1.13. Círculo de Mohr para deformaciones

1.13 Círculo de Mohr para deformaciones
1.13.
Círculo de Mohr para deformaciones
Construcción del círculo de Mohr para deformaciones:
1. Dibujo de un sistema de ejes coordenados con  como abscisa, positivo hacia la derecha,
y  como ordenada, positivo hacia abajo.
2. Localice el centro  del círculo en el punto con coordenadas  y  = 0.
 =
 + 
2
3. Localice el punto A que representa las condiciones de deformación sobre la cara 1 del
elemento mostrado en la Fig. (1.50), marcando sus coordenadas  =  y  . Note que el
punto  corresponde a  = 0 .
4. Localice el punto B que representa las condiciones de deformación sobre la cara del elemento
mostrado en la Fig. (1.50) , trazando sus coordenadas  =  y − . Observe que el punto
 sobre el círculo corresponde a  = 90 .
5. Dibuje una línea del punto  al . Esta línea es un diámetro del círculo y pasa por el
centro . Los puntos  y , que representan las deformaciones sobre los planos a 90 uno
del otro, que están en extremos opuestos del diámetro y, por lo tanto, están a 180 uno del
otro sobre el círculo.
6. Con el punto  como centro, trace el círculo de Mohr por los puntos  y . El círculo
dibujado de esta manera tiene radio .
=
sµ
 − 
2
¶2
+ 2
7. Cálculo de las deformaciones principales y ubicación en la fig. (1.50)
ε12 =  ± 
8. Cálculo del ángulo  de la ec. (1.65)
2 = tan
µ
2
 − 
9. Cálculo del la deformación cortante máxima, 
c
°Gelacio
Juárez, UAM
¶
máx ,
y del ángulo .
67
1.13 Círculo de Mohr para deformaciones
Figura 1.50: Trazo círculo de Mohr para deformaciones.

máx
=
Nota: En el círculo de Mohr para deformaciones, algunos autores, utilizan la deformación angular,   2, en lugar de la deformación por cortante  , que están relacionadas como:
 =
1.13.1.
 
2
(1.115)
Ejemplo
En un punto de la superficie plana de un sólido se colocan tres deformímetros extensométricos
como se muestra en la Fig. 1.51.Después de someter el sólido a la acción de cargas se registran
las siguientes deformaciones unitarias:
 = 0006;  = 0004; y  = −0008;
(1.116)
Figura 1.51: Arreglo de deformímetros.
c
°Gelacio
Juárez, UAM
68
1.13 Círculo de Mohr para deformaciones
Calcular la deformación angular  definida por el ángulo recto de los deformímetros a y b, las
deformaciones y sus direcciones principales , así como la deformación cortante máxima.
Calculo de la deformación angular
Al expresar los ejes cartesianos (,), como los ejes definidos, respectivamente, por los deformímetros a y b, las deformaciones se definen como:
 =  = 0006
 =  = 0004
(1.117)
 =  = −0008
 = 12  
Expresando la deformación  como la proyección de las otras deformaciones.
 = n · ε · n
(1.118)
donde el vector normal es:
n=
"
cos(90◦ + )
cos 
#
(1.119)
y el tensor de deformaciones:
ε=
"




#
(1.120)
sustituyendo las ecs. (1.119) y (1.120) en la ec. (1.118)
 =
h
cos(90◦ + ) cos 
2
◦
i
"




2
#
cos(90◦ + )
cos 
◦
 =  cos (90 + ) +  cos  + 2 cos(90 + ) cos 
(1.121)
sustituyendo los valores de la ec. (1.117) en la (1.121)
−0008 = 0006 cos2 (135◦ ) + 0004 cos2 (45◦ ) + 2 cos(135◦ ) cos(45◦ )
obteniéndose el valor de la deformación por cortante;
 = 0013 
La deformación angular,   , se calcula de la ec. (1.115):
  = 2 = 0026 
c
°Gelacio
Juárez, UAM
(1.122)
69
1.13 Círculo de Mohr para deformaciones
Calculo de deformaciones principales
El tensor de deformaciones es:
ε=
"
0006 0013
0013 0004
#
Cálculo del centro
 =
0006 + 0004
= 0005
2
Cálculo del radio
=
sµ
0006 − 0004
2
¶2
+ (0013)2 = 001304
Cálculo de las deformaciones principales y ubicación en la fig. (1.52)
1 = 0005 + 0013 = 0018
2 = 0005 − 0013 = −0008
Figura 1.52: Trazo Mohr.
El ángulo  se calcula
1
 = tan−1
2
La deformación cortante máxima, 
µ
2(0013)
0006 − 0004
máx ,

máx
¶
= 4280◦
corresponde al radio del círculo:
=  = 0013 
el ángulo  es:
c
°Gelacio
Juárez, UAM
70
1.13 Círculo de Mohr para deformaciones
 = 22◦
Las deformaciones principales y por cortante máximo se muestran en la fig. 1.53.
Figura 1.53: Deformaciones principales y cortantes máximas.
1.13.2.
Ejemplo
Una roseta con deformímetros espaciados un ángulo , mostrada en la Fig. 1.54a, se adhiere
a una superficie libre de un sólido. Bajo la deformación del sólido, las deformaciones lineales
medidas por los deformímetros a, b y c son, respectivamente,  ,  y  . 1) Derive la ecuaciones
para determinar las componentes de deformación en términos de  ,  y  en función de
las deformaciones medidas  ,  y  . 2) Determine los resultados del inciso 1 para rosetas
Rectangulares,  = 45◦ ,Fig. 1.55a ,y Delta ,  = 60◦ , Fig. 1.55b.
Figura 1.54: Deformaciones principales y cortantes máximas.
1) Los vectores normales con los cosenos directores, Fig. 1.54b, son:
n =
"
1
0
#
; n =
"
cos 
sin 
#
; n =
"
cos 2
sin 2
#
;
La proyección del tensor de deformaciones sobre una dirección dada por un vector normal se
c
°Gelacio
Juárez, UAM
71
1.13 Círculo de Mohr para deformaciones
Figura 1.55: Rosetas tipo: a) Rectangulares y b) Delta.
determina como:
 = n · ε · n
Por lo que la proyección del tensor de deformaciones sobre las direcciones a, b y c son:
 = n ·ε · n =
 = n ·ε · n = cos2  +  sin2  + 2 cos  sin 
(1.123)
 = n ·ε · n = cos2 2 +  sin2 2 + 2 cos 2 sin 2
La ecuación anterior puede escribirse como:
⎡

⎤
⎡
1
0
0
⎤⎡

⎤
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥⎢
⎢  ⎥ = ⎢ cos2  sin2 
⎥ ⎢  ⎥
cos

sin

⎦ ⎣
⎦
⎣
⎦⎣
cos2 2 sin2 2 cos 2 sin 2


(1.124)
Resolviendo el sistema anteior para  ,  y  , se tiene:
 = 
( − 2 ) sin 4 + 2 sin 2
 =
2
¢
¡
¢
¡ 42 sin 2 sin 2 2
2 sin  cos 2 − sin 2 cos2  + 2  sin2 2 −  sin2 
 =
4 sin2  sin 2
(1.125)
1) Para el caso de Rosetas tipo Rectangular ,  = 45◦ , se tienen las siguientes relaciones cos  =
√
√
1 2, sin  = 1 2, cos 2 = 0 y sin 2 = 1, que sustituyéndolas en la ec. (1.125) se tiene:
c
°Gelacio
Juárez, UAM
72
1.13 Círculo de Mohr para deformaciones
 = 
 = 
(1.126)
 =  −
1
( +  )
2
2) Para el caso de Rosetas tipo Delta ,  = 60◦ , se tienen las siguientes relaciones cos  = 12,
√
√
sin  = 32, cos 2 = +12 y sin 2 = 32, que sustituyéndolas en la ec. (1.125) se tiene:
 = 
2 ( +  ) − 
 =
3
 − 
√
 =
3
1.13.3.
(1.127)
Ejemplo
El desplazamiento en un sólido está dado por el siguiente vector:
⎡

⎡
⎤
⎤

⎥ ⎢
⎥ −3
⎢
⎥ ⎢
⎥
u=⎢
⎣  ⎦ = ⎣ √ + 2 ⎦ 10
4 2 + 3

1) Determine el tensor de deformación y 2) las deformaciones y respectivas direcciones principales.
Las componentes del vector de deformación se calculan con las siguientes derivadas:
 =
 =
 =






= 1 · 10−3
= 1 · 10−3
= 3 · 10−3
El tensor de deformación es:
⎡
³
´

 = 12 
+ 
 = 0
¡
¢
−3
√4
 = 12 
+ 
 ´= 2 · 10
³

−3
 = 12 
 +  = 1 · 10
1
⎢
ε=⎢
⎣ 0
√4
2
0
1
1
√4
2
⎤
⎥ −3
1 ⎥
⎦ 10
3
Las deformaciones principales, mostradas en la Fig. 1.56b, tiene las siguientes magnitudes:
1 = 5 · 10−3 , 2 = 1 · 10−3 , 3 = −1 · 10−3
Las direcciones principales, mostradas en la Fig. 1.56b, correspondientes a cada deformación
principal son:
c
°Gelacio
Juárez, UAM
73
1.13 Círculo de Mohr para deformaciones
⎡
0551
⎤
⎡
−0333
⎤
⎡
−0765
⎤
⎥ 2 ⎢
⎥ 3 ⎢
⎥
⎢
⎥
⎥
⎥
⎢
⎢
v1 = ⎢
⎣ 0195 ⎦ ; v = ⎣ 0943 ⎦ ; v = ⎣ −0270 ⎦ ;
0811
0
0585
Figura 1.56: Representación de valores principales: a) direcciones y b) deformaciones.
1.13.4.
Tarea
1) De las ecs. (1.126) y (1.127) determine las expresiones de deformaciones y direcciones principales para rosetas Rectangulares y tipo delta en función de  ,  y 
12
 + 
±
=
2
sµ
2 = tan
µ
 − 
2
2
 − 
¶2
+ 2
¶
2) En una Roseta rectangular se obtuvieron las siguientes deformaciones:
 = 552 · 10−4 ;  = 1286 · 10−4 ; y  = 1301 · 10−4 ;
(1.128)
Determine:
a) las deformaciones  ,  y  .
b) las deformaciones 1 , 2 y  máx .
c) direcciones principales.
c
°Gelacio
Juárez, UAM
74