Segunda clase

Subespacios cociente.
Definición.
Sean V un K – espacio vectorial y U un subespacio de V. Se define la relación llamada
“congruencia módulo U” para todo par de elementos u y v en V por “u está relacionado con v
si u – v U”. La notación es la siguiente: “u está relacionado con v” se escribe: u  v (mód. U), lo
cual se lee “u es congruente con v módulo U”.
Proposición 1.
Sean V un K – espacio vectorial y U un subespacio de V. Entonces la congruencia módulo U
es una relación de equivalencia en V.
D.:
Para vectores u, v y w en V vale:
i)
ii)
iii)
u  u (mód. U), pues u – u = 0VU.
Si u  v (mód. U), entonces u - vU, de donde v – u = -(u - v)U y v  u (mód. U).
Si u  v (mód. U) y v  w (mód. U), entonces u – v y v – w pertenecen a U, de
donde u – w = u – v + v – wU, de donde u  w (mód. U).
En general, si ~  AxA es una relación de equivalencia sobre un conjunto A, se define la clase de
equivalencia de un elemento aA como el subconjunto de A que consta de todos los elementos
relacionados con a. La notación y expresión explícita de la clase de equivalencia de aA es a =
{ bA / b ~ a }, para la congruencia módulo U la clase de un vector u es:
u = { vV / u  v (mód. U) } = { vV / (u – v)U) }. El conjunto de clases de equivalencia se
denomina cociente según la relación y en general se denota por A/~, pero para la congruencia
V
módulo U se denota por
.
U
En cuanto a las clases de equivalencia de una relación se tiene lo siguiente:
Proposición 2.
Sean A un conjunto, ~  A x A una relación de equivalencia en A y a, bA. Entonces:
i)
ii)
iii)
a ~ b  a = b.
a  b  a  b = ∅.
A =  aA a.
D.:
i)
(): Si a ~ b, entonces para todo c a, c ~ a y, por transitividad, c ~ b, de donde
c b y a  b. Para ver la otra inclusión, sustituya a por b y b por a en lo
escrito antes.
(): Si a = b, entonces a a = b y a ~ b.
ii)
(): Suponer a  b  ∅, implica la existencia de c a  b, es decir; c a y c b.
iii)
Esto implica c ~ a y c ~ b, de donde, por transitividad, a ~ b y, por i), a = b, lo
cual contradice la hipótesis de esta implicación.
(): Suponer a = b, implica, por i), a ~ b, de donde a a  b  ∅, lo cual es una
contradicción.
Es obvia la contención  aA a  A, pues para todo aA la clase a es un
subconjunto de A. La otra contención también es fácil de ver: aA  a a   aA a 
A   aA a.
Si se trata de la congruencia módulo el subespacio U de V, la tesis de iii) se puede rescribir como
V =  v( V / U) v.
Ejercicio.
1.- Si V es un K – espacio vectorial y U un subespacio de V, pruebe que para todo par de
vectores u y v en V, existe une biyección : u  v .
Definimos a continuación dos operaciones en el cociente
+:
V
:
U
V V
V
V
V
V
x

y :Kx
 , para todo par de clases u y v en
y un escalar kK, se
U
U U
U
U
U
tiene: +( u , v ) = u + v = u  v y (k, u ) = k u = ku.
V
deviene en un K – espacio
U
vectorial. Lo primero que hay que probar es que + y  están bien definidas, es decir, que son en
efecto funciones.
Vamos a probar ahora, que con estas operaciones el cociente
Primero probamos que + es una función:
V
Si u, u ', v , v ' 
son tales que u = u ' y v = v', entonces u – u’, v – v’U y
U
(u + v) – (u’ + v’) = (u – u’) + (v – v’)U, de donde u  v = u' v' y la suma está bien definida.
La multiplicación:
V
Si u = u ' 
y kK, entonces u – u’U y ku – ku’ = k(u – u’)U, lo cual implica k u = k u ' y la
U
V
multiplicación en
también está bien definida.
U
Comprobar que todos los axiomas de la definición de espacio vectorial son satisfechos por las
V
operaciones de suma y multiplicación recién definidas en
es tan fácil como fastidioso, por lo
U
V
que dejamos al estudiante para que las medite. Mencionamos que el elemento neutro de
es:
U
V
0(V/U) = 0 V y que el opuesto de una clase u de
es - u =  u.
U
El estudiante debe notar, que dado un grupo abeliano G y un subgrupo H de éste, mediante un
G
procedimiento análogo se construye el grupo cociente
(para grupos no abelianos el cociente se
H
construye con subgrupos normales). Si A es una anillo conmutativo e I un ideal de A, el cociente
A
es así mismo un anillo (como información solamente, si A es un anillo no conmutativo, el
I
cociente se construye con ideales biláteros). En particular, el estudiante debe recordar el anillo ℤn,
que no es más que el anillo cociente de ℤ sobre < n >, el ideal de ℤ generado por n. Una
primera lectura sobre estos temas puede hacerse en el libro: Álgebra Moderna de I. N. Herstein.
Ejercicio.
2.- Sean V un K – espacio vectorial, T : V  V un operador lineal y U un subespacio de V
V
V
V
contenido en Ker(T). Pruebe que T :

, definida para todo u 
por T(u) = T(u), no
U
U
U
sólo está bien definida, sino que es un operador lineal.
Respuesta:
V
, entonces (u – u’)U y por U  Ker(T), se tiene T(u) – T(u’) = T(u – u’) = 0VU, de
U
donde T(u) = T(u' ) y T está bien definida.
Si u = u ' 
V
y kK se tiene
U
T(u  k v ) = T(u  kv) = T(u  kv) = T(u)  kT(v) = T(u) + k T(v ) = T(u) + k T( v ), de donde T es un
operador lineal.
Además, para todo par de clases u y v en
Proposición 3.
Sean V un K – espacio vectorial, T : V  V un operador lineal y U un subespacio T – invariante
de V. Entonces
V
V
V
T:

, definida para todo u 
por T(u) = T(u), no sólo está bien definida, sino que es
U
U
U
un operador lineal.
D.:
V
, entonces (u – u’)U y por ser U un subespacio T – invariante, se tiene
U
T(u) – T(u’) = T(u – u’)U, de donde T(u) = T(u' ) y T está bien definida.
Si u = u ' 
V
y kK se tiene
U
T(u  k v ) = T(u  kv) = T(u  kv) = T(u)  kT(v) = T(u) + k T(v ) = T(u) + k T( v ), de donde T es un
Además, para todo par de clases u y v en
operador lineal sobre
V
.
U
Proposición 4.
Si V es un K – espacio vectorial de dimensión finita y U un subespacio de V, entonces la
V
dimensión del cociente
es igual a dim(V) – dim(U).
U
D.:
Complete una base de U: U = { u1, ... , um } hasta  = { u1, ... , um, u(m + 1), ... , un } una base de V.
V
Veremos que β  { u(m1) ,,un } es una base de
.
U
V
Primero veremos que β genera
:
U
V
Para todo u 
y por ser  base de V, se tiene que
U
u = a1u1 + ... + amum + a(m + 1)u(m + 1) + ... + anun, tomando clases:
u = a1u1   amum + a(m + 1) u(m1) + ... + an un , puesto que a1u1 + ... + amumU, se tiene que
a1u1   amum = 0 = 0(U/V) y u = a(m + 1) u(m1) + ... + an un .
A continuación probamos que β es linealmente independiente:
Sea a(m + 1) u(m1) + ... + an un = 0 una combinación lineal de los vectores de β. Esto quiere decir
que 0 = a(m + 1) u(m1) + ... + an un = a(m1)u(m1)    anun y esto implica que
a(m + 1)u(m + 1) + ... + anunU, de donde a(m + 1)u(m + 1) + ... + anun = a1u1 + ... + amum, restando
a(m + 1)u(m + 1) + ... + anun a ambos lados:
a1u1 + ... + amum - a(m + 1)u(m + 1) - ... - anun = 0V, se tiene una combinación lineal nula de los vectores
de la base  de V, de donde los escalares involucrados en la misma son todos nulos y en
V
particular a(m + 1) = ... = an = 0K y β es linealmente independiente y base de
.
U
V
Con esto hemos probado, contando los elementos de las bases β de
,  U de U y  de V,
U
V
que dim  = dim(V) – dim(U).
U
Proposición 5.
Si V es un K – espacio vectorial, T : V  V un operador lineal, U y W dos subespacios
T – invariantes de V,  U = { u1, ... , uk } una base de U y W = { w1, ... , wm } una base de W. Si
además V = U  W, entonces la matriz de T respecto de la base  = U  U de V es
0
 (T/ U )U
(T) = 
 0
(T/ W )
W

respecto de la base U

, en donde T/ U  es la matriz de la restricción de T a U (T /U : U  U)



y T/ W  es la matriz de la restricción de T a W (T/W : W  W)
U
W
respecto de la base W.
D.:
 i: 1  i  k T(ui)U y  k: 1  i  m T(wi)W, pues ambos subespacios, U y W, son
T – invariantes. Por lo tanto  i: 1  i  k T(ui) = a1iu1 + ... + akiuk (+ 0w1 + ... + 0wm) y
 i: 1  i  k T(wi) = (0u1 + ... + 0uk +) b1iw1 + ... + bmiwm, de donde
T/ U 
U
 a11  a1k 
 b11  b1m 




  y
=     , T/ W  =   
W
b

a

 m1  b mm 
 k1  a kk 
 a11

 
a
T  =  k1
 0

 
 0

 a1k
 
 a kk
 0
 
 0
0

0
b11

b m1
 0 


 
 0   (T/ U )U
 =
 b1m   0


 
 b mm 
0
(T/ W )
W

.

