TEMA 2 MODELOS DE ATMÓSFERA Y DE AVIÓN En este tema se van a modelar las fuerzas aerodinámica y propulsiva, ası́ como el consumo de combustible del avión, esto es, se van a definir las funciones L = L(h, V, α), D = D(h, V, α), T = T (h, V, π) y c = c(h, V, π) para el caso de vuelo simétrico. Estas funciones dependen de la altitud a través de la densidad, la temperatura y la presión del aire, por lo que resulta necesario disponer también de un modelo de atmósfera que defina dicha dependencia. 2.1 Modelo de atmósfera El modelo de atmósfera proporciona la temperatura, la presión y la densidad del aire en función de la altitud. En este curso se considera el modelo de atmósfera estándar internacional, modelo ISA (Internacional Standard Atmosphere), ya estudiado en otros cursos. Se resumen a continuación las funciones mencionadas, basadas en la hipótesis de considerar el aire como un gas perfecto. 1) En la troposfera, esto es, para 0 < h < h11 , siendo h11 =11000 m la altitud de la tropopausa, se tiene Θ = Θ0 − αT h ( ) g αT h Ra αT p = p0 1 − Θ0 ( ) g αT h Ra αT −1 ρ = ρ0 1 − Θ0 (2.1) donde los valores al nivel del mar son Θ0 =288.15 K, p0 =1.01325 105 N/m2 y ρ0 =1.225 kg/m3 , αT =6.5 10−3 K/m y Ra =287.05 J/(kgK) es la constante del aire. Además g =9.80665 m/s2 . 2) En la estratosfera (en la parte baja de la misma), para h > h11 , se tiene Θ = Θ11 ( ) g(h − h11 ) p = p11 exp − Ra Θ11 ( ) g(h − h11 ) ρ = ρ11 exp − Ra Θ11 (2.2) donde los valores en la tropopausa son Θ11 =216.65 K, p11 =0.22632 105 N/m2 y ρ11 =0.3639 kg/m3 . 2.2 Modelo aerodinámico Los coeficientes de sustentación (CL ) y de resistencia (CD ) se definen a partir de las expresiones 1 L = ρ(h)V 2 SCL 2 1 D = ρ(h)V 2 SCD 2 (2.3) siendo S la superficie alar del avión. Mediante análisis dimensional se obtiene la siguiente dependencia funcional CL = CL (α, M, Re) CD = CD (α, M, Re) 19 (2.4) donde M es el número de Mach y Re el número de Reynolds. Estos coeficientes se suponen funciones conocidas, obtenidas en general mediante ensayos en túnel y ensayos en vuelo. √ El número de Mach es M = V /a, siendo a = κRa Θ(h) la velocidad del sonido (con κ=1.4 para el aire), que depende de la temperatura del aire, por lo que depende del modelo de atmósfera. La dependencia con el número de Mach puede despreciarse a bajas velocidades (M <0.6), mientras que es importante a altas velocidades, cuando son importantes los efectos de compresibilidad. Para M y Re fijos, la variación de CL con α es lineal para valores pequeños de α, y tiene un valor máximo CLmax que corresponde al ángulo de ataque de entrada en pérdida (stall ) αmax . En general el vuelo está restringido a α < αmax , y en consecuencia CL < CLmax . A bajas velocidades CLmax es constante (independiente de M ) mientras que a altas velocidades, en régimen subsónico alto (para aviones comerciales), disminuye al aumentar M , y disminuye drásticamente al acercarse a M = 1. Más allá de la entrada en pérdida CL depende fuertemente de Re. CLmax influye de forma muy importante en la definición de la envolvente de vuelo (flight envelope) del avión. El coeficiente de resistencia puede descomponerse en dos partes CD = CD0 + CDi siendo CD0 el coeficiente de resistencia parásita (con sustentación nula) y CDi el de resistencia inducida (inducida por la sustentación). En general, la dependencia de CDi con Re es despreciable, mientras que la de CD0 no es despreciable, ya que el coeficiente de fricción en la superficie del avión depende del número de Reynolds. En este curso, por simplicidad, no se considera la dependencia con el número de Reynolds. Dado que CL depende de α y de M , y M depende de V y de h, las expresiones (2.3) proporcionan la dependencia buscada L = L(h, V, α) y D = D(h, V, α). Nótese que también se tiene D = D(h, V, L). Para h y L fijos, existe una V que da resistencia mı́nima, y para V y L fijos, existe una h que da resistencia mı́nima, como puede verse en las figuras 2.1 y 2.2. Figura 2.1: Resistencia aerodinámica en función de V y h 20 Figura 2.2: Resistencia aerodinámica en función de V y h (cont.) 2.2.1 Polar Una vez despreciada la dependencia con el número de Reynolds, a partir de las expresiones (2.4) se tiene CD = CD (CL , M ), expresión que recibe el nombre de polar del avión, ver figura 2.3. Figura 2.3: Polar del avión Una buena aproximación a la polar real de un avión es la polar parabólica, CD = CD0 (M ) + CD1 (M )CL + CD2 (M )CL2 (2.5) cuya validez se muestra en la figura 2.4; CD0 es el coeficiente de resistencia parásita y el resto el de resistencia inducida. Un modelo más sencillo es el de polar parabólica simétrica CD = CD0 (M ) + k(M )CL2 (2.6) En el caso de vuelo a bajas velocidades (M <0.6) los coeficientes de la polar CD0 , CD1 , CD2 o bien CD0 , k son constantes (independientes del número de Mach). A altas velocidades, en régimen subsónico 21 alto (para aviones comerciales), los coeficientes aumentan al aumentar M ; en este caso los efectos de compresibilidad son importantes. Figura 2.4: Región de validez de la polar parabólica En las figuras 2.5 y 2.6 se presentan ejemplos de polares para diversos tipos de avión. Figura 2.5: Polar en régimen subsónico bajo Figura 2.6: Polar en régimen subsónico alto 22 2.2.2 Eficiencia aerodinámica La eficiencia aerodinámica se define como el cociente entre la sustentación y la resistencia aerodinámica CL L E= = (2.7) D CD y es por tanto también función de CL y M , esto es, E = E(CL , M ). Para M fijo, E presenta un máximo en la variable CL , como se describe en el esquema de la figura 2.7, siendo la eficiencia aerodinámica máxima Emax un parámetro importante del avión. El valor de CL que da lugar a dicho máximo es el coeficiente de sustentación óptimo CLopt . Figura 2.7: Coeficientes de resistencia y sustentación y eficiencia aerodinámica En aviones supersónicos Emax puede variar entre 5 y 10; en aviones subsónicos, entre 10 y 20; y en veleros, puede llegar hasta 50. En el caso de bajas velocidades (M <0.6) Emax es constante (independiente de M ), mientras que a altas velocidades, en régimen subsónico alto (para aviones comerciales), disminuye al aumentar M . En la figura 2.8 se presentan esquemas de la dependencia con M de diversos parámetros en el caso de aviones comerciales. Figura 2.8: Influencia del número de Mach en régimen subsónico 23 2.2.3 Velocidad de entrada en pérdida La velocidad de entrada en pérdida Vs es la velocidad de vuelo que corresponde a CLmax . Si se define el factor de carga n = L/W siendo W el peso del avión, se tiene 1 nW = ρ(h)Vs2 SCLmax 2 (2.8) √ de donde se obtiene Vs = 2nW ρ(h)SCLmax (2.9) Para n y ρ dados, Vs es la mı́nima velocidad de vuelo; esta velocidad limita la envolvente de vuelo del avión a bajas velocidades. Dado que CLmax depende de la configuración aerodinámica del avión (despegue, aterrizaje, configuración limpia), también Vs depende de dicha configuración. Además depende del factor de carga, del peso del avión y de la altitud de vuelo; Vs aumenta al aumentar estos tres factores. 2.2.4 Velocidad equivalente La velocidad equivalente se define como √ Ve = V ρ ρ0 (2.10) donde ρ0 es la densidad ISA al nivel del mar. Ası́ pues, se verifica 1 2 1 ρV = ρ0 Ve2 2 2 (2.11) 1 de manera que si la presión dinámica (q = ρV 2 ) se mantiene constante durante el vuelo, entonces la 2 velocidad equivalente es constante independientemente de la altitud. En el cálculo de actuaciones del avión, si se considera la velocidad equivalente, se elimina el efecto de la altitud. Por tanto, se verifica 1 ρ0 Ve2 SCL = nW (2.12) 2 y, entonces, la velocidad equivalente de entrada en pérdida viene dada por √ 2nW Ves = (2.13) ρ0 SCLmax que es independiente de la altitud. Ası́, para una maniobra determinada (n conocido) Ves es función sólo del peso del avión, de manera que, para un peso dado, el avión siempre entra en pérdida a la misma velocidad equivalente. 2.3 Modelo propulsivo En esta sección se van a obtener las funciones T = T (h, V, π) y c = c(h, V, π) para el empuje disponible y el consumo de combustible. Para modelar el consumo de combustible, se define el consumo especı́fico mediante la relación cE = 24 gc T (2.14) de modo que tiene dimensiones de 1/tiempo. Se tiene pues cE = cE (h, V, π). Se definen a continuación los coeficientes adimensionales de empuje (KT ) y de consumo especı́fico (Kc ) KT = T pSR cE a211 cE a11 Kc = = ga g √ Θ11 Θ (2.15) siendo SR el área de referencia del motor (el área frontal máxima). Si se toma como variable de control del motor las revoluciones del rotor, es decir π ≡ N , y si se define el parámetro adimensional (parámetro de vueltas corregido) N a11 N Nc = = Nmax a Nmax √ Θ11 Θ (2.16) siendo Nmax las revoluciones máximas permitidas del rotor, entonces mediante análisis dimensional se obtiene la siguiente dependencia funcional (despreciando los efectos del número de Reynolds) KT = KT (M, Nc ) Kc = Kc (M, Nc ) (2.17) funciones que se suponen conocidas (análogamente al caso de CL y CD ). En la figura 2.9 se presentan unas curvas tı́picas para el caso de un turbofán, donde puede verse que la dependencia de Kc con Nc es pequeña y que la variación con M es aproximadamente lineal. Figura 2.9: Coeficientes de empuje y de consumo especı́fico para un turbofán Se tiene por tanto T = p(h)SR KT (M, Nc ) ga(h) cE = 2 Kc (M, Nc ) a11 (2.18) expresiones que definen la dependencia funcional buscada T = T (h, V, N ) y cE = cE (h, V, N ). Nótese que también se tiene cE = cE (h, V, T ). 25 La obtención de las funciones KT y Kc es compleja, por lo que se suele utilizar la siguiente aproximación ( ) ρ x T = T11 (V, π) ρ11 ) ( (2.19) ρ y cE = cE11 (V, π) ρ11 donde los valores x e y se obtienen mediante un ajuste de los datos proporcionados por el fabricante, y en general satisfacen las siguientes relaciones { 0.5 < x < 1 en la troposfera ⇒ (2.20) 0 < y < 0.2 { x=1 en la estratosfera ⇒ (2.21) y=0 Nótese que también se verifica ) ρ x T = T0 (V, π) ρ0 ( )y ρ cE = cE0 (V, π) ρ0 ( (2.22) 2.4 Modelo ISJ En este curso, con objeto de obtener soluciones de forma sencilla a los distintos problemas de actuaciones, se va a considerar un modelo de avión simplificado, llamado modelo ISJ (Ideal Subsonic Jet). 2.4.1 Modelo aerodinámico El modelo aerodinámico está definido por una dependencia lineal de CL con α y por una polar parabólica simétrica de coeficientes constantes CD = CD0 + kCL2 (2.23) Ası́ pues, la eficiencia aerodinámica es función sólo de CL E= CL CD0 + kCL2 (2.24) dE = 0 define el valor de CL que da lugar a eficiencia aerodinámica máxima, esto dCL es, el coeficiente de sustentación óptimo √ CD 0 CLopt = (2.25) k La ecuación siendo la eficiencia aerodinámica máxima 1 Emax = √ 2 kCD0 26 (2.26) El coeficiente de resistencia que corresponde a CLopt es CD (CLopt ) = 2CD0 (2.27) La resistencia aerodinámica es por tanto 1 2n2 W 2 D = ρ(h)V 2 SCD0 + k 2 ρ(h)V 2 S (2.28) Para n, W y h fijos, la velocidad que corresponde a Emax está definida por la relación 1 nW = ρ(V |Emax )2 SCLopt 2 y su valor es √ V |Emax = 2nW ρS ( k CD 0 (2.29) )1/4 Para n, W y h fijos, la resistencia aerodinámica tiene un mı́nimo a la velocidad √ ( ) 2nW k 1/4 V |Dmin = = V |Emax ρS CD 0 y para n, W y V fijos, tiene un mı́nimo a la altitud dada por √ 2nW k ρ|Dmin = 2 V S CD 0 En ambos casos se tiene el mismo valor de la resistencia aerodinámica nW Dmin = Emax (2.30) (2.31) (2.32) (2.33) que es independiente de h y de V . La eficiencia aerodinámica que corresponde a resistencia mı́nima es E|Dmin = L = Emax Dmin (2.34) Si se considera la velocidad equivalente (ρ0 Ve2 = ρV 2 ), la resistencia aerodinámica viene dada por 1 2n2 W 2 D = ρ0 Ve2 SCD0 + k 2 ρ0 Ve2 S Para n y W fijos, D tiene un mı́nimo a la velocidad equivalente √ ( ) 2nW k 1/4 Ve |Dmin = ρ0 S C D 0 (2.35) (2.36) estando Dmin definida por la ecuación (2.33). 2.4.2 Modelo propulsivo El modelo propulsivo ISJ es un modelo simplificado en el que se supone que el empuje disponible es independiente de la velocidad y el consumo especı́fico independiente de la velocidad y de la posición de palanca. Ası́ pues, se tienen las siguientes expresiones ( ) ρ x T = T11 (π) ρ11 ) ( (2.37) ρ y cE = cE11 ρ11 27 siendo cE11 constante, y donde x e y toman los siguientes valores { x = 0.7 en la troposfera ⇒ y = 0.2 { x=1 en la estratosfera ⇒ y=0 Para una altitud dada, el empuje máximo disponible viene dado por ( ) ρ x Tmax = T11 (πmax ) ρ11 (2.38) (2.39) (2.40) siendo πmax el valor máximo del parámetro de control del motor (máxima posición de palanca). 2.5 Medida de la velocidad En navegación es necesario disponer a bordo de una medida de la velocidad del avión. En esta sección se describe cómo se mide la velocidad. La medida de la velocidad aerodinámica, esto es, la velocidad del avión con respecto al aire (airspeed ) está basada en la ecuación de Bernoulli, que para flujo compresible viene dada por κ p 1 2 κ pt + ρV = κ−1ρ 2 κ − 1 ρt (2.41) que presupone que el aire es llevado a las condiciones de remanso de forma isentrópica, por lo que también se verifica ( )1/κ ρt pt = (2.42) ρ p De ambas ecuaciones se obtiene 2κ p V2 = κ−1ρ [( pt p ] )κ−1/κ −1 (2.43) A bordo del avión la toma de Pitot-estática mide la diferencia ∆p = pt − p, por lo que en función de esta diferencia de presiones se tiene [( ] )κ−1/κ 2κ p ∆p 2 V = +1 −1 (2.44) κ−1ρ p Ası́ pues, la medida de la velocidad aerodinámica requiere medir además de ∆p la presión y la densidad del aire. La velocidad aerodinámica también se llama velocidad verdadera o TAS (True AirSpeed ). Nótese que la ecuación (2.44) también puede escribirse en la forma [( ] )κ−1/κ 2a2 ∆p 2 V = +1 −1 (2.45) κ−1 p es decir, se tiene 2 M2 = κ−1 [( ] )κ−1/κ ∆p +1 −1 p expresión que permite medir el número de Mach de vuelo a partir de las medidas de ∆p y p. 28 (2.46) 2.5.1 Velocidad calibrada (CAS) Sin embargo, a bordo del avión el anemómetro indica una velocidad obtenida con la única medida de la diferencia de presiones ∆p. Se trata de la velocidad calibrada o CAS (Calibrated AirSpeed ) definida como sigue [( ] )κ−1/κ 2κ p0 ∆p 2 CAS = +1 −1 (2.47) κ − 1 ρ0 p0 siendo p0 y ρ0 la presión y la densidad ISA al nivel del mar. En realidad el anemómetro indica la velocidad que se conoce como velocidad indicada o IAS (Indicated AirSpeed ), que coincide con la CAS salvo por los errores del instrumento. En este curso se supone que no existen tales errores, por lo que IAS y CAS coinciden. En la práctica las operaciones de vuelo se definen en función de la CAS. Nótese que para un valor de CAS dado, la ecuación (2.47) define ∆p y la ecuación (2.44) el valor correspondiente de V , dado por ( [( ])κ−1/κ )κ/(κ−1) 2κ p p κ − 1 ρ 0 1+ 0 V2 = 1+ CAS 2 −1 − 1 (2.48) κ−1ρ p 2κ p0 Por tanto, la condición CAS = const define una ley de velocidades V = VC (h), pudiendo comprobarse que V aumenta al aumentar la altitud. Análogamente, la condición M = const define una ley de velocidades V = VM (h). Si se desprecian los efectos de compresibilidad, la ecuación de Bernoulli para flujo incompresible es 1 p + ρV 2 = pt 2 de donde se obtiene V2 = 2∆p ρ (2.49) (2.50) En tal caso, la velocidad calibrada se define como sigue CAS 2 = 2∆p ρ0 (2.51) (también se tiene esta expresión como aproximación de la función dada por las ecuaciones (2.46) y (2.47) para M 2 ¿ 1), por lo que se obtiene √ ρ0 V = CAS (2.52) ρ donde se ve claramente que para vuelo a CAS = const la velocidad aumenta al aumentar la altitud. La expresión anterior también indica que en vuelo a bajas velocidades, en régimen incompresible, la velocidad calibrada coincide con la velocidad equivalente. 29 Página en blanco 30