TEMA 2: MOVIMENT ONDULATORI

Tema 2. Segundo Cuatrimestre.
Movimiento Ondulatorio. Física General
TEMA 2: MOVIMIENTO ONDULATORIO.
Introducción.
El fenómeno ondulatorio nos rodea por todas partes en nuestra vida
cotidiana: vemos ondas en la playa, en el océano, la luz es un fenómeno
ondulatorio, la música es el resultado de las ondas que se originan en un
instrumento musical, como por ejemplo una guitarra: estas se transmiten al
aire y se propagan por él, hasta llegar a nuestro oído, que es un detector
extraordinario de ondas sonoras, que transmite mediante ondas eléctricas a
nuestro cerebro que finalmente las analiza.
Las ondas las podemos clasificar en:
• Ondas viajeras, como las ondas del océano, o el
sonido en el aire, que se propagan en el espacio.
• Ondas estacionarias, como las de la guitarra, que se
encuentran confinadas en (o restringidas a) una
región limitada del espacio.
Las ondas se pueden propagar en una dimensión, como la generada
sobre un muelle en la figura 15.2, en dos dimensiones, como las ondas
superficiales del agua sobre la superficie de un lago y en tres dimensiones,
como las ondas sonoras en la atmósfera.
Las ondas viajeras vienen caracterizadas por su frecuencia f y la
velocidad v de propagación.
2. Oscilaciones organizadas.
El movimiento ondulatorio puede ser considerado como un
transporte de energía y de cantidad de movimiento (momento) desde un
punto del espacio a otro, sin que haya transporte de materia. En las ondas
mecánicas (materiales) la energía y la cantidad de movimiento son
transportadas mediante una perturbación del medio material, de manera que
la onda se propaga gracias a las propiedades elásticas de éste.
La diferencia fundamental entre el movimiento ondulatorio y el de
las partículas (clásica) es que mientras que en este último se transporta
energía junto con materia, en aquel se transporta sólo energía, sin que la
materia se propague en el espacio: no hay un transporte neto de materia en
las ondas. En el movimiento ondulatorio material, ya sean vibraciones de
cuerda de guitarra (estacionarias) o las ondas del océano o sonoras
(viajeras), existe un movimiento organizado de todo o parte del medio
material, originado como respuesta de las fuerzas internas del medio
elástico a la perturbación introducida.
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3. Clasificación de las ondas.
Las ondas pueden clasificarse en materiales y electromagnéticas.
Las primeras necesitan de un medio material (elástico: aire, agua, sólidos,
etc.) para propagarse. Las otras (como las electromagnéticas y las
gravitacionales) se propagan también en el vacío.
Figura 15.1. a). Onda transversal, en forma
de pulso, que se propaga sobre un muelle.
Perturbación
y
propagación
son
perpendiculares.
Figura 15.1 b). Tres “fotografías” sucesivas
de una onda que se propaga hacia la
derecha. Observad que el punto realiza un
m.v.a.s.
Las ondas se clasifican en longitudinales o transversales, según que
la dirección de propagación y vibración coincidan o sean perpendiculares.
Esta clasificación se comprende si vemos las figuras 15.11, 15.2: en un
muelle se pueden generar ondas longitudinales y transversales.
Figura 15.2. Onda longitudinal, en forma de pulso, que se propaga sobre un muelle. La
perturbación y la dirección de propagación coinciden.
4. Pulso propagándose en una onda. Terminología general.
Sea una cuerda tensa, en equilibrio, sobre la que se ejerce un pequeño
empuje, como en la Figura 13.1. Esta perturbación o pulso, recorre la
cuerda con una determinada velocidad, que como veremos depende de la
tensión y de la densidad lineal de la cuerda, denominada velocidad de
grupo.
1
Las figuras corresponden en su mayor parte al libro de P. Tipler, referenciado en la bibliografía.
2
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Si en la propagación, el pulso varía su forma, se dice que el medio es
dispersivo y que el pulso sufre dispersión.
Las ondas, y en particular un pulso, experimenta también el
fenómeno de la reflexión y transmisión cuando las propiedades del medio
en que se propagan varían abruptamente. En la reflexión se puede o no
invertir el pulso: como se ve en las figuras 13.1 y 13.2.
Figura 13.1 Pulso de una onda desplazándose hacia Figura13.2 Extremo libre. Reflexión
la derecha sobre una cuerda tensa. Reflexión con sin inversión.
inversión en el extremo fijo.
Las características de la reflexión - transmisión depende de las
densidades del medio original y la del medio final al que se transmite la
perturbación: Figura 13.3.
Figura 13.3. a) Pulso de una onda
sobre cuerda ligera, unida a otra de
mayor densidad lineal. b) ídem de
menor densidad lineal. Observad el
cambio de fase de 1800 en la amplitud
del caso a) para una onda reflejada.
Hay que insistir en que en las ondas no son los elementos materiales
los que se propagan, sino su estado dinámico, es decir, la perturbación,
como se ve en la figura 15.1.b, donde se ha dibujado una onda armónica
propagándose en una cuerda. Si nos fijamos en un punto material
determinado, vemos que no se desplaza hacia la derecha, realiza sin
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embargo, un movimiento armónico simple alrededor de su punto de
equilibrio, perpendicularmente a la dirección de propagación de una onda
(onda transversal).
Ecuación de ondas.
Cuando un pulso (en una sola dimensión) se propaga, intervienen dos
coordenadas independientes, la coordenada espacial x y el tiempo t. Sea y
el valor de la función que se propaga (ejemplos: intensidad del sonido,
desplazamiento de la onda, campo eléctrico, etc.). Supongamos que la
velocidad de grupo (con la que se propaga el pulso) es v.
Representemos por y(x) la perturbación, no sometida a dispersión, en
el sistema de referencia original. Sea ahora otro sistema referencial O’ que
viaja con el pulso, es decir con velocidad v, como se ve en la figura 15.3.
Las coordenadas de los dos sistemas se relacionan por x=x’+vt.
Tendremos:
Figura
15.3
Pulso
desplazándose hacia la derecha
sin deformación.
Función del pulso en el sistema (x,y)
Función del pulso en el sistema (x’,y’)
Se verifica la relación entre los dos
Para la x’ que cumple
y(x)
y’(x’)
y(x)=y’(x’)
x = x’+vt
Es evidente, que la función y’(x’) permanece constante en la
propagación y que el valor de la función y coincide con y’, para la x que
corresponde a la x’. Así pues, la propagación en el sistema original O habrá
que escribirla:
y (x,t)= y’(x’) = y’(x-vt)= y(x-vt)
y (x,t)= y’(x’) = y’(x+vt)= y(x+vt)
onda propagándose hacia la derecha
onda propagándose hacia la izquierda
• Observad que la forma del pulso, es decir, la función y(x-vt)
explícita, dependerá de cual sea la función matemática que
represente explícitamente la perturbación del medio.
• Ahora bien, por tratarse de una onda monodimensional viajando a
la velocidad v, la función de onda incluirá necesariamente la
dependencia del argumento x±vt. Es precisamente el argumento
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x ± vt , el que caracteriza la existencia de la propagación
ondulatoria u onda viajera.
• La función y(x±vt) que representa la propagación de la
perturbación , recibe el nombre de función de onda.
Velocidad de las ondas.
Una propiedad importante de las ondas es que su velocidad de
propagación en un medio material, depende únicamente de las
características del medio y no del movimiento de la fuente generadora
respecto del medio. Ejemplos: motorista, tren, etc.
Demostraremos que la velocidad de propagación de una onda en una
cuerda, depende de la tensión de la cuerda F y de su densidad lineal µ.. La
tensión representa la propiedad elástica del medio, mientras que la densidad
µ representa una magnitud inercial.
v =
F
µ
Las ondas sonoras en un fluido, como el aire (gas) o el agua (líquido)
tienen una velocidad de propagación dada por:
v =
B
ρ
→ v =
γRT
M
que de nuevo representa una propiedad elástica (B es el módulo de
compresibilidad adiabático) y ρ la densidad del medio (propiedad inercial).
Si utilizamos el módulo de compresibilidad de los gases para
transformaciones adiabáticas, deducimos la velocidad del sonido en los
gases. T es la temperatura absoluta del gas!
Deducción de v para las ondas sobre una cuerda.
Consideremos un pulso, que supondremos de amplitud pequeña, que
viaja hacia la derecha con velocidad v, de manera que la tensión pueda
considerarse constante en toda la cuerda, como se ve en la figura 15.5a.
Elegimos ahora el sistema referencial que viaja con el pulso, (la
cuerda viaja hacia la izquierda en este sistema), y fijémonos en un elemento
diferencial ∆s de la cuerda, que podrá ser considerado como perteneciente a
un arco de la circunferencia, de radio R; a este arco le corresponde un
ángulo θ=∆s/R, como se esquematiza en la figura 15.5b.
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Sobre el elemento de arco actúa la fuerza originada por la tensión F,
cuya componente neta toma el valor (θ pequeño y se anulan las
componentes horizontales)
∑ Fr
θ
= 2F sin  
 2
≅Fθ
Figura 15.5a. Pulso de onda sobre una
cuerda, viajando con velocidad v.
Figura 15.5b. El mismo pulso de onda
sobre el sistema de referencia que
viaja con ella. La aceleración
centrípeta
del
segmento
viene
originada por las componentes radiales
de la tensión.
La fuerza resultante se halla dirigida hacia el centro del arco, y
obviamente coincide con la fuerza centrípeta.
La masa del segmento ∆s toma el valor: m = µ ∆ s = µ R θ y se
v2
encuentra sometida a la aceleración centrípeta
.
R
Igualando la fuerza radial neta a la fuerza centrípeta, se encuentra:
v2
F θ=µ R θ
R
que nos da la velocidad de propagación de la onda sobre una cuerda.
F
µ
Ejercicio: Comprobad mediante el análisis dimensional la expresión
anterior2.
v=
2
Ver P. Fishbane, página 426.
6
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Ecuación de ondas en forma diferencial.
• Es una ecuación que relaciona las derivadas segundas y parciales de
las magnitudes que se propagan respecto del espacio y del tiempo
con la velocidad de la onda. La forma es la misma para todas las
ondas.
Vamos a obtener la ecuación de ondas3 para un segmento de cuerda
(figura 15.6) para aplicación de las leyes de Newton:
Figura 15.6. Segmento de cuerda para
deducir la ecuación de ondas.
Sea ∆x el segmento considerado, de masa m= µ ∆x. La fuerza neta
sobre el segmento vale:
∂2 y
Fres = ∑F = F sin θ 2 − F sin θ1 ≅ F (tg θ 2 − tg θ1 ) ≅ F
∆x
∂ x2
donde se aproxima la tangente por el seno por ser ángulos pequeños.
Como la pendiente de la curva es la tangente y ésta matemáticamente
es: tg θ = ∂ y / ∂ x y considerando que la diferencia entre las dos tangentes
en el paréntesis es pequeña, hemos calculado la última expresión, que
representa la fuerza que actúa sobre el segmento. (Desarrollo de Taylor).
Por otra parte, la aplicación de la segunda ley de Newton nos
proporciona:
Fres = µ ∆x
∂2 y
∂ t2
De donde igualando las dos expresiones se deduce:
∂2 y
µ ∂2 y
=
→
∂ x2
F ∂ t2
∂2 y
1 ∂2 y
= 2
∂ x2
v ∂ t2
que representa la ecuación general de las ondas en forma diferencial.
Ejercicio: Comprobar que la ecuación y(x,t)= y(x±vt) es solución de la
ecuación diferencial anterior4. Como caso particular aplicadlo a las ondas
armónicas de la siguiente sección.
3
Distinga el alumno entre las definiciones de función de ondas y ecuación de ondas
4
Ver P. Tipler página 446.
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Las ondas armónicas.
Cuando la función y(x,t)=y(x-vt) es de tipo sinusoidal5, se dice que la
onda es armónica (Figura 15.7). Puede obtenerse mediante un diapasón
vibrante unido a una cuerda: un elemento de cuerda se moverá de arriba a
abajo, realizando un m.v.a.s. con la misma frecuencia que el diapasón.
Puesto que hay dos variables independientes (x,t), la característica
armónica corresponderá tanto al espacio (fotografía) como al tiempo
(filmación), Figura 15.7.
Figura 15.7. Onda armónica
en el instante t. Una imagen
semejante puede obtenerse
mediante una fotografía.
• Las características del movimiento armónico se repiten exactamente a
distancias iguales denominadas longitud de onda,(fotografía)
• Se repiten también sobre el mismo punto a intervalos de tiempo iguales,
denominados período,(filmación).
Definiciones:
• Longitud de onda λ es el espacio recorrido (a tiempo constante) a
lo largo de la propagación de la onda hasta que se repite
exactamente la función. Así, en una fotografía de una onda
propagándose, la distancia entre dos crestas vecinas representa la
longitud de onda (Figura 15.7).
• El período T=1/f es el de la fuente que origina la onda y es el
tiempo transcurrido para que, en un punto fijo del espacio, la
onda repita exactamente su estado de vibración.
Existe una relación sencilla entre estas magnitudes: la longitud de
onda λ es el espacio que recorre la onda durante un período de tiempo T:
v
f
Dado que la velocidad de propagación depende exclusivamente de
las propiedades del medio material, la longitud de onda λ está gobernada
por la frecuencia o período de la fuente generadora de la onda.
λ = v T=
5
Denominamos funciones sinusoidales o armónicas a las funciones seno o coseno
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• Formas explícitas de la función de ondas armónica:
La función de ondas armónica debe repetir su estado de vibración
(fase del argumento) para incrementos espaciales de valor igual a la
longitud λ, (condición 1) y para incrementos temporales de valor el período
T (condición 2) y además, el argumento de la función debe ser (x-vt),
(condición 3). Se tendrá que la función buscada es:
2π 
 2π
 2π

y( x, t ) = A sin  x −
t  = A sin  x − ω t  = A sin [k ( x − v t )]
T 
 λ
 λ

Funciones de onda harmónica
2π
recibe el nombre de número de ondas. Obviamente se debe
λ
cumplir que kv=ω.(Demostradlo!)
donde k=
Observad que las condiciones (1) y (2) conducen a la condición (3).
A es la amplitud (máxima elongación) de las oscilaciones. Como se
observa, el argumento de la última ecuación tiene la forma explicitada
antes y que corresponde a una onda propagándose (condición 3).
Energía y potencia transmitida por las ondas.
Las ondas transportan energía y cantidad de movimiento en
su propagación, sin que se transporte materia.
Usaremos el ejemplo de la cuerda, excitada por un diapasón, para
calcular la propagación de energía. Sea la figura 13.14: que representa una
onda armónica de amplitud A y frecuencia angular ω.
Figura13.14 Un diapasón genera una
onda harmónica sobre una cuerda.
Consideremos un elemento de cuerda ∆m, al que le corresponde una
energía total vibrante, de acuerdo con el m.v.a.s.:
1
k A2
2
Etot =
donde k = m ω2 es la constante de fuerza recuperadora. Como ∆m=µ∆x, la
energía que transporta el elemento será:
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Movimiento Ondulatorio. Física General
∆E =
1
1
(∆m) ω2A2 =
µ ω2 A2 ∆x
2
2
Como la onda se propaga, con la velocidad v, la energía que
transmite toma el valor:
∆E =
1
1
µ ω2A2 ∆x =
µ ω2 A2 v ∆t
2
2
Así pues, la potencia transmitida por una onda armónica vale:
P =
dE
1
=
µ ω2 A2 v
dt
2
La energía transmitida por unidad de tiempo (potencia )por una
onda propagándose, es proporcional al cuadrado de la amplitud
de vibración de la onda, al cuadrado de su frecuencia y a su
velocidad de propagación.
Esta expresión es general para todas las ondas.
La conservación de la energía: Hasta ahora no se ha considerado ninguna
causa disipadora de energía, por lo que la energía se debe conservar.
Imaginemos pues, ondas superficiales como las generadas por un
movimiento periódico constante sobre la superficie de un lago. A medida
que la onda se propaga, su radio va aumentando y la energía se reparte
uniformemente sobre círculos de radio cada vez mayor. La densidad de
energía lineal sobre el frente de onda6 disminuye en 1/r. Ahora bien, como
la densidad de energía es proporcional al cuadrado de la amplitud de la
onda, es evidente que ésta debe disminuir en función de 1 / r .
En el caso de ondas en tres dimensiones (por ejemplo las ondas
sonoras de un campanario son esféricas), los frentes de onda que son
superficies esféricas, aumentan como 4πr2. La densidad de energía
superficial disminuye en función de 1/r2, y en consecuencia la amplitud
disminuye como 1/r. (Fenómeno de la atenuación).
Otro punto importante de la conservación de la energía debe
considerarse cuando la onda atraviesa la separación de dos medios con
propiedades dinámicas distintas y en los que la velocidad de propagación
de la onda cambia. Por ejemplo, en la figura 13.3 se muestra este caso para
ondas sobre una cuerda. La conservación de la energía se debe formular
mediante la potencia de entrada y de salida de la superficie de separación:
6
El concepto de frente de onda se verá en detalle en el tema siguiente.
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la potencia que llega a la separación debe ser igual a la que sale mediante la
onda reflejada y la transmitida.
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