Taller 4 – Matemáticas Discretas

Taller 4 – Matemáticas Discretas
1. Pruebe que el principio del buen orden implica el principio de inducción. Sugerencia: Asuma por contradicción que P(1) y ∀n ≥ 1 : (P(n) → P(n + 1)) son ciertos,
pero que {n ∈ N : P(n) es falso} 6= ∅, donde P(n) es el predicado en cuestión.
2. Por definición, un número entero es par si se puede escribir como 2k para algún
entero k, y es impar si se puede escribir como 2k + 1 para algún entero k. Use el
principio del buen orden para probar que todo entero positivo es par ó es impar.
Sugerencia: Asuma que no es cierto y considere el conjunto de contraejemplos.
(Es más natural por inducción o como ya lo hemos hecho por el teorema de la
división, pero este es un ejercicio acerca del pincipio del buen orden.)
3. Use el principio del buen orden para probar lo siguiente:
Para todo entero positivo n existe un entero k y un entero ` tal que
n = 2k ` donde ` es impar.
Sugerencia: Considere el conjunto de los enteros p tal que n = 2q p para algún q.
4. Use el principio del buen orden para probar lo siguiente:
Para todo racional r existen enteros p y q tal que r = p/q y p y q no
tienen divisores comunes (se dice que p y q son relativamente primos).
Sugerencia: Para r 6= 0, considere el conjunto de los enteros positivos p tal que
r = p/q.
5. Dado un conjunto no vacı́o de números, una cota superior para X es un número
c tal que para todo x ∈ X se tiene que x ≤ c. Un elemento máximo de X es un
número m que es una cota superior de X y que pertenece a X.
(a) Pruebe que un elemento máximo es único (es decir, pruebe que si m y m 0
son elementos máximos, entonces m = m 0 ).
(b) Use el principio del buen orden para verificar que si para un conjunto X
de números enteros positivos existe una cota superior, entonces existe un
elemento máximo. Sugerencia: Considere el conjunto de cotas superiores
para X.
6. Pruebe lo siguiente:
(a) Para todo número entero positivo n existe un único entero k tal que 2k ≤
n < 2k+1 . Sugerencia: Use el principio del buen orden.
1
(b) Cualquier entero positivo puede escribirse como la suma de potencias de 2
distintas. (es decir, se pueden escribir en representación binaria). Por ejemplo
13 = 23 + 22 + 20 , 111 = 26 + 25 + 23 + 22 + 21 + 20 . Sugerencia: Use parte
(a) e inducción fuerte.
7. Los números de Fibonacci Fn , n = 1, 2, 3, . . . se definen por medio de la ecuación
de recurrencia con condición inicial
F1 = F2 = 1;
(∗)
para n ≥ 3 (∗∗)
Fn = Fn−1 + Fn−2
Use inducción para verificar que para n ≥ 1
n−2
n
3
5
≤ Fn ≤
.
2
3
8. Considere la sucesión
a1 = 1
an = 1 + 1/an−1
para n > 1
Los primeros valores de esta secuencia son
a1
=
1
a6
=
13/8 = 1.625
a2
=
2
a7
=
21/13 = 1.615385 · · ·
a3
=
3/2 = 1.5
a8
=
34/21 = 1.619048 · · ·
a4
=
5/3 = 1.666666 · · ·
a5
=
8/5 = 1.6
a9
=
55/34 = 1.617647 · · ·
a10
=
89/55 = 1.618181 · · ·
Note que
a1 < a3 < a5 < a7 < a9 < · · ·
y
a2 > a4 > a6 > a8 > a10 > · · ·
Aparentemente los términos impares forman una sucesión creciente mientras que
los términos pares forman una sucesión decreciente. Verifique esto por inducción.
Sugerencia: Exprese an en términos de an−2 y (verifique y) use que x > y > 0
implica que
2y + 1
2x + 1
>
.
x+1
y+1
9. Pruebe lo siguiente usando el contrapositivo:
Dados n números (reales) x1 , x2 , . . . , xn , si
1
x1 + x2 + x3 + · · · + xn > n(n + 1),
2
entonces existe un valor de i, 1 ≤ i ≤ n, tal que xi > n.
2
10. Considere la sucesión definida por la relación de recurrencia
a0 = 0
an = an−1 + 1
an = 2an/2
si n es impar
si n es par
Use inducción para probar que an = n.
11. Use inducción para probar que para todo entero n ≥ 0, 10n − 1 es divisible por 9.
12. Pruebe usando inducción lo siguiente:
Si S es un subconjunto de {1, 2, 3, . . . , 3n − 1, 3n} con 2n + 1 elementos,
entonces S contiene tres números consecutivos.
13. Pruebe que para todo entero n, n2 +1 no es divisible por 3. Sugerencia: Aplique el
teorema de la división (por 3) a n y considere los 3 casos posibles para el residuo.
14. Pruebe lo siguiente:
Todos los números primos mayores que 5 son iguales a 6n + 1 ó a 6n + 5
donde n es un entero.
Sugerencia: Use el teorema de la división (cociente y residuo) y analice los casos.
15. Pruebe lo siguiente:
(a) El producto de dos enteros consecutivos es par.
(b) El cuadrado de un entero impar es igual a 8k + 1 donde k es un entero.
16. Pruebe lo siguiente:
(a) Pruebe que para todo entero m si 3 divide m2 entonces 3 divide m. Sugerencia: Use el teorema de la división (por 3) y considere los tres casos posibles.
(b) Pruebe que si r2 = 3 entonces r no es racional. Sugerencia: Pruebe el
contrapositivo y use parte (a).
17. Pruebe que
(p ↔ (p → q)) → q
es una tautologı́a usando equivalencias básicas (no use tabla de verdad).
18. Pruebe la validez de los siguientes argumentos:
∴
p → (m → w)
w→d
m
¬d
¬p
premisa
premisa
premisa
premisa
conclusión
∴
(¬p ∨ q) → r
r → (s ∨ t)
¬s ∧ ¬u
¬u → ¬t
p
premisa
premisa
premisa
premisa
conclusión
19. Muestre que los siguientes argumentos son falsos (premisas separadas por comas).
Dé un contraejemplo, es decir, asignaciones a p, q, r, s de tal forma que las premisas
son ciertas y la conclusión es falsa:
3
(a) (p ∧ ¬q), p → (q → r) ⇒ ¬r
(b) (p ∧ q) → r, ¬q ∨ r ⇒ p
(c) p ↔ q, q → r, r ∨ ¬s, ¬s → q ⇒ s
20. Para cada una de las siguientes afirmaciones decida si es V ó F. El universo de
discurso es los enteros no negativos.
(a) ∀x∀y∃z (x + y = z)
(b) ∀x∀z∃y (x + y = z)
(c) ∃x∀y∃z (x + y = z)
(d) ∃x∀z∃y (x + y = z)
(e) ∀x∃z∃y (x + y = z)
(f) ∀y∀z∃x (x + y = z)
21. (a) Sea H(x) el predicado “x es honesto” y P(x) el predicado “x es un polı́tico”
y sea el universo de discurso el conjunto de todas las personas. Cuál es en
palabras y simbólicamente la negación de la afirmación:
∀x (¬H(x) → P(x)).
Deduzca la negación usando reglas básicas (negación de cuantificadores, etc).
(b) Escriba (simbólicamente) la negación de
∀x∀y (((x > 0) ∧ (y > 0)) → (x + y > 0))
22. P(x), Q(x) son predicados sobre un universo de discurso U. Determine si cada uno
de los siguientes pares de afirmaciones son equivalentes, o si al menos una implica
lógicamente la otra. Justifique su respuesta (si hay implicación lógica pruébela
detalladamente; si no la hay dé un contraejemplo).
(a) (∀xP(x)) ∧ (∀yQ(y)) y ∀z(P(z) ∧ Q(z)).
(b) (∀xP(x)) ∨ (∀yQ(y)) y ∀z(P(z) ∨ Q(z)).
23. Cuáles de las siguientes equivalencias no son ciertas:
(a) ¬p → (q → r) ⇔ q → (p ∨ r)
(b) (p ∧ q) ∨ (¬q ∧ ¬p) ⇔ (p → q) ∧ (¬q → ¬p)
(c) (p → q) ∧ (p → r) ⇔ p → (q ∧ r)
(d) (p → r) ∨ (q → r) ⇔ (p ∧ q) → r
24. De una prueba de la validez del siguiente argumento (use prueba condicional)
∴
∀x(P(x) ∨ Q(x))
∀x((¬P(x) ∧ Q(x)) → R(x)
∀x(¬R(x) → P(x))
premisa
premisa
conclusión
4