modelo de simulación es único. Sus soluciones e inferencias generalmente no
son transferibles a otros problemas.
La Simulación por computadora trata con modelos de sistemas. Un sistema es una
instalación o proceso real o planeado, como:
 Una planta de manufactura con máquinas, personas, métodos de transportes, bandas
transportadoras y espacio de almacenamiento.
 Un banco con diferentes tipos de clientes, servidores e instalaciones como ventanillas
de cajeros, cajeros automáticos (ATM, por sus siglas en inglés), mesas de préstamos
y cajas de seguridad para depósitos.
 Una red de distribución de plantas, almacenes y enlaces de transporte.
 Las instalaciones de urgencias en un hospital, incluido el personal, las habitaciones,
el equipo, los suministros y el transporte de pacientes.
 Una red de computadoras con servidores, clientes, unidades de discos, unidad de
cintas magnéticas, impresoras, redes y operadores.
 Un sistema de autopistas de segmentos de carreteras, cruces, controles y tráfico.
 Una oficina central de reclamaciones de seguros donde las personas y las máquinas,
reciben, revisan, copian, archivan y envían por correo una gran cantidad de papeles.
 Un sistema de justicia de tribunales, jueces, personal de apoyo, funcionarios de
libertad probatoria, agentes de libertad condicional, abogados, demandantes,
delincuentes declarados culpables y horarios.
 Una planta de productos químicos con tanques de almacenamiento, tuberías,
reactores y carros tanques ferroviarios para enviar el producto terminado.
 Un supermercado con control de inventarios, cajas y servicio al cliente.
 Un restaurante de comida rápida con diferentes tipos de personal, clientes y equipos.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 18
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
19
Modelos
Los modelos o representaciones idealizadas, son una parte integral de la vida diaria.
Entre los ejemplos más comunes pueden citarse los aeromodelos, retratos, globos
terráqueos. De igual manera los modelos juegan un papel muy importante en la ciencia y
en los negocios, como lo hacen patente los modelos del átomo y de estructuras genéticas,
las ecuaciones matemáticas que describen las leyes físicas del movimiento o las reacciones
químicas, gráficas, los organigramas y los sistemas contables en la industria. Estos
modelos son invaluables, ya que extraen la esencia de la materia de estudio, muestran sus
interrelaciones y facilitan el análisis.
Un modelo es una abstracción cuidadosamente seleccionada de la realidad.
Existen varias clasificaciones de los modelos, pero los tipos más comunes son físicos
o icónicos (por ejemplo, los ingenieros construyen modelos de aviones, el camión de
juguete de un niño y los urbanistas modelos de ciudades), análogos, estos modelos
representan un conjunto de relaciones a través de un medio diferente, pero análogo (por
ejemplo, el mapa de carreteras del terreno correspondiente, el velocímetro de un vehículo
representa la velocidad mediante el desplazamiento análogo de una aguja sobre una escala
graduada y una escala donde la desviación de un resorte representa el peso), esquemáticos
(por ejemplo, diagramas de circuitos eléctricos, diagrama de la organización) y simbólicos,
en los cuales todos los conceptos están representados por variables cuantitativamente
definidas y todas las relaciones tienen una representación matemática (por ejemplo, código
de computación o modelos matemáticos que representan un cajero humano o automático).
En la simulación por computador nos interesan sobre todos los modelos simbólicos que
podemos usar para representar un sistema real en un computador.
Modelo físico: Es una réplica física o un modelo a escala del sistema, a veces
llamado modelo icónico.
Modelo lógico (o matemático): Es sólo un conjunto de aproximaciones y
suposiciones estructurales y cuantitativas, acerca de la forma en que funciona o funcionará
el sistema.
Los modelos no son más que representaciones de la realidad en sistemas
matemáticos-estadísticos, que una vez formulados y constituidos predicen y/o describen el
comportamiento y/o tendencia de sistemas administrativos, operacionales y mercados con
sólo ajustar sus parámetros.
Los modelos matemáticos son representaciones idealizadas, pero están expresadas en
términos de símbolos y expresiones matemáticas. El modelo matemático de un sistema
industrial es el sistema de ecuaciones y expresiones matemáticas relacionadas que describen
la esencia del problema.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 19
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
20
La modelación es la representación o abstracción de una situación u objeto real,
tomando en cuenta las relaciones (directas e indirectas) y las interrelaciones referentes a la
acción y reacción, es decir, causa y efecto.
Abstracción: que se concibe con exclusión de lo material.
Un modelo siempre es una simplificación de la realidad.
A un modelo se debe incorporar los suficientes detalles para que:
- El resultado satisfaga sus necesidades,
- Sea consistente con los datos que tiene usted a su alcance, y
- Pueda ser analizado en el tiempo con el que usted cuenta para ese
propósito.
El número de formas en que los modelos se utilizan es tan abundante como el de las
personas que los construyen. Se pueden usar para vender una idea o un diseño, para pedir
las cantidades optimas de materiales o para organizar mejor una gigantesca corporación
multinacional. A pesar de estas diferencias, algunas generalidades son aplicables a todos
los modelos creados como apoyo para la toma de decisiones. Todos estos modelos ofrecen
un marco de referencia para el análisis lógico y congruente, y se utilizan por siete razones
cuando menos:
1. Los modelos lo obligan a usted a definir explícitamente sus objetivos.
2. Los modelos lo obligan a identificar y registrar los tipos de decisiones que
influyen en dichos objetivos.
3. Los modelos lo obligan a identificar y registrar las interacciones entre todas esas
decisiones y sus respectivas ventajas y desventajas.
4. Los modelos lo obligan a pensar cuidadosamente en las variables que va a incluir,
y a definirlas en términos que sean cuantificables.
5. Los modelos obligan a considerar qué datos son pertinentes para la cuantificación
de dichas variables y a determinar las interacciones entre ellas.
6. pertinentes en los valores que esas variables cuantificadas pueden adoptar.
7. Los modelos permiten que usted comunique sus ideas y conocimientos, lo cual
facilita el trabajo de equipo.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 20
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
21
Algunos Ejemplos de Modelos
Modelos de Inventario.
Comprende aquellos problemas relacionados con el almacenamiento de un recurso en
espera de satisfacer una demanda futura. El problema de inventario consiste básicamente
en determinar cuánto y cuándo pedir.
`
Modelos de Línea de Espera.
Están relacionados con aquellos problemas en donde un grupo de servidores atienden a un
conjunto de clientes. Si hay una sincronización perfecta entre la demanda de los clientes y
la capacidad de los servidores, entonces no hay prácticamente ningún problema por
resolver. Sin embargo, si la demanda de los servicios excede la oferta de los mismos,
entonces los clientes tienen que esperar para ser atendidos; por el contrario, si la capacidad
de los servidores es mayor que los requerimientos de los clientes, entonces los primeros
tienen que permanecer ociosos.
Modelos de reemplazo.
El reemplazo de un activo depende de su naturaleza. Se puede tratar de un equipo que se
deteriora a través del tiempo o bien de un equipo que mantiene un nivel más o menos
constante y cuando falla, lo hace total e impredeciblemente.
Modelos de Mantenimiento.
Un modelo de mantenimiento involucra tanto el enfoque de inventario como el de
reemplazo. Se considera en cierto grado un modelo de inventario porque tanto las
refacciones como los aditamentos en general están en espera de ser utilizados. Es también
un modelo de reemplazo porque el mantenimiento involucra el cambio de partes una vez
que fallan.
Modelos de Asignación de Recursos.
El problema de asignación de recursos surge cuando se desarrollan actividades alternativas
e interdependientes que compiten por recursos limitados en un periodo determinado.
Modelos de competencia.
Este tipo de modelo se utiliza para analizar aquellas situaciones donde dos o más oponentes
racionales tratan de seleccionar estrategias que optimicen un cierto objetivo.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 21
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
22
Modelos Determinísticos y Probabilísticos
Los modelos determinísticos son aquellos donde se supone que todos los datos
pertinentes se conocen con certeza. Es decir, en ellos se supone que cuando el modelo sea
analizado se tendrá disponible toda la información necesaria para tomar las decisiones
correspondientes. Un ejemplo de modelo determinístico sería la asignación de la
tripulación de una aerolínea para cada uno de sus vuelos diarios del mes próximo,
conociendo los horarios de vuelos, el personal disponible, las restricciones legales sobre las
horas de trabajo, las reglas del sindicato y así sucesivamente.
Los modelos probabilísticos o estocásticos, algunos elementos no se conocen con
certeza. Es decir, en los modelos probabilísticos se presupone que algunas variables
importantes, llamadas variables aleatorias, no tendrán valores conocidos antes que se tomen
las decisiones correspondientes, y que ese desconocimiento debe ser incorporado al modelo.
Un ejemplo de modelo probabilístico podría ser la decisión de establecer una compañía de
Internet mediante la venta pública de acciones de capital, antes de saber si el mercado para
nuestra oferta será favorable (mercado en alza) y rendirá un alto precio de las acciones, o
desfavorable (mercado sostenido) y el precio de éstas será bajo.
Etapas a considerar en la construcción de un modelo.
1. Formulación del modelo y construcción del mismo, es decir, el proceso de tomar
situaciones administrativas y de mercadeo del mundo real, abstraerlas en una
formulación y después desarrollar los términos matemáticos de un modelo simbólico.
2. Análisis del modelo para generar resultados.
3. Interpretación y validación de los resultados del modelo, asegurándose de que la
información disponible obtenida del análisis ha sido interpretada en el contexto de la
situación original en el mundo real; y
4. Implementación, es decir, aplicar a la toma de decisiones en el mundo real, el
conocimiento validado que se obtuvo con interpretación de los resultados del
modelo.
Las ventajas de un modelo simple son:
1. Su economía de tiempo y esfuerzo mental.
2. La persona que toma la decisión puede entenderlo con rapidez.
3. Si es necesario, el modelo puede modificarse de manera rápida y efectiva.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 22
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
23
 Modelos Matemáticos.
La aplicación de las matemáticas se basa en la capacidad de encontrar una
representación matemática adecuada de un fenómeno del mundo real.
A esta
representación se le da a veces el nombre de modelo matemático. Un modelo es adecuado
si logra incorporar los atributos o cualidades del fenómeno que son importantes para el
diseñador. Del mismo modo que un avión a escala muestra semejanza física con un
aeroplano verdadero, también un modelo matemático de la función de demanda representa
las interrelaciones significativas entre el precio de un producto y la cantidad de su demanda.
Ventajas del Modelo Matemático.
1.
2.
3.
4.
Los modelos pueden representar la realidad de una forma precisa.
Los modelos pueden ayudar a quien toma las decisiones a formular problemas.
Los modelos pueden proporcionar perspectivas e información.
Los modelos pueden ahorrar tiempo y dinero en la toma de decisiones y en la
resolución de problemas.
5. Un modelo puede ser la única vía eficaz para resolver oportunamente algunos
problemas más grandes o complejos.
6. Los modelos pueden utilizarse para comunicar problemas y soluciones a los demás.
Glosario
Algoritmo es un conjunto de procedimientos iterativos (que repite una serie de pasos) de
solución sistemática que se utilizan para resolver cierto tipo de problemas que incluyen
cientos o miles de variables. Casi siempre se ejecutan en una computadora debido al gran
número de cálculos que deben hacerse.
Es un conjunto de reglas bien definidas para resolver un problema en un número finito de
operaciones.
Es la descripción del conjunto de acciones que deberán ser realizadas por el computador.
Diagrama de Flujo: Es la representación grafica de la solución de un problema.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 23
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
24
Toma de Decisiones
Toma de decisiones es el proceso para identificar un curso de acción para resolver un
problema específico o aprovechar una oportunidad.
Una decisión es la conclusión de un proceso mediante el cual hemos podido
identificar el “mejor” curso de acción o alternativa a ser empleada en una situación
particular. Por otro lado, la toma de decisiones requiere que tengamos o dispongamos de un
conjunto de metas u objetivos, un sistema de prioridades, una lista de posibles alternativas o
cursos de acciones y un conjunto de criterios que nos permitan tomar una decisión.
Uno de estos pasos es definir el algoritmo de decisión o el proceso de decisión. Se
pueden utilizar varios métodos de documentación. Como ejemplos están los diagramas de
decisión, los árboles de decisión y la tabla de decisión.
El proceso de toma de decisiones concluye cuando la decisión analizada y evaluada
es tomada y se ejecuta la acción correspondiente.
La toma de decisión depende de un sinnúmero de factores, entre los que se destacan
la experiencia del ejecutivo, sus conocimientos, habilidades, actitudes, valores y, en
general, su preparación educativa formal.
De acuerdo con los psicólogos, existe un deseo universal de evitar tomar decisiones
siempre que esto sea posible. Además, hay evidencias suficientes de que aquellos que están
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 24
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
25
dispuestos a realizar esta actividad y a realizarla eficientemente se encuentran entre las
personas mejor pagadas de la sociedad.
El proceso de Toma de decisiones consta de cuatro pasos de actividad:
1. Se realiza un diagnóstico de la situación actual de la empresa, incluyendo algún
periodo histórico relevante, para detectar posibles problemas o necesidades de tomad
de decisiones.
2. Implica la búsqueda y generación de opciones de solución para la problemática de
decisión identificada en el primer paso.
3. Se efectúa un análisis y una evaluación de tales opciones, para establecer sus posibles
ventajas (fortalezas) y desventajas (debilidades) si éstas fueran seleccionadas e
implantadas.
4. Involucra la selección de las opciones de solución y, finalmente, la toma de la
decisión.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 25
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
26
Las decisiones de negocios que un ejecutivo toma pueden ser clasificadas en
operativas, estratégicas y administrativas.
Decisiones Operativas: Son las que los administradores requieren tomar en relación al
trabajo diario, es decir, la toma de decisiones operativas ocupa la mayor parte del tiempo
del ejecutivo que la empresa paga. El establecimiento de precios, el nivel de utilización de
la capacidad instalada, y las cantidades de insumos a utilizar (tales como materias primas,
capital, mano de obra, etc.), representan ejemplos de decisiones operativas típicas. Con
frecuencia, se denomina al proceso que desemboca en estas decisiones como planeación
operativa o de operaciones.
Decisiones Estratégicas: Son aquellas que se hacen necesarias cuando llega el momento de
modificar el tamaño de la empresa, en repuesta a las demandas del ambiente; esto es, tratan
con el crecimiento o expansión de las operaciones de una empresa, vía incrementos en su
capacidad de planta o de servicio. Por supuesto, no se descarta la posibilidad de que una
empresa se vea ante la difícil situación de reducir el tamaño, e inclusive cerrar o parar
temporalmente sus operaciones. Por ello, las decisiones estratégicas repercuten en la
supervivencia del negocio a largo plazo.
Decisiones Administrativas: Se emplean en las empresas para implantar los resultados de
la planeación estratégica como de la operativa, y se refieren al establecimiento de las
formas de organización, incluyendo aspectos de diferenciación de la estructura
organizacional y de formas de integración (coordinación), con la que buscan asegurar el
logro de los objetivos.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 26
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
27
Tipos de Ambientes del Proceso de Toma de Decisiones.
Los tipos de decisiones que la gente toma dependen de cuánto sepan o cuánta información
tengan acerca de la situación. Existen tres tipos de ambiente en el proceso de toma de
decisiones:
- Toma de Decisiones bajo certidumbre.
- Toma de Decisiones bajo incertidumbre.
- Toma de Decisiones bajo riesgo.
Tipo 1: Toma de Decisiones bajo certidumbre.
En el ambiente del proceso de toma de decisiones bajo certidumbre, quienes las toman
conocen con certeza la consecuencia de cada una de las alternativas que implica la selección
de la decisión. Naturalmente, seleccionarán la alternativa que maximizará su bienestar o
que dará el mejor resultado.
Tipo 2: Toma de Decisiones bajo incertidumbre.
En el ambiente del proceso de toma de decisiones bajo incertidumbre hay varios resultados
posibles para cada alternativa y quien toma las decisiones no conoce las probabilidades de
los diferentes resultados.
Tipo 3: Toma de Decisiones bajo riesgo.
En el ambiente del proceso de toma de decisiones bajo riesgo, hay varios resultados
posibles para cada alternativa, y quien toma las decisiones conoce la probabilidad de que
cada uno de estos resultados ocurra. En el proceso de toma de decisiones cuanto existe
riesgo, por lo general quien toma la decisión intenta maximizar su bienestar esperado.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 27
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
28
El Dr. Carlos Dreyfus señala:
“En todas las facetas de nuestras vidas, a menudo nos vemos ante la necesidad de
tomar decisiones. En el mundo “mágico” del Marketing o en el campo de la
Administración y las Ventas, la toma de decisiones constituye un factor de relevancia, del
que pende en ocasiones la supervivencia de un producto o de una empresa.
La batalla por los mercados aumenta. Las ventas, que en muchos de ellos han sido
constantes, han declinado. Los competidores han crecido en número y en desesperación.
Los productos y las marcas muestran ciclos de vida más cortos. Estos acontecimientos
subrayan la necesidad de tomar decisiones más sofisticadas.
En la República Dominicana por ejemplo, esta batalla por los mercados se ha
incrementado a raíz de las presiones internacionales a la apertura de nuestros mercados.
Los productores locales, acostumbrados a un ambiente paternalista por parte del Estado,
tienen obligatoriamente que modernizar no sólo sus plantas de producción y sus estructuras
organizacionales, sino también sus técnicas de Marketing y la calidad de sus productos,
para así poder lograr un espacio en el mercado compartido lo suficientemente rentable
como para obtener los beneficios esperados y evitar un colapso definitivo.
Por su misma naturaleza, la toma de decisiones consiste en elegir un curso de acción
entre varios que podrían tomarse. Después que la decisión se ha tomado y se ha adoptado
un curso de acción, el tiempo podría mostrar que se pudo hacer una mejor selección entre
las alternativas disponibles. Siempre existe la probabilidad de que una decisión bien
pensada, bien sopesada, puede producir resultados desafortunados, y en algunos casos
desastrosos. A pesar de que no podemos estar totalmente seguros de que los resultados de
una decisión tomada fue bien pensada, y analizada con el mejor método disponible al
momento.
Las condiciones comprendidas entre la certeza absoluta y la incertidumbre total dan
lugar a las decisiones con riesgos. En estos casos existe una probabilidad conocida de
ocurrencia de los posibles resultados. Siempre que sea posible, la o las personas encargadas
de tomar la decisión deben recabar toda la información disponible, analizarla con los
métodos y técnicas vigentes y utilizando su experiencia en estos problemas, juicio humano,
tomar uno de los posibles cursos de acción. Este curso de acción debe ser el mejor,
teniendo en cuenta los posibles resultados y el juicio personal de quien toma la decisión.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 28
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
29
 Modelos Lineales.
Cuando el comportamiento de un fenómeno implica una tendencia a contraerse o
expandirse de forma más o menos constante el instrumento por excelencia para
representarlo matemáticamente es la línea recta, ya que el ritmo de cambio de ésta es la
pendiente, que tiene un valor único en cualquier punto contenido de ella, además de que si
tiene signo negativo implica que la relación de las variables es inversa, por lo contrario será
directa si el signo es positivo. Otro aspecto que caracteriza los modelos lineales es: que
tanto la variable explicada como la explicatoria deben ser lineales, o sea estar elevadas a la
unidad.
Una función lineal es una función que cambia a una razón constante con respecto a su
variable independiente.
Una función lineal tiene la forma general de:
Y = f(x) = a1x + K
ax + by = c
La Línea Recta analíticamente, es una ecuación lineal o de primer grado en dos
variables. Una recta queda determinada completamente si se conocen dos condiciones, por
ejemplo, dos de sus puntos, un punto y su dirección (pendiente).
Una recta es la distancia más corta entre dos puntos.
Postulado: Dos puntos determinan una recta, es decir, por dos puntos pasa siempre una
recta y sólo una.
Postulados: Son verdades que se admiten sin demostración, unas veces por estar de
acuerdo con nuestra experiencia e intuición y otras porque es imposible su demostración.
La pendiente puede ser:
Positiva => Al aumentar x, también aumenta y.
Negativa => Al aumentar x, disminuye y.
Cero => Al aumentar o disminuir x, “y” permanece constante (y = k).
Indefinida => x es constante, sin importar el valor de y (x = k).
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 29
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
30
Caso I.
En el mundo de los negocios, los administradores, los propietarios, los encargados de
finanzas y producción de cualquier empresa se interesan en conocer el volumen de ventas
necesario para cubrir sus costos. Así ellos podrán saber la magnitud del problema que
enfrentarán al crear una industria, al lanzar un producto nuevo, al contemplar la adquisición
de una máquina nueva o al tener que tomar decisiones que incluyan costos y beneficios.
La gran mayoría de los resultados obtenidos después de tomada una decisión se miden por
los costos o por los beneficios generados por ella. Por tal motivo, los que toman decisiones
se interesan por conocer los efectos que tales decisiones tienen para la empresa.
El costo total de un fabricante está formado por unos gastos generales de US$700 más
US$50 por unidad producida. Construya un modelo matemático que refleje esta situación y
dibuje su gráfico.
Y = f(x) = a1x + K
CT = CT(q) = CF + CV
CT = CF + (Cu*q)
Cme = CT/q
=> Coste medio por unidad
CFme = CF/q
=> Coste Fijo medio por unidad
CVme = CV/q
=> Coste Variable medio por unidad
Cme = CF/q + CV/q
CF=US$700
CV=Cu * q = $50q
CT = 700 + 50 * q
Cantidad
Costo Fijo
Costo Unitario
Costo Variado
Costo Total
Q
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
CF
700
700
700
700
700
700
700
700
700
700
Cu
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
CV
500.00
1,000.00
1,500.00
2,000.00
2,500.00
3,000.00
3,500.00
4,000.00
4,500.00
5,000.00
CT
1,200.00
1,700.00
2,200.00
2,700.00
3,200.00
3,700.00
4,200.00
4,700.00
5,200.00
5,700.00
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 30
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
31
Costo Total Fijo y Variable
6,000.00
Costos
5,000.00
4,000.00
Costo Total
Costo Fijo
3,000.00
2,000.00
1,000.00
0.00
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Unidades Producidas
Glosario
Costo Total (CT): representa el gasto monetario total mínimo necesario para obtener cada
nivel de producción q. CT aumenta cuando aumenta q.
Costo Fijo (CF): representa el gasto monetario total en que se incurre aunque no se
produzca nada; no resulta afectado por las variaciones de la cantidad de producción. Los
costos fijos son constantes a corto plazo y una constante en el análisis de l punto de
equilibrio. Ejemplo de estos costos son la depreciación, la renta y el salario de los
ejecutivos.
Costo Variable (CV): representa aquellos gastos que varían con el nivel de producción –
como las materias primas, mano de obra directa, comisiones de ventas, y el combustible – y
comprende todos los costes que no son fijos.
El costo variable por unidad (cu) se considera constante en el análisis; en cambio el costo
variable es una función del número de unidades producidas.
Caso II.
El análisis de Punto de Equilibrio es una de las herramientas que sirven para guiar al tener que elegir
la mejor alternativa o conjunto de alternativas en una situación dada.
El Punto de Equilibrio se podría identificar como aquel volumen de producción y ventas donde los
ingresos generados por las ventas cubren todos los costos, o sea, donde los ingresos totales son
iguales a los costos totales.
Un fabricante puede vender un cierto artículo por US$110 c/u. Si el costo total está
formado por unos gastos generales de US$7,500 más US$60 por costo de producción
unitaria.
a) ¿Cuántas unidades debe vender el fabricante para llegar al punto de beneficio nulo?
b) ¿Cuál es el beneficio o pérdida del fabricante si vende 100 unidades?
c) ¿Cuántas unidades debe vender el fabricante para obtener un beneficio de US$1,250?
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 31
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
32
I = Pu * q
 Ingreso
CT = CF + (Cu*q)
 Costo Total
B = I – CT
 Beneficio
I – CT = 0
 Beneficio Nulo
Pu – Cu
 Contribución Unitaria o Marginal
La Contribución marginal nos indica el ingreso por unidad que puede dedicarse a cubrir los
costos fijos. Es decir, la diferencia entre precio y costo por unidad es la contribución que
del ingreso se puede a dedicar a cubrir los costos fijos.
R.M.C. = Pu – Cu
Pu
I = CT
Pu * q = CF + (Cu * q)
 Razón Marginal de Contribución
(Porcentaje)
 Beneficio Nulo
(Pu * q) - (Cu * q) = CF  Costo Fijo
q (Pu – Cu) = CF
En función de unidades el punto de equilibrio viene dado:
P.E.(q) = CF/(Pu – Cu)
Nivel de ventas mínimo que se necesita para cubrir los costos fijos totales viene dado por el
punto de equilibrio en término de dinero:
P.E.($) = CF/R.M.C.
 P.E.($) = P.E.(q) * pu
Punto de Equilibrio de capacidad de producción expresado en (%)
P.E.(%) = [P.E.(q) x 100]/Capacidad de producción en unidades
P.E. (%) = [CF x 100] / [(Pu – Cu) x capacidad en unidades]
B = I – CT = Pu * q – (CF + Cu * q)
B = (Pu *q) [(Pu – Cu)/Pu] – CF
B= I * RMC – CF
RMC = [(Pu – Cu) /Pu] = (Pu/Pu) – (Cu/Pu)
RMC = 1 - (Cu/Pu)
RMC = 1 - (Costos Variables/Valor de Ventas)
Ventas para un nivel de beneficio = (CF + B)/RMC
B = RMC * Ventas - CF
% de contribución de cada producto será igual a:
[(Pu – Cu)/Pu] * (% participación en ventas)
RMC * (% participación en ventas)
P.E.($) = CF/ del % de contribución de cada producto
En este caso la contribución está expresada en porcentaje, por lo tanto, podemos usar la
fórmula del punto de equilibrio con la contribución en %.
[(Pu – Cu)/Pu] * (% participación en ventas)
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 32
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
33
Caso II.
Un fabricante puede vender un cierto artículo por US$110 c/u. Si el costo total está
formado por unos gastos generales de US$7,500 más US$60 por costo de producción
unitaria.
d) ¿Cuántas unidades debe vender el fabricante para llegar al punto de beneficio nulo?
e) ¿Cuál es el beneficio o pérdida del fabricante si vende 100 unidades?
f) ¿Cuántas unidades debe vender el fabricante para obtener un beneficio de US$1,250?
I(q) = 110q
C(q) = 7,500 + 60q
Glosario
Precio: es el valor del bien expresado en dinero. Es la cantidad de dinero o de otros
objetos con utilidad necesaria para satisfacer una necesidad que se requiere para adquirir un
producto.
Valor: Es lo que los compradores están dispuestos a pagar.
Valor > Precio > Costo
Los precios representan términos en los que las personas y las empresas
intercambian voluntariamente las diferentes mercancías. Los precios trasmiten señales a los
productores y a los consumidores. Estos coordinan las decisiones de los productores y de
los consumidores en el mercado. Su subida tiende a reducir las compras de los
consumidores y fomenta la producción. Su bajada fomenta el consumo y reduce los
incentivos para producir. Los precios constituyen el engranaje del mecanismo del mercado.
Beneficios: Son los ingresos netos o la diferencia entre las ventas totales y los costes
totales.
a) ¿Cuántas unidades debe vender el fabricante para llegar al punto de beneficio nulo?
I – CT = 0
 Beneficio Nulo
110q = 7,500 + 60q
50q = 7,500
q = 150 unidades
b) ¿Cuál es el beneficio o pérdida del fabricante si vende 100 unidades?
B = I – CT
 Beneficio
B(q) = 110q – (7,500 + 60q)
= 110q – 7,500 – 60q
= 50q – 7,500
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 33
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
34
B(100) = 50(100) – 7,500
B(100) = 5,000 – 7,500
B(100) = - 2500
El signo negativo significa que la venta lo que arrojó fue pérdida.
c) ¿Cuántas unidades debe vender el fabricante para obtener un beneficio de US$1,250?
 Beneficio
B = I – CT
B(q) = 110q – (7,500 + 60q)
= 110q – 7,500 – 60q
= 50q – 7500
1,250 = 50q – 7500
1,250 + 7,500 = 50q
50q = 8,750
q = 175
Cantidad
Costo Fijo
Costo Unitario
Costo Variado
Costo Total
Precio Unitario
Ingreso
Beneficio
Q
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
CF
7,500
7,500
7,500
7,500
7,500
7,500
7,500
7,500
7,500
7,500
7,500
7,500
7,500
7,500
7,500
7,500
7,500
7,500
7,500
7,500
Cu
60
60
60
60
60
60
60
60
60
60
60
60
60
60
60
60
60
60
60
60
CV
600
1,200
1,800
2,400
3,000
3,600
4,200
4,800
5,400
6,000
6,600
7,200
7,800
8,400
9,000
9,600
10,200
10,800
11,400
12,000
CT
8,100
8,700
9,300
9,900
10,500
11,100
11,700
12,300
12,900
13,500
14,100
14,700
15,300
15,900
16,500
17,100
17,700
18,300
18,900
19,500
Pu
110
110
110
110
110
110
110
110
110
110
110
110
110
110
110
110
110
110
110
110
I
1,100
2,200
3,300
4,400
5,500
6,600
7,700
8,800
9,900
11,000
12,100
13,200
14,300
15,400
16,500
17,600
18,700
19,800
20,900
22,000
B
-7,000
-6,500
-6,000
-5,500
-5,000
-4,500
-4,000
-3,500
-3,000
-2,500
-2,000
-1,500
-1,000
-500
0
500
1,000
1,500
2,000
2,500
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 34
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
35
25,000
20,000
Costo Total
15,000
Ingreso Total
10,000
Costo Fijo
5,000
19
0
17
0
15
0
13
0
11
0
90
70
50
30
10
0
Unidades
Investigar cuando se da la condición de punto de cierre y punto de nivelación.
Caso III.
Cuando el precio de un artículo era US$50 se demandaban 300 unidades, pero una
disminución de un 20% en el precio produjo un aumento en la demanda de un 25%.
a) Formular la Ley de la Demanda.
b) ¿Cuál sería la mayor cantidad a demandar?
c) ¿Cuál sería el mayor precio a pagar por el artículo?
Glosario
DEMANDA  MERCADO DE PRODUCTO  OFERTA
DEMANDA.
Tabla de demanda o curva de demanda: es relación que existe entre el precio del mercado de un bien y la cantidad demanda del
mismo. Manteniéndose todo lo demás constante.
Ley de la Demanda Decreciente: Cuando sube el precio de un bien (y se mantiene todo lo demás constante), los compradores
tienden a comprar menos. Cuando baja y todo lo demás se mantiene constante, la cantidad demanda aumenta.
Efecto Sustitución: Cuando sube el precio del bien, lo sustituimos por otro semejante.
Efecto Renta: Cuando sube el precio, somos algo más pobres que antes.
Elementos que afectan la demanda:





La renta media o Ingresos medios – Cuando aumenta la renta, los consumidores compran más automóviles.
La población – Cuando aumenta la población, los consumidores compran más automóviles.
Los precios de los bienes afines – La reducción de los precios de la gasolina eleva la demanda de automóviles.
Los gustos o preferencias – Tener un automóvil nuevo se convierte en un símbolo de estatus.
Elementos especiales – Entre los elementos especiales se encuentran la existencia de ferrocarriles subterráneos, la
calidad de la red viaria y ferroviaria, las expectativas sobre las subidas de los precios, etc.
MERCADO.
Es un mecanismo por medio del cual los compradores y los vendedores de un bien o servicio determinan conjuntamente su precio
y su cantidad.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 35
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
36
OFERTA.
Tabla de Oferta o Curva de Oferta de un bien: es la relación entre el precio de mercado y la cantidad que los productores están
dispuestos a producir y vender, manteniéndose todo lo demás constante.
La oferta cambia cuando varía cualquier elemento, salvo el precio de la mercancía. Desde el punto de vista de la oferta, decimos
que la oferta aumenta (o disminuye) la cantidad ofrecida a cada uno de los precios de mercado.
Elementos que determinan la curva de la oferta:





La Tecnología – La producción informatizada reduce el coste de producción y eleva la oferta.
Los precios de los factores – La reducción de los salarios pagados a los trabajadores del automóvil reduce los costes de
producción y eleva la oferta.
Los precios de los bienes afines – Si suben los precios de los camiones, disminuye la oferta de los automóviles.
La política del Gobierno – La eliminación de las cuotas y los aranceles sobre los automóviles importados eleva la oferta
de automóviles.
Elementos especiales - Si el gobierno suaviza los criterios sobre el equipo de control de la contaminación, puede
aumentar la oferta de automóviles.
Caso III.
Cuando el precio de un artículo era US$50 se demandaban 300 unidades, pero una
disminución de un 20% en el precio produjo un aumento en la demanda de un 25%.
a) Formular la Ley de la Demanda.
b) ¿Cuál sería la mayor cantidad a demandar?
c) ¿Cuál sería el mayor precio a pagar por el artículo?
Y
 X
Pu=50  D=300 unidades
20% menos del Pu=50-(0.2*50) = 40
25% más de D=300+(0.25*300) = 375
Pu=40  D=375
Precio
50
40
Demanda
300
375
Precio
Curva de la Demanda de Pendiente
Negativa
60.00
50.00
40.00
30.00
20.00
10.00
0.00
Demanda
300
375
Unidades Demandadas
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 36
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
37
Pendiente de una recta: Es la tangente del ángulo de inclinación. m = tg , siendo  el
ángulo de inclinación y m la pendiente.
La pendiente de la recta que pasa por dos puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2)
El eje de las X = representa la abscisa en los ejes de coordenadas.
El eje de las Y = representa la ordenada en los ejes de coordenadas.
m = tg  = y2 – y1 = 50 - 40 = -10/75
x2 – x1 300 - 375
m = -2/15
Caso III.
Cuando el precio de un artículo era US$50 se demandaban 300 unidades, pero una
disminución de un 20% en el precio produjo un aumento en la demanda de un 25%.
a) Formular la Ley de la Demanda.
b) ¿Cuál sería la mayor cantidad a demandar?
c) ¿Cuál sería el mayor precio a pagar por el artículo?
a) Formular la Ley de la Demanda – Modelo de la Demanda.
m = tg  = y2 – y1 = y = Cambio en y
x2 – x1
x Cambio en x
m (x – x1) = (y – y1)
-2/15 (x - 300) = (y – 50)
-2 (x - 300) = (y – 50) 15
-2x + 600 = 15y – 750
-2x – 15y + 600 + 750 = 0
ax + by + C = 0
2x + 15y – 1,350 = 0
b) ¿Cuál sería la mayor cantidad a demandar?
Se supone que la mayor cantidad demanda se producirá cuando el precio (y) tienda a
cero.
2x + 15y – 1,350 = 0
2x + 15(0) – 1,350 = 0
2x = 1,350
x = 1,350/2 = 675 unidades
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 37
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
38
c) ¿Cuál sería el mayor precio a pagar por el artículo?
El mayor precio será el que al ostentarlo el artículo resulte inalcanzable a los
consumidores, por consiguiente la demanda tienda a cero.
2x + 15y – 1,350 = 0
2(0) + 15y – 1,350 = 0
15y = 1,350
y = 1,350/15 = $90
Caso IV.
Cuando el precio de un artículo es US$100, no hay artículo disponible en el mercado, pero
por cada US$10 de aumento se dispone de 20 artículos.
a) Formule el modelo de la oferta.
b) ¿Cuál sería la menor oferta?
c) ¿Cuál sería la oferta si el precio fuera US$180?
a) Modelo de la Demanda.
El ritmo de cambio es:
m = tg  = y2 – y1 = y = Cambio en y
x2 – x1
x Cambio en x
m = 100 – 110 = -10/-20
0 – 20
m=½
m (x – x1) = (y – y1)
½ (x-0) = (y - 100)
x = 2 (y - 100)
x = 2y – 200
x – 2y + 200 = 0
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 38
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
39
b) ¿Cuál sería menor la oferta?
x – 2y + 200 = 0
La menor oferta se dará en el mercado cuando el precio tienda a 0.
x – 2(0) + 200 = 0
x + 200 = 0
x = -200
Una oferta negativa implica que los bienes no se pueden obtener en el mercado, sea
porque no se producen o porque se retienen hasta que se ofrezca un precio satisfactorio.
c) ¿Cuál sería la oferta si el precio fuera US$180?
x – 2y + 200 = 0
x – 2 (180) + 200 = 0
x – 360 + 200 = 0
x – 160 = 0
x = 160
Se ofertarán a ese precio 160 artículos.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 39
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
40
Equilibrio de la Oferta y la Demanda.
El mercado se encuentra en equilibrio cuando el precio y la cantidad equilibran las fuerzas
de la oferta y la demanda. En ese punto, la cantidad que desean adquirir los compradores es
exactamente igual que la que desean vender los vendedores. La razón por la que se llama
equilibrio se halla en que cuando la oferta y la demanda están en equilibrio, no hay razón
alguna para que el precio suba o baje, siempre y cuando todo lo demás permanezca
constante.
El precio y la cantidad de equilibrio se encuentran en el nivel en el que la cantidad
ofrecida voluntariamente es igual a la demanda voluntariamente. En un mercado
competitivo, ese equilibrio se halla en la intersección de las curvas de oferta y demanda. Al
precio de equilibrio no hay ni escasez ni excedentes.
COMBINACION DE LA DEMANDA Y DE LA OFERTA
Precios
Posibles
(dólares por
caja)
5
4
3
2
1
Cantidad
Demandada
(millones de
cajas al año)
9
10
12
15
20
Cantidad
Ofrecida
(millones de
cajas al año)
18
16
12
7
0
Situación
del mercado
Excedente
Excedente
Equilibrio
Escasez
Escasez
Presión sobre
el precio
Descendente
Descendente
Neutral
Ascendente
Ascendente
Represente simultáneamente en una gráfica la oferta y la demanda, indique el punto de
equilibrio, cuando hay escasez y cuando hay excedente.
Caso V.
Si las leyes o modelos de la oferta y la demanda son respectivamente:
O  y + 3x – 5 = 0
D  y – 4x – 12 = 0
Hallar el equilibrio de mercado gráfica y analíticamente.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 40
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
41
Caso V.
Si las leyes o modelos de la oferta y la demanda son respectivamente:
O  y + 3x – 5 = 0
D  y – 4x – 12 = 0
Hallar el equilibrio de mercado gráfica y analíticamente.
y = 5 – 3x
y = 4x + 12
Por transitividad
5 – 3x = 4x + 12
-3x – 4x = 12 – 5
(-1) -7x = 7 (-1)
7x = -7
x = -1
y = 5 – 3x
y = 5 – 3 (-1) = 8
Represente simultáneamente en un gráfica cada modelo.
Este equilibrio no tiene sentido económico, ya que la cantidad resultó negativa y sólo tiene
sentido si precio y cantidad son positivos, esto así porque un precio negativo implica que se
paga a los consumidores para que retiren los bienes del mercado, y una cantidad demandada
negativa es el resultado de que los precios son tan elevados como para impedir la actividad
comercial o hacer inasequible el producto.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 41
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
42
Caso VI.
Una compañía adquiere automóviles para sus ejecutivos. En el presente año el costo de
compra de cada vehículo es de US$15,000.00 dólares. Las unidades se conservan 3 años,
una vez transcurridos los cuales se espera que su valor de reventa sea de US$3,600.00
dólares. Si los contadores aplican la depreciación en línea recta, determine la función que
describa el valor en libros de V en función de la edad del automóvil t.
Depreciación Línea Recta.
La depreciación en línea recta es un método que distribuye el valor despreciable por
partes iguales a lo largo de la vida útil de un activo. En este método es constante la tasa de
depreciación. Ello significa que el valor en libros decrece como una función lineal con el
tiempo.
Depreciación = Valor depreciable – Valor residual = C - R
Vida útil
n
Valor en libros V(t) = Valor depreciable – Depreciación(tiempo) = C – D(t)
Valor depreciable: es la cantidad del costo de adquisición que se va a asignar a lo largo de
la vida útil total de un activo. Es la diferencia entre el costo de adquisición total y el valor
de desecho previsto.
Valor residual (Valor terminal, valor de disposición, valor de salvamento, valor de desecho,
valor de reventa): es la cantidad recibida después de disponer de un activo de larga vida al
fin de su vida útil.
Vida útil (vida económica): es el período de tiempo a lo largo del cual se deprecia un activo.
La vida útil se ve influenciada por las predicciones de desgaste físico. Sin embargo, la vida
útil casi siempre se ve afectada sobre todo por factores económicos y tecnológicos.
Calendario de depreciación: es un listado de las cantidades depreciadas durante cada año de
la vida útil de un activo.
La depreciación no genera efectivo. Es simplemente la asignación del costo original
de un activo a los períodos en que se usa el activo.
La depreciación puede considerarse asimismo como el monto en que ha disminuido
el valor en libros de un activo.
La gran mayoría de las compañías utilizan la depreciación en línea recta en sus
informes a los accionistas. Las razones prácticas por las cuales se adopta la depreciación en
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 42
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
43
línea recta son simplicidad, conveniencia y mayores utilidades reportadas durante los
primeros años que aquellas que se reportarían si se utilizará la depreciación acelerada. Los
administradores tienden a escoger métodos contables que no van en perjuicio de las
utilidades reportadas durante los primeros años de los activos de larga vida.
Caso VI.
Una compañía adquiere automóviles para sus ejecutivos. En el presente año el costo de
compra de cada vehículo es de US$15,000.00 dólares. Las unidades se conservan 3 años,
una vez transcurridos los cuales se espera que su valor de reventa sea de US$3,600.00
dólares. Si los contadores aplican la depreciación en línea recta, determine la función que
describa el valor en libros de V en función de la edad del automóvil t.
Depreciación = Valor depreciable – Valor residual = C - R
Vida útil
n
D = (15,000 – 3,600) / 3 = 3,800
Valor en libros V(t) = Valor depreciable – Depreciación(tiempo) = C – D(t)
V(t) = 15,000 – 3,800 t
Calendario de Depreciación en línea recta
Automóvil (al costo original de adquisición)
Menos: Depreciación acumulada (la parte del
costo original que ya se ha cargado en forma
de un gasto)
15,000.00
15,000.00
15,000.00
3,800.00
7,600.00
11,400.00
Valor neto en libros
11,200.00
7,400.00
3,600.00
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 43
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
44
Valor en
libros en US$
Función del valor en libros basados en
la depreciación de línea recta
20000
15000
10000
5000
0
0
1
2
3
Años transcurridos desde la com pra
Valor en libros
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 44
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
45
Generalmente se piensa que una empresa no puede trabajar por debajo del punto de equilibrio pues
estaría perdiendo dinero. Pero hay situaciones en que una empresa puede trabajar por debajo del punto
de equilibrio con tal de que se cubran los costos variables y de que esa situación no dure mucho tiempo.
Recuérdese que incluso cuando una empresa no produce nada, debe hacer frente a sus
compromisos contractuales. A corto plazo, debe pagar los costos fijos, como los intereses al banco, los
alquileres de la fábrica, los derechos de patentes de los modelos fabricados y los sueldos de los
miembros del consejo de administración. El resto de los costes son los costes variables, como los
costes de las materias primas, los obreros y el combustible. Sería ventajosos seguir produciendo,
mientras la diferencia entre el ingreso y los costes variables permitiera cubrir una parte de estos costes
fijos.
Regla de cierre: Cuando el precio baja tanto que los ingresos totales son menores que el costo variable
y el precio es menor que el coste variable medio, la empresa minimiza sus perdidas cerrando.
El precio de mercado críticamente bajo al que los ingresos son exactamente iguales al coste variable (o,
en otras palabras, al que las pérdidas son exactamente iguales a los costes fijos).
Opción a) Cerrar la fábrica.
Beneficios en caso de que se cierre la fábrica:
B1 = I - CT
Como no hay ingreso ni costo variable, la empresa queda con los costos fijos:
B1 = - CF
Opción b) Continuar operando la fábrica.
Beneficios en caso de seguir operando:
B2 = I – CT = Pu * q – CF – Cu * q
Se prefiere seguir operando sólo si B2 > B1, o sea, si
Pu * q – CF – Cu * q > - CF, despejando queda:
Pu * q – Cu * q > 0
Pu * q > Cu * q  I > CV
De manera que la empresa puede seguir operando por debajo del punto de equilibrio mientras los
ingresos totales cubran los costos variables.
El análisis de las condiciones de cierre nos lleva a la sorprendente conclusión de que las empresas maximizadoras
del beneficio pueden continuar produciendo a corto plazo aun perdiendo dinero. Esta condición se cumple especialmente
en caso de las empresas que poseen una gran cantidad de capital y deuda (como ocurre con las líneas aéreas), por lo que
tienen elevados costes fijos; en el caso de estas empresas, suele ser menos costoso continuar produciendo con pérdidas que
cerrar y verse obligado a seguir pagando los elevados costes fijos.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 45
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
46
Ejercicios Propuestos. Construya los modelos, represente gráficamente cada situación e
interprete los resultados.
Caso I.
El costo de preparación de una línea de producción es de US$3,000, en el que se incurre
independientemente del número de unidades que finalmente se produzcan. Además, los
costos de mano de obra y material variables son de US$2 por cada unidad producida.
Representa Gráficamente.
Caso II.
Eastman Publishing Company está considerando la publicación de un libro de texto, de tipo
de bolsillo, sobre la aplicación, sobre la aplicación de hojas de cálculos en los negocios. El
costo fijo de preparación del manuscrito, el diseño del libro y la puesta en marcha de la
producción se estima en US$80,000 dólares. Los costos variables de producción y
materiales se estiman igual a US$3 dólares por libro. La demanda durante la vigencia del
libro se estima en 4,000 ejemplares. El editor planea vender el libro a las librerías de
colegios y universidades a US$20 dólares cada uno.
a. ¿Cuál es el punto de equilibrio?
b. ¿Qué utilidad o pérdida se puede prever, con una demanda de 4,000
ejemplares?
c. Con una demanda de 4,000 ejemplares, ¿cuál es el precio mínimo por
ejemplar que debe cobrar el editor para llegar a punto de equilibrio?
d. Si el editor piensa que el precio por ejemplar pudiera incrementar hasta
US$25.95 dólares sin afectar la demanda prevista de 4,000 ejemplares, ¿qué
acción recomendaría usted? ¿Qué utilidad o pérdida se podría prever?
e. Represente gráficamente.
Caso III.
Están en marcha planes preliminares para la construcción de un nuevo estadio de béisbol.
Los funcionarios de la ciudad han cuestionado el número y rentabilidad de los palcos
corporativos de lujo planeados para el piso superior del estadio. Los palcos pueden ser
adquiridos por empresas e individuos seleccionados, a US$100,000 dólares cada uno. El
costo fijo de construcción del área en el piso superior se estima en US$1,500,000 dólares,
con un costo variable de US$50,000 dólares por cada palco construido.
a. ¿Cuál será el punto de equilibrio para los palcos de lujo del nuevo estadio?
b. Dibujos preliminares del estadio muestran que hay espacio disponible para la
construcción de hasta 50 palcos de lujo. Los promotores indican que hay
compradores detectados y que si se construyen, se venderían los 50. ¿Cuál es
su recomendación respecto a la Construcción de los palcos de lujo? ¿Qué
utilidad se puede esperar?
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 46
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
47
Caso IV.
Un grupo de ingenieros quiere formar una compañía para producir detectores de humo.
Han ideado un diseño y estiman que los costos variables por unidad, incluyendo material,
mano de obra y costos de mercadotecnia, son de US$22.50 dólares. Los costos fijos
relacionados con la formación, operación y dirección de la compañía y la compra de equipo
y maquinaria dan en total US$250,000 dólares. Estiman que el precio de venta será de
US$30 dólares por detector.
a) Determine el número de detectores de humo que han de venderse para que la
empresa alcance el equilibrio en el negocio.
b) Los datos preliminares de mercadotecnia indican que la empresa venderá
aproximadamente 30,000 detectores de humo a lo largo de la vida del proyecto, si le
pone un precio de US$30 cada uno. Determine las utilidades esperadas en este nivel
de producción.
Caso V.
Una empresa agrícola tiene tres granjas que se utilizarán el año entrante. Cada una está
dotada de características especiales que la hacen adecuada sólo para un tipo de cultivo. La
siguiente tabla contiene el cultivo seleccionado para cada granja, el costo anual de plantar 1
acre, el ingreso que es espera obtener por acre y los costos fijos de la administración de las
granjas. Además de esos costos fijos, la corporación en conjunto tiene costo fijos anuales
de US$75,000. Determine la función de utilidad para la operación de las tres granjas.
Granja
1
2
3
Cultivo
Soya
Maíz
Papas
Costo/acre
900
1,100
750
Ingreso/acre
1,300
1,650
1,200
Costo Fijo
150,000
175,000
125,000
Caso VI.
Una empresa vende un solo producto a US$65 dólares por unidad. Los costos variables por
unidad son de US$20 dólares por concepto de materiales y de US$27.50 por concepto de
mano de obra. Los costos fijos anuales ascienden a US$100,000. Formule la función de
utilidad expresada en término de unidades producidas y vendidas. ¿Qué utilidad se gana si
las ventas anuales son de 20,000 unidades?
Caso VII.
Dos puntos sobre una función lineal de demanda son (US$20 dólares, 60,000 unidades) y
($30 dólares, 47,500 unidades).
a) Determine la función de la demanda.
b) Determine que precio originará una demanda de 65,000 unidades.
c) Interprete la pendiente de la función.
d) Grafique la función.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 47
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
48
Caso VIII.
Dos puntos sobre la función lineal de la oferta son (US$6 dólares, 28,000 unidades) y
(US$7.5 dólares, 37,000).
a) Determine la función de la oferta.
b) ¿Qué precio hará que los proveedores ofrezcan 135,000 unidades a la venta?
c) Interprete la pendiente de la función.
d) Interprete la intersección con el eje x.
e) Grafique la función.
Caso IX.
Una compañía ha analizado sus ventas y ha determinado que sus clientes compran 20% más
de sus productos por cada US$2 de reducción en el precio unitario. Cuando el precio es
US$12 la compañía vende 500 unidades.
a) Formule el modelo de demanda.
b) ¿Cuál sería la mayor cantidad a demandar?
c) ¿Cuál sería el mayor precio a pagar por el artículo?
d) ¿Cuál sería el precio si la cantidad demandada asciende a 600 unidades?
e) ¿Cuál será la demanda si el precio del producto es US$8?
Caso X.
Una compañía pretende entregar 5,000 artículos mensualmente a un precio de US$5 por
unidad. Si el precio tiene una disminución de un 30%, la compañía sólo se compromete a
entregar un 40% de la oferta anterior.
a) Formule el modelo de la oferta.
b) ¿Cuál sería la menor oferta?
c) ¿Cuál sería la oferta si el precio es US$7?
d) ¿Cuál será el precio si se solicitan 6,000 unidades del producto?
Caso XI.
Los siguientes modelos representan la oferta y la demanda de un determinado producto.
Determine gráfica y analíticamente el mercado de equilibrio.
Ox+y=5
D  2x – y = 5.5
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 48
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
49
Caso XII.
Una compañía fabrica dos productos diferentes. Para la semana entrante dispone de 120
horas de trabajo destinadas a la elaboración de ambos productos. Puede asignar horas de
trabajo a la fabricación de ambos productos. Además, como los dos tipos de producción
aportan buenas ganancias, a la dirección le interesa utilizar las 120 horas durante la semana.
Cada unidad del producto A requiere 3 horas de trabajo de elaboración, y cada unidad del
producto B requiere 2.5 horas.
a) Defínase una ecuación que establezca que las horas totales de trabajo dedicadas a la
producción “x” unidades del producto A y “y” unidades del producto B son 120.
b) ¿Cuántas unidades del producto A pueden fabricarse si se elaboran 30 unidades del
producto B?
c) Si la gerencia decide producir sólo un artículo, ¿cuál será la cantidad máxima que
puede fabricarse del producto A? ¿Y cuál será la cantidad máxima que puede
fabricarse del producto B?
Caso XIII.
La Cruz Roja Internacional está haciendo planes para transportar por avión alimentos y
suministros médicos a Iraq. En la tabla adjunta se incluyen los cuatro suministros que
urgen y sus respectivos volúmenes por caja o recipiente. El primer avión que se enviará a la
zona tiene una capacidad de volumen de 6000 pies cúbicos. Determine la ecuación cuyo
conjunto solución contenga todas las posibles combinaciones de los cuatro suministros que
llenarán el avión en toda su capacidad.
Suministro
Sangre
Equipo médico
Alimentos
Agua
Volumen/Caja, ft3
20
30
8
6
Caso XIV.
Una compañía nacional está iniciando una campaña publicitaria por medio de la televisión,
la radio y la prensa. El objetivo es lograr que 10 millones de personas vean los anuncios.
La experiencia revela que, por cada 1000 dólares asignados a la publicidad por televisión,
radio y prensa, la publicidad llegará a 25,000, 18,000 y 15,000 personas, respectivamente.
Las decisiones que han de adoptarse se refieren a cuánto dinero se asignará a cada forma de
publicidad, a fin de llegar a 10 millones de personas. Determine el modelo (ecuación) cuyo
conjunto solución especifique todas las asignaciones de publicidad que den por resultado la
obtención de esta meta.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 49
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
50
Caso XV.
Una empresa que elabora un solo producto quiere determinar la función que expresa el
costo total anual y en función de la cantidad de unidades producidas. Los contadores
indican que los gastos cada año son de US$50,000 dólares. También han estimado que los
costos de materias primas por cada unidad producida ascienden a UD$5.50 y que los costos
de mano de obra son de US$1.50 en el departamento de montaje, $0.75 en el cuarto de
acabado y US$1.25 en el departamento de empaque y embarque.
Caso XVI.
Una agencia de alquiler de automóviles compra nuevas unidades cada año para rentarlas.
Los automóviles nuevos cuestan US$12,000 dólares. Se emplean tres años y luego se
venden en US$2,500 dólares. El dueño de la agencia estima que los costos variables de
operación de los automóviles, sin contar la gasolina, son de US$0.25 por milla. Los
automóviles se alquilan en US$0.40 por milla (sin incluir gasolina).
a) Formule la función de ingreso total relacionada con el alquiler de los automóviles por
millas.
b) Formule el modelo de costo total asociada al alquiler de un automóvil por millas.
c) Formule la ecuación de utilidad.
d) ¿Cuál será la utilidad si el vehículo se renta por 60,000 millas durante el período de
los tres años?
e) Si los contadores aplican la depreciación en línea recta, determine la función que
describa el valor en libros de V en función de la edad del automóvil t.
Caso XVII.
Una gasolinera vende gasolina regular y de primera calidad sin plomo. El precio por galón
es de US$1.80 para la gasolina regular y de US$2.00 para la de primera calidad sin plomo.
El costo por galón que cobra el proveedor es de US$1.66 y US$1.88, respectivamente.
a) Formule la función de ingreso obtenido para cada tipo de gasolina y para ambas.
b) Formule la función de costo para cada tipo de gasolina y para ambas.
c) Formule la función de utilidad total.
d) ¿Cuál es la utilidad esperada si la estación vende 200,000 galones de gasolina regular
y 80,000 galones de gasolina de primera calidad sin plomo?
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 50
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
51
Caso XVIII.
Decisión sobre la renta de computadora o la contratación de una empresa de servicios
computacionales.
Un número grupo médico se compone de 20 médicos de tiempo completo. En el momento
actual, los empleados preparan manualmente las facturas de los pacientes. Debido al
enorme volumen de facturas, el gerente administrativo piensa que ha llegado el momento de
hacer la transición de la facturación manual a la computarizada. Están estudiándose dos
opciones:
1) el grupo médico puede alquilar la computadora y los programas y hacer él mismo la
facturación (la opción de hacer) o
2) puede contratar a una empresa de servicios computacionales que se encargue de
efectuar la facturación (contratar).
Los costos de una y de otra dependen de la cantidad de facturas. La oferta más baja
presentada por una empresa de servicios computacionales originará una cuota de
US$3,000 dólares anuales más US$0.95 por factura procesada. Con ayuda de un
experto en computación, el gerente administrativo estimó que el grupo puede rentar
un pequeño sistema de cómputo para negocios, junto con los programas necesarios, a
un costo de US$15,000 por año. Se estima en US$0.65 por factura los costos
variables de realizar la facturación de este modo.
3) Representa en una gráfica los dos modelos .
Caso XIX.
Una firma está diseñando una campaña publicitaria por televisión. Los costos de desarrollo
(costos fijos) son US$150,000 dólares y la firma pagará US$15,000 dólares por minutos en
cada spot de televisión. La firma estima que, por cada minuto de publicidad, se obtendrá un
aumento de US$70,000 en las ventas. De esta cifra, US$47,500 se absorben para cubrir el
costo variable de producir los artículos y US$15,000 sirven para pagar el minuto de
publicidad. El resto es la contribución al costo fijo y a la utilidad.
a) ¿Cuántos minutos de publicidad se necesitan para recuperar los costos de desarrollo
de la campaña publicitaria?
b) Si la compañía se sirve de 15 spots de 1 minuto de duración, determine el ingreso
total, los costos totales (producción y publicidad) y la utilidad ( o pérdida) total que
resultan de la campaña.
Caso XX.
La maquinaria que compra un fabricante por US$20,000 dólares se deprecia linealmente de
manera que su valor comercial al cabo de 10 años es US$1,000 dólares.
a) Exprese el valor de la maquinaria como una función de su antigüedad y dibuje la
gráfica.
b) Calcule el valor de la maquinaria al cabo de 4 años.
c) ¿Cuánto se despreciará por completo la maquinaria? El fabricante puede no esperar
tanto tiempo para disponer de la maquinaria. Analice los aspectos que el fabricante
puede considerar para decidir cuándo venderla.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 51
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
52
Caso XXI.
Encuentre las incógnitas para cada uno de los siguientes casos independientes:
CASO
1
2
3
4
5
PRECIO DE
COSTO
TOTAL DE
MARGEN DE
COSTOS
VENTA POR
VARIABLE
UNIDADES
CONTRIBUCION
FIJOS
UTILIDAD
UNIDAD
POR UNIDAD
VENDIDAS
TOTAL
TOTALES
NETA
10
20
30
6
15
20
8
25
100,000
330,000
100,000
70,000
80,000
120,000
160,000
720,000
11,000
12,000
110,000
640,000
Caso XXII.
Si los modelos de la oferta y la demanda son respectivamente:
Oferta => p = 1 q + 8
300
Demanda => p = - 1 q + 12
180
a) Determinar el precio y la cantidad de equilibrio.
b) Representar gráficamente. Indique el punto de equilibrio, cuando hay excedente y
cuando hay escasez.
c) ¿Por qué se llama punto de equilibrio?
Caso XXIII.
La Compañía RL & RG, S.A. se dedica a la producción y venta de neveras. Los costos
fijos son $24,500 y el precio de venta de las utilidades producidas es de $250. De los datos
de producción se conoce que el costo variable/unidad es de $180. Si se espera que esos
valores permanezcan constantes durante el año y siendo la capacidad de la planta de 1,000
unidades por año, se desea determinar:
a) El punto de equilibrio de la compañía en unidades, dinero y % de capacidad de
producción.
b) Beneficios que resultan para los niveles de producción y venta de 300, 350 y
500 unidades.
B = I – CT = Pu * q – (CF + Cu * q)
B = (Pu *q) [(Pu – Cu)/Pu] – CF
B= I * RMC – CF
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 52
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
53
Caso XXIV.
La empresa CADESA produce el artículo AD12, a un costo unitario de $10 y lo vende a
$15 la unidad. Los costos fijos de la empresa son de $18,000 al año. La capacidad de la
empresa es de 60,000 artículos por año.
a) ¿Cuál es el punto de equilibrio de la empresa en unidades, dinero y % de capacidad
de producción?
b) ¿Cuáles serán los beneficios cuando la empresa trabaje a un 80% de capacidad?
Caso XXV.
Un fabricante de artículos para el hogar está produciendo actualmente mesas, lámparas, y
sillas. En la tabla siguiente aparecen los datos del caso:
Producto
Mesas
Lámparas
Sillas
Precio
Unitario
70
50
40
Costo
Unitario
50
40
30
% Valor
ventas ($)
40
25
35
Capacidad de ventas $1,800,000. Costo fijos $250,000.
A la empresa le interesa conocer el punto de equilibrio y los beneficios a un nivel de
producción del 75% de su capacidad.
% de contribución de cada producto será igual a:
[(Pu – Cu)/Pu] * (% participación en ventas)
RMC * (% participación en ventas)
P.E.($) = CF/ del % de contribución de cada producto
Caso XXVI.
Una empresa produce bicicletas y velocípedos. Los costos fijos de la empresa son de
$60,000 al año, la capacidad total anual es de $250,000 en ventas. La participación de cada
producto es la siguiente:
Producto
Bicicleta
Velocípedo
Precio
Unitario
120
50
Costo
Unitario
70
25
% Valor
ventas ($)
60
40
A la empresa le interesa conocer el punto de equilibrio y el beneficio cuando esté
trabajando a un 70% de su capacidad.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 53
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
54
Caso XXVII.
La compañía TERDAS presenta el siguiente Estado de Ingreso Presupuestado:
Estado de Ingresos
Ventas
100,000
Menos Costos y Gastos Variables
65,000
Margen de Contribución
35,000
Menos: Costos Fijos
20,000
Ingresos Netos
15,000
Se desea conocer el punto de equilibrio, los beneficios para unas ventas de $120,000 y el
nivel de ventas necesario para lograr el beneficio proyectado de $25,000.
RMC = [(Pu – Cu) /Pu] = (Pu/Pu) – (Cu/Pu)
RMC = 1 - (Cu/Pu)
RMC = 1 - (Costos Variables/Valor de Ventas)
Ventas para un nivel de beneficio = (CF + B)/RMC
B = RMC * Ventas – CF
Caso XXVIII.
Una fabrica de alimentos para animales presenta las siguientes informaciones:
Alimento
% ventas
para
Precio Costo
($)
Gallinas
30
15
40
Vacas
40
16
20
Puercos
36
16
25
Perros
32
12
15
Costos fijos de $80,000 al año y capacidad de $200,000 de ventas al año.
a) Hallar el punto de equilibrio en dinero y en % de capacidad de la fábrica.
b) Determinar cual es el ingreso total cuanto se están vendiendo 1,200 unidades de
alimentos.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 54
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
55
 Modelos No Lineales.
En muchas ocasiones prácticas, el ritmo al que una cantidad cambia respecto a otra no suele ser
constante, es decir, la expansión o contracción puede fluctuar, entonces es preferible representar estas
situaciones a través de instrumentos matemáticos no lineales como la Parábola, la Hipérbola, la Elipse o la
Circunferencia. Sobre todo las porciones de ellos que se enmarcan dentro del primer cuadrante del Sistema
Cartesiano.
En una función lineal la variable dependiente “y” cambia en proporción directa con el cambio de la
variable independiente “x”. La pendiente de una función lineal es la tasa constante de cambio de la variable
dependiente si la variable independiente se acrecienta una unidad.
En las funciones no lineales, la respuesta de la variable dependiente no se encuentra en proporción
directa o exacta con los cambios de la variable independiente. Por ejemplo si verificamos el
comportamiento de la siguiente función nos podremos dar cuenta:
Y = f(x) = x²
X
0
1
2
3
y
0
1
4
9
▲x
0
1
1
1
▲y
0
1
3
5
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 55
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
56
Caso I.
Un fabricante puede producir una cinta de vídeo en blanco a un costo de US$2 por casete.
Los casetes se han vendido a un margen de beneficio de un 150% cada uno y, a ese precio,
los consumidores han comprado 4,000 casetes al mes. El fabricante planea incrementar el
precio de los casetes y estima que por cada US$1 de aumento en el precio, se venderán 400
casetes menos cada mes.
a) Exprese la utilidad mensual del fabricante como una función del precio al cual se
vendieron los casetes.
b) Hacer el gráfico.
c) ¿Cuál sería el margen de tolerancia en precio que soportaría el artículo para generar
beneficio?
d) ¿Qué precio corresponde a la utilidad máxima?
Comience estableciendo la relación deseada en palabras:
Utilidad = (cantidad de casetes vendidos) * (utilidad por casete)
U = q * bu
Cu = US$2
Bu = Cu + (Cu*150%) = 2 + 3 = US$5
Bu = x – 2  Utitlidad por casete
Como el propósito es expresar la utilidad como una función del precio, la variable
independiente es el precio y la variable dependiente es la utilidad. Sea x el precio al cual se
venderá cada casete y U(x) la utilidad mensual correspondiente.
Se sabe cada mes se venden 4,000 casetes cuando el precio es US$5 y que se
venderán 400 casetes menos cada mes por cada aumento de US$1 en el precio. Podríamos
expresar el aumento con: x – 5
Cantidad vendida = 4,000 – 400 (x - 5)
= 4,000 – 400x + 2,000
q = 6,000 – 400x
q = (400) (15– x)
Utilidad = (cantidad de casetes vendidos) * (utilidad por casete)
U = (6,000 – 400x) * (x – 2) = -400x²+6,800x-12,000
U = (400) * (15-x) * (x – 2)
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 56
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
57
Función de Utilidad U=(400)*(15-x)(x-2)
18,000
16,000
14,000
Utilidad
12,000
10,000
Función de Utilidad
U=(400)*(15-x)(x-2)
8,000
6,000
4,000
2,000
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Precio
X
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
U(x)
0
4,800
8,800
12,000
14,400
16,000
16,800
16,800
16,000
14,400
12,000
8,800
4,800
0
c) ¿Cuál sería el margen de tolerancia en precio que soportaría el artículo para generar
beneficio?
El intervalo o margen de tolerancia sería [2 < x < 15], es decir, que si se desea beneficio se
tendrá que vender a un precio mayor que US$2 y menor que US$15.
d) ¿Qué precio corresponde a la utilidad máxima?
La gráfica es la parábola que abre hacia abajo. La utilidad máxima ocurrirá en el
valor de x que corresponde al punto más alto en la gráfica de utilidad. Este es el vértice de
la parábola del cual se sabe que ocurre cuando
U = (6,000 – 400x) * (x – 2) = -400x²+6,800x-12,000
Y = Ax² + Bx + C  Función Cuadrática
X = - B ± B²-4AC  Fórmula Cuadrática
2A
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 57
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
58
Nota:
Si A > 0, la parábola se abre hacia arriba y su vértice es un punto mínimo, y la
función cuadrática tiene un valor mínimo igual a C – (B²/4A) cuando x = -B/2A.
Si A < 0, la parábola se abre hacia abajo y su vértice es un punto máximo, y la
función cuadrática tiene un valor máximo igual a C – (B²/4A) cuando x = -B/2A.
x = -B = -6,800 = US$8.5
2A 2(-400)
La utilidad se maximiza cuando el fabricante cobra US$8.5 por cada casete, y la
utilidad máxima mensual es:
U = -400x²+6,800x-12,000
U = -400(8.5)² + 6,800(8.5) - 12,000 = US$16,900
Caso II.
Una compañía ha estado produciendo un artículo a US$3 y lo vende a un precio de US$15 y
a ese precio de venta los consumidores están demandando 200 artículos mensuales. La
compañía está planeando bajar su precio para estimular las ventas y considera que por cada
peso de disminución se venderán 20 artículos más cada mes.
a) Exprese la utilidad mensual del fabricante como una función del precio al cual se
vendieron los casetes.
b) Hacer el gráfico.
c) ¿Cuál sería el margen de tolerancia en precio que soportaría el artículo para generar
beneficio?
d) ¿A qué precio se optimizarán los beneficios?
Comience estableciendo la relación deseada en palabras:
Utilidad = (cantidad vendida) * (utilidad por artículo)
U = q * bu
Cu = US$3
Bu = Pu – Cu = 15 - 3 = US$12
Bu = x – 3  Utitlidad por artículo
Como el propósito es expresar la utilidad como una función del precio, la variable
independiente es el precio y la variable dependiente es la utilidad. Sea x el precio al cual se
venderá cada casete y U(x) la utilidad mensual correspondiente.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 58
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
59
Se sabe cada mes se venden 200 artículos cuando el precio es US$15 y que se
venderán 20 artículos más cada mes por cada disminución de US$1 en el precio. Podríamos
expresar la disminución con: 15 – x
Cantidad vendida = 200 + 20 (15 - x)
= 200 + 300 – 20x
q = 500 – 20x
q = (20) (25 – x)
Utilidad = (cantidad de casetes vendidos) * (utilidad por casete)
U = (500 – 20x) * (x-3) = -20x²+560x-1,500
U = (20) * (25-x) * (x-3)
x
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
U(x)
0
420
800
1,140
1,440
1,700
1,920
2,100
2,240
2,340
2,400
2,420
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 59
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
60
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
2,400
2,340
2,240
2,100
1,920
1,700
1,440
1,140
800
420
0
c)¿Cuál sería el margen de tolerancia en precio que soportaría el artículo para generar
beneficio?
El intervalo o margen de tolerancia sería [3 < x < 25], es decir, que si se desea beneficio se
tendrá que vender a un precio mayor que US$3 y menor que US$25.
d)¿A qué precio se optimizarán los beneficios?
La gráfica es la parábola que abre hacia abajo. La utilidad máxima ocurrirá en el
valor de x que corresponde al punto más alto en la gráfica de utilidad. Este es el vértice de
la parábola del cual se sabe que ocurre cuando
U = (500 – 20x) * (x-3) = -20x²+560x-1,500
Y = Ax² + Bx + C
X = - B ± B²-4AC
2A
Nota:
Si A > 0, la parábola se abre hacia arriba y su vértice es un punto mínimo, y la
función cuadrática tiene un valor mínimo igual a C – (B²/4A) cuando x = -B/2A.
Si A < 0, la parábola se abre hacia abajo y su vértice es un punto máximo, y la
función cuadrática tiene un valor máximo igual a C – (B²/4A) cuando x = -B/2A.
x = -B = -560 = US$14
2A 2(-20)
La utilidad se maximiza cuando el fabricante cobra US$14 por cada artículo, y la
utilidad máxima mensual es:
U = (500 – 20x) * (x-3) = -20x²+560x-1,500
U = -20(14)² + 560(14) - 1,500 = -3,920+7,840-1,500 = US$2,420
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 60
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
61
Caso III.
Las encuestas de mercado administradas a los proveedores de un producto en particular
llevaron a la conclusión de que la forma de la función de la oferta es cuadrática. A los
proveedores se les preguntó qué cantidades estarían dispuestos a ofrecer a distintos precios
de mercado. Los resultados de la encuesta revelaron que, con los precios de $25, $30 y
$40, las cantidades que los proveedores estarían dispuestos a ofrecer en el mercado serían
112.5, 250.0 y 600.0 unidades (en miles), respectivamente.
a) Formule el modelo de la oferta.
b) ¿Cuál sería la menor oferta?
c) ¿Cuál sería la oferta si el precio fuera US$70?
a) Determine la función cuadrática que pasa por los puntos:
(precio, cantidad ofertada)
( p, q)
(25, 112.5)
(30, 250.0)
(40, 600.0)
q = f(p)
q = ap² + bp + c
Al sustituir las tres combinaciones de precio-cantidad en la ecuación general cuadrática se
obtiene el sistema resultante de ecuaciones:
112.5 = a(25)² + b(25) + c
250.0 = a(30)² + b(30) + c
600.0 = a(40)² + b(40) + c
o
o
o
625a + 25b + c = 112.5
900a + 30b + c = 250.0
1,600a + 40b + c = 600.0
Al resolver este sistema de ecuaciones, produce los valores de:
a = 0.5, b = 0 y c = -200
En consecuencia, la función cuadrática de la oferta viene dada por:
q = ap² + bp + c
q = f(p) = 0.5p² - 200
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 61
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
62
REGLA DE KRAMER PARA LA SOLUCION DE SISTEMA DE ECUACIONES.
a
b
625
900
1600
a
a=
c
25
30
40
b
y
1 112.5
1
250
1
600
c
112.5
250
600
625
900
25
30
40
25
30
1
1
1 =>
1 =>
1
1600
40
1
numerador
denominador
-375
-750
a=0.5
PARA OBTENER EL NUMERADOR:
- DUPLICAMOS LAS DOS PRIMERAS FILAS
CAMBIA
SIGNO
SE MULTIPLICAN
DIAGONALES
-18,000 =
-4,500 =
-6,250 =
18,000 =
4,500 =
6,250 =
SE SUMAN LOS (+)
SE SUMAN LOS (-)
112.5
250
25
30
1 SE MULTIPLICAN
1 DIAGONALES
600
112.5
250
40
25
30
1=
1=
1=
3,375
10,000
15,000
3,375
-18,000
10,000
-4,500
15,000 =
-6,250 =
28,375
-28,750
EL NUMERADOR =
-375
PARA OBTENER EL DENOMINADOR:
- DUPLICAMOS LAS DOS PRIMERAS FILAS
CAMBIA
SIGNO
SE MULTIPLICAN
DIAGONALES
-48,000 =
-25,000 =
-22,500 =
48,000 =
25,000 =
22,500 =
SE SUMAN LOS (+)
SE SUMAN LOS (-)
625
900
25
30
1 SE MULTIPLICAN
1 DIAGONALES
1600
625
900
40
25
30
1=
1=
1=
18,750
36,000
18,750
36,000
40,000
40,000 =
94,750
-48,000 -25,000 -22,500 =
-95,500
EL DENOMINADOR =
-750
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 62
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
63
UTILIZANDO LA REGLA DE CRAMER ENCUENTRE LOS VALORES DE B Y C.
a
b
25
30
1 112.5
1
250
1600
40
1
b
600
c
625
900
112.5
250
1600
625
900
600
25
30
1600
40
a
b
1
1
1 =>
1 =>
1
c
-750
numerador
denominador
-750
y
25
30
1 112.5
1
250
1600
40
1
625
900
25
30
112.5
250
1600
625
900
40
25
30
600 =>
1 =>
1
1600
40
1
b
numerador
denominador
1
625
900
a
c=
y
625
900
a
b=
c
600
c
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 63
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
64
q = f(p) = 0.5p² - 200
p
q(p)
20
25
30
35
40
45
50
0
113
250
413
600
813
1,050
Oferta q=0.5p-200
1,200
Cantidad ofrecida, en miles
1,000
800
600
Oferta q=0.5p-200
400
200
0
20 25 30 35 40 45 50
Precio en dólares
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 64
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
65
Caso IV.
En relación al caso anterior, se llevó a cabo una encuesta entre los consumidores con el fin
de determinar la función de la demanda del mismo producto. Los investigadores
preguntaron a los consumidores si comprarían el producto a diversos precios y con sus
respuestas prepararon estimaciones de la demanda de mercado a varios precios. Luego de
graficar los puntos de datos de la muestra se llegó a la conclusión de que la relación de la
demanda estaba representada en forma óptima por una función cuadrática. Los
investigadores concluyeron que la representación cuadrática era válida para precios
comprendidos entre $5 y $45.
Tres puntos de datos escogidos para “ajustar” la curva fueron (5,2025), (10, 1600) y
(20, 900).
a) Formule el modelo de la demanda.
b) ¿Cuál sería la mayor demanda?
c) ¿Cuál sería la demanda si el precio fuera US$50?
a) Determine la función cuadrática que pasa por los puntos:
(precio, cantidad demanda)
( p, q )
( 5, 2025)
(10, 1600)
(20, 900)
q = f(p)
q = ap² + bp + c
Al sustituir las tres combinaciones de precio-cantidad en la ecuación general cuadrática se
obtiene el sistema resultante de ecuaciones:
2,025 = a(5)² + b(5) + c
1,600 = a(10)² + b(10) + c
900 = a(20)² + b(20) + c
o
o
o
25a + 5b + c = 2,025
100a + 10b + c = 1,600
400a + 20b + c = 900
Al resolver este sistema de ecuaciones, produce los valores de:
a = 1, b = -100 y c = 2,500
En consecuencia, la función cuadrática de la demanda viene dada por:
q = ap² + bp + c
q = p² - 100p + 2,500
q = p² - 100p + 2,500
P
q(p)
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 65
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
66
5
10
15
20
25
30
35
2,025
1,600
1,225
900
625
400
225
Demanda q=p-100p+2500
Cantidad demanda en miles
2,500
2,000
1,500
1,000
500
0
5
10
15
20
25
30
35
Precio en dólares
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 66
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
67
Caso V.
Equilibrio entre la Oferta y la Demanda.
El equilibrio del mercado entre la oferta y la demanda puede estimarse para los modelos de
la oferta y demanda de las funciones anteriores, con sólo determinar el precio de mercado
que iguale a la cantidad ofrecida y la cantidad demandada.
Modelo de la Oferta 
qo = f(p) = 0.5p² - 200
Modelo de la Demanda 
qd = f(p) = p² - 100p + 2,500
qo = qd
0.5p² - 200= p² - 100p + 2,500
(-1)
-0.5p² + 100p – 2,700 = 0
(-1)
Modelo que permitirá determinar el punto de equilibrio (p,q) del mercado viene dado por:
0.5p² - 100p + 2,700 = 0
Y = Ap² + Bp + C  Función Cuadrática
X = - B ± B²-4AC  Fórmula Cuadrática
2A
p = - (-100) ± (100)²-4(0.5)(2,700)
2(0.5)
p = 100 ± 4,600 = 100 ± 67.82
1
p1 = $167.82
p2 = $32.18
Los dos valores de p que satisfacen la ecuación son p1 = 167.82 y p2 = 32.18. El precio de
167.82 se encuentra fuera del dominio relevante del modelo de la demanda y, por tanto,
carece de significado.
Si sustituimos p = $32.18 en los modelos de la Oferta y la Demanda obtenemos:
Modelo de la Oferta 
qo = f(p) = 0.5p² - 200
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 67
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
68
Modelo de la Demanda 
Oferta 
qd = f(p) = p² - 100p + 2,500
qo = f(32.18) = 0.5(32.18)² - 200 = 317.77
Demanda  qd = f(32.18) = (32.18)² - 100(32.18) + 2,500 = 317.55
El redondeo es la razón de la diferencia existente entre ambos valores.
Punto de Equilibrio entre la Oferta y la Dem anda
2,200
2,000
1,800
1,600
Cantidad en miles
1,400
1,200
Función de la
Demanda
1,000
Función de la
Oferta
800
600
400
200
0
-200
5 10 15 20 25 30 35 40 45
-400
Precio en dólares [Punto de
equilibrio en (32.18,317.77)]
Equilibrio entre la Oferta y la Demanda.
El equilibrio del mercado entre la oferta y la demanda puede estimarse para los modelos de
la oferta y demanda de las funciones anteriores, con sólo determinar el precio de mercado
que iguale a la cantidad ofrecida y la cantidad demandada.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 68
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
69
Modelo de la Oferta 
qo = f(p) = 0.5p² - 200
Modelo de la Demanda 
qd = f(p) = p² - 100p + 2,500
Demanda
p
5
10
15
20
25
30
35
40
45
q(p)
2,025
1,600
1,225
900
625
400
225
100
25
Oferta
q(p)
-188
-150
-88
0
113
250
413
600
813
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 69
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
70
Caso VI.
Modelo de Ubicación.
La figura a continuación muestra las ubicaciones relativas de tres ciudades a lo largo de una
carretera costera. Se trata de lugares muy populares de veraneo y su población crece
muchísimo en los meses de verano. Las tres ciudades piensan que su servicio de rescate y
de atención médica es insuficiente durante la temporada vacacional. Han decidido apoyar
de modo conjunto un servicio de atención en casos de urgencia que enviará camiones de
rescate y paramédicos bien adiestrados. La pregunta básica se refiere a la ubicación del
servicio.
Al elegir la ubicación, se ha aceptado que la distancia entre el servicio y las ciudades
deberá ser lo más corta posible, a fin de garantizar tiempos rápidos de respuesta. Otra
consideración es el tamaño de la población veraniega de cada ciudad, pues ésta es una
medida de la posible necesidad de los servicios de respuesta ante las urgencias. Cuanto más
grande sea la población veraniega de una ciudad, mayor será el deseo de situar el servicio
cerca de ella. Los analistas han decidido que el criterio para seleccionar la ubicación es
reducir al mínimo la suma de los productos de las poblaciones veraniegas de cada ciudad y
elevar el cuadrado la distancia existente entre la ciudad y el servicio. Esto puede expresarse
de la siguiente manera:
dj² = (x - xj)² + (y - yj)²
dj² = (x - xj)²
3
Minimice S =  pj * dj²
J=1
Donde pj es la población veraniego de la ciudad j, expresada en miles, y d j es la distancia
entre la ciudad j y el servicio de rescate.
Ciudad 1
Ciudad 2
Ciudad 3
=============*========*==========*========== MILLAS
0
12
20
30
Si las poblaciones veraniegas son, respectivamente, 150,000, 100,000 y 200,000 para las
tres ciudades, calcule la expresión general correspondiente a S.
Sea x la ubicación del servicio en relación el punto cero de la escada de la figura anterior y
sea xj la ubicación de la ciudad j. La distancia entre la ciudad j el servicio se calcula por
medio de la ecuación dj = x - xj.
Cuando x se define como la ubicación desconocida del servicio propuesto, S se expresará
en función de x. La función se define así:
3
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 70
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
71
S= f(x) =  pj * (x - xj)²
J=1
3
S= f(x) =  pj * (x - xj)²
J=1
Ciudad 1
Ciudad 2
Ciudad 3
=============*========*==========*========== MILLAS
0
12
20
30
S = [150 * (x-12)²] + [100 * (x-20)²] + [200 * (x-30)²]
S = [150 * (x²-24x+144)] + [100 * (x²-40+400)] + [200 * (x²-60+900)]
S = 150x²-3,600+21,600 + 100x²-4,000+40,000 + 200x²-12,000+180,000
El Modelo de Ubicación viene definido por la función:
S = 450x² - 19,600 + 241,600
Nótese que esta función es la forma cuadrática, y se graficará como una parábola que es
cóncava hacia arriba. S será minimizada en el vértice de la parábola o donde:
x = -B = -(-19,600) = 21.78
2A 2(450)
Ciudad 1
Ciudad 2
Ciudad 3
=============*========*=[=]========*========== MILLAS
0
12
20
30
Ubicación óptima del servicio
El servicio de respuesta a urgencias se instalará a 21.78 millas a la derecha del punto cero, o
sea a 1.77 millas a la derecha de la ciudad 2.
Ubicación de Instalaciones.
Para los fabricantes, el problema de ubicación de instalaciones se divide en dos
categorías generales: la fábrica y los almacenes. Con base en estas categorías, el interés
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 71
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
72
puede ser ubicar la primera fábrica o almacén de la empresa o ubicar una nueva fábrica o
almacén en relación con instalaciones existentes.
El Objetivo general de elegir la ubicación es seleccionar el lugar, o la combinación
de lugares, que minimice tres tipos de costos: los regionales, los de distribución de salidas y
los de distribución de entradas.
Los costos regionales tienen que ver con la localidad, e incluyen terreno,
construcción, personal, impuestos y costo de la energía. Los de distribución de salidas se
presentan al enviar productos a vendedores al menudeo o al mayoreo, y otras plantas de la
red. Los costos de distribución de entradas se refieren a la disponibilidad y al costo de las
materias primas y de los suministros, así como a tiempo necesario para adquirir esos
insumos.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 72
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
73
Ejercicios Propuestos. Construya los modelos, represente gráficamente cada situación e
interprete los resultados.
Caso I.
La función de demanda de un producto particular es:
q = f(p) = 500,000 – 3,000 p
donde q se expresa en unidades y p en dólares. Determine la función del ingreso total, I es
una función de p o sea R = g(p). ¿Cuál es la concavidad de la función? ¿Cuál es la
intersección con el eje y? ¿Cuál es el ingreso total con un precio de $20? ¿Cuántas unidades
serán demandadas a este precio? ¿A qué precio se maximizará el ingreso total?
Caso II.
La función de oferta qs = f(p) para un producto es cuadrática. Tres puntos que se encuentran
en ella son (60, 2750), (70, 6000) y (80, 9750).
a) Determine el modelo de la oferta.
b) Calcule e interprete la intersección con el eje x.
c) ¿Qué cantidad ofrecerá a un precio de $75?
Caso III.
La función de la demanda qd = f(p) para un producto es cuadrática. Tres puntos que se
encuentran en ella son (5, 1600), (10, 900) y (20, 100). Determine el modelo
correspondiente de la Demanda. ¿Qué cantidad se demandará a un precio de mercado de
$15?
Caso IV.
Las funciones de demanda y oferta de un producto son:
Oferta qs = p² - 400
Demanda qd = p² -40p + 2600
Determine el precio y cantidad de equilibrio del mercado.
Caso V.
Un agente de viajes está organizando una excursión a un conocido lugar de recreo. Ha
cotizado un precio de $300 por persona, si reúne a 100 o menos pasajeros. Por cada
pasajero después de los 100, el precio que se cobra a todos ellos disminuirá en $2.50. Por
ejemplo, si se inscriben en la excursión 101 pasajeros, cada uno pagará $297.50. Sea x el
número de personas después de 100.
a) Determine la función que exprese el precio por persona p en función de x, o sea p =
f(x).
b) Formule el modelo I = h(x), que exprese el ingreso total en boletos I en función de x.
c) ¿Qué valor de x produce el máximo valor de I?
d) ¿Cuál es el valor máximo de I?
e) ¿Con qué precio por boleto se obtiene un I máximo?
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 73
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
74
Caso VI.
Un vendedor al por menor puede obtener un producto del fabricante a $50 cada uno. El
vendedor ha estado vendiendo el producto a $80 cada unidad y, a este precio los
consumidores han estado demandando 40 artículos al mes. El vendedor planea bajar el
precio para estimular las ventas y estima que por cada $5 de reducción en el precio se
venderán 10 artículos más cada mes.
a) Formule el modelo de beneficio en función del precio de venta.
b) Dibuje el gráfico.
c) Estime el precio al que se obtendrían mayores beneficios.
Caso VII.
El costo de mantener una cuenta corriente en cierto banco es $12 por mes más 10 centavos
por cada cheque girado. Un banco de la competencia cobra $10 por mes más 14 centavos
por cheque girado. Halle el criterio para decidir cuál banco ofrece el mejor negocio.
Caso VIII.
A un editor le cuesta US$74,2000 preparar un libro para publicación (digitación de texto,
ilustración, edición, etc.) Los costos de impresión y encuadernación son US$5.50 por
ejemplar. El libro se vende a las librerías a US$19.50 cada ejemplar.
a) Elabore una tabla que muestre el costo de producir 2,000, 4,000, 6,000 y 8,000
ejemplares.
b) Elabore una tabla que muestre el ingreso de la venta de 2,000, 4,000, 6,000 y 8,000
ejemplares.
c) Escriba el modelo matemático que represente el costo como una función del número
de libros producidos.
d) Escriba el modelo matemático que represente el ingreso como una función del
número de libros vendidos.
e) Represente gráficamente ambos modelos en el mismo eje de coordenada.
f) ¿Cuándo el costo iguala el ingreso?
g) Utilice la gráfica para determinar cuántos libros deben publicarse para producir un
ingreso de por los menos US$85,000. ¿Cuánta utilidad deja este número de libros?
Caso IX.
Durante el verano un grupo de estudiantes construye kayaks en un garaje adaptado para tal
fin. El alquiler del garaje cuesta US$1,500 en el verano, y los materiales necesarios para
construir un kayak cuesta US$125. ¿Pueden venderse los kayaks a US$275 la unidad?
a) ¿Cuántos kayaks deben vender los estudiantes para alcanzar el punto de equilibrio?
b) ¿Cuántos kayaks deven vender los estudiantes para obtener una utilidad e US$1,000?
Caso X.
Un fabricante vende lámparas a US$30 por unidad. A este precio, los consumidores
compran 3,000 lámparas al mes. El fabricante desea incrementar el precio y estima que por
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 74
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
75
cada incremento de US$1 en el precio, se venderán 1,000 lámparas menos cada mes. El
fabricante puede producir las lámparas a US$18 la lámpara. Exprese la utilidad mensual
del fabricante como una función del precio al que se venden las lámparas, dibuje la gráfica
y calcule el precio óptimo de venta.
Caso XI.
Una librería puede pedir cierto libro a una editorial a un costo de US$ 3 el ejemplar. La
librería ofrece el libro a US$15. A este precio, se venden 200 ejemplares. La librería
planea bajar el precio para estimular las ventas y estima que por cada reducción US$1 en el
precio, se venderán 20 libros más cada mes. Exprese la utilidad mensual de la librería por
la venta de este libro como una función del precio de venta, dibuje la gráfica y calcule el
precio óptimo de venta.
Caso XII.
Los modelos de oferta y de demanda de cierto artículo son S(p) = p –10 y D(p)=5,600/p,
respectivamente.
a) Halle el precio de equilibrio y el número correspondiente de unidades ofrecidas y
demandadas.
b) Dibuje la curva de oferta y de demanda en el mismo conjunto de ejes.
c) ¿Dónde corta la curva de oferta el eje p? Explique la interpretación económica de
este punto.
Caso XIII.
Las funciones de la oferta y la demanda de cierto artículo son S(p)=4p+200 y D(p)=3p+480, respectivamente. Halle el precio de equilibrio y el número correspondiente de
unidades que se ofrecieron y se demandaron, y dibuje las curvas de oferta y de demanda en
el mismo conjunto de ejes.
Caso XIV.
Cada unidad de cierto artículo cuesta p=35x+15 centabos cuando se producen x unidades
del artículo. Si se venden todas las x unidades a este precio, exprese el ingreso derivado de
las ventas como una función de x.
Caso XV.
La figura a continuación contiene las localizaciones relativas de tres ciudades. Una gran
organización para la conservación de la salud desea construir una clínica satélite para dar
servicio a las tres ciudades. La ubicación de la clínica x deberá ser tal que se minimice la
suma de los cuadrados de las distancias entre la clínica y cada ciudad. Este criterio puede
formularse así:
3
Minimice S =  dj²
J=1
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 75
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
76
3
S= f(x) =  (x - xj)²
J=1
Donde xj es la ubicación de la ciudad j, y “x” es la de la clínica.
a) Determine la función distancia S = f(x).
b) Determine la ubicación que minimice a S.
Ciudad 1
Ciudad 2
Ciudad 3
===========*===============*=========================================*================= MILLAS
0
20
50
120
Caso XVI.
Un fabricante ha ideado un nuevo diseño para los paneles solares. Según los estudios de
mercadotecnia que se han realizado, la demanda anual de los paneles dependerá del
precio al que se venden. La función de su demanda ha sido estimada así:
q = 100,000 – 200p
Los estudios de ingeniería indican que el costo total de la producción de q paneles está
representado muy bien por la función:
C = 150,000 + 100q + 0.003q²
a) Determine el ingreso en función de las unidades vendidas I = f(q)
b) Formule la función de utilidad U = f(q) que exprese la utilidad anual en función
del número de unidades q que se producen y venden.
c) Determine el punto de maximización de las utilidades.
d) Represente Gráficamente la utilidad en función de las unidades producidas y
vendidas.
Caso XVII.
Un almacén vende un popular juego de computador a US$40 la unidad. A este precio,
los jugadores han comprado 50 unidades al mes. El propietario del almacén desea
aumentar el precio del juego y estima que por cada aumento de US$1 en el precio, se
venderán 3 unidades menos cada mes. Si cada unidad cuesta al almacén US$25, ¿a qué
precio debería venderse el juego para maximizar la utilidad? Represente gráficamente.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 76
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
77
Caso XVIII.
Una compañía de televisión por cable ha averiguado que su rentabilidad depende de la
tarifa mensual que cobra a sus clientes. Específicamente, la relación que describe la
utilidad anual U (en dólares) en función de la tarifa mensual de renta r (en dólares) es la
siguiente:
U = - 50,000r² + 2,500,000r – 5,000,000
a) Determine la tarifa de renta mensual que dé por resultado la utilidad máxima.
b) ¿Cuál es la utilidad máxima esperada?
c) Suponga que la comisión local de servicios ha impuesto a la compañía la
obligación de no cobrar una tarifa mayor que $20.
a. ¿Cuál tarifa produce la utilidad máxima a la compañía?
b. ¿Cuál es el efecto que la decisión de la comisión tiene en la rentabilidad de
la empresa?
Caso XIX.
Una librería puede pedir cierto libro a una editorial a un costo de US$ 3 el ejemplar. La
librería ofrece el libro a US$15. A este precio, se venden 200 ejemplares. La librería
planea bajar el precio para estimular las ventas y estima que por cada reducción US$1 en
el precio, se venderán 20 libros más cada mes. Exprese la utilidad mensual de la librería
por la venta de este libro como una función del precio de venta, dibuje la gráfica y
calcule el precio óptimo de venta.
Caso XX.
Una organización de caridad está planeando un tour por avión y una semana de
vacaciones en el Caribe. Se trata de una actividad tendiente a recaudar fondos. Se ha
contratado un paquete con una aerolínea comercial, y la organización pagará un costo
fijo de US$10,000 más US$300 por persona. Esta última cantidad cubre el costo del
vuelo, los traslados, el hotel, las comidas y propinas. La organización proyecta cobrar el
paquete a US$450 por persona.
a) Determine el número de personas necesarias para alcanzar el equilibrio en esta
actividad.
b) La meta de la organización es obtener una utilidad de US$10,000. ¿Cuántas
personas han de participar para poder conseguirla?
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 77
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
78
Caso XXI.
Un minorista puede obtener cámaras del fabricante a un costo de US$50 la unidad. El
minorista vende las cámaras a US$80 cada una; a este precio, los consumidores compran
40 cámaras al mes. El minorista planea reducir el precio para estimular las ventas y
estima que por cada reducción de US$5 en el precio, se venderán 10 cámaras más cada
mes. Exprese la utilidad mensual del minorista proveniente de la venta de cámaras
como una función del precio de venta. Dibuje la gráfica y calcule el precio óptimo de
venta.
Caso XXII.
La función de demanda de un producto es:
q = f(p) = 450,000 – 30p
donde q es la cantidad demandada y p indica el precio de venta en dólares. Determine la
función del ingreso total.
e) ¿Cuál sería el margen de tolerancia en precio que soportaría el producto para
generar beneficio?
f) ¿Qué precio corresponde al ingreso máximo?
g) ¿Cuántas unidades serán demandadas a este precio (b)?
h) ¿Cuál es la concavidad de la función?
Caso XXIII.
Las funciones de oferta y demanda de un producto son:
qs = 4p² - 500
qd = 3p² - 20p + 1000
Determine el precio y cantidad del equilibrio del Mercado.
Caso XXIV.
La función de demanda para un producto es p = 1,000 – 2q, donde p es el precio en
dólares por unidad cuando q unidades son demandadas (por semana) por los
consumidores. Encontrar el nivel de producción que maximice el ingreso total del
productor, y determinar ese ingreso.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 78
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
79
Caso XXV.
La I. M. Handy Corporation es un gran fabricante de computadoras. Y actualmente está
planeando penetrar en el mercado de microcomputadoras. La empresa necesita ayuda
para analizar este nuevo producto. Los ingenieros de manufactura estiman que los
costos variables de producción serán de $100 por unidad. Los costos fijos que se
requieren para establecer la línea de producción se calculan en $2,500,000. Los
investigadores de mercado realizaron algunos estudios preliminares y llegaron a la
conclusión de que la función de la demanda para el nuevo producto será
aproximadamente lineal. Es decir, el número de unidades demandado, q, variará según
el precio, p, en forma lineal. Dos puntos de datos (p, q) que se utilizarán al definir esta
función son (100 ; 26,000) y (500 ; 10,000).
La compañía solicita al lector lo siguiente:
a) Formulación de la función de la demanda q = f(p).
b) Formulación del ingreso total I = f(q).
c) Formulación de la función del costo total.
d) Determinación del nivel o niveles de equilibrio de la producción.
e) Una representación gráfica de las funciones de ingresos y costos que muestre el
punto o puntos de equilibrio.
f) Determinación del precio o precios que deben fijarse en el punto o puntos de
equilibrio.
g) Una explicación de por qué hay más de un punto de equilibrio (en caso de que
existan varios).
h) Formulación de la función de las utilidades totales.
i) Determinación del número de unidades que deberían venderse a fin de maximizar
las utilidades totales. ¿Cuál es la utilidad esperada?
j) Determinación del precio que debería fijarse en el nivel de producción
correspondiente a la maximización de utilidades.
Caso XXVI.
Una firma vende cada unidad de un producto en $400. La función de costo que describe
el costo total en términos del número de unidades producidas y vendidas x es:
C(x) =
40x + 0.25x² + 250
a) Formule la función de utilidad U = f(x). Represente gráficamente.
b) ¿Cuántas unidades deberían producirse y venderse a fin de maximizar la utilidad
total?
c) ¿Cuál es el ingreso total en este nivel de producción?
d) ¿Cuál es el costo total en este nivel de producción?
Caso XXVII.
La función de demanda para el fabricante de un producto es p = f(q) = 1,200 – 3q, donde
p es el precio (en dólares) por unidad cuando se demandan q unidades (por semana).
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 79
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
80
Encuentre el nivel de producción que maximiza el ingreso total del fabricante y
determine este ingreso.
Caso XXVIII.
Halle el precio de equilibrio y el número correspondiente de unidades ofrecidas y
demandadas si la función de oferta por cierto artículo es S(p) = p² + 3p – 70 y la función
de demanda es D(p) = 410 – p. Represente gráficamente.
Caso XXIX.
Cuando se venden licuadoras a p dólares la unidad, los fabricante ofrecerán p²/10
licuadoras a los minoristas locales, mientras que la demanda local será 60 – p licuadoras.
¿a qué precio en el mercado será igual a la demanda de los consumidores, y la oferta de
licuadoras de los fabricantes. ¿Cuántas licuadoras se venderán a este precio?
Caso XXX.
Producción Agricola.
Un cultivador de frutas cítricas de Bonao estima que si planta 60 naranjos, la producción
media por árbol será 400 naranjas. La producción media disminuirá en 4 naranjas por
árbol adicional plantado. Exprese la producción total como una función del número de
árboles adicionales plantados, dibuje la gráfica y cálcule el número total de árboles que
el cultivador debe plantar para maximizar la producción.
Caso XXXI.
Las funciones de la oferta y demanda de cierto artículo son:
S(p) = 4p + 200
D(p) = 5,600/p
a) Halle el precio de equilibrio y el número correspondiente de unidades ofrecidas y
demandadas.
b) Dibuje la curva de oferta y de demanda en el mismo conjunto de ejes.
Caso XXXII.
Determinar la cantidad de equilibrio de Fabricaciones XYZ dada la información
siguiente: costo fijo total, $1200; costo variable por unidad, $2; ingreso total por la venta
de q unidades, 100q.
Determine el punto o puntos de equilibrios y Represente gráficamente las funciones
anteriores.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 80
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
81
Caso XXXIII.
Una compañía de autobuses alquilará un autobús con capacidad para 50 personas a
grupos de 35 personas o más. Si un grupo tiene exactamente 35 personas, cada persona
paga US$60. En grupos grandes, la tarifa se reduce en US$1 por cada persona adicional
a las 35. Determine el tamaño del grupo para el cual el ingreso de la compañía de buses
será máximo. Represente gráficamente.
Caso XXXIV.
Una compañía de bienes raíces es propietaria del conjunto de departamentos Torre
Alegro, el cual consiste en 96 departamentos, cada uno de los cuales puede ser rentado
en $550 mensuales. Sin embargo, por cada $25 mensuales de aumento en la renta, se
tendrán tres departamentos desocupados sin posibilidad de que se renten. La Compañía
quiere recibir $54,600 mensuales de rentas. ¿Cuál debe ser la menta mensual de cada
departamento?
Caso XXXV.
Un fabricante quiere introducir la tecnología de la robótica en uno de sus procesos de
producción. El proceso creará un “ambiente hostil” para los hombres.
En concreto, requiere exponerse a temperaturas muy altas y a emanaciones
potencialmente tóxicas. Se han identificado dos robots que parecen tener la capacidad
para ejecutar las funciones del proceso de producción. Al parecer no hay importantes
diferencias en la velocidad a que ambos trabajan. Un robot cuesta $180,000 y tiene
costos estimados de mantenimiento de $100 por hora de operación. El segundo modelo
cuesta $250,000 con costos de mantenimiento estimados en $80 por hora de operación.
a) ¿a qué nivel de operación (horas totales de producción) costarán lo mismo los dos
robots?
b) Defina los niveles de operación en que cada robot será el menos caro?
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 81
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
82
Deducción de la Fórmula Cuadrática.
ax² + bx + c = 0 es una función cuadrática. Ya que “a” es diferente de 0, podemos dividir
entre a:
ax² + bx + c = 0
a a
x² + bx = - c
a
a
Si sumamos a ambos lados (b/2a)² , entonces el miembro izquierdo se factoriza como el
cuadrado de un binomio:
x² + bx + (b/2a)² = (b/2a)² - c
a
a
(x + b/2a)² = b² - 4ac
4 a²
(x + b/2a)² -  b² - 4ac
2a
²=0
Descomponemos en dos factores:
x + b/2a -  b² - 4ac
2a
x + b/2a -  b² - 4ac = 0
2a
Por tanto,
x = - b + ( b² - 4ac)
2a
x = - b - ( b² - 4ac)
2a
x = - b  ( b² - 4ac)
2a
x + b/2a =   b² - 4ac
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 82
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
83
4 a²
x + b/2a =  ( b² - 4ac)
2a
Resolviendo para x se obtiene:
x = - b  ( b² - 4ac)
2a
2a
x = - b  ( b² - 4ac)
2a
Si a, b y c son reales, podemos deducir las propiedades siguientes:
b² - 4ac es positivo, las dos soluciones son reales y desiguales.
b² - 4ac es es cero, las dos soluciones son reales e iguales.
b² - 4ac es negativo, las dos soluciones son desiguales y ninguna de ellas es real.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 83
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
84
MODELOS LINEALES
Ejercicios Propuestos. Construya los modelos, represente gráficamente cada situación e
intérprete los resultados.
Caso I.
El costo de preparación de una línea de producción es de US$3,000, en el que se incurre
independientemente del número de unidades que finalmente se produzcan. Además, los
costos de mano de obra y material variables son de US$2 por cada unidad producida.
Representa Gráficamente.
CT = 3000 + 2x
Caso II.
Eastman Publishing Company está considerando la publicación de un libro de texto, de tipo
de bolsillo, sobre la aplicación, sobre la aplicación de hojas de cálculos en los negocios. El
costo fijo de preparación del manuscrito, el diseño del libro y la puesta en marcha de la
producción se estima en US$80,000 dólares. Los costos variables de producción y
materiales se estiman igual a US$3 dólares por libro. La demanda durante la vigencia del
libro se estima en 4,000 ejemplares. El editor planea vender el libro a las librerías de
colegios y universidades a US$20 dólares cada uno.
f. ¿Cuál es el punto de equilibrio?
CF = 80,000
Cu=3
Pu=20
B = I – CT = 0
20x = 80,000 + 3x
17x = 80,000
x = 80,000/17 = 4,706
g. ¿Qué utilidad o pérdida se puede prever, con una demanda de 4,000
ejemplares?
B = I – CT
B = 20x – (80,000 + 3x)
B = 17(4,000) – 80,000
B = 68,000 – 80,000
B = -12,000
h. Con una demanda de 4,000 ejemplares, ¿cuál es el precio mínimo por
ejemplar que debe cobrar el editor para llegar a punto de equilibrio?
Q = CF / (Pu – Cu)
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 84
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
85
4000 = 80,000 / (Pu – 3)
4000 (Pu – 3) = 80,000
4000Pu – 12,000 = 80,000
4000Pu = 80,000 + 12,000
Pu = 92,000/4000 = 23
i. Si el editor piensa que el precio por ejemplar pudiera incrementar hasta
US$25.95 dólares sin afectar la demanda prevista de 4,000 ejemplares, ¿qué
acción recomendaría usted? ¿Qué utilidad o pérdida se podría prever?
B = 25.95x – (80,000 + 3x)
B = 22.95x – 80,000
B = 22.95(4,000) – 80,000
B = 11,800
j. Represente gráficamente.
Caso III.
Están en marcha planes preliminares para la construcción de un nuevo estadio de béisbol.
Los funcionarios de la ciudad han cuestionado el número y rentabilidad de los palcos
corporativos de lujo planeados para el piso superior del estadio. Los palcos pueden ser
adquiridos por empresas e individuos seleccionados, a US$100,000 dólares cada uno. El
costo fijo de construcción del área en el piso superior se estima en US$1,500,000 dólares,
con un costo variable de US$50,000 dólares por cada palco construido.
c. ¿Cuál será el punto de equilibrio para los palcos de lujo del nuevo estadio?
Pu = 100,000
CF = 1,500,000
Cu = 50,000
I = CT
100,000x = 1,500,000 + 50,000x
50,000x = 1,500,000
x = 1,500,000/50,000 = 30 palcos
d. Dibujos preliminares del estadio muestran que hay espacio disponible para la
construcción de hasta 50 palcos de lujo. Los promotores indican que hay
compradores detectados y que si se construyen, se venderían los 50. ¿Cuál es
su recomendación respecto a la Construcción de los palcos de lujo? ¿Qué
utilidad se puede esperar?
B = I – CT
B = 100,000(50) – (1,500,000 + 50,000(50))
B = 5,000,000 – 4,000,000 = 1,000,000
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 85
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
86
Caso IV.
Un grupo de ingenieros quiere formar una compañía para producir detectores de humo.
Han ideado un diseño y estiman que los costos variables por unidad, incluyendo material,
mano de obra y costos de mercadotecnia, son de US$22.50 dólares. Los costos fijos
relacionados con la formación, operación y dirección de la compañía y la compra de equipo
y maquinaria dan en total US$250,000 dólares. Estiman que el precio de venta será de
US$30 dólares por detector.
c) Determine el número de detectores de humo que han de venderse para que la
empresa alcance el equilibrio en el negocio.
Cu = 22.5
CF = 250,000
Pu = 30
Q = CF / (Pu – Cu)
Q = 250,000 / (30 –22.5)
Q = 250,000 / 7.5
Q = 33,333.33
d) Los datos preliminares de mercadotecnia indican que la empresa venderá
aproximadamente 30,000 detectores de humo a lo largo de la vida del proyecto, si le
pone un precio de US$30 cada uno. Determine las utilidades esperadas en este nivel
de producción.
B = I – CT
B = 30x – (250,000 – 22.5x)
B = 30(30,000) – (250,000 – 22.5(30,000)
B = 900,000 – 925,000
B = - 25,000
Caso V.
Una empresa agrícola tiene tres granjas que se utilizarán el año entrante. Cada una está
dotada de características especiales que la hacen adecuada sólo para un tipo de cultivo. La
siguiente tabla contiene el cultivo seleccionado para cada granja, el costo anual de plantar 1
acre, el ingreso que es espera obtener por acre y los costos fijos de la administración de las
granjas. Además de esos costos fijos, la corporación en conjunto tiene costo fijos anuales
de US$75,000. Determine la función de utilidad para la operación de las tres granjas.
Granja
1
2
3
Cultivo
Soya
Maíz
Papas
Costo/acre
900
1,100
750
Ingreso/acre
1,300
1,650
1,200
Costo Fijo
150,000
175,000
125,000
I (x1,x2,x3) = 1,300x1 + 1,650x2 + 1,200x3
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 86
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
87
CT (x1,x2,x3) = (900x1 + 150,000 + 1,100x2 + 175,000 + 750x3 + 125,000) + 75,000
U = I – CT = 1,300x1 + 1,650x2 + 1,200x3 – (900x1 + 150,000 + 1,100x2 + 175,000 + 750x3 +
125,000 + 75,000)
U = 400x1 + 550x2 + 450x3 – 525,000
Caso VI.
Una empresa vende un solo producto a US$65 dólares por unidad. Los costos variables por
unidad son de US$20 dólares por concepto de materiales y de US$27.50 por concepto de
mano de obra. Los costos fijos anuales ascienden a US$100,000. Formule la función de
utilidad expresada en término de unidades producidas y vendidas. ¿Qué utilidad se gana si
las ventas anuales son de 20,000 unidades?
Pu = 65
Cu = 20 + 27.5 = 47.5
CF = 100,000
U = I – CT
U = 65x – (100,000 – 47.5x)
U = 17.5x – 100,000
U = 17.5(20,000) – 100,000
U = 350,000 – 100,000
U = 250,000
Caso VII.
Dos puntos sobre una función lineal de demanda son (US$20 dólares, 60,000 unidades) y
($30 dólares, 47,500 unidades).
e) Determine la función de la demanda.
m = tg  = y2 – y1 = 20
30 = -10/12,500
x2 – x1 60,000 – 47,500
m = -1/1250
m (x – x1) = (y – y1)
-1/1,250 (x – 60,000) = (y – 20)
-1 (x – 60,000) = 1,250 (y – 20)
-x + 60,000 = 1,250y – 25,000
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 87
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
88
(-1) -x – 1,250y + 85,000 = 0
x + 1,250y – 85,000 = 0
f) Determine que precio originará una demanda de 65,000 unidades.
x + 1,250y – 85,000 = 0
65,000 + 1,250y – 85,000 = 0
1,250y – 20,000 = 0
1,250y = 20,000
y = 20,000 / 1,250
y = 16
g) Interprete la pendiente de la función.
h) Grafique la función.
Caso VIII.
Dos puntos sobre la función lineal de la oferta son (US$6 dólares, 28,000 unidades) y
(US$7.5 dólares, 37,000).
f) Determine la función de la oferta.
m = tg  = y2 – y1 = 6
7.5 = -1.5/-9,000
x2 – x1 28,000 – 37,000
m = 1.5/9,000 = 1/6,000
m (x – x1) = (y – y1)
1/6,000 (x – 28,000) = (y – 6)
x – 28,000 = 6,000 (y - 6)
x – 28,000 = 6,000y – 36,000
x - 6,000y + 8,000 = 0
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 88
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
89
g) ¿Qué precio hará que los proveedores ofrezcan 135,000 unidades a la venta?
x - 6,000y + 8,000 = 0
135,000 – 6,000y + 8,000 = 0
143,000 – 6,000y = 0
-6,000y = -143,000
y = -143,000/-6,000
y = 23.83
h) Interprete la pendiente de la función.
i) Interprete la intersección con el eje x.
j) Grafique la función.
Caso IX.
Una compañía ha analizado sus ventas y ha determinado que sus clientes compran 20% más
de sus productos por cada US$2 de reducción en el precio unitario. Cuando el precio es
US$12 la compañía vende 500 unidades.
f) Formule el modelo de demanda.
Y
 X
Pu=12  D=500 unidades
Pu=12 - 2 = 10
20% más de D=500+(0.20*500) = 600
Pu=10  D=600
m = tg  = y2 – y1 = 12 - 10 = 2/-100
x2 – x1 500 – 600
m = -2/100 = -1/50
m (x – x1) = (y – y1)
-1/50 (x – 500) = (y – 12)
-1(x – 500) = 50 (y – 12)
-x + 500 = 50y – 600
-x –50y + 1,100 = 0
x + 50y – 1,100 = 0
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 89
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
90
g) ¿Cuál sería la mayor cantidad a demandar?
x + 50y – 1,100 = 0
x + 50(0) – 1,100 = 0
x = 1,100
h) ¿Cuál sería el mayor precio a pagar por el artículo?
x + 50y – 1,100 = 0
(0)+ 50y – 1,100 = 0
50y – 1,100 = 0
y = 1,100/50 = 22
i) ¿Cuál sería el precio si la cantidad demandada asciende a 600 unidades?
x + 50y – 1,100 = 0
600 + 50y – 1,100 = 0
50y – 500 = 0
50y = 500
y = 10
j) ¿Cuál será la demanda si el precio del producto es US$8?
x + 50y – 1,100 = 0
x + 50(8) – 1,100 = 0
x + 400 – 1,100 = 0
x – 700 = 0
x = 700
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 90
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
91
Caso X.
Una compañía pretende entregar 5,000 artículos mensualmente a un precio de US$5 por
unidad. Si el precio tiene una disminución de un 30%, la compañía sólo se compromete a
entregar un 40% de la oferta anterior.
e) Formule el modelo de la oferta.
Y
 X
Pu=5  D=5,000 unidades
Pu= 5 – (5 * 0.30) = 3.5
D = 5,000 * 0.4 = 2,000
Pu=3.5  D=2,000
m = tg  = y2 – y1 = 5
- 3.5 = 1.5/3,000
x2 – x1 5,000 – 2,000
m = 1/2000
m (x – x1) = (y – y1)
1/2000 (x – 5,000) = (y – 5)
x – 5,000 = 2,000 (y – 5)
x – 5,000 = 2,000y – 10,000
x – 5,000 – 2,000y + 10,000 = 0
x – 2000y + 5,000 = 0
f) ¿Cuál sería la menor oferta?
x – 2000y + 5,000 = 0
x – 2000(0) + 5,000 = 0
x = -5,000
g) ¿Cuál sería la oferta si el precio es US$7?
x – 2000y + 5,000 = 0
x – 2,000(7) + 5,000 = 0
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 91
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
92
x – 14,000 + 5,000 = 0
x – 9,000 = 0
x = 9,000
h) ¿Cuál será el precio si se solicitan 6,000 unidades del producto?
x – 2000y + 5,000 = 0
6000 – 2,000y + 5,000 = 0
11,000 – 2,000y = 0
-2,000y = - 11,000
y = -11,000/-2,000 = 5.5
Caso XI.
Los siguientes modelos representan la oferta y la demanda de un determinado producto.
Determine gráfica y analíticamente el mercado de equilibrio.
Ox+y=5
D  2x – y = 5.5
y=5–x
- y = 5.5 – 2x
y = 2x – 5.5
5 – x = 2x – 5.5
- x – 2x = - 5.5 – 5
-3x = -10.5
x = 3.5
3.5 + y = 5
y = 5 – 3.5
y = 1.5
Caso XII.
Una compañía fabrica dos productos diferentes. Para la semana entrante dispone de 120
horas de trabajo destinadas a la elaboración de ambos productos. Puede asignar horas de
trabajo a la fabricación de ambos productos. Además, como los dos tipos de producción
aportan buenas ganancias, a la dirección le interesa utilizar las 120 horas durante la semana.
Cada unidad del producto A requiere 3 horas de trabajo de elaboración, y cada unidad del
producto B requiere 2.5 horas.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 92
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
93
d) Defínase una ecuación que establezca que las horas totales de trabajo dedicadas a la
producción “x” unidades del producto A y “y” unidades del producto B son 120.
3x + 2.5y = 120
e) ¿Cuántas unidades del producto A pueden fabricarse si se elaboran 30 unidades del
producto B?
3x + 2.5y = 120
3x + 2.5(30) = 120
3x + 75 = 120
3x = 120 – 75
3x = 45
x = 15 unidades del producto A
f) Si la gerencia decide producir sólo un artículo, ¿cuál será la cantidad máxima que
puede fabricarse del producto A? ¿Y cuál será la cantidad máxima que puede
fabricarse del producto B?
3x + 2.5y = 120
3x + 2.5(0) = 120
3x = 120
x = 40 unidades del producto A
3(0) + 2.5y = 120
2.5y = 120
y = 120/2.5
y = 48 unidades del producto B
Caso XIII.
La Cruz Roja Internacional está haciendo planes para transportar por avión alimentos y
suministros médicos a Iraq. En la tabla adjunta se incluyen los cuatro suministros que
urgen y sus respectivos volúmenes por caja o recipiente. El primer avión que se enviará a la
zona tiene una capacidad de volumen de 6000 pies cúbicos. Determine la ecuación cuyo
conjunto solución contenga todas las posibles combinaciones de los cuatro suministros que
llenarán el avión en toda su capacidad.
Suministro
Volumen/Caja, ft3
Sangre
20
Equipo médico
30
Alimentos
8
Agua
6
Volumen de sangre + Volumen de Equipo Medico + Volumen de Alimentos + Volumen de
agua = 6,000 pies cúbicos
Cajas
X1 = Numero de recipientes de sangre
X2 = Numero de contenedores de equipo medico
X3 = Numero de cajas de alimentos
X4 = Numero de recipientes de agua
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 93
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
94
20x1 + 30x2 + 8x3 + 6x4 = 6,000
Sangre
Equipo M.
Alimentos
Agua
x1
x2
x3
x4
pies3
20
30
5
6
cajas
40
65
350
250
Total
Volumen
800
1950
1750
1500
6000
Caso XIV.
Una compañía nacional está iniciando una campaña publicitaria por medio de la televisión,
la radio y la prensa. El objetivo es lograr que 10 millones de personas vean los anuncios.
La experiencia revela que, por cada 1000 dólares asignados a la publicidad por televisión,
radio y prensa, la publicidad llegará a 25,000, 18,000 y 15,000 personas, respectivamente.
Las decisiones que han de adoptarse se refieren a cuánto dinero se asignará a cada forma de
publicidad, a fin de llegar a 10 millones de personas. Determine el modelo (ecuación) cuyo
conjunto solución especifique todas las asignaciones de publicidad que den por resultado la
obtención de esta meta.
25,000x1 + 18,000x2 + 15,000x3 = 10,000,000
TV
RADIO
PRENSA
x1
x2
x3
Inversion
Alcance por Publicidad Alcance en
USD 1000 en miles Personas
25,000
250
6,250,000
18,000
150
2,700,000
15,000
70
1,050,000
Personas 10,000,000
Caso XV.
Una empresa que elabora un solo producto quiere determinar la función que expresa el
costo total anual y en función de la cantidad de unidades producidas. Los contadores
indican que los gastos cada año son de US$50,000 dólares. También han estimado que los
costos de materias primas por cada unidad producida ascienden a UD$5.50 y que los costos
de mano de obra son de US$1.50 en el departamento de montaje, $0.75 en el cuarto de
acabado y US$1.25 en el departamento de empaque y embarque.
CF = 50,000
Cu1 = 5.50 materia prima
Cu2 = 1.50 mano de obra de montaje
Cu3 = 0.75 mano de obra de acabado
Cu4 = 1.25 de empaque y embarque
Cu = 9
CT = 50,000 + (5.50x + 1.50x +0.75x + 1.25x)
CT = 50,000 + 9x
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 94
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
95
Caso XVI.
Una agencia de alquiler de automóviles compra nuevas unidades cada año para rentarlas.
Los automóviles nuevos cuestan US$12,000 dólares. Se emplean tres años y luego se
venden en US$2,500 dólares. El dueño de la agencia estima que los costos variables de
operación de los automóviles, sin contar la gasolina, son de US$0.25 por milla. Los
automóviles se alquilan en US$0.40 por milla (sin incluir gasolina).
f) Formule la función de ingreso total relacionada con el alquiler de los automóviles por
millas.
Pu = 0.40/milla
I = 0.40x
g) Formule el modelo de costo total asociada al alquiler de un automóvil por millas.
Cu = 0.25/milla
CT = 12,000 + 0.25x
h) Formule la ecuación de utilidad.
U = I – CT
U = 0.40x – (12,000 + 0.25x)
U = 0.15x – 12,000
Punto de Equilibrio:
0.40x = 12,000 + 0.25x
0.40x – 0.25 x = 12,000
0.15x = 12,000
x = 80,000
i) ¿Cuál será la utilidad si el vehículo se renta por 60,000 millas durante el período de
los tres años?
U = 0.15x – 12,000
U = 0.15(60,000) – 12,000 = - 3,000
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 95
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
96
j) Si los contadores aplican la depreciación en línea recta, determine la función que
describa el valor en libros de V en función de la edad del automóvil t.
Depreciación = Valor depreciable – Valor residual = C - R
Vida útil
n
Depreciación = Valor depreciable – Valor residual = C – R = 12,000-2,500
Vida útil
n
3
D = 3,166.67
Valor en libros V(t) = Valor depreciable – Depreciación(tiempo) = C – D(t)
Valor en libros V(t) = 12,000 – 3,166.67(t)
Calendario de Depreciación en línea recta
Automovil (al costo original de adquisición)
12,000.00
12,000.00
12,000.00
Menos: Depreciación acumulada (la parte del
costo original que ya se ha cargado en forma
de un gasto)
3,166.67
6,333.33
9,500.00
Valor neto en libros
8,833.33
5,666.67
2,500.00
Caso XVII.
Una gasolinera vende gasolina regular y de primera calidad sin plomo. El precio por galón
es de US$1.80 para la gasolina regular y de US$2.00 para la de primera calidad sin plomo.
El costo por galón que cobra el proveedor es de US$1.66 y US$1.88, respectivamente.
e) Formule la función de ingreso obtenido para cada tipo de gasolina y para ambas.
I = Pu * x
I1 = 1.80x1
I2 = 2.00x2
IT = 1.80x1 + 2x2
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 96
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
97
f) Formule la función de costo para cada tipo de gasolina y para ambas.
CV = Cu * x
C1 = 1.66x1
C2 = 1.88x2
CT = 1.66x1 + 1.88x2
g) Formule la función de utilidad total.
U = I – CT
U = 1.80x1 + 2x2 – (1.66x1 + 1.88x2)
U = 0.14x1 + 0.12x2
h) ¿Cuál es la utilidad esperada si la estación vende 200,000 galones de gasolina regular
y 80,000 galones de gasolina de primera calidad sin plomo?
U = 0.14x1 + 0.12x2
U = 0.14(200,000) + 0.12(80,000)
U = 28,000 + 9,600
U = 37,600
Caso XVIII.
Decisión sobre la renta de computadora o la contratación de una empresa de servicio
computacionales.
Un numero grupo médico se compone de 20 médicos de tiempo completo. En el momento
actual, los empleados preparan manualmente las facturas de los pacientes. Debido al
enorme volumen de facturas, el gerente administrativo piensa que ha llegado el momento de
hacer la transición de la facturación manual a la computarizada. Están estudiándose dos
opciones:
4) el grupo médico puede alquilar la computadora y los programas y hacer él mismo la
facturación (la opción de hacer) o
5) puede contratar a una empresa de servicios computacionales que se encargue de
efectuar la facturación (contratar).
Los costos de una y alternativas depende de la cantidad de facturas. La oferta más
baja presentada por una empresa de servicios computacionales originará una cuota de
US$3,000 dólares anuales más US$0.95 por factura procesada. Con ayuda de un
experto en computación, el gerente administrativo estimó que el grupo puede rentar
un pequeño sistema de cómputo para negocios, junto con los programas necesarios, a
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 97
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
98
un costo de US$15,000 por año. Se estima en US$0.65 por factura los costos
variables de realizar la facturación de este modo.
Servicios de Facturación = S(x) = 3,000 + 0.95x
Alquilar y Facturar = A(x) = 15,000 + 0.65x
3,000 + 0.95x = 15,000 + 0.65x
0.30x = 12,000
x = 12,000/0.3
x = 40,000
Si el número esperado de facturas de pacientes por año rebasa las 40,000, la opción de
alquilar es más barata. Si se espera que el número de facturas sea menor que 40,000, la
opción de contratar los servicios cuesta menos.
Caso XIX.
Una firma está diseñando una campaña publicitaria por televisión. Los costos de desarrollo
(costos fijos) son US$150,000 dólares y la firma pagará US$15,000 dólares por minutos en
cada spot de televisión. La firma estima que, por cada minuto de publicidad, se obtendrá un
aumento de US$70,000 en las ventas. De esta cifra, US$47,500 se absorben para cubrir el
costo variable de producir los artículos y US$15,000 sirven para pagar el minuto de
publicidad. El resto es la contribución al costo fijo y a la utilidad.
e) ¿Cuántos minutos de publicidad se necesitan para recuperar los costos de desarrollo
de la campaña publicitaria?
Costos de Desarrollo
CF = 150,000
CV= Cu * x = 15,000x
CT = 150,000 + 15,000x
Aumento de Venta en: I = Pu * x = (70,000-47,500)x = 22,500x
Q = CF / (Pu – Cu)
Q = 150,000 / (22,500 – 15,000)
Q = 150,000 / 7,500
Q = 20 minutos
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 98
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
99
f) Si la compañía se sirve de 15 spots de 1 minuto de duración, determine el ingreso
total, los costos totales (producción y publicidad) y la utilidad ( o pérdida) total que
resultan de la campaña.
I = 22,500x
I = 22,500 * 15 = 337,500
CT = 150,000 + 15,000(15) = 375,000
U = I – CT = 337,500 – 375,000 = -37,500
Caso XX.
La maquinaria que compra un fabricante por US$20,000 dólares se deprecia linealmente de
manera que su valor comercial al cabo de 10 años es US$1,000 dólares.
d) Exprese el valor de la maquinaria como una función de su antigüedad y dibuje la
gráfica.
Depreciación = Valor depreciable – Valor residual = C – R = 20,000 – 1,000
Vida útil
n
10
D = 1,900
Valor en libros V(t) = Valor depreciable – Depreciación(tiempo) = C – D(t)
Valor en libros V(t) = 20,000 – 1,900(t)
e) Calcule el valor de la maquinaria al cabo de 4 años.
Valor en libros V(t) = 20,000 – 1,900(t)
Valor en libros V(t) = 20,000 – 1,900(4) = 20,000 – 7,600 = 12,400
f) ¿Cuánto se despreciará por completo la maquinaria? El fabricante puede no esperar
tanto tiempo para disponer de la maquinaria. Analice los aspectos que el fabricante
puede considerar para decidir cuándo venderla.
Caso XXI.
Encuentre las incógnitas para cada uno de los siguientes casos independientes:
CASO
PRECIO DE
COSTO
TOTAL DE
MARGEN DE
COSTOS
VENTA POR
VARIABLE
UNIDADES
CONTRIBUCION
FIJOS
UTILIDAD
UNIDAD
POR UNIDAD
VENDIDAS
TOTAL
TOTALES
NETA
1
2
3
4
10
20
30
10
6
15
20
8
100,000
20,000
70,000
80,000
400,000
100,000
700,000
160,000
330,000
89,000
688,000
110,000
70,000
11,000
12,000
50,000
5
25
19
120,000
720,000
640,000
80,000
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 99
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
100
Caso XXII.
Si los modelos de la oferta y la demanda son respectivamente:
Oferta => p = 1 q + 8
300
Demanda => p = - 1 q + 12
180
d) Determinar el precio y la cantidad de equilibrio.
1/300q + 8 = - 1/180q + 12
1/300q + 1/180q = 12 – 8
480/54,000 q = 4
480q = 216,000
q = 450
p = (450/180) + 8
p = 9.5
e) Representar gráficamente. Indique el punto de equilibrio, cuando hay excedente y
cuando hay escasez.
f) ¿Por qué se llama punto de equilibrio?
Caso XXIII.
La Compañía RL & RG, S.A. se dedica a la producción y venta de neveras. Los costos
fijos son $24,500 y el precio de venta de las utilidades producidas es de $250. De los datos
de producción se conoce que el costo variable/unidad es de $180. Si se espera que esos
valores permanezcan constantes durante el año y siendo la capacidad de la planta de 1,000
unidades por año, se desea determinar:
c) El punto de equilibrio de la compañía en unidades, dinero y % de capacidad de
producción.
CF = $24,500
Pu = $250
Cu = $180
Capacidad/año = 1,000 unidades
P.E.(q) = CF / (Pu – Cu) = 24,500/(250-180) = 350 unidades
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 100
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
101
Comprobación:
CT = 24,500 + 180* 350 = $87,500
I = 250 * 350 = $87,500
P.E.($) = P.E.(q) * Pu = 350 * 250 = $87,500
P.E.($) = CF /RMC = 24,500 /[(250-180)/250] = 24,500/0.28 = $87,500
P.E.(%) = P.E.(q) * 100 / Capacidad
P.E.(%) = 350 * 100 / 1000 = 35%
Con la utilización del 35% de la capacidad de producción cubre todos sus gastos. La
importancia de conocer este punto es que si la compañía opera por debajo de ese punto
tendrá pérdidas; si opera por encima, tendrá ganancias.
d) Beneficios que resultan para los niveles de producción y venta de 300, 350 y
500 unidades.
B = I – CT = Pu * q – (CF + Cu * q)
B = (Pu *q) [(Pu – Cu)/Pu] – CF
B= I * RMC – CF
B(300) = (250 * 300 * 0.28) – 24,500 = - $3,500
B(350) = (250 * 350 * 0.28) – 24,500 = $0
B(500) = (250 * 500 * 0.28) – 24,500 = $10,500
Caso XXIV.
La empresa CADESA produce el artículo AD12, a un costo unitario de $10 y lo vende a
$15 la unidad. Los costos fijos de la empresa son de $18,000 al año. La capacidad de la
empresa es de 60,000 artículos por año.
c) ¿Cuál es el punto de equilibrio de la empresa en unidades, dinero y % de capacidad
de producción?
Cu = $10
Pu = $15
CF = $18,000
Capacidad = 60,000 artículos/año
P.E.(q) = CF / (Pu – Cu) = 18,000/(15-10) = 3,600 artículos
Comprobación:
CT = 18,000 + (10 * 3,600) = $54,000
I = 15 * 3,600 = $54,000
P.E.($) = P.E.(q) * Pu = 3,600 * 15 = $54,000
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 101
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
102
P.E.($) = CF /RMC = 18,000/[(15-10)/15] = 18,000/0.3333 = $54,000
P.E.(%) = P.E.(q) * 100 / Capacidad
P.E.(%) = 3,600 * 100 / 60,000 = 6%
d) ¿Cuáles serán los beneficios cuando la empresa trabaje a un 80% de capacidad?
0.80 * 60,000 artículos = 48,000 artículos
B(q) = [q * (Pu – Cu)] – CF
B(48,000) = [48,000 * (15-10)] – 18,000 = $222,000
Caso XXV.
Un fabricante de artículos para el hogar está produciendo actualmente mesas, lámparas, y
sillas. En la tabla siguiente aparecen los datos del caso:
Producto
Mesas
Lámparas
Sillas
Precio
Unitario
70
50
40
Costo
Unitario
50
40
30
% Valor
ventas ($)
40
25
35
Capacidad de ventas $1,800,000. Costo fijos $250,000.
A la empresa le interesa conocer el punto de equilibrio y los beneficios a un nivel de
producción del 75% de su capacidad.
% de contribución de cada producto será igual a:
[(Pu – Cu)/Pu] * (% participación en ventas)
RMC * (% participación en ventas)
P.E.($) = CF/ del % de contribución de cada producto
En este caso la contribución está expresada en porcentaje, por lo tanto, podemos usar la
fórmula del punto de equilibrio con la contribución en %.
[(Pu – Cu)/Pu] * (% participación en ventas)
% Mesas
= [(70-50)/70)] * 0.40 = 0.1143
% Lámparas = [(50-40)/50)] * 0.25 = 0.0500
% Sillas
= [(40-30)/40)] * 0.35 = 0.0875
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 102
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
103
 del % de contribución de cada producto = 0.1143+0.0500+0.0875 = 0.2518
P.E.($) = 250,000/0.2518 = $992,851.47
Beneficios a un nivel de producción del 75% de su capacidad.
I = 0.75 * $1,800,000 = $1,350,000
B = I * RMC – CF
B = 1,350,000 * 0.2518 – 250,000 = $89,930
Caso XXVI.
Una empresa produce bicicletas y velocípedos. Los costos fijos de la empresa son de
$60,000 al año, la capacidad total anual es de $250,000 en ventas. La participación de cada
producto es la siguiente:
Producto
Bicicleta
Velocípedo
Precio
Unitario
120
50
Costo
Unitario
70
25
% Valor
ventas ($)
60
40
A la empresa le interesa conocer el punto de equilibrio y el beneficio cuando esté
trabajando a un 70% de su capacidad.
% de contribución de cada producto será igual a:
[(Pu – Cu)/Pu] * (% participación en ventas)
RMC * (% participación en ventas)
P.E.($) = CF/ del % de contribución de cada producto
En este caso la contribución está expresada en porcentaje, por lo tanto, podemos usar la
fórmula del punto de equilibrio con la contribución en %.
[(Pu – Cu)/Pu] * (% participación en ventas)
% Bicicleta = [(120-70)/120)] * 0.60 = 0.25
% Velocípedo = [(50-25)/50)] * 0.40 = 0.20
 del % de contribución de cada producto = 0.25+0.20 = 0.45
P.E.($) = CF/ del % de contribución de cada producto
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 103
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
104
P.E.($) = 60,000/0.45 = $133,333.33
Beneficios a un nivel de producción del 70% de su capacidad.
I = 0.70 * $250,000 = $175,000
B = I * RMC – CF
B = (175,000 * 0.45) – 60,000 = $18,750
Caso XXVII.
La compañía TERDAS presenta el siguiente Estado de Ingreso Presupuestado:
Estado de Ingresos
Ventas
100,000
Menos Costos y Gastos Variables
65,000
Margen de Contribución
35,000
Menos: Costos Fijos
20,000
Ingresos Netos
15,000
Se desea conocer el punto de equilibrio, los beneficios para unas ventas de $120,000 y el
nivel de ventas necesario para lograr el beneficio proyectado de $25,000.
RMC = [(Pu – Cu) /Pu] = (Pu/Pu) – (Cu/Pu)
RMC = 1 - (Cu/Pu)
RMC = 1 - (Costos Variables/Valor de Ventas)
Ventas para un nivel de beneficio = (CF + B)/RMC
B = RMC * Ventas - CF
a)
RMC = 1 - (65,000/100,000) = 0.35
P.E.($) = CF/RMC = 20,000/0.35 = $ 57,142.86
b)
B = RMC * Ventas - CF
B = 0.35 * 120,000 – 20,000 = $22,000
c)
Ventas para un nivel de beneficio = (CF + B)/RMC
Ventas para un nivel de beneficio = (20,000 + 25,000) / 0.35 = $128,571.42
La exactitud de esos resultados se puede comprobar con un estado de ingreso para ese nivel
de ventas. Suponemos que los costos variables mantienen una proporción constante de las
ventas.
Estado de Ingresos
Ventas
128,571.42
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 104
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
105
Menos Costos y Gastos Variables
83,571.42
Margen de Contribución
45,000.00
Menos: Costos Fijos
20,000.00
Ingresos Netos
25,000.00
Caso XXVIII.
Una fabrica de alimentos para animales presenta las siguientes informaciones:
Alimento
% ventas
para
Precio Costo
($)
Gallinas
30
15
40
Vacas
40
16
20
Puercos
36
16
25
Perros
32
12
15
Costos fijos de $80,000 al año y capacidad de $200,000 de ventas al año.
c) Hallar el punto de equilibrio en dinero y en % de capacidad de la fábrica.
d) Determinar cual es el ingreso total cuanto se están vendiendo 1,200 unidades de
alimentos.
% de contribución de cada producto será igual a:
[(Pu – Cu)/Pu] * (% participación en ventas)
RMC * (% participación en ventas)
P.E.($) = CF/ del % de contribución de cada producto
En este caso la contribución está expresada en porcentaje, por lo tanto, podemos usar la
fórmula del punto de equilibrio con la contribución en %.
[(Pu – Cu)/Pu] * (% participación en ventas)
% Gallinas = [(30-15)/30)] * 0.40 = 0.2000
% Vacas = [(40-16)/40)] * 0.20 = 0.1200
% Puercos = [(36-16)/36)] * 0.25 = 0.1389
% Perros = [(32-12)/32)] * 0.15 = 0.0938
 del % de contribución de c/producto = 0.20+0.12+0.1389+0.0938= 0.5527
P.E.( $) = CF/ del % de contribución de cada producto
P.E.($) = 80,000/0.5527 = $144,743.98
P.E. (%) = 144,743.98/200,000 =0.7237 = 72.37%
Alimento
para
P.E($)
% ventas ($)
Ventas
Precio
Unidades
Gallinas
Vacas
Puercos
Perros
144,743.98
144,743.98
144,743.98
144,743.98
40
20
25
15
100
57,897.59
28,948.80
36,186.00
21,711.60
144,743.98
30
40
36
32
1,930
Modelos para la Toma de Decisiones
724
1,005
678
4,337
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 105
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
106
Alimento
% ventas
para
Precio Costo
($)
Gallinas
30
15
40
Vacas
40
16
20
Puercos
36
16
25
Perros
32
12
15
Costos fijos de $80,000 al año y capacidad de $200,000 de ventas al año.
En este caso debemos determinar la contribución promedio por unidad.
 (Pu – Cu) * (% participación en ventas)
Contribución Unitaria de Gallina = (30-15) * 0.40 = $6/unidad
Contribución Unitaria de Vaca = (40-16) * 0.20 = $4.8/unidad
Contribución Unitaria de Puerco = (36-16) * 0.25 = $5/unidad
Contribución Unitaria de Perro = (32-12) * 0.15 = $3/unidad
 (Pu – Cu) * (% participación en ventas) = 6+4.8+5+3= $18.8/unidad
En función de unidades el punto de equilibrio viene dado:
P.E.(q) = CF/Contribución promedio por unidad
P.E.(q) = 80,000/18.8=4,256 unidades
P.E.($) = P.E.(q) * pu
P.E.(q) = P.E.($)/pu = $144,743.98/33.8 = 4,283 unidades
b. Determinar cual es el ingreso total cuanto se están vendiendo 1,200 unidades de
alimentos.
Precio de Gallina = 30 * 0.40 = $12/unidad
Precio de Vaca = 40 * 0.20 = $8/unidad
Precio de Puerco = 36 * 0.25 = $9/unidad
Precio de Perro = 32 * 0.15 = $4.8/unidad
I = 1,200 * 33.8 = $40,560
Alimento
para
Gallinas
Vacas
Puercos
Perros
1200
0.4
480
1200
0.2
240
1200
0.25
300
1200
0.15
180
Modelos para la Toma de Decisiones
30
40
36
32
14400
9600
10800
5760
40560
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 106
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
107
Ejercicios Propuestos. Construya los modelos, represente gráficamente cada situación e
intérprete los resultados.
Caso I.
La función de demanda de un producto particular es:
q = f(p) = 500,000 – 3,000 p
donde q se expresa en unidades y p en dólares. Determine la función del ingreso total, I es
una función de p o sea R = g(p).
A. ¿Cuál es la concavidad de la función?
B. ¿Cuál es la intersección con el eje x?
C. ¿Cuál es el ingreso total con un precio de $20?
D. ¿Cuántas unidades serán demandadas a este precio?
E. ¿A qué precio se maximizará el ingreso total?
A.
I=500,000p - 3000p2
25,000,000.00
Ingresos
20,000,000.00
15,000,000.00
Serie1
10,000,000.00
5,000,000.00
0.00
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Precios
I=p*q
I = p * (500,000 – 3,000 p)
I = 500,000p - 3,000p²
C.
I = 500,000(20) - 3,000(20)²
I = 10,000,000 – 1,200,000
I = 8,800,000
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 107
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
108
D.
q = f(p) = 500,000 – 3,000 p
q = f(20) = 500,000 – 3,000 (20)
q = f(20) = 500,000 – 60,000
q = f(20) = 440,000
E.
I = 500,000p - 3,000p²
x = -B = -500,000 = US$83.33
2A 2(-3,000)
Caso II.
La función de oferta qs = f(p) para un producto es cuadrática. Tres puntos que se encuentran
en ella son (60, 2750), (70, 6000) y (80, 9750).
d) Determine el modelo de la oferta.
( p, q)
(60, 2,750)
(70, 6,000)
(80, 9,750)
q = f(p)
q = ap² + bp + c
Al sustituir las tres combinaciones de precio-cantidad en la ecuación general cuadrática se
obtiene el sistema resultante de ecuaciones:
2,750 = a(60)² + b(60) + c
6,000 = a(70)² + b(70) + c
9,750 = a(80)² + b(80) + c
o
o
o
Modelos para la Toma de Decisiones
3,600a + 60b + c = 2,750
4,900a + 70b + c = 6,000
6,400a + 80b + c = 9,750
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 108
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
109
A
B
60.00
1.00
2,750.00
4,900.00
70.00
1.00
6,000.00
6,400.00
80.00
1.00
9,750.00
B
60.00
1.00
6,000.00
70.00
1.00
9,750.00
80.00
1.00 =>
numerador
-5,000.00
3,600.00
60.00
1.00 =>
denominador
-2,000.00
4,900.00
70.00
1.00
6,400.00
80.00
1.00
B
a=
2.50
c
3,600.00
2,750.00
1.00
4,900.00
6,400.00
6,000.00
9,750.00
1.00
1.00 =>
numerador
3,600.00
60.00
1.00 =>
denominador
4,900.00
70.00
1.00
6,400.00
80.00
1.00
a
c=
c
2,750.00
a
b=
y
3,600.00
A
a=
c
B
0.00
-2,000.00
b=
0.00
c
3,600.00
60.00
2,750.00
4,900.00
6,400.00
70.00
80.00
6,000.00
9,750.00 =>
3,600.00
60.00
1.00 =>
4,900.00
70.00
1.00
6,400.00
80.00
1.00
numerador
12,500,000.00
denominador
-2,000.00
c=
-6,250.00
q = f(p) = 2.5p² - 6,250
e) Calcule e interprete la intersección con el eje x.
f) ¿Qué cantidad ofrecerá a un precio de $75?
q = f(p) = 2.5p² - 6,250
q = f(75) = 2.5(75)² - 6,250= 7,812.50
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 109
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
110
Caso III.
La función de la demanda qd = f(p) para un producto es cuadrática. Tres puntos que se
encuentran en ella son (5, 1600), (10, 900) y (20, 100). Determine el modelo
correspondiente de la Demanda. ¿Qué cantidad se demandará a un precio de mercado de
$15?
Caso IV.
Las funciones de demanda y oferta de un producto son:
Oferta
qs = p² - 400
Demanda qd = p² -40p + 2600
Determine el precio y cantidad de equilibrio del mercado.
qo = qd
p² - 400 = p² -40p + 2600
p² - 400 - p² +40p – 2600 = 0
40p – 3,000 = 0
p = 3,000 / 40
p = 75
Oferta
Demanda
qs = (75) ² - 400 = 5,225
qd = (75) ² - 40(75) + 2600 = 5,225
Caso V.
Un agente de viajes está organizando una excursión a un conocido lugar de recreo. Ha
cotizado un precio de $300 por persona, si reúne a 100 o menos pasajeros. Por cada
pasajero después de los 100, el precio que se cobra a todos ellos disminuirá en $2.50. Por
ejemplo, si se inscriben en la excursión 101 pasajeros, cada uno pagará $297.50. Sea x el
número de personas después de 100.
f) Determine la función que exprese el precio por persona p en función de x, o sea p =
f(x).
p = $300 si x  100
p = $300 – 2.5(x – 100) si x > 100
p = 300 – 2.5x + 250 si x > 100
p = 550 – 2.5x si x > 100
g) Formule el modelo I = h(x), que exprese el ingreso total en boletos I en función de x.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 110
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
111
p = $300 si x  100
I = 300x
p = $300 – 2.5(x – 100) si x > 100
I=p*x
I = [300 – 2.5(x – 100)] * x
I = 300x – 2.5x(x – 100)
I = 300x – 2.5x² + 250x
I = 550x – 2.5x²
h) ¿Qué valor de x produce el máximo valor de I?
I = 550x – 2.5x²
x = -B = - 550 = 110
2A 2(-2.5)
i) ¿Cuál es el valor máximo de I?
I = 550x – 2.5x²
I = 550(110) – 2.5(110)²
I = 60,500 – 30,250 = 30,250
j) ¿Con qué precio por boleto se obtiene un I máximo?
30,250 = 110p
p = 30,250 / 110
p = 275
Caso VI.
Un vendedor al por menor puede obtener un producto del fabricante a $50 cada uno. El
vendedor ha estado vendiendo el producto a $80 cada unidad y, a este precio los
consumidores han estado demandando 40 artículos al mes. El vendedor planea bajar el
precio para estimular las ventas y estima que por cada $5 de reducción en el precio se
venderán 10 artículos más cada mes.
d) Formule el modelo de beneficio en función del precio de venta.
pc = 50
pv = 80  40 artículos
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 111
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
112
Bu = pv – 50
Por c/$5 menos se venderán 10 artículos más
10/5 = 2 artículos por cada $1
q = 40 + 2 (80 – pv)
q = 40 + 160 – 2pv
q = 200 – 2pv
B = Bu * q
B = (pv – 50) (200 – 2pv)
pv – 50
200 – 2pv
200pv – 10,000
-2pv² + 100pv
==================
-2pv² + 300pv – 10,000
B= -2pv² + 300pv - 10,000
e) Dibuje el gráfico.
B = -2pv2 + 300pv - 10,000
1400
Beneficio
1200
1000
800
Serie1
600
400
200
0
0
20
40
60
80
100
120
Precio de Venta
f) Estime el precio al que se obtendrían mayores beneficios.
x = -B = - 300 = $75
2A
2(-2)
Caso VII.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 112
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
113
El costo de mantener una cuenta corriente en cierto banco es $12 por mes más 10 centavos
por cada cheque girado. Un banco de la competencia cobra $10 por mes más 14 centavos
por cheque girado. Halle el criterio para decidir cuál banco ofrece el mejor negocio.
CT1 = 12 + 0.10x
CT2 = 10 + 0.14x
12 + 0.10x = 10 + 0.14x
Caso VIII.
A un editor le cuesta US$74,200 preparar un libro para publicación (digitación de texto,
ilustración, edición, etc.) Los costos de impresión y encuadernación son US$5.50 por
ejemplar. El libro se vende a las librerías a US$19.50 cada ejemplar.
h) Elabore una tabla que muestre el costo de producir 2,000, 4,000, 6,000 y 8,000
ejemplares.
CT = 74,200 + 5.5x
I = 19.5x
i) Elabore una tabla que muestre el ingreso de la venta de 2,000, 4,000, 6,000 y 8,000
ejemplares.
j) Escriba el modelo matemático que represente el costo como una función del número
de libros producidos.
k) Escriba el modelo matemático que represente el ingreso como una función del
número de libros vendidos.
l) Represente gráficamente ambos modelos en el mismo eje de coordenada.
m) ¿Cuándo el costo iguala el ingreso?
n) Utilice la gráfica para determinar cuántos libros deben publicarse para producir un
ingreso de por los menos US$85,000. ¿Cuánta utilidad deja este número de libros?
Caso IX.
Durante el verano un grupo de estudiantes construye kayaks en un garaje adaptado para tal
fin. El alquiler del garaje cuesta US$1,500 en el verano, y los materiales necesarios para
construir un kayak cuesta US$125. ¿Pueden venderse los kayaks a US$275 la unidad?
c) ¿Cuántos kayaks deben vender los estudiantes para alcanzar el punto de equilibrio?
CT = 1,500 + 125x
I = 275x
275x = 1,500 + 125x
150x – 1,500 = 0
x = 1,500 / 150 = 10
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 113
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
114
d) ¿Cuántos kayaks deben vender los estudiantes para obtener una utilidad e US$1,000?
B = I – CT
B = 275x – (1,500 + 125x)
B = 150x – 1,500
150x – 1,500 = 1,000
150x = 2,500
x = 2,500 / 150 = 16.67
Caso X.
Un fabricante vende lámparas a US$30 por unidad. A este precio, los consumidores
compran 3,000 lámparas al mes. El fabricante desea incrementar el precio y estima que por
cada incremento de US$1 en el precio, se venderán 1,000 lámparas menos cada mes. El
fabricante puede producir las lámparas a US$18 la lámpara.
Exprese la utilidad mensual del fabricante como una función del precio al que se venden las
lámparas.
pu = 30
 q = 3,000
pu = x - 30  1,000 lámparas menos
Cu = 18
Bu = pu – 18
q = 3000 - 1000 (Pu – 30)
q = 3000 – 1000pu + 30,000
q = 33,000 – 1000 pu
U = Bu * q
U = (pu – 18) (33,000 – 1000pu)
pu – 18
33,000 – 1000pu
33,000 pu – 594,000
-100pu² + 18,000 pu
=======================
-100pu² + 51,000pu – 594,000
U=
-100pu² + 51,000pu – 594,000
Dibuje la gráfica.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 114
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
115
Y calcule el precio óptimo de venta.
U = -100pu² + 34,000pu – 594,000
x = -B = - 34,000= $170
2A
2(-100)
Caso XI.
Una librería puede pedir cierto libro a una editorial a un costo de US$ 3 el ejemplar. La
librería ofrece el libro a US$15. A este precio, se venden 200 ejemplares. La librería
planea bajar el precio para estimular las ventas y estima que por cada reducción US$1 en el
precio, se venderán 20 libros más cada mes. Exprese la utilidad mensual de la librería por
la venta de este libro como una función del precio de venta, dibuje la gráfica y calcule el
precio óptimo de venta.
cu = 3
pu = 15
 se venden 200
Bu = pu – 3
q = 200 + 20 (15 - pu)
q = 200 + 300 – 20pu
q = 500 – 20pu
U = Bu * q
U = (pu – 3) (500 – 20pu)
pu – 3
500 – 20pu
500pu – 1,500
-20pu + 60pu
==================
-20pu² + 560pu – 1,500
U = -20pu² + 560pu – 1,500
x = -B = - 560= $14
2A 2(-20)
Caso XII.
Los modelos de oferta y de demanda de cierto artículo son S(p) = p –10 y D(p)=5,600/p,
respectivamente.
d) Halle el precio de equilibrio y el número correspondiente de unidades ofrecidas y
demandadas.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 115
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
116
e) Dibuje la curva de oferta y de demanda en el mismo conjunto de ejes.
f) ¿Dónde corta la curva de oferta el eje p? Explique la interpretación económica de
este punto.
S(p) = p –10
D(p) = 5,600/p
P – 10 = 5,600/p
P(P – 10 – 5,600/p) = 0
p² - 10p – 5,600 = 0
S(80) = 80 –10 = 70
D(80) = 5,600/80 = 70
p=80
p=-70
Caso XIII.
Las funciones de la oferta y la demanda de cierto artículo son S(p)=4p+200 y D(p)=3p+480, respectivamente. Halle el precio de equilibrio y el número correspondiente de
unidades que se ofrecieron y se demandaron, y dibuje las curvas de oferta y de demanda en
el mismo conjunto de ejes.
S(p)=4p+200
D(p)=-3p+480
4p – 200 = -3p + 480
4p – 200 + 3p – 480 = 0
7p – 680 = 0
Caso XIV.
Cada unidad de cierto artículo cuesta p=35x+15 centavos cuando se producen x unidades
del artículo. Si se venden todas las x unidades a este precio, exprese el ingreso derivado de
las ventas como una función de x.
P = 35x + 15
Q=x
I=p*q
I = (35x + 15) * x
I = 35x² + 15x
x = -B = - 15= $2.14
2A 2(35)
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 116
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
117
Caso XV.
La figura a continuación contiene las localizaciones relativas de tres ciudades. Una gran
organización para la conservación de la salud desea construir una clínica satélite para dar
servicio a las tres ciudades. La ubicación de la clínica x deberá ser tal que se minimice la
suma de los cuadrados de las distancias entre la clínica y cada ciudad. Este criterio puede
formularse así:
3
Minimice S =  dj²
J=1
3
S= f(x) =  (x - xj)²
J=1
Donde xj es la ubicación de la ciudad j, y “x” es la de la clínica.
c) Determine la función distancia S = f(x).
d) Determine la ubicación que minimice a S.
Ciudad 1
Ciudad 2
Ciudad 3
===========*===============*=========================================*================= MILLAS
0
20
50
120
Caso XVI.
Un fabricante ha ideado un nuevo diseño para los paneles solares. Según los estudios de
mercadotecnia que se han realizado, la demanda anual de los paneles dependerá del
precio al que se venden. La función de su demanda ha sido estimada así:
q = 100,000 – 200p
p= (100,000 – q)/200
p = 500 – 0.005q
Los estudios de ingeniería indican que el costo total de la producción de q paneles está
representado muy bien por la función:
C = 150,000 + 100q + 0.003q²
e) Determine el ingreso en función de las unidades vendidas I = f(q)
I = 500q – 0.005q2
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 117
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
118
f) Formule la función de utilidad U = f(q) que exprese la utilidad anual en función
del número de unidades q que se producen y venden.
U = -0.008q2 + 400q – 150,000
g) Determine el punto de maximización de las utilidades.
-B/2ª = -400/2(-0.008) = 25,000
h) Represente Gráficamente la utilidad en función de las unidades producidas y
vendidas.
X1 = 378,125
X2 = 49,621,875
Caso XVII.
Un almacén vende un popular juego de computador a US$40 la unidad. A este precio,
los jugadores han comprado 50 unidades al mes. El propietario del almacén desea
aumentar el precio del juego y estima que por cada aumento de US$1 en el precio, se
venderán 3 unidades menos cada mes. Si cada unidad cuesta al almacén US$25, ¿a qué
precio debería venderse el juego para maximizar la utilidad? Represente gráficamente.
Pu = 40 => q = 50
Si Pu aumenta en 1 => q reduce en 3
Cu = 25
q = 50 – 3 (x-40)
q = 50 – 3x + 120 = 170 – 3x
bu = x – 25
U = bu * q
U = (x – 25) * (170 – 3x)
170 – 3x
x – 25_________
75x – 4,250
-3x² + 170x______
-3x² + 245x – 4,250
-b/2ª = - 245/2(-3) = 40.83
x1 = 25
x2 = 56.67
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 118
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
119
Caso XVIII.
Una compañía de televisión por cable ha averiguado que su rentabilidad depende de la
tarifa mensual que cobra a sus clientes. Específicamente, la relación que describe la
utilidad anual U (en dólares) en función de la tarifa mensual de renta r (en dólares) es la
siguiente:
U = - 50,000r² + 2,500,000r – 5,000,000
d) Determine la tarifa de renta mensual que dé por resultado la utilidad máxima. 25
-b/2ª = - 2,500,000/2(-50,000) = 25
e) ¿Cuál es la utilidad máxima esperada? 26,250,000
f) Suponga que la comisión local de servicios ha impuesto a la compañía la
obligación de no cobrar una tarifa mayor que $20.
a. ¿Cuál tarifa produce la utilidad máxima a la compañía?
b. ¿Cuál es el efecto que la decisión de la comisión tiene en la rentabilidad de
la empresa?
Caso XIX.
Una librería puede pedir cierto libro a una editorial a un costo de US$ 3 el ejemplar. La
librería ofrece el libro a US$15. A este precio, se venden 200 ejemplares. La librería
planea bajar el precio para estimular las ventas y estima que por cada reducción US$1 en
el precio, se venderán 20 libros más cada mes. Exprese la utilidad mensual de la librería
por la venta de este libro como una función del precio de venta, dibuje la gráfica y
calcule el precio óptimo de venta.
Cu = 3
Pu = 15 => q = 200
Por cada reducción en el Pu en 1 => q aumenta en 20
Bu = x – 3
q = 200 + 20 (15 – x)
q = 200 + 300 – 20x
q = 500 – 20x
U = Bu * q
U = (x – 3) * (500 – 20x)
500 – 20x
x – 3__________
60x - 1,500
- 20x² + 500x______
- 20x² + 560x – 1,500
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 119
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
120
-b/2ª = - 560/2(-20) = 14
x1 = 3
x2 = 25
Caso XX.
Una organización de caridad está planeando un tour por avión y una semana de
vacaciones en el Caribe. Se trata de una actividad tendiente a recaudar fondos. Se ha
contratado un paquete con una aerolínea comercial, y la organización pagará un costo
fijo de US$10,000 más US$300 por persona. Esta última cantidad cubre el costo del
vuelo, los traslados, el hotel, las comidas y propinas. La organización proyecta cobrar el
paquete a US$450 por persona.
c) Determine el número de personas necesarias para alcanzar el equilibrio en esta
actividad.
I = 450x
CT = 10,000 + 300x
I = CT
450X = 10,000 + 300x
150x = 10,000
x = 67 personas (66.67)
d) La meta de la organización es obtener una utilidad de US$10,000. ¿Cuántas
personas han de participar para poder conseguirla?
U = I – CT
U = 450x – (10,000 – 300x)
U = 150 x – 10,000
10,000 = 150x – 10,000
150x – 10,000 = 10,000
150x = 20,000
x = 134 personas (133.33)
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 120
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
121
Caso XXI.
Un minorista puede obtener cámaras del fabricante a un costo de US$50 la unidad. El
minorista vende las cámaras a US$80 cada una; a este precio, los consumidores compran
40 cámaras al mes. El minorista planea reducir el precio para estimular las ventas y
estima que por cada reducción de US$5 en el precio, se venderán 10 cámaras más cada
mes. Exprese la utilidad mensual del minorista proveniente de la venta de cámaras
como una función del precio de venta. Dibuje la gráfica y calcule el precio óptimo de
venta.
Cu = $50
Pu = $80 => q = 40 cámaras
Por cada $5 menos se venderán 10 cámaras más
10/5 = 2 cámaras por $1
q = 40 + 2 (80 – p)
q = 40 + 160 – 2p
q = 200 – 2p
Bu = p - 50
U = B = Bu * q
U = B = (p – 50) * (200 – 2p)
U = B = -2p² + 300p – 10,000
p = 50
p = 200/2 = 100
p.m. = (50 + 100)/2 = 75
-b/2ª = -300/2(-2) = -300/-4 = 75
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 121
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
122
Caso XXII.
La función de demanda de un producto es:
q = f(p) = 450,000 – 30p
donde q es la cantidad demandada y p indica el precio de venta en dólares. Determine la
función del ingreso total.
i) ¿Cuál sería el margen de tolerancia en precio que soportaría el producto para
generar beneficio?
j) ¿Qué precio corresponde al ingreso máximo?
k) ¿Cuántas unidades serán demandadas a este precio (b)?
l) ¿Cuál es la concavidad de la función?
I=p*q
I = p * (450,000 – 30p)
I = 450,000p – 30p²
p=0
p = -45,000 / -3 = 15,000
precio máximo = 7,500
Caso XXIII.
Las funciones de oferta y demanda de un producto son:
qs = 4p² - 500
qd = 3p² - 20p + 1000
Determine el precio y cantidad del equilibrio del Mercado.
4p² - 500 = 3p² - 20p + 1000
4p² - 500 – 3p² + 20p – 1000 = 0
p² + 20p – 1500 = 0
X = - B ± B²-4AC  Fórmula Cuadrática
2A
X = - 20 ± 20²-4(1)(-1,500)  Fórmula Cuadrática
2(1)
X = - 20 ± 80  Fórmula Cuadrática
2(1)
X1 = 30
X2 = -50
Caso XXIV.
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 122
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
123
La función de demanda para un producto es p = 1,000 – 2q, donde p es el precio en
dólares por unidad cuando q unidades son demandadas (por semana) por los
consumidores. Encontrar el nivel de producción que maximice el ingreso total del
productor, y determinar ese ingreso.
I=p*q
I = (1,000 – 2q) * q
I = 1,000q – 2q²
Caso XXV.
La I. M. Handy Corporation es un gran fabricante de computadoras. Y actualmente está
planeando penetrar en el mercado de microcomputadoras. La empresa necesita ayuda
para analizar este nuevo producto. Los ingenieros de manufactura estiman que los
costos variables de producción serán de $100 por unidad. Los costos fijos que se
requieren para establecer la línea de producción se calculan en $2,500,000. Los
investigadores de mercado realizaron algunos estudios preliminares y llegaron a la
conclusión de que la función de la demanda para el nuevo producto será
aproximadamente lineal. Es decir, el número de unidades demandado, q, variará según
el precio, p, en forma lineal. Dos puntos de datos (p, q) que se utilizarán al definir esta
función son (100 ; 26,000) y (500 ; 10,000).
La compañía solicita al lector lo siguiente:
k) Formulación de la función de la demanda q = f(p).
l) Formulación del ingreso total I = f(q).
m) Formulación de la función del costo total.
n) Determinación del nivel o niveles de equilibrio de la producción.
o) Una representación gráfica de las funciones de ingresos y costos que muestre el
punto o puntos de equilibrio.
p) Determinación del precio o precios que deben fijarse en el punto o puntos de
equilibrio.
q) Una explicación de por qué hay más de un punto de equilibrio (en caso de que
existan varios).
r) Formulación de la función de las utilidades totales.
s) Determinación del número de unidades que deberían venderse a fin de maximizar
las utilidades totales. ¿Cuál es la utilidad esperada?
t) Determinación del precio que debería fijarse en el nivel de producción
correspondiente a la maximización de utilidades.
CU =
CF =
p1
p2
100.00
2,500,000.00
100.00q1
500.00q2
Modelos para la Toma de Decisiones
26,000.00
10,000.00
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 123
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
124
M
-40.00
-40 (x-100) = y - 26,000
-40x + 4,000 - y + 26,000 = 0
-40x - y + 30,000 = 0
40x + y - 30,000 = 0
40p + q - 30,000 = 0
q = 30,000 - 40p
p = (30,000 - q)/40
p = 750 - q/40
I=p*q
I = (750 - q/40) * q
CT = 2,500,000 + 100q
I = CT
U = (750q - qq/40) - (2,500,000 + 100q)
U = 650q – qq/40 - 2,500,000
Q
4,693.38
4,000.00
5,000.00
6,000.00
7,000.00
8,000.00
9,000.00
10,000.00
11,000.00
12,000.00
13,000.00
14,000.00
15,000.00
16,000.00
17,000.00
18,000.00
19,000.00
20,000.00
21,000.00
22,000.00
21,306.62
26,000.00
P
632.67
650.00
625.00
600.00
575.00
550.00
525.00
500.00
475.00
450.00
425.00
400.00
375.00
350.00
325.00
300.00
275.00
250.00
225.00
200.00
217.33
100.00
cu
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
CF
2,500,000.00
2,500,000.00
2,500,000.00
2,500,000.00
2,500,000.00
2,500,000.00
2,500,000.00
2,500,000.00
2,500,000.00
2,500,000.00
2,500,000.00
2,500,000.00
2,500,000.00
2,500,000.00
2,500,000.00
2,500,000.00
2,500,000.00
2,500,000.00
2,500,000.00
2,500,000.00
2,500,000.00
2,500,000.00
Modelos para la Toma de Decisiones
CT
2,969,337.61
2,900,000.00
3,000,000.00
3,100,000.00
3,200,000.00
3,300,000.00
3,400,000.00
3,500,000.00
3,600,000.00
3,700,000.00
3,800,000.00
3,900,000.00
4,000,000.00
4,100,000.00
4,200,000.00
4,300,000.00
4,400,000.00
4,500,000.00
4,600,000.00
4,700,000.00
4,630,662.39
5,100,000.00
I
2,969,337.61
2,600,000.00
3,125,000.00
3,600,000.00
4,025,000.00
4,400,000.00
4,725,000.00
5,000,000.00
5,225,000.00
5,400,000.00
5,525,000.00
5,600,000.00
5,625,000.00
5,600,000.00
5,525,000.00
5,400,000.00
5,225,000.00
5,000,000.00
4,725,000.00
4,400,000.00
4,630,662.39
2,600,000.00
U
0.00
-300,000.00
125,000.00
500,000.00
825,000.00
1,100,000.00
1,325,000.00
1,500,000.00
1,625,000.00
1,700,000.00
1,725,000.00 1,725,000.00
1,700,000.00
1,625,000.00
1,500,000.00
1,325,000.00
1,100,000.00
825,000.00
500,000.00
125,000.00
-300,000.00
0.00
-2,500,000.00
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 124
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
125
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 125
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
126
Caso XXVI.
Una firma vende cada unidad de un producto en $400. La función de costo que describe
el costo total en términos del número de unidades producidas y vendidas x es:
C(x) =
40x + 0.25x² + 250
e) Formule la función de utilidad U = f(x). Represente gráficamente.
U = I – CT
= 400x – 40x - 025x² - 250
= 360x - 025x² - 250
X = - 360 ± 360²-4(-0.25)(-250)  Fórmula Cuadrática
2(-0.25)
X = - 360 ± 359.65  Fórmula Cuadrática
- 0.50
x1 = 0.7
x2 = 1,439.30
Max = 720
f) ¿Cuántas unidades deberían producirse y venderse a fin de maximizar la utilidad
total?
g) ¿Cuál es el ingreso total en este nivel de producción?
I = 400 * 720 = 288,000
h) ¿Cuál es el costo total en este nivel de producción?
CT = 40(720) + 0.25 (720) ² + 250
CT = 158,650
Caso XXVII.
La función de demanda para el fabricante de un producto es p = f(q) = 1,200 – 3q, donde
p es el precio (en dólares) por unidad cuando se demandan q unidades (por semana).
Encuentre el nivel de producción que maximiza el ingreso total del fabricante y
determine este ingreso.
p = f(q) = 1,200 – 3q
I = p * q = 1,200q – 3q²
q = -b/2a = - 1,200/2(-3) = 200
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 126
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
127
Caso XXVIII.
Halle el precio de equilibrio y el número correspondiente de unidades ofrecidas y
demandadas si la función de oferta por cierto artículo es S(p) = p² + 3p – 70 y la función
de demanda es D(p) = 410 – p. Represente gráficamente.
p² + 3p – 70 = 410 – p
p² + 4p – 480 = 0
X = - 4 ± 4²-4(1)(-480)  Fórmula Cuadrática
2(1)
X = - 4 ± 44  Fórmula Cuadrática
2
x1 = 20
x2 = 24
-b/2a = -4/2a = -4/2 = -2
Caso XXIX.
Cuando se venden licuadoras a p dólares la unidad, los fabricante ofrecerán p²/10
licuadoras a los minoristas locales, mientras que la demanda local será 60 – p licuadoras.
¿a qué precio en el mercado será igual a la demanda de los consumidores, y la oferta de
licuadoras de los fabricantes. ¿Cuántas licuadoras se venderán a este precio?
p²/10 = 60 – p
p² = 600 – 10p
p² - 600 + 10p = 0
Caso XXX.
Producción Agrícola.
Un cultivador de frutas cítricas de Bonao estima que si planta 60 naranjos, la producción
media por árbol será 400 naranjas. La producción media disminuirá en 4 naranjas por
árbol adicional plantado. Exprese la producción total como una función del número de
árboles adicionales plantados, dibuje la gráfica y calcule el número total de árboles que
el cultivador debe plantar para maximizar la producción.
Producción = (60 + n) (400 – 4n)
Caso XXXI.
Las funciones de la oferta y demanda de cierto artículo son:
S(p) = 4p + 200
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 127
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
128
D(p) = 5,600/p
c) Halle el precio de equilibrio y el número correspondiente de unidades ofrecidas y
demandadas.
5,600/p = 4p + 200
5,600 = 4p² + 200p
5,600 - 4p² - 200p = 0
d) Dibuje la curva de oferta y de demanda en el mismo conjunto de ejes.
Caso XXXII.
Determinar la cantidad de equilibrio de Fabricaciones XYZ dada la información
siguiente: costo fijo total, $1200; costo variable por unidad, $2; ingreso total por la venta
de q unidades, 100q.
Determine el punto o puntos de equilibrios y Represente gráficamente las funciones
anteriores.
100q = 1,200 + 2q
(100q)/2 = (1,200 + 2q)/2
(50q)² = (600 + q)²
2,500q = q² + 1,200q + 360,000
q² - 1,300q + 360,000 = 0
CT = 1,200 + 2q
I = 100q
q =400
q = 900
Caso XXXIII.
Una compañía de autobuses alquilará un autobús con capacidad para 50 personas a
grupos de 35 personas o más. Si un grupo tiene exactamente 35 personas, cada persona
paga US$60. En grupos grandes, la tarifa se reduce en US$1 por cada persona adicional
a las 35. Determine el tamaño del grupo para el cual el ingreso de la compañía de buses
será máximo. Represente gráficamente.
P = 35 + x
Tarifa = 60 – x
I = (35 + x) (60 – x)
I = 2,100 + 25x - x²
I max. = 2,256
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 128
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
129
Caso XXXIV.
Una compañía de bienes raíces es propietaria del conjunto de departamentos Torre
Alegro, el cual consiste en 96 departamentos, cada uno de los cuales puede ser rentado
en $550 mensuales. Sin embargo, por cada $25 mensuales de aumento en la renta, se
tendrán tres departamentos desocupados sin posibilidad de que se renten. La Compañía
quiere recibir $54,600 mensuales de rentas. ¿Cuál debe ser la menta mensual de cada
departamento?
Apartamentos = 96
Renta = $550/mensuales
Renta + 25  3 apartamentos menos
550 + 25x
96 – 3x
Solución 1:
54,600 = (550+25x) (96-3x)
550 + 25x
96 – 3x
52,800 + 2,400x
- 1,650x – 75x²
====================
52,800 + 750x – 75x²
54,600 = 52,800 + 750x – 75x²
– 75x² + 750x – 1,800 = 0
- x² + 10x – 24 = 0
(x – 6) (x-4) = 0
x=6
x=4
Solución 2:
q = 96 – [3 (r – 550)/25]
54,600 = [96 – 3(r – 550)/25] r
54,600 = r [(2,400 – 3r + 1,650)/25]
3/-25 (x-550) = y – 96
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 129
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
130
3x – 1,640 = -25y + 2,400
3x – 4,050 + 25y = 0
25y = 4,050 – 3x
y = (4,050 – 3x)/25
y = q = 162 – 0.12 p
I = (162 – 0.12 p) * p
I = 162p – 0.12 p²
54,600 = 162p – 0.12 p²
p² - 1,350p + 455,000 = 0
X = - 1,350 ± 1,350² - 4 (1)(455,000)  Fórmula Cuadrática
2(1)
p = 750
p = 650
Caso XXXV.
Un fabricante quiere introducir la tecnología de la robótica en uno de sus procesos de
producción. El proceso creará un “ambiente hostil” para los hombres.
En concreto, requiere exponerse a temperaturas muy altas y a emanaciones
potencialmente tóxicas. Se han identificado dos robots que parecen tener la capacidad
para ejecutar las funciones del proceso de producción. Al parecer no hay importantes
diferencias en la velocidad a que ambos trabajan. Un robot cuesta $180,000 y tiene
costos estimados de mantenimiento de $100 por hora de operación. El segundo modelo
cuesta $250,000 con costos de mantenimiento estimados en $80 por hora de operación.
c) ¿a qué nivel de operación (horas totales de producción) costarán lo mismo los dos
robots?
d) Defina los niveles de operación en que cada robot será el menos caro?
CT = 180,000 + 100h
CT = 250,000 + 80h
180,000 + 100h = 250,000 + 80h
h = 3,500
Modelos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 130
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)