Colegio Ntra. Sra. Del Buen Consejo 1º Bachillerato Melilla Física y Química TEORÍA DE ERRORES Y MEDIDA ERRORES EN LA MEDIDA: Toda medida debe ir acompañada del error cometido al realizarla. Distinguimos entre Error Absoluto y Error Relativo. 1. Error Absoluto a : es la diferencia entre el valor medido y el real, a x x , donde x representa el valor real o exacto de la medida y lo calculamos como indica el siguiente epígrafe. No obstante, en general vamos a tomar como error absoluto el valor del error instrumental o sensibilidad del instrumento de medida que utilicemos, a i , salvo en los casos que se indican en el siguiente epígrafe. El error absoluto se expresa en las mismas unidades que la medida. 2. Error Relativo r : es el cociente entre el error absoluto y la medida considerada como exacta, r a . El error relativo es adimensional, no tiene unidades. Se x suele dar en tanto por ciento multiplicándolo por 100. Es el error relativo el que da verdadera idea de la calidad de las mediciones. El valor de una magnitud lo expresaremos siempre de la siguiente manera: x a CRITERIO DE MEDIDA PARA MEDIDAS DIRECTAS: Como mínimo hay que medir 3 veces cualquier valor de una magnitud (x 1, x2, x3). Una vez tomadas las 3 medidas calculamos la Dispersión de las mismas: D xmax xmin Comparamos la dispersión con el error instrumental (que tendrá las unidades de la magnitud que estemos midiendo), i . 3. Si D i , la medida viene dada por la media aritmética de las tres medidas x x 2 x3 tomadas, x 1 , y el error absoluto es igual al error instrumental, a i . 3 La medida queda: x x a . 4. Si D i , hemos de calcular un nuevo parámetro, la llamada Dispersión Porcentual 100D Relativa, T , expresado en tanto por ciento, que nos indicará si hemos de x tomar más medidas o no. Veámoslo: a. Si T 2% x x1 x2 x3 y a i . 3 -1- Colegio Ntra. Sra. Del Buen Consejo 1º Bachillerato Melilla Física y Química b. Si 2% T 8% tomamos 3 medidas más ...x4 , x5 , x6 , y calculamos x con las 6 medidas. Calculamos la dispersión de estas 6 medidas, D6 xmax xmin , y la comparamos con el error instrumental. Tomamos como D error absoluto el mayor de estos 2 valores, a max 6 , i . 4 c. Si 8% T 15% tomamos un total de 15 medidas y calculamos x con x 15 las 15. El error absoluto lo calculamos así, a k 1 k x 2 . 15 d. Si T 15% tomamos 50 medidas, de las que sacamos la media x 50 aritmética. El error absoluto viene dado por, a k 1 k x 50 en este caso más nos vale comenzar de cero, ¿me explico?) 2 . (Claro que CRITERIO DE MEDIDA PARA MEDIDAS INDIRECTAS: Cuando operamos con medidas directas para obtener el valor de una magnitud indirecta mediante una ecuación que las relaciona, utilizamos siempre los valores exactos calculados de las medidas directas: Si y f ( x' , x' ' ,...) y f ( x', x' ',...) En estos casos los errores en las medidas directas conllevan un error en la medida indirecta. Su cálculo es sencillo. Distinguimos 2 casos: 1. La medida indirecta es suma o diferencia de las medidas directas: en este caso el error absoluto de la suma (o diferencia) es igual a la suma de los errores absolutos de las medidas directas, a M1 M 2 a M1 a M 2 2. La medida indirecta es producto o cociente de las medidas directas: en este caso el error relativo del producto (o cociente) es igual a la suma de los errores relativos de las medidas directas, r M 1 ·M 2 r M 1 r M 2 M1 M2 r r M 1 r M 2 Una vez calculado el error relativo de la medida indirecta podemos calcular el error absoluto de la misma: r a -2- y a r ·y Colegio Ntra. Sra. Del Buen Consejo 1º Bachillerato Melilla Física y Química EXPRESIÓN DE LA MEDIDA: Para expresar los errores absolutos tomamos una sola cifra significativa redondeándola. Dada una medida, el error absoluto es del orden de la última cifra decimal; esto significa que el valor de la medida debe estar expresado con tantos decimales como tenga el error absoluto y no más. Por ejemplo, si a 0,004u , la medida correspondiente sólo puede estar expresada hasta las milésimas, ni más ni menos. CASO PRÁCTICO: Pretendemos calcular la densidad de una esfera a partir de su masa, m , y su diámetro, d . Los errores instrumentales vienen dados por, i (m) 0,1 g y i (d ) 0,05mm . La densidad ( ) es una medida indirecta fácil de calcular: m 4 , donde V r 3 , así que V 3 m 4 3 r 3 m 4 d 3 2 3 6m d3 Luego hemos de medir d y m . Medimos el diámetro tres veces y obtenemos: d 1 2,30 0,05 m m d 2 2,45 0,05 m m Calculamos la dispersión: D 2,45mm 2,30 mm 0,15mm, d 3 2,35 0,05 m m que es claramente mayor que el error instrumental. Calculamos entonces T : T 100· D 100·0,15m m 6,34% 2,367m m d Este valor de T nos indica que hemos de tomar 3 medidas más: d 4 2,35 0,05 m m d 5 2,30 0,05 m m Calculamos la media de las 6 medidas: d 2,35mm. d 6 2,35 0,05 m m El error absoluto es el mayor de dos valores: D6 0,15mm , i max ; 0,05mm max0,0375mm ; 0,05mm 0,05mm. 4 4 a d max -3- Colegio Ntra. Sra. Del Buen Consejo 1º Bachillerato Melilla Física y Química La medida del diámetro queda: d 0,05m m r d a 0,0213. 2,35m m d d 2,35 0,05 mm, y el error relativo, Vamos ahora con la masa: medimos 3 veces, m1 1,5 0,1 g m2 1,6 0,1 g La dispersión queda, D 1,6 g 1,5 g 0,1 g i m3 1,5 0,1 g m 1,53 g Así que , por lo que a m 0,1 g 0,1 g r m 0,0667. 1,5 g La densidad de la esfera tiene el valor m 1,5 0,1 g , con un error relativo de 6 ·1,5 g ·2,35m m 3 0,2207 g . m m3 Como en la fórmula el diámetro está elevado al cubo, es como si estuviera dividiendo tres veces: r r m 3 r d 0,0667 3 ·0,0213 0,1305 a · r 0,0288 Por tanto el valor de la densidad es: 0,22 0,03 -4- g . mm 3 g g 0,03 3 mm mm 3